Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Motivation bisher: Beschreibung von Datensätzen = beobachteten Merkmalsausprägungen Frage: Sind Schlußfolgerungen aus diesen Beobachtungen möglich? Antwort: Ja, aber diese gelten nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (Details in Kapitel 3). jetzt: mehr über Wahrscheinlichkeiten Dr. Karsten Webel 71

2 Definition 2.1: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ergebnismenge & Ereignis Ein Vorgang, der mehrere, sich gegenseitig ausschließende mögliche Ausgänge besitzt, dessen Ausgang nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann und der unter identischen Rahmenbedingungen beliebig oft wiederholt werden kann, heißt Zufallsexperiment. Dr. Karsten Webel 72

3 Definition 2.1: Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ergebnismenge & Ereignis (Fortsetzung) Die n möglichen Ausgänge ω 1,ω 2,...,ω n Elementarereignisse. eines Zufallsexperiments heißen Die Menge Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n } aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge. Teilmengen A,B Ω der Ergebnismenge heißen Ereignisse. Dr. Karsten Webel 73

4 Beispiel 2.2: Augenzahl beim einmaligen Würfeln Ergebnismenge Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6} Elementarereignisse {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Ereignis A gerade Zahl {2,4,6} Ereignis B ungerade Zahl {1,3,5} Ereignis C Primzahl {1,2,3,5} Ereignis D Zahl größer 3 {4,5,6} Dr. Karsten Webel 74

5 Beispiel 2.3: Investitionsprojekt (alte Klausuraufgabe) Ein Investitionsprojekt ist in Gefahr, wenn es während der Bauphase zu viel regnet oder der Dollarkurs steigt. Dabei ist P(zu viel Regen) = 10% und P(Dollar steigt) = 40%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Investitionsprojekt in Gefahr? Dr. Karsten Webel 75

6 Definition 2.4: Schnitt-, Vereinigungs- & Differenzmenge, disjunkt, Komplementärereignis Für zwei Ereignisse A,B Ω heißt die Menge aller Elementarereignisse, die sowohl in A als auch in B liegen, Schnittmenge von A und B (kurz: A B), in A oder in B liegen, Vereinigungsmenge von A und B (kurz A B), in A, aber nicht in B liegen, Differenzmenge von A und B (kurz A \ B). Dr. Karsten Webel 76

7 Definition 2.4: Schnitt-, Vereinigungs- & Differenzmenge, disjunkt, Komplementärereignis (Fortsetzung) Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt, wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist, d. h. wenn gilt A B =. Die Menge Ā, die alle Elementarereignisse enthält, die nicht in A liegen, heißt Komplementärereignis zu A. Dr. Karsten Webel 77

8 Venn-Diagramm: A B Ω B A Dr. Karsten Webel 78

9 Venn-Diagramm: A B Ω B A Dr. Karsten Webel 79

10 Venn-Diagramm: A \ B Ω B A Dr. Karsten Webel 80

11 Venn-Diagramm: A Ω A Dr. Karsten Webel 81

12 Venn-Diagramm: disjunkte Ereignisse A und B Ω B A Dr. Karsten Webel 82

13 Beispiel 2.6: Augenzahlen beim zweimaligen Würfeln Ω = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3), (2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} = {1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5,6} Ω = 36 = 6 2 Dr. Karsten Webel 83

14 Satz 2.7: Wird ein Zufallsexperiment mit K Elementarereignissen n-mal wiederholt, so besitzt das zusammengesetzte Zufallsexperiment K n Elementarereignisse. Dr. Karsten Webel 84

15 P. S. de Laplace ( ) A. N. Kolmogoroff ( ) Dr. Karsten Webel 85

16 Satz 2.8: Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A Ω gegeben durch P(A) = = A Ω Anzahl der für A günstigen Elementarereignisse. Anzahl aller möglichen Elementarereignisse Dr. Karsten Webel 86

17 Beispiel 2.9: zweimaliges Würfeln Ereignis P( ) verbal mengentheoretisch gleiche Augenzahlen {(1,1),(2,2),...,(6,6)} 6 6/36 Augensumme gleich 10 {(4, 6),(5, 5),(6, 4)} 3 3/36 keine 6 {(1,1),(1,2),(1,3),...,(5,5)} 25 25/36 nur ungerade Zahlen {(1,1),(1,3),(1,5),...,(5,5)} 9 9/36 gerade Zahl im 1. Wurf {(2,1),(2,2),(2,3),...,(6,6)} 18 18/36 gerade Zahl im 2. Wurf {(1,2),(1,4),(1,6),...,(6,6)} 18 18/36 Dr. Karsten Webel 87

18 Definition 2.10: Wahrscheinlichkeitsmaß Eine Abbildung P : Ω [0, 1], die allen Ereignissen A Ω eines Zufallsexperiments eine Zahl P(A) zuordnet und die die Kolmogoroff schen Axiome 0 P(A) 1 für alle A Ω, P(Ω) = 1 und P(A B) = P(A) + P(B) für alle A,B Ω mit A B = erfüllt, heißt Wahrscheinlichkeitsmaß. Dr. Karsten Webel 88

19 Wurf Wurf Dr. Karsten Webel 89

20 Venn-Diagramm: bedingte Wahrscheinlichkeit Ω B A Dr. Karsten Webel 90

21 Definition 2.12: bedingte Wahrscheinlichkeit Für ein Ereignis A gelte P (A) > 0. Für ein Ereignis B heißt dann P(B A) = P (A B) P(A) bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A. Dr. Karsten Webel 91

22 Definition 2.14: stochastische Unabhängigkeit Gilt für zwei Ereignisse A und B mit P (A) > 0 und P(B) > 0 P(A B) = P(A) und P(B A) = P(B), so heißen diese stochastisch unabhängig. Dr. Karsten Webel 92

23 Exkurs: bedingte Wahrscheinlichkeiten in der Presse Führerscheine fast nur von Männern kassiert (dpa-meldung) Die Männer sind nach wie vor die bösen Buben am Lenkrad: Die im vorigen Jahr in Deutschland entzogenen Führerscheine und fast Fahrverbote trafen zu über 90 vh die Männer. Das geht aus einer Statistik des Kraftfahrt- Bundesamtes in Flensburg hervor wurde dagegen nur 9,2 vh der Frauen der Führerschein entzogen, 9,6 vh erhielten ein Fahrverbot. Dr. Karsten Webel 93

24 Exkurs: bedingte Wahrscheinlichkeiten in der Presse (Fortsetzung) Schäferhund besonders bissig (US-Studie) Vorsicht, Schäferhund-Besitzer! Eine US-Studie fand heraus: Am häufigsten werden Schäferhund-Herrchen von ihren Tieren gebissen. Dann folgen Chow- Chows und Collies. Die friedlichsten Hunde sind Pudel und Golden Retriever. Hunde, die in einem Haushalt mit Kindern leben, beißen eher zu als Hunde von Singles. Dr. Karsten Webel 94

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