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1 2 Wahrscheinlichkeitstheorie Beispiel. Wie wahrscheinlich ist es, eine Zwei oder eine Drei gewürfelt zu haben, wenn wir schon wissen, dass wir eine ungerade Zahl gewürfelt haben? Dann ist Ereignis A das Ereignis Zwei oder Drei, i.e. A {2, 3} und B das Ereignis ungerade Zahl, d.h. B {1, 3, 5}. Also finden wir P (A B) P ({3}) P ({1, 3, 5}) 1 3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit erlaubt uns, ein gewisses Vorwissen in die Berechnung einer Wahrscheinlichkeit einfließen zu lassen. Im Beispiel wissen wir schon, dass wir eine ungerade Zahl gewürfelt haben, und fragen dann - unter dieser Bedingung - wie wahrscheinlich es ist, eine zwei oder eine drei zu werfen. Unabhängige Ereignisse Zwei Ereignisse A, B sind abhängig, wenn sich die bedingte Wahrscheinlichkeit von der unbe- K! dingten Wahrscheinlichkeit unterscheidet, und unabhängig, falls dem nicht so ist. Also ist A von B unabhängig, falls > 0 und P (A B) P (A). aus dem Produktsatz folgt dann für unabhängige A und B (mit > 0), dass P (A B) P (A). Beispiel. Im Beispiel Rauchen und Geschlecht finden wir für die Häufigkeiten und Daher ist P (Rauchen) 0.23 P (Rauchen Frau) 0.2. P (Rauchen) P (Rauchen Frau) und folglich sind Rauchen und Geschlecht nicht unabhängige Größen. Beispiel. Betrachtet werden die beiden Ereignisse A {1, 2} und B gerade Zahl {2, 4, 6} beim Werfen eines Würfels. Dann ist P (A) und P (A B) 1/6 1/ Also sind A und B unabhängige Ereignisse. Das ist letztlich der gleiche Gedanke wie der, welcher sich im Kontingenzkoeffizienten ausdrückt. Frage: Wenn A von B unabhängig ist, ist dann auch B von A unabhängig? Sei P (A), > 0. Dann nutzen wir die Unabhängigkeit A von B, d.h. P (A B) P (A) und finden P (B A) P (A) Also ist auch B von A unabhängig. P (A) P (A B) P (A) P (A) P (A). Unabhängigkeit zweier Ereignisse impliziert also, dass ein Vorwissen über das eine Ereignis nichts an der Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses ändert. 50

2 2.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Satz von der Totalen Wahrscheinlichkeit Nehmen wir an, dass der Ereignisraum in endlich viele paarweise disjunkte Ereignisse A 1,..., A n zerlegt werden kann, d.h. Ω A i und A i A j für i j. Dann haben wir i1 P (Ω) 1 P ( A i ) i1 n P (A i ) 1 Eine solche Zerlegung könnte z.b. die Kategorisierung einer Population in 10-Jahres Intervalle sein oder die Aufteilung einer Zeckenpopulation in Nymphen, Weibchen und Männchen sein. Betrachten wir ein weiteres Ereignis B Ω, z.b. dass eine Zufällig gezogene Zecke einen bestimmten Erreger trägt. Dies lässt sich mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit bestimmen. K! ( ) ( n ) n n P B ( A i ) P (B A i ) P (B A i ) P (B A i )P (A i ) i1 i1 Obwohl wir also nur P (B A i ) und P (A i ) kennen, lässt sich trotzdem berechnen. Im Beispiel mit den Zecken wären die P (A i ) die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der gezogenen Zecke um eine Nymphe, Weibchen bzw. Männchen handelt. Die P (B A i ) sind die geschlechtsspezifischen Wahrscheinlichkeiten, dass die Zecke den Erreger trägt. i1 i1 i1 Anwendung von bedingten Wahrscheinlichkeiten Wir haben einen Test auf HIV, der entweder positiv (T ) oder negativ (T ) ist. Bei der Klassifikation eines Probands können zwei Fehler passieren: Entweder eine Person ist HIV-negativ (HIV ) und der Test besagt, dass die Person HIV-Positiv ist ( Falsch-Positiv) oder umgekehrt, die Person ist HIV-positiv (HIV ) und der Test besagt, dass der Betreffende HIV-negativ ist ( Falsch-Negativ ). Sei P (T HIV ) p die Wahrscheinlichkeit für Falsch-Positiv, und P (T HIV ) p die Wahrscheinlichkeit für Falsch-Negativ. Diese bedingten Wahrscheinlichkeiten für das Testergebnis gegeben Patientenzustand lassen sich auch in der folgenden Tabelle darstellen: HIV HIV T 1 p + p + T p + 1 p + Wie wahrscheinlich ist es nun, dass in der Praxis ein Test eines zufällig ausgewählten Probands Falsch-Positiv ausfällt? Nein, die Wahrscheinlichkeit ist nicht einfach p +, da wir bei dieser Wahrscheinlichkeit schon vorausgesetzt haben, dass der Proband HIV nicht hat. Das wissen wir in der Praxis nun nicht. Wir benötigen an dieser Stelle eine Zusatz-Information: sei P (HIV ) q die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person HIV hat. Diese Wahrscheinlichkeit wird auch die Prävalenz von HIV genannt. Dann finden wir durch den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit P (Falsch-Positiv) P (Falsch-Positiv Proband hat kein HIV) P (Proband hat kein HIV) + P (Falsch-Positiv Proband hat HIV) P (Proband hat HIV) 51

3 2 Wahrscheinlichkeitstheorie Weil P (Falsch-Positiv Proband hat HIV) 0 folgt aus Obigen, dass Analog ist P (Falsch-Positiv Proband hat kein HIV) P (Proband hat kein HIV) p + (1 q) P (Falsch-Negativ) P (Falsch-Negativ Proband hat kein HIV) P (Proband hat kein HIV) +P (Falsch-Negativ Proband hat HIV) P (Proband hat HIV) P (Falsch-Negativ Proband hat HIV) P (Proband hat HIV) Wenn sich also Personen testen lassen, so erwarten wir 4995 Falsch-Positive und 1 Falsch- Negativen Fall (wobei 100 erkrankte Personen unter den getesteten Personen zu erwarten sind) Satz von Bayes Wie kommen wir von der bedingten Wahrscheinlichkeit P (A B) zu der bedingten Wahrscheinlichkeit P (B A)? Nehmen wir wie beim Satz über die totale Wahrscheinlichkeit an, dass der Ereignisraum in endlich viele disjunkte Ereignisse A 1,..., A n zerlegt werden kann, d.h. Ω A i und A i A j falls i j. i1 Dann folgt für jedes j {1,..., n}, dass K! P (A j B) P (A j B) P (B A j)p (A j ) P (B A j )P (A j ) n i1 P (B A i)p (A i ) Dies wird auch der Satz von Bayes genannt und spielt in dem Zweig der Bayesianischen Statistik eine ganz wichtige Rolle. Anwendung vom Satz von Bayes Nun führen wir das HIV-Test-Beispiel weiter. Unsere Person hat nun tatsächlich ein positives K! Ergebnis erhalten: Der Test besagt, dass er HIV hat. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass er tatsächlich HIV hat? Dies wird auch der prädiktive Wert des Tests genannt. Gegeben die Person ist gesund, ist die Wahrscheinlichkeit für Falsch-Positiv p Das ist eigentlich ein ziemlich sicheres Resultat. Was wir aber berechnen wollen, ist P (Patien HIV-Positiv Test ist Positiv) P (HIV T ) Hier benötigen wir den Satz von Bayes, da wir nur P (T HIV ) 1 P (T HIV ) 1 p

4 2.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung gegeben haben. Also mit A HIV Proband hat HIV und B T Test ist positiv kann der Satz von Bayes benutzt werden: P (HIV T ) P (T HIV )P (HIV ). P (T ) Es ist P (T ) P (T HIV ) P (HIV ) + P (T HIV ) P (HIV ) (1 p + )q + p + (1 q) d.h. P (HIV T ) P (T HIV )P (HIV ) (1 p + )q P (T ) (1 p + )q + p + (1 q) (1 0.01) Also haben wir nur in 2% der Fälle tatsächlich eine kranke Person vor uns, wenn der Test Alarm schlägt(!). Das vermutet man zunächst nicht - das Problem ist letztlich, dass viel, viel mehr Gesunde getestet werden als Kranke, und daher die Falsch-Positiven bei den als positiv Getesteten die Mehrheit haben, obwohl der Test gar nicht so schlecht ist. Weiteres Beispiel / Genetische Beratung Genetische Beratung versucht u.a. aus den Informationen über die Familie auf die Wahrscheinlichkeit der Gendefekte bei einer Person zu schließen. Hämophilie A (Bluterkrankheit) wird über das X-Chromosom weitergegeben und ist rezessiv (d.h. eine Frau wird nur mit zwei kranken X-Chromosomen krank). Eine Frau hat gesunde (symptomfreie) Eltern, und einen kranken Großvater mütterlicherseits. Ihr Vater muss also ein gesundes X-Chromosom haben, ihre Mutter dagegen muss ein gesundes und ein krankes X-Chromosom haben, d.h. sie ist ein Träger der Krankheit. Nach den Mendelschen Regeln für Segregation sind die Wahrscheinlichkeiten P (Sie hat kein krankes X-Chromosom) 0.5, P (Sie hat ein krankes X-Chromosom) 0.5, P (Sie hat zwei kranke X-Chromosomen) 0. Nun sei weiter die Information gegeben, dass die Frau zwei gesunde Söhne hat, d.h. diese beiden haben gesunde X-Chromosomen. Diese Information (im Stammbaum in Abb. 2.1 dargestellt) wird das Ergebnis, das man aus den Krankengeschichten der Eltern erhalten hat, verfeinern. Dabei ist Individuum 7 in der Abbildung die betrachtete Frau und ein großes X gibt ein krankes X-Chromosom an). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein männlicher Nachkomme gesund ist, wenn die Mutter ein krankes X-Chromosom hat, ist: P (Männlicher Nachkomme gesund Mutter hat ein krankes X-Chromosom)

5 2 Wahrscheinlichkeitstheorie 2 y/x 1 x/x 4 3 x/x 5 X/x x/? 9 10 Abbildung 2.1: Stammbaum für das Beispiel der genetischen Beratung. Individuum 7 ist die Frau, für die wir wissen wollen, ob sie ein krankes X-Chromosom trägt. Frage: Wie wahrscheinlich ist es, dass diese Frau Träger der Krankheit ist? P (Frau ist Träger Beide Söhne gesund) P (Beide Söhne gesund Frau ist Träger)P (Frau ist Träger) P (Beide Söhne gesund) Es ist nun P (Beide Söhne gesund) P (Beide Söhne gesund Frau ist Träger)P (Frau ist Träger) +P (Beide Söhne gesund Frau ist gesund)p (Frau ist gesund) P (Ein Sohn gesund Frau ist Träger) 2 P (Frau ist Träger) +1 P (Frau ist gesund) d.h. P (Frau ist Träger Beide Söhne gesund) P (Ein Sohn gesund Frau ist Träger) 2 P (Frau ist Träger) P (Ein Sohn gesund Frau ist Träger) 2 P (Frau ist Träger) + 1 P (Frau ist gesund) Bemerkung. Die Annahmen, die wir zu Grunde gelegt haben, sind zu strikt: In der Regel wissen wir nichts über die Großmutter; weiter sind etwa 30% der Hämophilie-Fälle Spontanmutationen. Beides müsste man eigentlich in das Modell einfließen lassen. Mehr zu dem Thema über statistische Modelle in der genetischen Epidemiologie liefert z.b. Bickeböller und Fischer (2007). 54

6 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallsexperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel wenn ein Würfel fünf Augen zeigt, wird dem Ergebnis die reelle Zahl fünf zugewiesen. Mit Ereignissen wie blaue Augen, grüne Augen und graue Augen ist das etwas schwieriger - hier würde man jedem der drei Ereignisse eine Zahl, z.b. 1 für blaue Augen, 2 für grüne Augen und 3 für graue Augen, zuordnen. Insgesamt wird die Behandlung von Zufallsereignissen auf diese Weise einfacher zu handhaben und die Einführung von sogenannten Zufallsvariablen erleichtert die praktische Anwendung von stochastischen Modellen. Als Beispiel: Beim viermaligen Münzwurf besteht der Ereignisraum aus den Kombinationen aus Kopf und Zahl. Wenn wir uns aber nur für die Anzahl Kopf interessieren, ist das Ergebnis des zugrundeliegenden Zufallexperiments nicht von Interesse und wir können uns auf den Zufallsraum {0, 1, 2, 3, 4} beschränken. Eine solche Vereinfachung bietet die Zufallsvariable. Definition (Zufallsvariable) Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Elementarereignis e eine reelle Zahl x X(e), zuweist, d.h. X : Ω R. Dabei kann man auch mehrere Elementarereignisse auf die gleiche Zahl abbilden. Die möglichen Werte, die eine Zufallsvariable X annimmt, heißen Realisationen der Zufallsvariablen. Beispiel Sei X eine Zufallsvariable, welche die Anzahl Kopf beim viermaligen Münzwurf zählt. Für e (Z, Z, K, K) gilt z.b. X(e) 2. Sei {X 2} Es tritt zweimal Kopf auf. Dies entspricht allen Elemtarereignissen e, sodass X(e) 2 also {(Z, Z, K, K), (Z, K, Z, K), (Z, K, K, Z), (K, K, Z, Z), (K, Z, K, Z), (K, Z, Z, K)}. Beispiel. Wir werfen mit zwei Würfeln. Der Ereignisraum besteht also aus allen Zahlenpaaren mit Zahlen zwischen Eins und Sechs, Ω {(1, 1), (1, 2),..., (6, 6) } Wenn wir uns nur für die Summe der Augenzahlen interessieren, betrachten wir die Zufallsvariable X, die durch X Summe der Augenzahlen x 1 + x 2 für (x 1, x 2 ) Ω gegeben ist. Wir finden z.b. P (X 2) 1/36, P (X 3) 2/36,... Oft tritt der Charakter der Zufallsvariable als Funktion in den Hintergrund und man betrachtet als Ergebnisraum oft direkt den Wertebereich der Zufallsvariablen. Das heißt im Beispiel mit den Augenfarben: Angenommen die Zufallsvariable Y gibt die Augenfarbe einer Person an, dann würden wir auch Y blau schreiben, anstatt die zugrundeliegende Kodierung Y 1 zu benutzen. Ebenso wie in Kapitel 1 werden die Begriffe zu Skaleniveaus einer Messung und die Unterscheidung in diskrete und stetige Merkmale auf Zufallsvariablen übertragen. Stetige Zufallsvariablen sind somit meistens metrisch skaliert, während diskrete Zufallsvariablen nominal- oder ordinalskaliert sind. Beispiele für diskrete Zufallsvariablen sind z.b. Würfelzahlen und Populationsgröße. Das Gewicht oder die Größe eines Individuums wird mit einer stetigen Zufallsvariable dargestellt. 55

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

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