Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Johann Pfanzagl Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 2., überarbeitete und erweiterte Auflage W DE G Walter de Gruyter Berlin New York 1991

2 Inhaltsverzeichnis 1. Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit Zufallsexperimente Die Kolmogorov'schen Axiome Die Häufigkeitsinterpretation Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeits-Maße Verteilungsfunktionen Beispiele für Wahrscheinlichkeits-Maße Simulation von Zufallsexperimenten Laplace'sche Zufallsexperimente Grundbegriffe der Kombinatorik Einige Beispiele aus der Kombinatorik Die Einschluß-Ausschluß-Formel Die Hypergeometrische Verteilung Induzierte Maße Grundbegriffe Die Berechnung induzierter Maße Die Randverteilung Der Transformationssatz für Dichten Integrale bezüglich induzierter Maße Verteilungen auf Kreis und Kugel Stochastische Unabhängigkeit Der Begriff der Unabhängigkeit Unabhängigkeit bei diskreten Wahrscheinlichkeits-Maßen Unabhängigkeit bei stetigen Wahrscheinlichkeits-Maßen Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariabler Funktionen unabhängiger Zufallsvariabler Die Faltung Weitere Beispiele zur stochastischen Unabhängigkeit Die Binomial-Verteilung Ordnungs-Funktionen Produktmaße mit abzählbar vielen Komponenten 93

3 X Inhaltsverzeichnis 5. Geometrische Wahrscheinlichkeiten Das Buffon'sche Nadelproblem Das Bertrand'sche Paradoxon Die längenproportional verzerrte Auswahl Die "willkürliche" Auswahl Schnitte mit willkürlich gewählten Geraden Stereologie Maßzahlen für Verteilungen; Ordnungen zwischen Verteilungen Einleitung Der Erwartungswert Quantile Der Modalwert Die stochastische Ordnung Streuungsmaße Erwartungswert und Varianz einer Funktion Erwartungswert und Varianz von Summe und Produkt unabhängiger Zufallsvariabler Die Streuungs-Ordnung Abhängigkeit Abstände zwischen Wahrscheinlichkeits-Maßen Gesetze der großen Zahlen und Arcus-Sinus-Gesetz Die Cebysev'sche Ungleichung Gesetze der großen Zahlen Das Arcus-Sinus-Gesetz Approximationen durch die Normalverteilung Der Zentrale Grenzwertsatz Der Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes Die Genauigkeit der Normalapproximation Anwendungen der Normalapproximation Die approximative Verteilung der Stichprobenquantile Funktionen asymptotisch normalverteilter Größen Auftreten von Normalverteilungen in der Wirklichkeit Charakterisierung der Normalverteilung Der Zentrale Grenzwertsatz im Unterricht Bedingte Wahrscheinlichkeit Der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten für zweidimensionale Zufallsvariable 196

4 Inhaltsverzeichnis XI 9.3 Erwartungswerte bedingter Verteilungen Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit Bedingte Unabhängigkeit Das Borel'sche Paradoxon Gekoppelte Zufallsexperimente und Misch Verteilungen Beispiele für gekoppelte Zufallsexperimente und Misch Verteilungen Die Bayes'sche Regel Beispiele zur Bayes'schen Regel Lebensdauer-Verteilungen Sterbetafeln; Abgangsordnungen Sterbewahrscheinlichkeiten; Ausfallraten Die Lebensdauer von Aggregaten Die Poisson-Verteilung Charakterisierung der Poisson-Verteilung durch die bedingte Unabhängigkeit Charakterisierung der Poisson-Verteilung mit Hilfe der Reproduktivität Approximation der Binomial-Verteilung durch die Poisson-Verteilung Darstellung der Verteilungsfunktion der Poisson- Verteilung Der Zusammenhang zwischen Poisson-Verteilung und Exponentialverteilung Die Verteilung von Extremwerten Einleitung Die asymptotische Verteilung von Maxima und Minima Beweis von Satz Die Bestimmung der Grenzverteilung Spannweite und Stichproben-Mitte Rekorde Einige Grundprobleme der Mathematischen Statistik Einleitung Das Schätzen Konfidenz-Intervalle 295

5 XII Inhaltsverzeichnis 13.4 Ein Beispiel Testen von Hypothesen 300 M. Anhang: Maßtheorie 307 M.l Mengensysteme 307 M.2 Meßbare Funktionen 309 M.3 Das Lebesgue'sche Integral 312 M.4 Eindeutigkeit und Fortsetzung von Maßen 314 M.5 Produkte abzählbar vieler Wahrscheinlichkeits-Maße 316 M.6 Stochastische Konvergenz von Funktionen 317 M.7 Konvergenz von Maßen 319 M.8 Konvergenz von Integralen 324 H. Anhang: Hilfsresultate 329 Literaturverzeichnis 335 Symbolverzeichnis 341 Namenverzeichnis 343 Sachverzeichnis 345

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