Vorwort: Farbe statt Formeln 7

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2 Inhaltsverzeichnis Vorwort: Farbe statt Formeln 7 1 Die Grundlagen Vom Geodreieck zum Axiomensystem Erste Folgerungen aus den Axiomen Winkel Das Dreieck Zentrale Sätze Strecken- und Winkelhalbierung Ein weiterer Kongruenzsatz Die Dreiecksungleichung Lote und Parallelen Rechte Winkel und Lote Rechte Winkel und Nebenwinkel Einige Folgerungen aus dem Parallelenaxiom Zum Flächeninhalt Vierecke Flächengleichheit Die Satzgruppe des Pythagoras Flächenmessung Ähnlichkeit Verhältnisse Die Strahlensätze Ähnliche Dreiecke Die Sätze von Pappos und Desargues Rund um den Kreis Kreis und Gerade Kreis und Kreis Kreis und Dreieck Das Sehnenviereck

3 6 Inhaltsverzeichnis 7 Existenz und Konstruktion Existenzfragen Flächenverwandlungen Konstruktion regelmäßiger Vielecke Einige Rosinen der Dreiecksgeometrie Miquel-Punkte und Miquel-Dreiecke Der Brocard-Punkt Die Euler-Gerade Der Feuerbach-Kreis Der Fermat-Punkt Literaturverzeichnis 148 Index 150

4 3 Lote und Parallelen 3.1 Rechte Winkel und Lote Eine Sorte von Winkeln spielt eine besondere Rolle: die rechten Winkel. Ohne Winkelmesser kann man sie wie folgt definieren: Ein Winkel, der zu einem Nebenwinkel kongruent ist, heißt ein rechter Winkel oder kurz ein Rechter. (Man beachte, dass nach Satz 1.21 (i) die beiden Nebenwinkel eines Winkels kongruent sind.) Wesentlich für rechte Winkel ist der Satz 3.1 Je zwei rechte Winkel sind kongruent. Zum Beweis gehen wir aus von zwei rechten Winkeln ASB und A S B sowie einem Punkt C auf der Halbgeraden SA (siehe Abbildung 3.1). Nach Axiom (IV/2) gibt es genau einen zu A S B kongruenten Winkel ASD derart, dass D in derselben von der Geraden AS berandeten Halbebene liegt wie B. Da jede Bewegung, die A S B auf ASD abbildet, die zu A S B kongruenten Nebenwinkel von A S B auf die Nebenwinkel von ASD abbildet, sind dann die Winkel ASD und CSD kongruent. Liegt D auf SB, ist die Kongruenz der beiden rechten Winkel gezeigt. Andernfalls liegt D im Inneren von ASB oder im Inneren des Winkel CSB, der als Nebenwinkel eines rechten Winkels ebenfalls ein Rechter ist. Im ersten Fall (der in Abbildung 3.1 zu sehen ist) ist CSB kleiner als CSD und ASD kleiner als ASB. Da CSD und ASD kongruent sind, ist also nach Satz 1.18 (ii) der Winkel CSB kleiner als ASB. Nach Satz 1.18 (i) sind solche Winkel nicht kongruent und daher im Widerspruch zur Voraussetzung keine Rechten. Der zweite Fall geht analog. B D C S A Abbildung 3.1: Zur Kongruenz rechter Winkel Winkel, die kleiner sind als ein Rechter, nennen wir wie üblich spitz, solche, die größer sind, stumpf. Ein Nebenwinkel eines spitzen Winkels ist ein stumpfer

5 3.1 Rechte Winkel und Lote 55 Winkel (und umgekehrt). Ein rechter Winkel wird künftig wie in Abbildung 3.2 gezeigt (und aus der Schule bekannt) gekennzeichnet. Die Gerade AS heißt Lot der Geraden BS im Punkt S (und umgekehrt). S ist der zugehörige Lotfußpunkt. Ist ASB ein rechter Winkel, so sind nach Definition auch seine Nebenwinkel sowie nach Satz 1.21 (iii) sein Scheitelwinkel Rechte. Alle von den Geraden AS und BS gebildeten Winkel sind also in diesem Fall Rechte. B S A Abbildung 3.2: Lot und Lotfußpunkt Satz 3.1 hilft uns beim Beweis der beiden nächsten Sätze, in denen es um die Existenz und Eindeutigkeit von Loten geht. Satz 3.2 In jedem Punkt P einer Geraden g gibt es genau ein Lot l von g. I,11 Es genügt zu zeigen, dass es mindestens ein Lot gibt. Die Eindeutigkeit folgt dann aus Satz 3.1 wegen der durch Axiom (IV/2) garantierten Eindeutigkeit der Winkelabtragung. Wir wählen dazu auf g zwei (verschiedene) Punkte A und B, dievonp denselben Abstand besitzen, sowie einen beliebigen, nicht auf g liegenden Punkt C (siehe Abbildung 3.3). Ist PC ein Lot von g, sind wir fertig. Andernfalls sei BPC der D M C A P B g Abbildung 3.3: Zur Existenz eines Lotes kleinere der beiden Nebenwinkel AP C und BPC. Nun bilden wir den Winkel BPC so auf den eindeutig bestimmten kongruenten Winkel AP D in derselben von g berandeten Halbebene ab, dass B auf A und C auf D fällt (siehe Satz 1.13). Da AP D kleiner als AP C ist, liegt D im Inneren dieses Winkels und ist damit von C verschieden. Die Strecke CD besitzt nach Satz 2.6 einen eindeutigen Mittelpunkt M. Die Dreiecke ΔP CM und ΔP DM sind nach sss kongruent. Daher sind die Winkel MP C und MP D kongruent und ebenso die Winkel AP M

6 56 3 Lote und Parallelen und BPM als Summen kongruenter Winkel. Also ist die Gerade PM ein Lot von g. I,12 Satz 3.3 Zu jedem Punkt P, der nicht auf der Geraden g liegt, gibt es genau ein Lot von g durch P. Wir zeigen zunächst die Existenz eines Lotes und wählen dazu auf g einen Punkt A. Ist die Gerade PA ein Lot, so sind wir fertig. Andernfalls wählen wir einen weiteren Punkt B auf g und bilden den Winkel BAP so auf den kongruenten Winkel BAP in der anderen von g berandeten Halbebene ab, dass P auf P fällt (siehe Abbildung 3.4). Ist C der Schnittpunkt der Strecke PP mit der Geraden P A C D B g P Abbildung 3.4: Lot auf eine Gerade g, so sind die Dreiecke ΔACP und ΔACP nach sws kongruent. Daher sind die Nebenwinkel ACP und ACP kongruent, weshalb der Winkel ACP ein Rechter ist. (Man überzeuge sich davon, dass die Argumentation wegen Satz 1.21 (ii) auch für einen stumpfen Winkel BAP korrekt ist.) Bleibt zu zeigen, dass CP das einzige Lot von g durch P ist. Wir nehmen dazu an, dass es einen von C verschiedenen Punkt D auf g gibt, der ein weiteres Lot PD liefert, und betrachten das gelbe Dreieck ΔDCP. Dieses besitzt bei C einen rechten Innenwinkel und bei D einen rechten Außenwinkel. Dieses ist nach Satz 2.9 und Satz 3.1 nicht möglich. Also war unsere Annahme falsch, weshalb kein weiteres Lot existieren kann. 3.2 Rechte Winkel und Nebenwinkel Die von einer Geraden und einem ihrer Lote gebildeten vier rechten Winkel (siehe Abbildung 3.2) zeigen, dass man den Hilfssatz 1.20 wie folgt präzisieren kann. Satz 3.4 (i) Benachbarte Winkel, deren Randschenkel komplementäre Halbgeraden sind, summieren sich zu zwei Rechten. (ii) Benachbarte Winkel, deren Randschenkel zusammenfallen, summieren sich zu vier Rechten.

7 3.2 Rechte Winkel und Nebenwinkel 57 Aus Satz 3.4 (i) folgt insbesondere der für das Folgende wesentliche Satz 3.5 Winkel und Nebenwinkel summieren sich zu zwei Rechten. I,13 Da Bewegungen nach Satz 1.11 (ii) Geraden auf Geraden abbilden, lässt sich Satz 3.4 (i) bzw. Satz 3.5 umkehren: Satz 3.6 (i) Summieren sich benachbarte Winkel zu zwei Rechten, so sind die Randschenkel komplementäre Halbgeraden. (ii) Summieren sich zwei benachbarte Winkel zu zwei Rechten, so sind sie Neben- I,14 winkel. Einen ersten Schritt hin zur Winkelsumme im Dreieck geht der Satz 3.7 In einem Dreieck ist die Summe von zwei Winkeln stets kleiner als zwei I,17 Rechte. C A B Abbildung 3.5: Winkel im Dreieck Wir zeigen, dass in einem Dreieck ΔABC die Innenwinkel bei A und B zusammen kleiner als zwei Rechte sind, und betrachten dazu in Abbildung 3.5 den roten Außenwinkel. Nach Satz 3.5 summiert sich dieser mit dem Innenwinkel bei A zu zwei Rechten. Andererseits ist er nach Satz 2.9 größer als der Innenwinkel bei B. Daher sind die Innenwinkel bei A und B zusammen kleiner als zwei Rechte. P Q F g Abbildung 3.6: Abstand eines Punktes von einer Geraden Wir betrachten nun eine Gerade g, einen nicht auf g liegenden Punkt P sowie das Lot von P auf g (siehe Abbildung 3.6). Ist F der Fußpunkt dieses Lotes und Q ein beliebiger von F verschiedener Punkt der Geraden g, so besitzt das Dreieck ΔQF P bei F einen rechten Winkel. Da nach Satz 3.7 ein rechter Winkel stets der größte Dreieckswinkel ist und nach Satz 2.11 der größeren Seite stets der größere Winkel gegenüberliegt, ist in diesem Dreieck die Seite PQ größer als die Seite PF. Dies zeigt den

8 58 3 Lote und Parallelen Satz 3.8 Liegt der Punkt P nicht auf der Geraden g und ist F der Fußpunkt des Lotes von P auf g, so hat unter allen Punkten der Geraden g genau der Punkt F den kleinsten Abstand von P. Man nennt die Länge der Strecke PF den Abstand des Punktes P von der Geraden g. Wir verwenden diesen Abstand, um die Höhe eines Dreiecks zu definieren. Trifft in einem Dreieck ΔABC das Lot von C auf die Gerade AB diese im Punkt F (siehe Abbildung 3.7), so heißt der Abstand des Punktes C von der Geraden AB, also die (Länge der) Strecke CF, diehöhe des Dreiecks auf die Grundlinie AB bzw. durch die Ecke C. Man beachte, dass der Höhenfußpunkt F nicht notwendig auf der Dreiecksseite AB liegt. C C A F B A B F Abbildung 3.7: Höhe eines Dreiecks Nach Satz 2.6 besitzt jede Strecke genau einen Mittelpunkt und in diesem nach Satz 3.2 genau ein Lot. Dieses Lot heißt die Mittelsenkrechte der Strecke oder falls die Strecke Seite eines Dreiecks ist des entsprechenden Dreiecks. Die Mittelsenkrechte gestattet folgende Kennzeichnung. Satz 3.9 Genau die Punkte der Mittelsenkrechten einer Strecke haben von deren Endpunkten denselben Abstand. (a) P (b) P A M B A M B Abbildung 3.8: Mittelsenkrechte Wir gehen aus von einer Strecke AB und ihrem Mittelpunkt M. Ist der Punkt P gleich weit von A und B entfernt (siehe Abbildung 3.8 (a)), so sind die Dreiecke ΔAMP und ΔBMP nach sss kongruent. Also stimmen die Innenwinkel bei M überein. Da sich diese Winkel als Nebenwinkel nach Satz 3.5 zu zwei Rechten summieren, ist jeder ein Rechter. Die Gerade MP ist also die Mittelsenkrechte der Strecke AB. Liegt umgekehrt P auf der Mittelsenkrechten von AB (siehe Abbildung 3.8 (b)), so sind die Dreiecke ΔAMP und ΔBMP nach sws kongruent. Somit sind die Strecken AP und BP gleich lang.

9 Index Abstand eines Punktes von einer Geraden, 58 paralleler Geraden, 68 zweier Punkte, 13 ähnlich, 91 Anfangspunkt, 16 anliegend, 42 Außenwinkel, 42 Außenwinkelsatz, 61 außerhalb, 97 Axiomensystem, 23 Basis, 45 Basiswinkel, 45 benachbart Ecken, 63 Winkel, 37 berandet, 19 Berührpunkt, 98 Bewegung, 20 Brocard-Punkt, 138 Diagonale, 63 Dreieck, 29, 41 gleichschenkliges, 45 gleichseitiges, 45 rechtwinkliges, 77 Dreiecksungleichung, 52 Durchmesser, 98 Ecke eines Dreiecks, 29 eines Vierecks, 63 Endpunkt, 15 ergänzungsgleich, 69 Euler-Gerade, 140 Fahnensatz, 32 Fermat-Punkt, 146 Feuerbach-Kreis, 144 flächengleich, 69 Flächeninhalt, 68 gegenüberliegend, 42, 63, 64 Gerade, 11 gleichgerichtet, 28 goldener Schnitt, 128 Grundlinie eines Dreiecks, 58 eines Parallelogramms, 68 Halbebene, 19 Halbgerade, 16 Höhe eines Dreiecks, 58 eines Parallelogramms, 68 Höhenfußpunkt, 58 Höhenfußpunktsdreieck, 142 Höhensatz, 78 Hypotenuse, 77 Hypotenusenabschnitt, 77 Inkreis eines Dreiecks, 105 Innenwinkel eines Dreiecks, 41 eines Vielecks, 64 eines Vierecks, 64 innerer Punkt, 15 Inneres eines Dreiecks, 29 eines konvexen Vierecks, 64 eines Kreises, 97 eines Winkels, 33 Kathete, 77 Kathetensatz, 78

10 Index 151 komplementäre Halbebenen, 19 Halbgeraden, 16 Kreisbögen, 98 kongruent, 20 Konstruktionen flächengleiches Quadrat, 125 flächengleiches Rechteck, 123, 124 regelmäßiges Fünfeck, 131 regelmäßiges Fünfzehneck, 134 regelmäßiges Sechseck, 133 konvex, 26 Kreis, 97 Kreisbogen, 98 Länge, 15 Lot, 55 Lotfußpunkt, 55 Miquel-Dreieck, 136 Miquel-Punkt, 136 Mittelpunkt einer Strecke, 47 eines Kreises, 97 Mittelpunktswinkel, 108 Mittelpunktswinkelsatz, 108 Mittelsenkrechte, 58 Nebenwinkel, 41 parallel, 12 Parallelogramm, 66 Polygon, siehe Vieleck pons asinorum, 45 Punkt, 11 innerer, 15 Quadrat, 67 Radius, 97 Randschenkel, 37 Rechteck, 67 Rechter, 54 Satz des Pythagoras, 78 des Thales, 104 von Desargues, 96 von Pappos, 95 von Pasch, 29 Scheitel, 19 Scheitelwinkel, 41 Schenkel, 19, 45 schneiden, 12, 18 Schwerpunkt, 94 Sehne, 98 Sehnensatz, 114 Sehnen-Tangenten-Winkel, 110 Sehnen-Tangenten-Winkel-Satz, 110 Sehnenviereck, 107 Seite eines Dreiecks, 29 eines Vierecks, 63 Seitenhalbierende, 94 Sekante, 98 Sekantensatz, 117 spitz, 54 sss, 45 stetige Teilung, 128 Strahlensatz erster, 89 zweiter, 89 Strecke, 15 größer, 15 kleiner, 15 Stufenwinkel, 43 stumpf, 54 sws, 44 sww, 50 Tangente, 98 Tangentensatz, 117 Thaleskreis, 105 Trapez, 66 Umfangswinkel, 108 Umfangswinkelsatz, 109 Umkreis eines Dreiecks, 105 eines Vielecks, 107

11 152 Index Verbindungsgerade, 12 Verbindungsstrecke, 15 Verhältnis, 82 Vieleck, 63 konvexes, 64 regelmäßiges, 128 Viereck, 63 konvexes, 63 Wechselwinkel, 43 Winkel, 19, 41 benachbarte, 37 Differenz, 38 größerer, 35 kleinerer, 35 rechter, 54 spitzer, 54 stumpfer, 54 Summe, 38 Winkelhalbierende, 48 wsw, 44 zerlegungsgleich, 68 zwischen, 14

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