Kursthemen 5. Sitzung. Lagemaße

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1 Kurstheme 5. Sitzug Folie I Lagemaße A) Arithmetisches Mittel (AM), Media ud Modus (Folie 2 bis 8) A) Arithmetisches Mittel (AM), Media ud Modus (Folie 2 bis 8) B) Der Additiossatz für AM (Folie 9 bis ) B) Der Additiossatz für AM (Folie 9 bis ) C) Berechug des AM aus der Klassetabelle (Folie 2 bis 3) C) Berechug des AM aus der Klassetabelle (Folie 2 bis 3) D) Trasformatiossätze für das AM (Folie 4) D) Trasformatiossätze für das AM (Folie 4) E) Geometrisches Mittel, Harmoisches Mittel (Folie 5 bis 20) E) Geometrisches Mittel, Harmoisches Mittel (Folie 5 bis 20) F) Getrimmte ud Wisorisierte Mittelwerte (Folie 2 bis 22) F) Getrimmte ud Wisorisierte Mittelwerte (Folie 2 bis 22)

2 Uivariate Statistik Lagemaße - I (measures of locatio, shift) Folie I Lagemaße = Lokatiosmaße = Zetralitätsmaße = Mittelwerte Lagemaße = Lokatiosmaße = Zetralitätsmaße = Mittelwerte Es sei,..., eie Stichprobe x x Name Arithmetisches Mittel (AM, AM(X), Durchschitt ) Defiitio x : = xi i= Media (Zetralwert, 50%-Pukt, 50%-Quatil) x + 2 x : = x + x we ugerade we gerade Modus (Modalwert, häufigster Wert, dichtester Wert) o o * * x, x = xi mit x = max ( ) i

3 Aufgabe zur Defiitio des Arithmetische Mittels Folie I Es sei x,..., x eie Stichprobe Für welche Zahl a gilt: ( x a) i= i = 0?

4 Aufgabe zu de Lagemaße Folie I Studetie wiese folgede Budget-Bedarfswerte (i ) auf : a) Bereche Sie das Arithmetische Mittel! b) Bereche Sie de Media! c) Bereche Sie de Modalwert!

5 Aufgabe zur Iterpretatio vo Lagemaße Folie I Bei 62 Studetie ud Studete wurde die moatliche Budget-Bedarfswerte (i ) ermittelt. Die folgede Lagemaße wurde berechet: Das Arithmetische Mittel betrug 035,- Der Media 950,- Der Modalwert 500,-. a) Iterpretiere Sie die Maße ihaltlich. b) Erkläre Sie, warum sich die Maßzahle uterscheide. c) Welche Maßzahl halte Sie für die beste zur Charakterisierug der mittlere Tedez i der Stichprobe?

6 Histogramm zur Klassetabelle des Merkmals Budget-Bedarf Folie I Empirische Dichte 0,000 0,0008 0,0006 0,0004 Media AM Modus 0, Moatl. Budget-Bedarf

7 Eigeschafte vo Lagemaße Folie I Lagemaß defiierbar für sivoll für ausreißerempfidlich? x quatitative Sk. mid. Itervallsk. ja x quatitative Sk. mid. Ordialsk. ei Modus alle Skale diskrete Skale ja Achtug: Verschiedee Lagemaße habe im allgemeie eie uterschiedliche ihaltliche Bedeutug!

8 Folie I Vereifachte Berechug des arithmetische Mittels bei diskrete Date aus der Häufigkeitstabelle Berechug des AM aus de Eizelwerte: x = xi i= Vereifachug: x k = j x j j= wobei k die Azahl der Merkmalsauspräguge ist

9 Der Additiossatz Folie I Eie Stichprobe (ei Kollektiv) möge aus k Teilstichprobe (Teilkollektive) vom Umfag,,..., bestehe. 2 Gesamtstichprobeumfag = = Ferer sei x das arithmetische Mittel der Gesamtstichprobe ud x mit j =,2,..., k die arithmetische Mittel der k Teilstichprobe. j k k j= j Da gilt: x = x = x k k j j j j j= j= (Additiossatz für arithmetische Mittel)

10 Beispielaufgabe zum Additiossatz Folie I Studetie wiese eie mittlere Budget-Bedarf vo 388,89 auf. 53 Studete wiese eie mittlere Budget-Bedarf vo 974,53 auf. Welche mittlere Budgetbedarf wies die Gesamtgruppe auf?

11 Folie I Aufgabe zum Additiossatz: Durchschittliche Körpergröße der Studete Eie Gruppe vo 67 Studete war im Mittel 8,64 cm groß. Die 57 mäliche Gruppemitglieder ware im Mittel 82,58 cm groß. Wie groß ware die Fraue i dieser Gruppe im Mittel?

12 Berechug des arithmetische Mittels aus der Klassetabelle /2 Folie I Idee: Ersetze die ubekate x,..., x durch die Klassemitte x j * der Klasse, i der sie jeweils zu fide sid, ud bereche die gewüschte Maßzahl approximativ aus dieser küstliche diskrete Stichprobe. x Resultat: k = appr j x j j=

13 Berechug des arithmetische Mittels aus der Klassetabelle 2/2 Folie I x Resultat: k = appr j x j j= Iterpretatio: Das Resultat ergibt sich aus dem Additiossatz, we der Mittelwert i eier Klasse gleich der Klassemitte ist. Folge: Das Gesamtmittel ist um so stärker verfälscht, je stärker sich i de eizele Klasse das arithmetische Mittel vom Klassemittelpukt etfert.

14 Trasformatiossätze Folie I Maß Arithmetisches Mittel Trasformatio y = b x y = x + a y = b x + a i i i y = b x y = x + a y = b x + a i i i Beispiele Währugsumrechug vo Euro i DM : y = x Berücksichtigug vo fixe Koste a=fixe Koste Temperaturumrechug vo C i F: y =.8. x + 32

15 Uivariate Statistik Lagemaße - II (measures of locatio, shift) Folie I Lagemaße = Lokatiosmaße = Zetralitätsmaße = Mittelwerte) Lagemaße = Lokatiosmaße = Zetralitätsmaße = Mittelwerte) Es sei x,..., x eie Stichprobe Name Defiitio Geometrisches Mittel GM ( x) = (GM, GM(x)) i= x i

16 Beispielsaufgabe zum Geometrisches Mittel: Die Durchschittsredite des DAX Folie I ,7 47, 39, 28,2 2,9 7,0 7,7 4,5 % -2, -7, -2, GM = ( 0,29) ( + 0,29)... ( + 0,39) = 3,887 =,45 Das bedeutet, die durchschittliche Redite betrug,45 - = 0,45, also 4,5 %

17 Folie I Lösug zur Aufgabe zum Geometrisches Mittel: Die Durchschittsredite des DAX 2,9 46,7 7,0 28,2 47, 7,7 39, -2, -7, -2, Falsch ist i diesem Fall die Verwedug des arithmetische Mittels: AM = ( 2,9 + 2, ,) = 6,76 0

18 Aufgabe zur Berechug durchschittlicher Wachstumsrate Folie I Die Verschuldug der öffetliche Haushalte i der BRD betrug: (Vgl. Schlittge, S. 26) Jahr Versch. i Mio DM DM DM DM DM DM DM Bereche Sie die durchschittliche Wachstumsrate der Verschuldug der öffetliche Haushalte i der BRD vo 982 bis 988!

19 Uivariate Statistik Lagemaße - III (measures of locatio, shift) Folie I Lagemaße = Lokatiosmaße = Zetralitätsmaße = Mittelwerte) Lagemaße = Lokatiosmaße = Zetralitätsmaße = Mittelwerte) Es sei x,..., x eie Stichprobe Name Defiitio Harmoisches Mittel (HM, HM(x)) = = i i= HM ( x) x x i= i

20 Beispielaufgabe: Berechug eier Durchschittsgeschwidigkeit Folie I Ei Autofahrer fährt jede Tag die gleiche Strecke vo s = 0 km zur Arbeit. Am Ede eier Woche ( = 5 Tage) hat er die folgede Zeite (t (t i ) i ud Durchschitts-Geschwidigkeite (d i ) i erzielt: i Wochetag t i [Mi.] d i [km/h] Motag 20 30,0 2 Diestag 4 42,9 3 Mittwoch 6 37,5 4 Doerstag 8 33,3 5 Freitag 28 2,4 Wie hoch war die durchschittliche Geschwidigkeit? Wie hoch war die durchschittliche Geschwidigkeit?

21 Lösug der Beispielsaufgabe zum Harmoische Mittel /2: i Wochetag t i [Mi.] d i [km/h] Motag 20 30,0 2 Diestag 4 42,9 3 Mittwoch 6 37,5 4 Doerstag 8 33,3 5 Freitag 28 2,4 Folie I Die Gesamtzeit betrug: i= t i = 96 Miute Damit betrug die Durchschittsgeschwidigkeit über die gaze Woche: s i= t i = 3,3 km/h

22 Lösug der Beispielsaufgabe zum Harmoische Mittel 2/2: i Wochetag t i [Mi.] d i [km/h] Motag 20 30,0 2 Diestag 4 42,9 3 Mittwoch 6 37,5 4 Doerstag 8 33,3 5 Freitag 28 2,4 Folie I Wie ka ma diese Woche-Durchschittsgeschwidigkeit aus de tägliche Durchschittsgeschwidigkeite bereche? Lösug: Berechug des harmoische Mittels der tägliche Durchschittsgeschwidigkeite: s s = = s t d i i= i= di i= i

23 Aufgabe : Der Doktorad fährt ach Berli I / III Folie I Ei Doktorad im Bereich Statistik aus Hamburg möchte seie Professor besuche, der i Berli lebt. Auf der Autobah kommt es immer wieder zu stockedem Verkehr. Der Doktorad lagweilt sich. Er merkt sich daher über bestimmte Strecke, wie schell er fährt. Es ergebe sich folgede Date: Er fährt zuächst 0km durch eie Baustelle mit 60 km/h, da 0 km mit 00 km/h ud da kommt er i eie Stau ud fährt 0km mit ur 30 km/h. Der Doktorad berechet für die gefahree 30 km seie Durchschittsgeschwidigkeit. Auf welches Ergebis ist der Doktorad gekomme, we Sie uterstelle, dass er promotioswürdig ist?

24 Aufgabe : Der Doktorad fährt ach Berli II / III Folie I Der Doktorad fährt weiter. Er lagweilt sich immer och ud erhebt daher weiter Date. Diesmal erhält er folgede Date: Er fährt eie halbe Stude mit eier Geschwidigkeit vo 60 km/h, eie weitere halbe Stude mit 00 km/h ud och eie halbe Stude mit 30 km/h. Der Doktorad berechet für die gefahree,5 Stude seie mittlere Geschwidigkeit. Auf welches Ergebis ist der Doktorad gekomme, we Sie uterstelle, dass er promotioswürdig ist?

25 Aufgabe : Der Doktorad fährt ach Berli III / III Folie I Der Doktorad lagweilt sich immer och ud erhebt ereut Fahr-Date. Diesmal ergebe sich folgede Date: Er fährt 0km mit 60 km/h, 5km mit 00km/h ud 2km mit 30 km/h. Der Doktorad berechet für die gefahree Strecke seie Durchschittsgeschwidigkeit. Auf welches Ergebis ist der Doktorad gekomme, we Sie uterstelle, dass er promotioswürdig ist?

26 Beispiel zum Getrimmte Mittelwert: Budget-Bedarf der Fraue Folie I Studetie wiese folgede Budget-Bedarfswerte (i ) auf (aufsteiged geordet): Trimmt ma diese Stichprobe liks ud rechts um 5%, also um 0,5 mal 9 =,35, abgerudet Wert, so verbleibt die sog. 5%-getrimmte Stichprobe : Dere arithmetisches Mittel heißt: 5%-getrimmtes arithmetisches Mittel (i diesem Fall: 328,57) Zum Vergleich: das arithmetische Mittel der gesamte Stichprobe beträgt 389

27 Beispiel zum Wisorisierte Mittelwert: Budget-Bedarf der Fraue Folie I Studetie wiese folgede Budget-Bedarfswerte (i ) auf (aufsteiged geordet): Wisorisiert ma diese Stichprobe liks ud rechts um 5%, also um 0,5 mal 9 =,35, abgerudet Wert, so verbleibt die sog. 5%-wisorisierte Stichprobe : Dere arithmetisches Mittel heißt: 5%-wisorisiertes arithmetisches Mittel (i diesem Fall: 300) Zum Vergleich: das arithmetische Mittel der gesamte Stichprobe beträgt 389,-