Teil 2a: Schwarzes Loch

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1 Teil 2a: Schwarzes Loch 2.1 Kraft und Arbeit, potenzielle und Bewegungsenergie Kraft: Abhängigkeit von Masse und a Wovon hängt eine Kraft ab? Schauen wir ein Beispiel an. Was kann man leichter schieben, ein Fahrrad oder ein Auto? Offenbar das Fahrrad. Das Fahrrad hat eine kleinere Masse. Also die Kraft, die man auf ein Objekt ausübt, ist von der Masse des Objektes Abhängig. Je größer die Masse, desto größer die Kraft. Wovon hängt die Kraft noch ab? Von der Beschleunigung. Wenn ich ein Fahrrad abrupt bremsen will, dann muss ich kräftig die Bremsen ziehen. Dann stoppt das Fahrrad schneller. Das aber bedeutet eine größere (negative) Beschleunigung. Die Formel für die Beschleunigung ist Δ v a=, also je weniger die Zeit desto größer Δ t die Beschleunigung. Wenn ich also schnell bremse, dann ist die Beschleunigung aber auch die Kraft größer. Je größer die Beschleunigung, desto größer die Kraft. Wir können daher in eine Formel schreiben: Kraft (F) ist Masse (m) mal Beschleunigung (a) F = m a Die SI Einheit für die Kraft ist 1 N (Newton) Arbeit Als Arbeit definiert man in Physik das Produkt aus Kraft und Weg. Arbeit ist der einzige Weg, Energie zu definieren. Es macht schon irgendwie Sinn zu sagen: wenn ich ein leichteres Objekt für einen bestimmten Weg trage, dann verbrauche ich weniger Energie (und daher Arbeit), weil ich weniger Kraft ausübe. Also je größer die Kraft, desto größer die Energie. Wenn ich das Objekt für einen längeren Weg trage, dann verbrauche ich wieder mehr Energie (und Arbeit). Also je länger der Weg, desto mehr die Arbeit. Daher kann ich schreiben. Arbeit ist Kraft mal Weg (mal Kosinus des Winkels zwischen Kraft und Weg) W =F s c o sα W: Arbeit, s: zurückgelegte Strecke, α: Winkel zwischen Kraft (F) und Strecke (s) Die Arbeit ist also Null, wenn ich keine Kraft ausübe oder wenn ich keine Strecke zurücklege (die Wand schiebe) oder wenn die Kraft senkrecht zum Weg ist (wie z.b. die Schwerkraft wenn ich gehe, dann ist cos α Null) Potenzielle Energie (in der Nähe der Erdoberfläche) Potenziell bedeutet möglich. Potenziell ist die Energie, die ein Körper möglichst abgeben kann, wegen seiner Lage. Das wird klarer beim freien Fall (2.2). Die Formel für die potenzielle Energie ist: E P =m g H EP: Potenzielle Energie (in der Nähe der Erdoberfläche), m: Masse, g: Fallbeschleunigung ( 10 m/s 2 ), H: Höhe (Abstand vom Boden, vom Bezugspunkt) Bewegungsenergie Bewegungsenergie (kinetische Energie) ist die Energie, die ein Körper hat, wegen seiner Bewegung. Die Formel dafür ist: E K = 1 EK: Bewegungsenergie (kinetische Energie), m: Masse, v: Geschwindigkeit 2 m v2

2 2.2 Freier Fall Energieerhaltungssatz Dimensionsanalyse Freier Fall und Energieerhaltungssatz (Energieerhaltungssatz durch den freien Fall mit Hilfe der gleichmäßig beschleunigten Bewegung zeigen) Im freien Fall wird zum Ganzen die potenzielle Energie am Anfang zur Bewegungsenergie am Ende. Die Gesamtenergie (potenzielle + kinetische) am Anfang (EGA: E für Energie, G für gesamt, A für Anfang) ist EGA= EPA + EKA und da die kinetische null ist (null Geschwindigkeit am Anfang: v1=0 ) gilt EGA= EPA = m g H. Am Ende ist die Höhe und daher auch die potenzielle Energie null, also EGE= EPE+EKE = EKE= ½ m v2 2 (EGE, EPE, EKE: großes E für Energie, E im Index für Ende, P im Index für potenzielle und K im Index für kinetische) Weil wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung haben, mit s=h, a=g und v1=0 gilt: s=v1 t + ½ a t 2 also H= ½ g t 2 und a= Δ v Δ t = v v 2 1 also v2 = g t t Wenn man diese Ergebnisse in die Formeln für die Gesamtenergie am Anfang und am Ende einsetzt: EGA= EPA = m g H = m g ½ g t 2 = ½ m g 2 t 2 EGE= EKE= ½ m v2 2 = ½ m (g t) 2 = ½ m g 2 t 2 = EGA Die Gesamtenergie am Ende ist daher so viel wie die Gesamtenergie am Anfang, also die Gesamtenergie bleibt erhalten. Energieerhaltungssatz: Bei einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie erhalten! Dimensionsanalyse: zeigen, dass Arbeit und Energie die gleiche Größe sind Beim letzten Absatz haben wir gezeigt, dass EPA = EKE. Die Arbeit ist: W =F s c o sα Hier ist die Bewegung parallel zur Kraft, also der Winkel ist 0 und daher cos α = 1. Die Formel ist dann: W = F s wobei F die Schwerkraft FG = m g ist und s die Höhe H. Daher W = m g H = EPA = EKE Damit haben wir auch gezeigt, dass Arbeit und Energie beide Skalare mit der gleichen Einheit sind, also es muss die eine und dieselbe Größe sein Unabhängigkeit von der Masse des fallenden Körpers Erinnern wir uns an das einfachste Experiment der Physik. Man lässt ein Blatt Papier und eine Metallkugel gleichzeitig fallen. Von unserer Erfahrung wissen wir, dass die Metallkugel schneller fällt. Man neigt dazu zu sagen, dass ihre Masse (ihr Gewicht ) der Grund ist. Wenn man aber ein Blatt Papier zusammenknüllt, dann fallen Papier und Metallkugel doch gleichzeitig, obwohl sie eine andere Masse haben und dazu, einfaches und zusammengeknülltes Blatt nicht gleichzeitig obwohl sie die gleiche Masse haben. Das kann also nicht von der Masse abhängen. Was bei dem einfachen Blatt die olle spielt, ist doch der Luftwiderstand. Tatsächlich fallen alle Körper im Vakuum gleichzeitig. Das sieht man auch in der Formel für die Endgeschwindigkeit beim freien Fall. Die Endgeschwindigkeit beim freien Fall ist nicht von der Masse des fallenden Körpers abhängig. Was aber doch von der Masse abhängig ist, ist die Bewegungsenergie am Ende: Die Formel hängt tatsächlich von der Masse des fallenden Körpers ab. Ein fallender LKW und ein fallender Kugelschreiber haben am Ende zwar die gleiche Geschwindigkeit aber völlig andere Bewegungsenergien!

3 2.3 Fluchtgeschwindigkeit potenzielle Energie allgemein im Gravitationsfeld In Absatz haben wir die potenzielle Energie in der Nähe der Erdoberfläche definiert: E P =m g H Es ist naheliegend zu denken, dass je weiter von der Erde sich einen Körper befindet, desto weniger der Einfluss der Erde sein wird, also desto kleiner wird die Gravitations-Anziehungskraft sein. Kleinere Kraft bei gleicher Masse bedeutet aber kleiner Fallbeschleunigung (weil F = m g). Das heißt aber dann, dass wir diese Formel für die potenzielle Energie nur in der Nähe der Erdoberfläche benutzen können (wo die Fallbeschleunigung fast konstant ist). Allgemein für die potenzielle Energie E p in einem Gravitationsfeld ist die Formel: E P =G m 2 m 2 G ist die sogenannte Gravitationskonstante: G 6, (in SI Einheiten) m 1, m 2 sind aufeinander wirkende Massen ist der Abstand zwischen den Schwerpunkten (grob gesagt: Mittelpunkten) der Massen Fluchtgeschwindigkeit definieren Je schneller ich einen Körper nach oben werfe, desto höher gelangt es. Immer aber kommt es zurück. Wie groß ist die Geschwindigkeit mit der ich einen Körper nach oben werfen muss, damit er die Erde für immer verlässt? Man kann mathematisch zeigen, dass es so eine Geschwindigkeit gibt. Die Geschwindigkeit, mit der man aus der Oberfläche eines Himmelkörpers (z.b. der Erde) ein Objekt nach oben werfen muss, damit es den Himmelkörper für immer verlässt, nennt man Fluchtgeschwindigkeit Fluchtgeschwindigkeit berechnen Im Absatz haben wir den Energieerhaltungssatz mit Hilfe des freien Falls gezeigt: potenzielle Energie wird zum Ganzen in Bewegungsenergie umgewandelt, wenn die einzige wirkende Kraft,die Gravitationskraft ist. Die Gesamtenergie (Summe der potenzielle und der kinetische) bleibt also erhalten. Um die Fluchtgeschwindigkeit zu berechnen arbeitet man in die Gegenrichtung: wir werfen einen Körper nach oben, also kinetische Energie am Anfang E KA wird am Ende zum Ganzen (wenn keine andere Kraft wirkt) zur potenzielle E PE : E KA = E PE Wir setzen die Formeln für die Energien ein: G m 1 m 2 = 1 2 m 1 v F 2 (umformen) => v F = 2 m 2 G v F : Fluchtgeschwindigkeit G: Gravitationskonstante, m 1 : Masse des fliehenden Körpers, m 2 : Masse des Himmelkörpers (z.b. Erde, Sonne, Mond), : Abstand zwischen den Schwerpunkten (grob gesagt: Mittelpunkten) der beiden Massen Unabhängigkeit von der Masse des fliehenden Körpers Wie man in der Formel sehen kann, hängt die Fluchtgeschwindigkeit v F von der Masse des fliehenden Körpers m 1 NICHT ab! Man könnte sagen, dass das unsere Intuition widerspricht. Ist es nicht merkwürdig, dass ich einen LKW oder einen Kugelschreiber genau mit der gleichen Geschwindigkeit nach oben werfen muss, damit er die Erde für immer verlässt? Etwas ähnliches haben wir auch beim freien Fall gesehen (Absatz 2.2.3) Es gibt aber in beiden Fällen (freiem Fall und Fluchtgeschwindigkeit) doch etwas, das von der Masse

4 des fallenden bzw. fliehenden Körpers abhängt: die Energie. Die Formel für die Bewegungsenergie beinhaltet die Masse des Körpers. Man braucht viel mehr Energie, wenn man ein LKW nach oben wirft (im Vergleich zu einem Kugelschreiber) damit er die Erde für immer verlässt Konkretes Beispiel berechnen (Erde) Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit für die Erde? Man soll einfach die Werte für die Erde in die Formel einsetzen: v F = 2 M G M : Masse der Erde kg : Erdradius 6370 km Man darf NICHT vergessen, dass wir hier SI Einheiten benutzen, also muss der adius in m umgewandelt werden: v F = 2 M G = , , m /s also ca 11,2 km/s 6, Schwarzschildradius Schwarzschildradius definieren In der Formel für die Fluchtgeschwindigkeit (Absatz 2.3.3) kann man sehen, dass, für einen bestimmten adius, die Fluchtgeschwindigkeit desto größer wird, je größer die Masse des Himmelkörpers m 2 ist (obwohl nicht direkt proportional). Logisch ist dann zu denken, dass irgendwann die Fluchtgeschwindigkeit doch größer als die Lichtgeschwindigkeit sein wird. Es gilt also: Bei einem bestimmten Wert von Masse und adius, ist die Fluchtgeschwindigkeit so groß wie die Lichtgeschwindigkeit. Wenn die Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit ist, dann kann nicht mal das Licht dem Himmelkörper entgehen. Einen Himmelkörper mit dieser Eigenschaft nennt man schwarzes Loch. Für eine bestimmte Masse gibt es daher auch einen bestimmten adius, für den die Fluchtgeschwindigkeit so viel wie die Lichtgeschwindigkeit ist. Diesen adius nennt man Schwarzschildradius (nach dem Physiker, der ihn berechnet hat). Wenn eine Masse sich innerhalb einer Kugel befindet, deren adius kleiner als der Schwarzschildradius ist, dann kann nicht mal das Licht dieser Masse entgehen, es entsteht also ein schwarzes Loch. Diesen Satz kann man als Definition des Schwarzschildradius betrachten. Dieser Satz setzt voraus, dass die Masse auf das Licht wirken kann und umgekehrt (Wechselwirkung zwischen Masse und Licht). Einstein war der erste, der eine Theorie entwickelt hat, die so eine Wechselwirkung voraussieht (Allgemeinere elativitätstheorie). Diese Theorie wurde ziemlich bald von Experimenten bestätigt, ein bahnbrechender Moment in der Geschichte der modernen Physik Schwarzschildradius in Abhängigkeit von der Masse berechnen Da der Schwarzschildradius mit der Fluchtgeschwindigkeit zusammenhängt, muss man mit ihrer Formel anfangen, um den Schwarzschildradius zu berechnen. v F = 2 m 2 G Den Schwarzschildradius S rechnet man für die Lichtgeschwindigkeit c als Grenzfluchtgeschwindigkeit. Wir setzen daher c für v F ein. Für die Masse des Himmelskörpers benutzt man oft das Symbol M statt m 2. Wir schreiben also M statt m 2 und formen um:

5 c= 2 M G c 2 = 2 M G S (M )= 2 M G c 2 Schwarzschildradius in Abhängigkeit von der Masse a Konkretes Beispiel berechnen (Sonne) Für jede Masse ist dann der Schwarzschildradius bestimmt, da er in dieser Formel nur von der Masse abhängt. Wenn man z.b. den Schwarzschildradius für die Masse der Sonne M kg berechnen will, setzt man einfach diese Masse in die Formal ein: S = 2 M G = , m c 2 ( ) 2 Man darf hier wieder nicht vergessen, dass die Werte für SI Einheiten eingesetzt werden müssen, also für die Lichtgeschwindigkeit schreibt man dann 3 10 ⁸ m. Im Ergebnis können wir ablesen: Wenn die ganze Masse der Sonne innerhalb einer Kugel mit adius kleiner als ca. 3 km konzentriert wäre, wäre die Sonne ein schwarzes Loch. Der adius der Sonne ist aber in der Tat ca ⁸ m, also viel mehr, daher kann sowohl das Licht, als auch sogar Teilchen der Sonne uns erreichen (und mit Energie versorgen!) Schwarzschildradius in Abhängigkeit von der Dichte berechnen Wenn man in der Literatur über schwarze Löcher liest, bekommt man den Eindruck, dass diese Objekte nur eine ganz große Dichte haben können. Man kann aber die Formel für den Schwarzschildradius entsprechend umformen und feststellen, dass (zumindest theoretisch) ein schwarzes Loch doch eine kleinere Dichte haben kann (sogar so klein wie möglich, wenn sie groß genug ist). Dafür soll man einfach die Formel für die Dichte ρ und die Formel für das Volumen V K einer Kugel benutzen. Da wir jetzt die Masse M eines Himmelskörpers und das Volumen V K einer Kugel mit adius den Schwarzschildradius S meinen, werden wir in der Formel für die Dichte ρ= m (Masse durch V Volumen) statt m M, statt V V K und in der Formel für das Volumen S für den adius benutzen. ρ= M M=ρ V V K V K = 4 π 3 S K 3 M: Masse, V K : Volumen, S : adius der Kugel Setzten wir erst in die Formel für den Schwarzschildradius die hier um M umgeformte Formel für die Dichte und dann die Formel für das Volumen einer Kugel ein: S = 2 M G 2 (ρ V ) G 2 ρ 4 π S 3 = = c 2 c 2 c 2 Nach kurzem Umformen bekommt man 3 G = 8 π G ρ 3 S 3 c 2 S (ρ)= 3 c2 8 π G ρ Schwarzschildradius in Abhängigkeit von der Dichte Die einzige unabhängige Variable hier ist die Dichte. Wie man in der Formel ablesen kann, ist der adius desto größer, je kleiner die Dichte ist (obwohl nicht indirekt proportional). Man könnte sich

6 daher ganz theoretisch ein riesiges schwarzes Loch mit geringerer Dichte vorstellen. In Wirklichkeit gibt es aber Phänomene bei der Entstehung eines schwarzen Loches, die (nach heutigem Stand der Wissenschaft) die Bildung eines so dünnen und riesigen schwarzen Loches nicht erlauben a Konkretes Beispiel berechnen Als Gedankenexperiment könnte man den Schwarzschildradius für einen Körper mit der Dichte des Wassers berechnen. Nochmal muss man hier vorsichtig sein und die SI Einheiten richtig einsetzen. Die Dichte des Wassers ist 1 kg pro Liter (man kann an eine Flasche Wasser denken), also 10³ kg/m³. = 3 c2 S 8 π G ρ = 3 ( ) m 8 π Das Ergebnis ist ca. 1/24000 eines Lichtjahres oder das 50fache eines roten iesen (Phase im Leben eines Sterns), also nicht gerade so viel für astronomische Zusammenhänge! Exkurs: Lichtgeschwindigkeit und Lichtjahr Durch Experimente (z.b. Michelson-Morley Experiment) hat man festgestellt, dass die Lichtgeschwindigkeit eine vom Bezugssystem und von der Bewegung der Quelle unabhängige Konstante ist. Diese Geschwindigkeit wurde ab dem 18. Jahrhundert immer genauer gemessen. Heutzutage wird die Lichtgeschwindigkeit auf m/s ( also ca km/s) festgelegt und benutzt, um das Meter zu definieren. Mit einem Lichtjahr hingegen misst man keine Geschwindigkeit, sondern Entfernungen (Strecken) in der Astronomie (Sternkunde). Das ist einfach die Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Für das Jahr hat man sich vereinbart 365,25 Tage und für den Tag 24 h zu benutzen. (Es gibt verschiedene Definitionen des Jahres mit unterschiedlichen Werten, alle nah zu 365,25 Tage; daher musste man sich auf einen Wert für die Messung des Lichtjahres vereinigen). Ein Jahr hat daher: 365, = s. Ein Lichtjahr (Lj) ist daher: 1 Lj = 3 10 ⁸ , m a Ist das Universum ein schwarzes Loch? Das Universum ist wirklich sehr groß. Nach unseren Berechnungen ist es naheliegend die Frage zu stellen, ob vielleicht das ganze Universum doch ein schwarzes Loch sein könnte. Der für den heutigen Stand der Wissenschaft geltende Wert für die mittlere Dichte des Universums ist ca.: ρ U = 4, kg/m³ Wenn wir diesen Wert in die Formel einsetzen, dann finden wir den Schwarzschildradius für das Universum: = 3 c 2 SU = 3 ( ) m 8 π G ρ U 8 π , Nach den geltenden Theorien kann man das Universum bis zu einem gewissen Abstand beobachten (Ereignishorizont des Weltalls). Dieser liegt bei ca. 16 bis 40 Milliarden Lj. Also ca.: bis ⁹ 9,5 10 1,6 bis m Folgerung: obwohl wir es vielleicht nicht beobachten werden, ist es nicht auszuschließen, dass unseres Universum tatsächlich ein schwarzes Loch ist!

7 Teil 2b: Fallschirmsprung und newtonsche Gesetze 2.5 Luftwiderstand Begriffserklärung, Abhängigkeiten, Formel Wenn der Wind stark weht, kann man kaum stehen. Die Kraft, die uns in diesem Fall schiebt, nennt man Luftwiderstand. Wovon hängt er ab? Sicherlich von der Form des Gegenstands. Das ist auch der Grund, warum man Fahrzeuge aerodynamisch gestaltet und auch der Grund, warum Fallschirme flach oder sogar hohl sind und nicht die Form eine akete haben. Die sogenannte Viskosität spielt auch eine olle. Bei Flugzeuge z.b. sorgt man dafür, dass die Oberfläche völlig glatt und glitschig ist. Wenn sie z.b. Haare hätte, würde das Flugzeug nicht so leicht durch die Luft gleiten, es würde sozusagen kleben. Es macht auch Sinn zu denken, dass die Dichte der Luft eine olle spielt, genau so wie bei Flüssigkeiten. Je dichter das Mittel, desto schwieriger ist es dadurch zu gleiten. Die Fläche spielt auch offenbar eine olle. Deshalb haben Fahrzeuge eine möglichst kleine Fläche in der ichtung der Bewegung, Fallschirme hingegen eine große. Die Geschwindigkeit beeinflusst den Luftwiderstand offenbar auch. Wenn es keinen Wind gibt und wir die Hand ausstrecken, spüren wir keine Kraft. Wenn wir aber schnell laufen, dann spüren wir schon den Widerstand und bei Schifahren noch stärker. Alle diese Beobachtungen über den Luftwiderstand F W kann man in einer Formel zusammenfassen: F W = 1 2 c w ρ A v 2 c w ist ein dimensionsloses Maß (eine Konstante, eine Koeffizient ohne Einheiten, eine reine Zahl) für den Strömungswiderstand des Körpers. Es heißt Widerstandsbeiwert und es zeigt unter anderen, wie stark die Form des Körpers und die Viskosität zum Widerstand beiträgt. (Viskosität: Klebrigkeit, also wie stark die Kräfte zwischen den Molekülen der beiden Mitteln sind) A ist die Querschnittfläche (Schattenfläche) des Körpers ρ ist die Dichte der Luft v ist die Geschwindigkeit (relative Geschwindigkeit zwischen Luft und Körper) Der Luftwiderstand, genauso wie alle Kräfte dieser Kategorie (z.b. eibung), wirkt immer gegen die Bewegung Dimensionsanalyse: Die Einheiten von c w Woher wissen wir, dass c w eine reine Zahl ist? Dafür kann man eine wichtige Methode der Physik benutzen, die Dimensionsanalyse genannt wird. Sie ist auf der logische Tatsache basiert, dass man auf beiden Seiten einer Gleichung die gleichen (Grund-)Einheiten haben muss. Analysieren wir in diesem Sinn die Formel für den Luftwiderstand: F W = 1 2 c w ρ A v 2 Einheiten: Newton = x kg m ³ m² ( m s )² x steht für die noch unbekannten Einheiten von c w. Newton ist keine Grundeinheit. Wie kann ich sie in Grundeinheit ausdrücken? Ich benutze einfach die Formel für die Kraft: F = m a Die Einheit für m ist kg und für a m/s² also F W = 1 2 c w ρ A v 2 Einheiten: kg m kg =x s ² m ³ m ² ( m s )²

8 kg m kg ² =x m ² m s² m ³ s² kg m kg =x s² m ³ m ⁴ s ² kg m s² =x kg m s² Wie man sehen kann, damit wir auf beiden Seiten die gleichen Einheiten haben, darf c w keine Einheit haben, es muss eine reine Zahl sein. Das ist die Vorgangsweise der Dimensionsanalyse! Die Dimensionsanalyse ist ein starkes Instrument der Physik. Sie basiert sich auf die einfache Tatsache, dass auf beide Seiten einer Gleichung es die gleiche Einheiten geben muss. (Meter können nicht gleich Sekunde sein!) 2.6 Die newtonsche Gesetze Issak Newton Newton war einer der größten Wissenschaftler der Welt und hat Ende des 17.- Anfang des 18. Jahrhunderts gelebt. Er war vor allem in den Gebieten der Physik und der Mathematik tätig. In seinem Werk De Motu Corporum vereinte er die Forschungen Galileo Galileis zur Beschleunigung, Johannes Keplers zu den Planetenbewegungen und Descartes zum Trägheitsproblem zu einer dynamischen Theorie der Gravitation und legte die Grundsteine der klassischen Mechanik, indem er die drei Grundgesetze der Bewegung formulierte Erstes Gesetz: Trägheitsprinzip Ist die Gesamtkraft null, so ist die Geschwindigkeit konstant und umgekehrt. ΣF = 0 v: konst. Σ(Sigma) ist eine griechische Buchstabe und wird in Mathematik benutzt, um eine Summe zu bezeichnen. F: Kraft (also bedeutet dann ΣF die Gesamtkraft) Äquivalenz v: Geschwindigkeit a Beispiele Allgemein die Gesetze der Physik sind Idealisierungen. Was das 1. newtonsche Gesetz betrifft: in der Natur kommt eine gleichförmige Bewegung (v: konstant) nie vor! Näherungsweise kann man dieses Gesetz z.b. beim Air- oder Ice-Hockey beobachten (solang der Puck nicht geschlagen wird und kein Hindernis trifft). Bei einem Fallschirmsprung kommt es auch zu einer Situation, in der die Geschwindigkeit mehr oder weniger konstant ist. Das werden wir im Absatz 2.7 analysieren Zweites Gesetz:Aktionsprinzip F = m a F: Kraft, m: Masse, a: Beschleunigung a Beispiele Das die auf ein Objekt ausgeübte Kraft desto größer ist, je größer seine Masse ist, kann man leicht feststellen: Es ist doch viel schwieriger ein LKW mit den Muskeln in Bewegung zu setzen als ein Fahrrad! Genauso leicht ist es festzustellen, dass die Kraft zur Beschleunigung direkt proportional ist. Wenn man mit dem Fahrrad abrupt bremst, braucht man viel mehr Kraft, als wenn man langsam bremst. Schneller bremsen, heißt, dass sich die Geschwindigkeit in weniger Zeit ändert und aus der Definition der Beschleunigung a= Δv folgt, dass die Beschleunigung dann größer ist. Also, je Δt größer die Beschleunigung, desto größer die Kraft und umgekehrt.

9 2.6.3 Drittes Gesetz: Actio-eactio Prinzip Übt ein Körper A eine Kraft auf Körper B aus, dann übt auch B auf A eine Kraft mit gleichem Betrag und in die Gegenrichtung aus a Beispiele Für dieses Gesetz kann man zahlreiche Beispiele finden. Das wichtigste ist hier zu verstehen, dass die eactio ( eaktion ) auf den vorher wirkenden Körper wirkt. Die Erde übt auf einen Mensch eine Kraft aus (Gravitationskraft). Die eaktion ist eine Kraft in die Gegenrichtung und mit gleichem Betrag, die der Mensch auf die Erde übt (wirkendes und beeinflusstes Objekt tauschen ihre olle). Genauso wenn ich eine Kraft auf die Wand übe, übt auch die Wand auf mich eine Kraft usw. 2.7 Fallschirmsprung (Eine Anwendung der newtonschen Gesetze) Fallschirmsprung: Beschreibung Beim Fallschirmsprung gibt es zwei Kräfte. Die Schwerkraft nach unten und der Luftwiderstand nach oben (gegen die Bewegung). Die Schwerkraft bleibt näherungsweise unverändert. Der Luftwiderstand aber nicht. Je größer die Geschwindigkeit, desto größer der Luftwiderstand (Absatz 2.5.1). Wir können also den Vorgang so beschreiben: Ganz am Anfang (null Geschwindigkeit) gibt es keinen Luftwiderstand, also die einzige Kraft ist das Gewicht und daher die Beschleunigung ist gleich der Fallbeschleunigung g der Erde (ca. 10 m/s²). Die Schwerkraft ist F G =m g. Wegen der Gegenwirkung des Luftwiderstands, wird die Beschleunigung immer kleiner, bis sie irgendwann null wird. Null Beschleunigung heißt aber null Kraft (F = m a). Da die Beschleunigung null ist, ist die Geschwindigkeit konstant. Die Bewegung ist am Anfang beschleunigt (aber nicht gleichmäßig, da die Beschleunigung immer kleiner wird) und am Ende gleichförmig Anwendung des 1. newtonschen Gesetzes beim Fallschirmsprung Laut dem 1. newtonschen Gesetz, wenn die Geschwindigkeit konstant ist, muss die Gesamtkraft null sein. Wir wenden dieses Gesetz im Fall des Fallschirmsprungs. Die einzige Kräfte sind die Schwerkraft und der Luftwiderstand und sie wirken gegeneinander, es muss also gelten: F G = F W also m g= 1 2 c w ρ A v 2 Umformen => v= 2 m g c w ρ A Konkrete Beispiele mit konstanter Geschwindigkeit Die Dichte der Luft ist ca. 1,2 kg/m³. Ein Fallschirmspringer wiegt samt Fallschirm 80 kg. I) Wie viel ist sein Endgeschwindigkeit, wenn er: a) Waagerecht ( mit dem Bauch ) fällt? (c w = 1,6 A= 2000 cm²) b) Mit dem Kopf voran fällt? (c w = 0,8 A= 300 cm²) c) Den Fallschirm öffnet? (c w = 2 A= 15 m²) In allen drei Fällen muss einfach die Werte in die Formel einsetzen. Man muss aber vorsichtig mit den Einheiten sein: sie müssen alle SI Einheiten sein. Daher muss die Fläche in Fragen a) und b) umgewandelt werden: 2000 cm² sind doch 0,2 m² und 300 cm² sind 0,03 m². Wenn man das tut, bekommt man die Antworten: a) 64,55 m/s (das Ergebnis ist selbstverständlich auch in SI Einheiten), also 232,34 km/h, b) 235,7 m/s also 848,5 km/h, c) 6,6... m/s also 24 km/h II) Wie viel muss die Dichte der Luft sein, damit dieser Mensch beim Fallen mit dem Kopf voran die Schallgeschwindigkeit ( 1234,8 km/h) erreicht? Hier muss man die Formel anders umformen: m g= 1 2 c w ρ A v 2 also ρ= 2 m g c w v ² A Man muss selbstverständlich auch 1234,8 km/h in 343 m/s umwandeln. Dann bekommt man die Dichte ρ 0,55 kg/m 3, ein bisschen mehr als die Dichte, in der der berühmte Österreicher Baumgartner seine Weltrekord geschafft hat.