Single Source Sortest Path Negative Kreise All-Pair Shortest Path Problem Minimum Mean Cycle Zusammenfassung. Shortest Paths

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1 Shortest Paths Label Correcting Algorithms Florian Reitz Universität Trier Fachbereich IV Fach Informatik Seminar Netzwerkalgorithmen WS 2005/2006

2 Einleitung: Problemübersicht Eben: Schnelle Algorithmen für spezielle Graphen gewichtete Graphen Azyklisch oder Nicht negative Kantenlängen Wünschenswert: Algorithmus für allgemeinen Graphen: Der ist NP Vollständig Hier: ein Mittelweg

3 Einleitung: Was wir wollen Betrachte Netzwerk G=(V,E) Finde kürzesten Weg von Knoten a nach Knoten b falls vorhanden oder Finde einen negativen Kreis im Netzwerk

4 Einleitung: Begriffserklärung G=(V,E), V =n, E =m Negativer Kreis C = max{ c ij : (i, j) E}

5 Gliederung 1 Single Source Sortest Path Optimalitätbedingungen Der generische Label Correcting Algorithmus Die O(mn) Implementierung 2 Negative Kreise 3 All-Pair Shortest Path Problem Repeated Shortest Path Algorithm Floyd-Warshall Algorithm 4 Minimum Mean Cycle

6 Optimalitätbedingungen Abstandsmarken Definition Sei G ein Netzwerk und P ein Pfad in G von s nach t Dann beschreibe d(t) den kürzesten bisher gefundenen Weg von s nach t. c(p) = P c ij mit (i,j) Kante in P Ziel ist: d(t)=inf {c(p) : P Pfad von s nach t} Falls {c(p) : P Pfad von s nach t} =0: d(j) =

7 Optimalitätbedingungen Idee eines Algorithmus Iteriere über das Netzwerk, ändere Abstandmarken bis diese konstant d(j) gibt dann kürzesten Abstand zu Startknoten an Genaueres siehe unten.

8 Optimalitätbedingungen Optimaltitätsbedingung Satz (Dreiecksungleichung) Abstandsmarken d(.) optimal d(j) d(i) + c ij, (i, j) E

9 Optimalitätbedingungen Beweis Beweis. d(.) seien optimal. Annahme: (i, j) E mit c ij + d(i) < d(j) Dann kann d(j) auf c ij + d(i) reduziert werden Widerspruch Sei d(i) + c ij d(j), (i, j) E und P=(j 0,j 1,...,j k 1,j k ) ein Pfad mit j 0 =s und j k = t. Dann gilt: c(p)= 0 i<k c j i j i+1 0 i<k (d(j i+1) d(j i )) = d(j k ) d(j 0 ) = d(t) Damit ist d(t) untere Schranke für einen Weg von s nach t

10 Optimalitätbedingungen Reduzierte Kosten Definition c d ij = c ij + d(i) d(j) Sind die reduzierten Kanten Längen von Kante (i,j) Bemerkung Sei W Kreis: (i,j) W cd ij = (i,j) W c ij d(.) beschreiben kürzesten Pfad c d ij 0

11 Optimalitätbedingungen Negative Kreise Korollar G enthält einen negativen Kreis mindesten ein d(.) verletzt Optimalitätsbedingung Beweis. Sei W ein Kreis in G und d(.) beschreiben die kürzesten Pfade c d ij 0 (i,j) W cd ij 0 (i,j) W c ij 0 Also kann W kein negativer Kreis sein

12 Der generische Label Correcting Algorithmus Der GLC Algorithmus Voraussetzung: Keine negativen Kreise Algorithmus: LCA begin d(s)=0; pred(s) :=0 ; d(j)=inf; für alle Knoten außer s while(d(j) > d(i) + c[i,j] für eine Kante (i,j)) d(j):=d(i)+c[i,j]; pred(j)=i; end;

13 Der generische Label Correcting Algorithmus Beispiel 1 Beispiel

14 Der generische Label Correcting Algorithmus Beispiel 2 Beispiel

15 Der generische Label Correcting Algorithmus Beispiel 3 Beispiel

16 Der generische Label Correcting Algorithmus Endlichkeit und Laufzeit Satz Seien die Kantengewichte ganzzahlig, dann terminiert der Algorithmus in O(min(n 2 mc, m2 n )) Beweis. Es gilt: Cn d(j) Cn für beliebige j V d(j)wird pro Update mind. um 1 reduziert Höchstens 2nC Updates pro Abstandsmarken,also maximal 2n 2 C Updates insgesamt. O(m) zum Finden der Kante Laufzeit von O(n 2 mc) Aber: C kann exponentiell mit der Anzahl der Knoten wachsen Laufzeit von O(2 n m)

17 Der generische Label Correcting Algorithmus Beobachtungen Zeitverbrauch zum Finden einer Kante, die die Optimalitätsbedingungen verletzt: O(m) Nach jeder Änderung einer Marke werden alle Kanten kontrolliert Idee: Phasenweises Absuchen des Netzwerkes nach noch nicht optimalen Marken Keine Veränderung mehr Lösung gefunden

18 Die O(mn) Implementierung O(mn) Implementierung Algorithmus: O(mn); begin d(s)=0; pred(s):=0; d(j)=inf für alle Knoten außer s while( ein d(i) im letzten Durchgang geändert) forall Kanten (i,j) in E if(d(j)>d(i)+c[i,j]) d(j):=d(i)+c[i,j]; pred(j):=i; end;

19 Die O(mn) Implementierung Beispiel Beispiel

20 Die O(mn) Implementierung Lemma Teil 1 Lemma Der Algorithmus durchläuft das Netzwerk maximal n-1 Mal Beweis. Zu zeigen: Nach k Durchläufen wurden die kürzesten Wege zu allen Knoten gefunden die maximal k Kanten von s entfernt sind Induktion über Anzahl der Durchläufe k=1

21 Die O(mn) Implementierung Lemma Teil 2 Beweis. k k+1 Betrachte den Pfad P=(s=i 0,i 1,...,i k,i k+1 =j) mit k+1 Kanten. Annahme: P kürzester Pfad. Es gebe keinen kürzesten Pfad nach j mit weniger Kanten. IV : (i 0,i 1,...,i k ) ist kürzester Pfad nach i k und d(i k ) ist die Länge des Pfades. Betrachte Kante (i k,i k+1 ). d(k+1) wird auf c(p) gesetzt Beh.

22 Die O(mn) Implementierung Laufzeit Satz Die Laufzeit der O(mn) Implementierung ist O(mn) :-) Beweis. Es gibt maximal n-1 Durchläufe. In jedem werden maximal m Kanten untersucht in Zeit O(1) Laufzeit O(mn)

23 Negative Kreise Bisher: negative Kreise ausgeschlossen Erinnerung: Negativer Kreis vorhanden Optimalität immer verletzt Da das Durchlaufen eines negativen Kreises immer zur Verbesserung der d(.) führt: d(i) Für mindestens ein i V

24 Die O(mn) Implementierung Implementierung brauch maximal n-1 Durchgänge Es wird jede Marke also höchstens n-1 Mal verändert Also mitzählen!

25 Vorgängergraph Erinnerung: LCA liefert Vorgängergraphen Bei negativen Kreisen gilt: Es gibt mindestens ein Kreis im Vorgängergraphen! Also: Suche gerichteten Kreis im Vorgängergraphen

26 Finden negativer Kreise Algorithmus: Neg Kreis; begin d(s)=0; while(es gibt einen nicht markierte Knoten j) d(j):=j; i:=j; while(pred(i) unmarkiert) d(i):=j; i:= pred(i); if(d(i)=d(j)) Kreis gefunden end;

27 Laufzeit Laufzeit: O(n) Wenn dieser Algorithmus nur alle a Schritte durchgeführt wird ändert sich die Laufzeit des LCA nicht.

28 Fragestellung Bisher: ein Startknoten s, gesucht: Weg von s zu allen anderen Knoten Jetzt: gesucht: Wege zwischen allen Knotenpaaren (i,j) Annahme: Das Netzwerk ist stark zusammenhängend d.h. jeder Knoten kann von jedem anderen erreicht werden

29 Einfache Idee Führe das Problem auf das Problem auf Single SourceShortest Path zurück Wende die O(mn) Implementierung für jeden Knoten in V einmal an Betrachte dabei die jeweiligen Knoten als Startknoten

30 Repeated Shortest Path Algorithm Abstandsmarken Definition d[i,j] sei die Länge eines gerichteten Pfades von Knoten i nach j.

31 Repeated Shortest Path Algorithm Optimalitätsbedingungen Teil 1 Satz Die d[i,j] repräsentieren den kürzsten Abstand zwischen i und j i, j, k V d[i, j] d[i, k] + d[k, j]

32 Repeated Shortest Path Algorithm Optimalitätsbedingungen Teil 2 Beweis. Gegenannahme: d[i,k] + d[k,j] < d[i,j] Betrachte den Weg(i...k...j): Ein direkter Weg P, eventuell Kreise W Die W sind nicht negativ, also gilt c(p) d[i,k]+d[k,j]<d[i,j] Widerspruch Sei P ein direkter Weg mit c(p)=d[i,j] P = (i = i 1,..., i k = j) Es gilt: d[i, j] = d[i 1, i k ] d[i 1, i 2 ] + d[i 2, i k ] d[i 2, i k ] c i2 i 3 + d[i 3, i k ]... d[i k 1, i k ] c ik 1 i k d[i, j] c i1 i c ik 1 i k = (i,j) P c ij

33 Repeated Shortest Path Algorithm Der All Pair Generic LCA Algorithmus: APG LCA; begin d[j,i]=inf; für alle (j,i) aus NxN; d[i,i]=0; für alle i forall (i,j) in E do d[i,j]=c[i,j] while(knoten i,j,k mit d[i,j]>d[i,k]+d[k,j]) d[i,j]:=d[i,k]+d[k,j]; end;

34 Repeated Shortest Path Algorithm Laufzeit nc d[i, j] nc max 2nC Updates pro Marke Es gibt n 2 Marken. Laufzeit O(n 3 C) Vorsicht bei großen C

35 Floyd-Warshall Algorithm Ein verbesserter Algorithmus Definition d k [i, j] sei die Länge eines kürzsten Pfades von Knoten i nach Knoten j der nur die Knoten 1 bis k-1 benutzt Folgerung d n+1 [i, j] beschreibt den kürzesten Weg von i nach j

36 Floyd-Warshall Algorithm Optimalitätsbedingungen Satz d k+1 [i, j] = min{d k [i, j], d k [i, k] + d k [k, j]} Beweis. 1. Fall: k wird nicht erreicht d k+1 [i, j] = d k [i, j] 2. Fall: k wird erreicht d k+1 [i, j] = d k [i, k] + d k [k, j] Behauptung

37 Floyd-Warshall Algorithm Floyd-Warshall Algorithmus Algorithmus: Floyd-Warshall; begin d[j,i]=inf; für alle (j,i) aus NxN; d[i,i]=0; für alle i forall (i,j) in E do d[i,j]=c[i,j] for k=1 to n do forall((i,j) in NxN do) if(d[i,j]>d[i,k]+d[k,j]); d[i,j]:=d[i,k]+d[k,j]; end;

38 Floyd-Warshall Algorithm Negative Kreise Satz Ein Netzwerk enthält min. einen negativen Kreis wenn eine der folgenden Bedingungen wahr ist 1. d[i,i]<0 2. i j: d[i,j] < -nc

39 Floyd-Warshall Algorithm Beweis Beweis. 1.d[i, i] = d[i, k] + d[k, i] 2. d[i, j] < nc

40 Floyd-Warshall Algorithm Ablauf Überprüfe bei jeder Veränderung von d[i,i], d[i,j] ob eine der Bedingungen erfüllt ist. Wenn ja gibt es einen negativen Kreis.

41 Das Minimum Mean Cycle Problem Definition Das Minimum Mean Cycle Problem MMCP ist folgendermaßen definiert: Gesucht ist ein gerichteter Kreis W mit den kleinsten mittleren Kosten ( (i,j) W c ij) W In einem stark zusammenhängendem Netzwerk

42 Definitionen Definition d k (j) k= 1...n sei Länge der kürzesten Weges von Knoten s nach Knoten j, wobei exakt k Knoten genutzt werden d 0 (s) = 0 d 0 (j) = j s Satz d k (j) = min {i:(i,j) E} {d k 1 (i) + c ij } Bemerkung d k (j) Kreis im Graphen

43 Vorgehen Berechne d 1 (j) aus d 0 (j) dann d 2 (j)...d n (j) O(m) pro Schritt Maximal n Schritte Laufzeit O(mn)

44 Beschränkung der Kosten Satz (i,j) W c i,j W = min j V max 0 k n 1 [ d n (j) d k ] (j) n k Beweis. Fallunterscheidung :-)

45 Minimum mean Cycle Algorithmus: Minimum Mean Cycle; begin d_0(s):=0; d_0(j):=inf; for k=1...n; forall j in V do d_k(x)=inf; forall (i,j) in E do if(d_k-1(i)+c[i,j]<d_k(x)) d_k(j):=d_k-1+c[i,j]; pred_k(j):=i; if(ein d_n() ist nicht inf) Finde j gemäß Satz Konstruiere Kreis aus pred end;

46 Konstruktion des Kreises Wissen es gibt einen Kreis C Setze C auf pred_n(j),pred_n-1(pred_n(j)), pred_n-2(pred_n-1(pred_n(j)))... Bis ein Knoten sich Wiederholt Startknoten im Kreis egal

47 Zusammenfassung Shortest Path Problem Algorithmus Laufzeit Eigenschaften LCA O(min(n 2 mc, m2 n )) Findet negative Kreise Finden von Kante:O(m) Schlechte Laufzeit O(mn) O(mn) Arbeitet Phasenweise merkt sich Knoten Findet negative Kreise

48 Zusammenfassung All Pair Shortest Path Problem Algorithmus Laufzeit Eigenschaften All Pair O(n 3 C) Große C beachten Floyd-Warshall O(n 3 ) Schnellster Algorithmus