2.3.3 Messung der Dispersion

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1 .3.3 Messung der Dispersion Weißlicht- Interferenzen: Weißlicht-Interferometer Mit dispersivem Element D: W.H. Knox et al., Opt. Lett. 13, 574 (1988)

2 Vermessung einer SF10-Prismen- Dispersionskompensation W.H. Knox et al., Opt. Lett. 13, 574 (1988)

3 Rep.rate messen Dispersionsmessung: Repetitionsrate als Funktion der Wellenlänge

4 .3.4 Kompensation der GVD i β ( i) ( i) L = 0 β β 0 0 > 0 < L (1) L () L (3) β > β < 0 β β < 0 > 0 β > 0 β < 0 Wie können wir GVD mit dem geeigneten Betrag und dem geeigneten Vorzeichen erzeugen?

5 Winkeldispersion ergibt GVD<0 Frequenz ω 0 propagagiert über die Länge L zur Ebene S, dann sieht die Frequenz ω eine Phasenverschiebung von ϕ(ω): ϕ(ω) = ω c L cos(α) Optisches Element Eingangs Strahl L P 0 ω Computing the nd derivative of ϕ(ω), assuming α is small: dϕ dω L c cos(α) ω L c sin(α) dα dω ω ο The GDD due to angular dispersion is always negative! d ϕ dω ω 0 ω 0L c dα dω ω 0

6 Negative GVD eines Prismenpaares ω L sep ω ο d 3 ϕ λ 4L 0 dω sep ω 0 πc dn dλ λ0 + L prism λ 0 3 πc d n dλ λ 0 Immer negativ! Annahme: Strahl geht durch die Primenspitze Typ. positiv (im sichtbaren und nahen IR) Zusätzliche Strecke L prism im Prismenmaterial, diesen Term zur Einstellung der GVD nutzen!

7 GVD Kompensation Strahlaufspaltung in Fourierkomponenten Zusätzliches ϕ(ω) möglich z.b. durch Spiegelverkrümmung dritte Ordnung Dispersion (TOD) einfügen

8 Kompensation der räumlichen Strahlaufspaltung The longer wavelengths have a longer path. Typischer Kompressionsfaktor >1000!

9 Adjusting the GDD maintains alignment. Any prism in the compressor can be translated perpendicular to the beam path to add glass and reduce the magnitude of negative GDD. New prism position Remarkably, this does not misalign the beam. Original path through prism Original and new path out of the prism Original prism position New beam path through prism

10 Spezial-Spiegel als Alternative zu Prismen etc. Doesn t work for < 600 nm Keine Frequenzaufspaltung, aber auch nur geringe GVD!

11 .3.4 Kurze Pulse und optische Komponenten Der Einsatz von optischen Eelmenten führt zu einer Veränderung ultrakurzer Lichtimpulse durch den Einfluss linearer und nichtlinearer Effekte Lineare Effekte: Dispersion, Gruppenverzögerung, Gruppenverzögerungsdispersion Effekte höherer Ordnung Nichtlineare Effekte: Selbstphasenmodulation, Selbstfokussierung,

12 Pulsverbreiterung bei der Fokussierung Die einfache Propagation durch eine Linse führt zu einem Pulschirp, welcher den Puls typischerweise verlängert und ändert. Ohne GVD: Mit GVD: Kempe, et al., JOSAB, 9, 1158 (199)

13 Chromatische Aberration verformt den Puls in Raum und Zeit 1 f (λ) [ ] 1 R 1 R 1 = n(λ) 1 Da ein ultrakurzer spektral breitbandig ist, können verschiedene Frequenzanteile an unterschiedlichen Orten fokussiert werden. Die Brechkraft der Linse ist größer für blau, Also ist die Brennweite kürzer für blaue Wellenlängenanteile. Parallele rote und blaue Strahlen f(λ) Chromatische Aberration verteilt die fokussierte Energie über einen größeren Bereich als eigentlich gewünscht.

14 Wie wird nun ein Puls am Besten fokussiert? 1) Nutzung einer achromatischen Linse und Vorkompensation der GVD ) Nutzung von reflektiven Optiken, d.h. gekrümmte Spiegel Nachteile: a) bei Schwarzschild-Objektiven ist Mitte abgeschattet b) off-axis -Paraboloide sind schwer herzustellen und auch schwer zu justieren

15 Group vs. phase delay in a lens The difference in propagation time between the phase and intensity: 1 1 Δ tr () = Lr () vφ v g where v φ is the phase velocity and v g is the group velocity. and where: L(r) = lens thickness vs. radial co-ordinate, r L(r) = r 0 r 1 1 R 1 R r 0 r Lens axis R 1 = Front-surface radius of curvature R = Back-surface radius of curvature. For this lens, R < 0.

16 Focusing can distort an ultrashort pulse in time and space. In a material, the phase and group velocities are different. For a lens, the phase delay at the focus is independent of input radial position (r), so the phase fronts are flat there. On the other hand, the pulse (intensity) delay depends on the input radial position, so the pulse fronts will be distorted at the focus. L(r) = lens thickness vs. radial co-ordinate r phase fronts pulse fronts

17 Group and phase delays (cont d) The phase velocity, v φ, differs from the group velocity, v g : So: v φ ω = = k c n( λ) v g 1 dk c = = dω dn n( λ) λ d λ dn n( λ) λ 1 1 n( λ) d λ dn = λ = v c c c dλ φ v g Substituting for L(r) and the inverse-velocity difference: 1 1 λ dn r0 r 1 1 Δ tr () = Lr () = vφ v g cdλ R1 R

18 Group and phase delays (cont d) Write this expression in terms of the lens focal length, f, which is related to other parameters by the lens-maker s formula: 1 = [ n(λ) 1 ] 1 f (λ) R 1 d 1 dn 1 1 R So: = 1 dλ f( λ) dλ R1 R Recalling the lens time delay: λ dn r0 r 1 1 Δ tr () = cdλ R R 1 Substituting for dn/dλ [1/R 1 1/R ] in the time delay: λ r0 r d 1 Δ tr () = c dλ f Very cool result! The group and phase delays are the same for all rays if the lens is achromatic! Too bad simple lenses aren t.

19 Practical formula/example: focusing a UV pulse Using the lensmaker s formula again for a more practical result: 1 f (λ) [ ] 1 R 1 R 1 = n(λ) 1 d 1 dn 1 1 dn 1 = = dλ f( λ) dλ R1 R dλ ( n 1) f( λ) Δt(r) = λ (n 1) f (λ) c dn r 0 r dλ So the difference in group delay at the lens edge, r 0, and on axis, 0, is: Δt g (r 0 ) Δt(r 0 ) Δt(0) = λ (n 1) f (λ) c dn dλ r 0 (The phase delays are equal and cancel out) Example: Fused silica lens focusing a 50-fs pulse from a KrF laser n = 1.51; λ dn/dλ = λ = 48 nm, pulse length = 50 fs f = 30 mm, desired focal spot size radius = 0.6 µmλ input spot size radius = 4 mm (required for 0.6 µm focus) } Δt g = 300 fs

20 Achromatic doublets do better. Combining two lenses in a doublet can create a lens that is achromatic (to first order) and that cancels out the distortion. Lens #1 Lens # r d 1 d phase and pulse fronts n 1 n 1 f Radii of curvature R 1 R R 3 1 = (n 1 1) (n R 1 R 1) 1 R R 3 We can choose the parameters so that: d 1 = 0 dλ f (λ)

21 Note that only the third term depends on the radial co-ordinate, r, and this term is zero when first-order achromaticity exists. The other terms have group delay dispersion, which distorts the pulse in time. Achromatic doublets do better (cont d) The paths traveled through the lenses are: L 1 (r) = d 1 r 1 R 1 1 R L (r) = d r 1 1 R R 3 As a result, doublets have a group-phase delay difference with additional terms: d 1 dn d dn λ r d 1 Δ tdoublet () r = n1 λ1 + n λ + c dλ1 c dλ c dλ f

22 Chromatic aberration (cont d) Compute the change in focal length with wavelength: d(1/ f) 1 df d(1/ f) f f dλ f dλ dλ = Δ = Δ The bandwidth, Δλ, can be written in terms of the pulse length: λ Δ λ = λ τ / c p (for a Gaussian pulse) And recall that: ( ) d 1/ f dn 1 = dλ dλ ( n 1) f( λ) Substituting: dn 1 Δ = dλ ( n 1) f( λ) / f f λ c τ p And simplifying: Δ f f λ dn = ( n 1) cτ p dλ

23 Chromatic aberration example Continuing the same example: Fused silica lens focusing a 50-fs pulse from a KrF laser n = 1.51; λ dn/dλ = λ = 48 nm, pulse length = 50 fs f = 30 mm, desired focal spot size radius, w 0 = 0.6 µm Δf = f λ (n 1)c τ p d n dλ = 60 μm Is this a lot or a little? Compare with the pulse Rayleigh range: So it s a lot! π w 0 /λ = 4.5μm

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