Vorlesung zur Arithmetik V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind/Konzepte für den

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1 Vorlesung zur Arithmetik V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind/Konzepte für den Anfangsunterricht V3 02./ Natürliche Zahlen im Anfangsunterricht V4 09./ Die Grundrechenoperationen Addition und Subtraktion V5 16./ Die Grundrechenoperationen Multiplikation und Division V6 23./ Natürliche Zahlen und ihre Eigenschaften V / Rechengesetze und Rechenstrategien V8 06./ Rechenfakten automatisieren V9 20./ Schriftliche Rechenverfahren V10 27./ Rechenschwäche und Rechenbegabung V11 04./ Aufgabenformate und Übungsangebote V12 11./ Zusammenfassung und Überblick V Klausur 1

2 V 5 Die Grundrechenarten Multiplizieren und Dividieren Quellen: Padberg 2005; Selter (1995): Eigenproduktionen im Arithmetikunterricht; Wittmann/Müller (1990). Handbuch prod. Rechenübungen, Bd. 1 2

3 Gliederung 1 Die Operationen Multiplikation und Division 2 Grundvorstellungen zu Multiplikation und Division Multiplizieren und Dividieren sind Rechenoperationen zweiter Stufe. 3

4 Zurückführen der Multiplikation auf die Addition Für die Erklärung der Multiplikation in Ν bedarf es keiner neuen Modelle, da man sie prinzipiell auf eine Addition gleicher Summanden in N zurückführen kann. Man schreibt für kurz 5 8, allgemein a b = b + b + +b. a Summanden 4

5 Zurückführen der Division auf die Subtraktion Analog zur Multiplikation als fortgesetzte Addition gleicher Summanden kann man die Division als fortgesetzte Subtraktion gleicher Subtrahenden interpretieren. 12:4 =? Wie oft kann ich den Divisor 4 subtrahieren? (Aufteilen) :4=3 vgl. Rechenzeichen 5

6 Begriffe, die zur Multiplikation gehören 3 12 = 36 Faktor mal Faktor ist gleich Produkt Produkt Multiplikator Multiplikand =

7 Die Division in N Die Division in N ist die Umkehrung der Multiplikation. Je eine Umkehrung der Multiplikation 8 5 = 40, erhält man, wenn einer der beiden Faktoren und das Produkt gegeben sind und der andere Faktor gesucht ist. Sind also a und b natürliche Zahlen, wobei b ein Teiler von a sei, so heißt die (eindeutig bestimmte) Lösung der Gleichung b x = a oder x b = a Quotient aus a und b ; man schreibt x = a : b. 7

8 Begriffe, die zur Division gehören Dividend durch Divisor ist gleich Quotient 15 : 3 = 5 Quotient quotiens (lat.): wie oft 8

9 Darstellen der Multiplikation als Vereinigungsmenge Wenn wir den Begriff Produkt als Summe gleicher Summanden definieren, können wir die Mengenoperation, die wir der Addition zugrunde gelegt haben, auf die Multiplikation übertragen. 4 5 gewinnen wir als Vereinigungsmenge von 4 Mengen mit je 5 Elementen, wobei die Mengen so zu wählen sind, dass sie paarweise zueinander disjunkt sind, d. h. keine gemeinsamen Elemente haben. 9

10 Die Abbildung repräsentiert das Produkt 4 5 als Kardinalzahl der Vereinigungsmenge. 10

11 Die Produktbildung 2 4 = 4 2 = 8 wird auf die Addition gleicher Summanden zurückgeführt. Die Multiplikation kann über die Vereinigung gleichmächtiger elementfremder Mengen hergeleitet werden. Auf diese Weise lassen sich jedoch die Produkte 1 1, a 0 und 0 a nicht überzeugend interpretieren. Es muss also noch eine zweite Möglichkeit für die mengentheoretische Definition des Produktes geben. Quelle: Friedemann. Arithmetik 11

12 Die zweite Möglichkeit die Multiplikation mengentheoretisch herzuleiten, zeigt das folgende Beispiel: Zwei Mädchen einer Mannschaft wollen gegen eine Mannschaft von drei Jungen Federball spielen. Wie viele Spiele müssen ausgetragen werden, wenn jedes Mädchen gegen jeden der 3 Jungen spielen soll? Es entstehen 6 Paare von jeweils zwei Kindern, die sich als Spielpartner gegenüber stehen. 12

13 Produktmenge Die Produktmenge A x B ( A kreuz B ) ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus A und deren zweites Element aus B ist. (Kreuzprodukt; kartesisches Produkt) A = {2; 3; 4} B = {7; 8} A x B = {(2; 7); (2; 8); (3; 7); (3; 8); (4; 7); (4; 8)} B x A =... 13

14 Multiplikation und Kreuzmenge kombinatorischer Aspekt der Multiplikation Die Menge aller geordneten Paare, dargestellt durch die Menge aller Kreuze, nennt man Kreuzmenge aus A und B, in Zeichen AxB (A kreuz B). Sachaufgaben laufen oft darauf hinaus, aus den Elementen einer ersten Menge A und den Elementen einer zweiten Menge B geordnete Paare zu bilden, z. B: Die Menge A repräsentiere die Menge aller Lastwagen in einem Fuhrpark und B die Menge aller Anhänger. Welche unterschiedlichen geordneten Paare lassen sich bilden (Mengenaspekt) und wie viele solcher geordneten Paare gibt es (Zahlaspekt)? Quelle: Schwartze, Elementarmathematik. 14

15 Multiplizieren auf der Grundlage des Bildens geordneter Paare - Beispiele für Textaufgaben Drei Jungen wollen mit zwei Mädchen tanzen. Wie viele verschiedene Paarbildungen sind möglich? Die Puppe hat eine rote und eine gestreifte Bluse und einen langen und einen kurzen Rock. Du möchtest sie jeden Tag anders kleiden. Wie viele Möglichkeiten ergeben sich? Tischtenniswettkampf: Drei Jungen aus der 4a treten gegen drei Jungen aus der 4b an. Jeder soll gegen jeden spielen. Wie viele Spiele gibt es? Kombinatorischer Aspekt der Multiplikation: Welche Möglichkeiten gibt es und wie viele sind es? 15

16 Den multiplikativen Hintergrund einer solchen Aufgabe könnte man wie folgt verdeutlichen: aus Fricke

17 Man kann solche multiplikativen Zusammenhänge auch mit einem Baumdiagramm veranschaulichen. 17

18 Mengenoperation zur Division Die Division lässt sich auch auf mengentheoretischer Grundlage als Umkehroperation der Multiplikation veranschaulichen. Entspricht die Multiplikation einer Vereinigung gleichmächtiger disjunkter Mengen, so entspricht die Division einer Zerlegung in gleichmächtige Mengen. 18

19 Je nach gewähltem Vorstellungshintergrund kann die Zerlegung in gleichmächtige Teilmengen unter zwei verschiedenen Fragestellungen erfolgen, die den beiden Umkehrmöglichkeiten einer Multiplikation entsprechen. Beispiel: 3 6 = 18 nach Verabredung ist 6 der Multiplikand und 3 der Multiplikator. 19

20 1. 18 : 3 =? Ein Repräsentant der Zahl 18 ist in gleichmächtige Teilmengen zu zerlegen. Die Kardinalzahl einer Teilmenge ist gesucht : 6 =? Die Menge mit 18 Elementen ist in Teilmengen der Kardinalzahl 6 zu zerlegen. Die Anzahl der Teilmengen ist gesucht. Die erste Form wird als Verteilen, die zweite als Aufteilen bezeichnet. 20

21 12:4 Wie kann ich auf 4... verteilen? Wie oft ist die 4 enthalten? Beim Teilen entstehen (gleichmächtige, paarweise elementfremde) Teilmengen. Man kann den Blick auf die Anzahl der Teilmengen richten oder auf die Anzahl der Elemente der Teilmengen. 21

22 Zwei verschiedene Fragestellungen führen zur Division: Verteilen (Teilen) 12 : 4 = 3 12 Birnen sind gleichmäßig unter 4 Personen zu verteilen. Jede erhält 3. Aufteilen (Enthaltensein) 12 : 4 = 3 12 Birnen sollen aufgeteilt werden. In jeden Beutel sollen 4 Birnen kommen. Man braucht 3 Beutel. Karten verteilen... abpacken... 22

23 Anzahl der Teilmengen oder Anzahl der Elemente einer Teilmenge? Verteilen 12 : 4 = 3 Der Divisor 4 repräsentiert die Anzahl der Teilmengen. Aufteilen 12 : 4 = 3 Der Divisor 4 repräsentiert die Anzahl der Elemente einer Teilmenge. 23

24 2 Grundvorstellungen zu den Operationen Grundvorstellungen zur Multiplikation zeitlich-sukzessive Handlungen (dynamisch) räumlich simultane Anordnungen (statisch) Der kombinatorische Aspekt der Multiplikation gehört zunächst nicht zu den Grundvorstellungen, die Grundschulkinder von der Multiplikation haben. vgl. Padberg 2005, S. 117 ff. 24

25 zeitlich-sukzessiv (dynamische Komponente der Multiplikation) mehrmalige Wiederholung der gleichen Handlung 25

26 räumlich-simultan (statische Komponente der Multiplikation) räumliche Anordnung in Rechteckform 26

27 Grundvorstellungen zur Division Verteilen und Aufteilen wird auch in den Schulbüchern (2. Kl.) unterschieden. Beispiele aus Mathematik 2 vom DUDEN - Verlag 27

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30 Grundvorstellungen zum Multiplizieren und Dividieren, die in Interviews beobachtet wurden Dadurch, dass multiplikative Situationen mit der Alltagssprache abgebildet werden (Operatoraspekt von Zahlen), finden schon Schulanfänger/innen Zugang zu entsprechenden Sachverhalten. Die Division gehört im Sinne des gerechten Verteilens als Alltagserfahrung zu den Vorerfahrungen der Kinder. Das Multiplizieren wird häufig bis zur Automatisierung von Grundaufgaben an die Addition angelagert (von Schulanfang bis in die Kl. 3 hinein beobachtbar). Auch Lösungen für das Teilen im Rahmen von Sachsituationen werden meistens über die Addition hergeleitet. 30

31 Aufgabe zur Übung Woche vom Formulieren Sie kleine Textaufgaben für die 1. und 2. Klassenstufe, für Multiplikation und Division nach folgenden Aspekten: Multiplikation dynamisch statisch Bilden geordneter Paare Division dynamisch statisch Aufteilen Verteilen 31