Inhalt. Einführung. Algebra 7. Geometrie 46. Funktionen 56

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2 2 Inhalt Einführung Algebra 7 Rechengesetze 7 Betrag 10 Binome 11 Potenzen und Wurzeln 13 Logarithmus 15 Dreisatz 16 Lösung von Gleichungen und Ungleichungen 19 Lineare Gleichungssysteme 28 Prozent-, Zins- und Zinseszins-Rechnung 36 Geometrie 46 Ebene Geometrie 46 Geometrische Körper 51 Trigonometrie 54 Funktionen 56 Folgen 56 Grenzwerte von Folgen und Funktionen 57 Reihen 61 Eigenschaften von Funktionen 64 Schnittpunkte von Funktionen berechnen 69 Wichtige Funktionen 69

3 3 Lineare Regression 76 Interpolation 78 Analysis: differential- und Integralrechnung 79 Stetigkeit 79 Ableitungen 80 Kurvendiskussion 84 Optimierung, Extremwertprobleme 91 Begriffe der Integration 99 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 99 Stammfunktionen 100 Integrationsregeln 100 Flächenbestimmung 104 Numerische Integration 106 Stochastik 108 Kombinatorik 108 Beschreibende Statistik 110 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 111 Verteilungen 112 Kovarianz und Korrelationskoeffizient 120 Anhang 121 Stichwortverzeichnis 122

4 Rechengesetze 7 Algebra Rechengesetze Assoziativgesetze: Kommen in einem Term jeweils ausschlieÿlich + oder vor, so dürfen Sie beliebig Klammern setzen: Algebra (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) Kommen in einem Term die Operationen oder : oder verschiedene Rechenoperationen vor, so müssen Sie die Klammern beibehalten oder vorsichtig auösen. Distributivgesetz: a (b + c) = a b + a c (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d (x 3) (4x 2) = 4x 2 2x 12x + 6 = 4x 2 14x + 6 Bruchrechnung: Das Erweitern von Brüchen: Brüche werden erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert.

5 8 Algebra Die Addition von Brüchen: - Haben die Brüche gleiche Nenner, so behalten Sie den Nenner bei und addieren einfach die Zähler: a b + c b = a + c b - Haben die Brüche verschiedene Nenner, so müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden. Sie müssen die Brüche also so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben. Als gemeinsamen Nenner können Sie das Produkt der Nenner verwenden: a b + c d = a d b d + c b d b = a d + b c b d 2x + 1 4x 2 + x 3 (2x + 1) (x + 1) (x 3) (4x 2) = + x + 1 (4x 2) (x + 1) (x + 1) (4x 2) = 2x 2 + 3x + 1 (4x 2)(x + 1) + 4x2 14x + 6 (4x 2)(x + 1) = 6x2 11x + 7 (4x 2)(x + 1) Die Multiplikation von Brüchen: Es werden jeweils die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert: a b c d = a c b d 2x + 1 4x 2 x 3 (2x + 1) (x 3) = x + 1 (4x 2) (x + 1) = 2x2 5x 3 (4x 2)(x + 1)

6 Rechengesetze 9 Die Division von Brüchen: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert: a b c d = a b : c d = a b d c = a d b c Das Kürzen von Brüchen: Ein Bruch kann nur gekürzt werden, wenn man aus allen Bestandteilen des Zählers und Nenners dieselbe Zahl oder denselben Term ausklammern und dadurch kürzen kann. 5x x 2 7x 4 x 2 = x2 (5x + 10) 5x + 10 x 2 (7x 2 = 1) 7x 2 1 Man darf niemals durch 0 dividieren. Der Nenner eines Bruchs darf deshalb nie 0 werden! In den Bruch 2x+1 darf man für x nur die Zahlen einsetzen, für die 4x 2 der Nenner nicht 0 wird. Der Nenner wird 0, wenn 4x 2 = 0 ist: 4x 2 = 0 x = 1 2 Man sagt, die Denitionsmenge D (s. auch S. 65) des Bruches ist D = R\ { } 1 2. Intervalle Um zusammenhängende Zahlenmengen einfacher schreiben zu können, verwendet man Intervalle:

7 10 Algebra [a; b] = {x a x b} ist ein abgeschlossenes Intervall. Die Randpunkte a, b gehören zum Intervall. ]a; b[ = (a; b) = {x a < x < b} ist ein oenes Intervall. Die Randpunkte a, b gehören nicht zum Intervall. [a; [ = {x x a} ist ein halb oenes Intervall. Betrag Der Betrag einer Zahl ist der positive Wert der Zahl: { a, falls a 0 a = a, falls a < 0 e 2 = 2, 2 = 2 Der Betrag gibt den Abstand einer Zahl von der Zahl 0 auf der Zahlengeraden an. a b ist der Abstand der Zahlen a und b voneinander. Für eine positive Zahl a gilt: x = a bedeutet x = a oder x = a. Wenn x < a gilt, so liegt x zwischen den Zahlen a und a: x ] a; a[ oder gleichwertig: a < x < a. Gilt x a, so liegt x auÿerhalb des Intervalls ] a; a[, also x R\ ] a; a[ oder gleichwertig: x a oder x a.

8 Binome 11 Wie nde ich alle Zahlen x mit x 3 < 2? Dies sind die Zahlen, die von der Zahl 3 einen Abstand haben, der kleiner als 2 ist, also alle Zahlen zwischen 1 und 5, genauer das Intervall ]1; 5[ Binome Binomische Formeln: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 (4c 3d) 2 = (4c) 2 2 (4c) (3d) + (3d) 2 = 16c 2 24cd + 9d 2 Wie Sie höhere Potenzen von Binomen berechnen können, sagt der Binomische Lehrsatz: ( ) ( ) n n (a + b) n = a n + a n 1 b + a n 2 b ( ) n + a 1 b n 1 + b n n 1 n ( ) n = a n k b k k k=0 Die Binomialkoezienten ( n k) werden auf S. 12 erläutert.

9 122 Stichwortverzeichnis Abbildung 64 Ableitung 80 Abschreibung 44 geometrisch-degressive 45 lineare 44 Abstand 10, 46 Achsensymmetrie 85 Additionsmethode 29 Ankathete 54 Annuitätendarlehen 42 Argumente 65 Arithmetische Folge 56 Assoziativgesetz 7 Asymptote 87 Auf-Hundert-Rechnung 37 Aufzinsungsfaktor 39 Ausgleichsgerade 77 Barwert 41 Bedingte Wahrscheinlichkeit 111 Bernoulli-Verteilung 112 Beschränktheit 68 Betrag 10 Bild 65 Bildmenge 64 Binom 11 Binomialkoezienten 12, 108 Binomialverteilung 112 Binomische Formeln 11 Bisektionsverfahren 27 Bogenmaÿ 46 Bruchgleichungen 21 Bruchrechnung 7 Bruchungleichungen 22 Cosinus 54 Cotangens 54 Cramer'sche Regel 30, 32 Datenpunkte 78 Denitionsbereich 84 Denitionslücke 85 Denitionsmenge 9, 64 Determinante 34 Dichtefunktion 116 Dierenzierbarkeit 85 Diskriminante 24 Distributivgesetz 7 Dreieck 48 Fläche 48 rechtwinkliges 48 Dreiecksform 31 Dreisatz 16 Eektivzins 41 Einsetzungsverfahren 28 Einzahlungen, regelmäÿige 41 Elastizitätsfunktion 81 Ellipsoid 53 Exponentialfunktion 75 Exponentialgleichung 25 Extremwerte 85 Extremwertproblem 91

10 123 Fläche 98, 103 Dreieck 48 Kreis 50 Folge 56 arithmetische 56 geometrische 56 Funktionswert 65 Funktion 64 äuÿere 66, 83 gerade 85 graphische Darstellung 65 innere 66, 83 lineare 69 quadratische 72 ungerade 85 Gauÿ'sches Eliminationsverfahren 30 Gegenkathete 54 Geometrische Folge 56 Geometrische Verteilung 115 Geradengleichung 70 Gleichsetzungsmethode 29 Gleichung 19 Bruch- 21, 22 Exponential- 25 lineare 21 Logarithmus 26 quadratische 23 Wurzel- 24 Gleichungssystem Lösbarkeit 35 lineares 28 Gleichverteilung 117 Grad 46, 73 Gradient 95 Graph 65 Grenzfunktion 81 Grenzkostenfunktion 81 Grenzwert 57, 79 Grundwert 36 Höhensatz 48 Hintereinanderausführung 66 Hypotenuse 54 Im-Hundert-Rechnung 38 Integral 98 Integration 98 numerische 105 Interpolation 78 Intervall 9 Inverse Funktion 66 Kathete 54 Kathetensatz 48 Kegel 51 Kettenregel 83 Kombination 66 Konvergenz Folge 57 Reihe 63 Konvexität 86 Korrelationskoezient 119 Kovarianz 119 Krümmung 86 Kreis 50 Kreiszylinder 52 Kugel 53 Kugelkappe 53 Kugelschicht 53 Kugelsektor 53 Kurvendiskussion 84 L'Hospital 60 Lösungsmenge 19

11 124 Lagrange-Funktion 96 Leibniz-Kriterium 63 Lineares Gleichungssystem 28 Linkskrümmung 86 Logarithmus 15, 76 Logarithmusfunktion 76 Logarithmusgleichung 26 Majorantenkriterium 63 Marginalanalyse 80 Marginalfunktion 81 Matrix 33 Matrixform 30 Maximum 85 Median 109 Methode der kleinsten Quadrate 77 Minimum 85 Mittelpunkt 47 Mittelwert 109 Monotonie 68, 84 Monotoniebereich 86 Nebenbedingungen 96 Newton-Verfahren 27 Normalengleichungen 77 Normalparabel 72 Normalverteilung 117 Nullstellen 85 Optimierung 91 Parabel 72 Parallelogramm 49 Partielle Integration 100 Pascal'sches Dreieck 12 Permutation 108 Poisson-Verteilung 114 Polynom 72, 73 Polynomdivision 73 Potenzfunktion 74 Potenzgesetze 13 Produktregel 83 Prozent 36 Prozentsatz 36 Prozentwert 36 Punktsymmetrie 85 Pyramide 52 Pythagoras 48 Quader 51 Quadrat 49 Quotientenkriterium 63 Quotientenregel 83 Rate 43 Raute 50 Rechteck 49 Rechtskrümmung 86 Rechtwinkliges Dreieck 48 Regression, lineare 76 Reihe 63 alternierend 63 geometrisch 64 Konvergenz 63 Relative Häugkeit 110 Rentenrechnung 41 Restschuld 42 Rhombus 50 Scheitelpunkt 72 Schnittpunkt 69 Sekante 80 Simpsonregel 106 Sinus 54 Spiegelung 67

12 125 Stammfunktion 98 Standardabweichung 109 Steigung 69 Steigungswinkel 80 Stetigkeit 79, 85 Strahlensätze 47 Streckung 67 Strenge Monotonie 86 Substitution 101 Summe endliche 61 unendliche 63 Summenzeichen 61 Symmetrie 85 Tangens 54 Tangente 80 Tilgung 42, 43 Trapez 50 Trapezregel 106 Trigonometrie 54 Umkehrfunktion 66 Unabhängige Ereignisse 111 Ungleichung 22 Urbild 65 Varianz 109 Verschiebung 67 Verteilung diskrete 112 kontinuierliche 116 Verteilungsfunktion 112, 116 Vierecke 49 Vorzeichenbereiche 85 Würfel 51 Wahrscheinlichkeitsfunktion 112 Wendepunkte 86 Wertemenge 65 Winkel 46 Wurzel 13 Wurzelfunktionen 75 Wurzelgleichung 24 y-achsenabschnitt 69 Zahlung, nachschüssige 42 Zentralwert 109 Zinseszinsrechnung 39 Zinsrechnung 39 Zuordnungsvorschrift 65 Zylinder 52