Eingebettete Runge Kutta Verfahren DOPRI5(4) Verfahren: FSAL Verfahren

Transkript

1 Eingebettete Runge Kutta Verfahren DOPRI5(4) Verfahren: FSAL Verfahren p = ˆp = Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (rk17) 1

2 Eingebettete Runge Kutta Verfahren DOPRI8(7) Verfahren: Butcherschema entnommen aus Deuflhard/Bornemann Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (rk18) 2

3 Lineare Mehrschrittverfahren (MSV) Idee: Verwende zur Bestimmung von y i+1 nicht nur den zuletzt zurückliegenden Werte y i und f i, sondern zusätzlich noch weiter zurückliegende Werte. y i+1 = k 1 j=0 a j y i j + k 1 j= 1 b j f i j Es existieren zwei große Klassen: Adams Varianten basieren auf Quadraturformeln und Integration BDF Varianten basieren auf Interpolation und Differenziation Im Gegensatz zu konsistenten Einschrittverfahren sind MSV nicht automatisch Null-stabil. steigt bei MSV der Aufwand mit der Ordnung nicht an. Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv01) 3

4 Mehrschrittverfahren: Adams Bashforth Verfahren (1) Idee: y = f(t,y) y(t i+1 ) = y(t i )+ ti+1 t i f(t,y)dt Approximieref unterverwendungderbekanntenstützpunkte(t i,y i ),...,(t i+1 k,y i+1 k ) mit einem Interpolationspolynom vom Grad k 1 und integriere. f(t,y) P³(t) f(t,y) P³(t) Fehler t(i 3) t(i 2) t(i 1) t(i) t(i+1) t(i) t(i+1) Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv03) 4

5 Adams Bashforth Verfahren (ABV, explizit) (2) l : Polynomgrad, k : Schrittzahl, p : Ordnung l = 0, k = 1, p = 1 : y i+1 = y i +hf i, l = 1, k = 2, p = 2 : y i+1 = y i h(3f i f i 1 ), l = 2, k = 3, p = 3 : y i+1 = y i h(23f i 16f i 1 +5f i 2 ), l = 3, k = 4, p = 4 : y i+1 = y i h(55f i 59f i 1 +37f i 2 9f i 3 ). Bei expliziten ABV gilt: Polynomgrad+1 = Ordnung = Schrittzahl. Es existieren Verfahren beliebiger Ordnung. Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv04) 5

6 Adams Bashforth Verfahren: Verschiedene Ordnungen y = 10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = AB2 AB AB2: Adams Bashforth Verfahren 2ter Ordnung AB3: Adams Bashforth Verfahren 3ter Ordnung : Adams Bashforth Verfahren 4ter Ordnung Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv05) 6

7 Adams Bashforth Verfahren: Verschiedene Ordnungen y = 5(y t 2 ) + 2t, y(0) = 0, Lösung y = t 2, Fehler bei t = AB2 AB AB2: Adams Bashforth Verfahren 2ter Ordnung AB3: Adams Bashforth Verfahren 3ter Ordnung : Adams Bashforth Verfahren 4ter Ordnung Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv06) 7

8 Adams Moulton Verfahren (AMV, implizit) l : Polynomgrad, k : Schrittzahl, p : Ordnung l = 0, k = 1, p = 1 : y i+1 = y i +hf i+1, l = 1, k = 1, p = 2 : y i+1 = y i h(f i+1+f i ), l = 2, k = 2, p = 3 : y i+1 = y i h(5f i+1+8f i f i 1 ), l = 3, k = 3, p = 4 : y i+1 = y i h(9f i+1+19f i 5f i 1 +1f i 2 ). Bei impliziten AMV gilt: Polynomgrad+1 = Ordnung Schrittzahl+1. Adams Bashforth Moulton / Prädiktor Korrektor Verfahren explizit l = 2, k = 2, p = 3 y (P) i+1 = y i h(3f i f i 1 ), y i+1 = y i h ( 5f ( ) ) t i+1, y (P) i+1 + 8f i f i 1. Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv09) 8

9 Vergleich: AB / AM / ABM Verfahren y = 10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1 Fehler gegen Funktionsauswertungen 10 5 AM4 ABM AM4 ABM : Adams Bashforth Verfahren 4ter Ordnung AM4: Adams Moulton Verfahren 4ter Ordnung ABM4: Adams Bashforth Moulton Verfahren 4ter Ordnung Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv10) 9

10 Vergleich: AB / AM / ABM Verfahren y = 5(y t 2 ) + 2t, y(0) = 0, Lösung y = t 2, Fehler bei t = 5 Fehler gegen Funktionsauswertungen 10 5 AM4 ABM AM4 ABM : Adams Bashforth Verfahren 4ter Ordnung AM4: Adams Moulton Verfahren 4ter Ordnung ABM4: Adams Bashforth Moulton Verfahren 4ter Ordnung Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv11) 10

11 Mehrschrittverfahren: BDF Verfahren (1) Idee: Ersetze y(t) durch ein Interpolationspolynom P k (t) der Ordnung k mit den Stützstellen (t i+1, y i+1 ), (t i, y i ),..., (t i k+1, y i k+1 ), und löse Dies liefert ein Verfahren der Gestalt P k(t) = f(t,y(t)). a 1 y i+1 +a 0 y i +a 1 y i 1 + +a k 1 y i k+1 = hf (t i+1, y i+1 ), oder k 1 j= 1 a j y i j = hf (t i+1, y i+1 ). Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv25) 11

12 Mehrschrittverfahren: BDF Verfahren (2) l : Polynomgrad, k : Schrittzahl, p : Ordnung 1, 1, 1 : hf i+1 = y i+1 y i, 2, 2, 2 : hf i+1 = 3 2 y i+1 2y i y i 1, 3, 3, 3 : hf i+1 = 11 6 y i+1 3y i y i y i 2, 4, 4, 4 : hf i+1 = y i+1 4y i +3y i y i y i 3, 5, 5, 5 : hf i+1 = y i+1 5y i + 5y i y i y i y i 4 6, 6, 6 : hf i+1 = y i+1 6y i y i y i y i y i y i 5. Für k > 6 sind die Verfahren instabil. Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv26) 12

13 BDF Verfahren: Verschiedene Ordnungen y = 10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = BDF2 BDF3 BDF BDF2: BDF Verfahren 2ter Ordnung BDF3: BDF Verfahren 3ter Ordnung BDF4: BDF Verfahren 4ter Ordnung Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv27) 13

14 BDF Verfahren: Verschiedene Ordnungen y = 5(y t 2 ) + 2t, y(0) = 0, Lösung y = t 2, Fehler bei t = BDF2 BDF3 BDF BDF2: BDF Verfahren 2ter Ordnung BDF3: BDF Verfahren 3ter Ordnung BDF4: BDF Verfahren 4ter Ordnung Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv28) 14

15 Vergleich: AB / ABM / BDF Verfahren y = 10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1 Fehler gegen Funktionsauswertungen 10 5 ABM4 BDF ABM4 BDF : Adams Bashforth Verfahren 4ter Ordnung ABM4: Adams Bashforth Moulton Verfahren 4ter Ordnung BDF4: BDF Verfahren 4ter Ordnung Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv31) 15

16 Vergleich: AB / ABM / BDF Verfahren y = 5(y t 2 ) + 2t, y(0) = 0, Lösung y = t 2, Fehler bei t = 5 ABM4 BDF4 Fehler gegen Funktionsauswertungen ABM4 BDF4 : Adams Bashforth Verfahren 4ter Ordnung ABM4: Adams Bashforth Moulton Verfahren 4ter Ordnung BDF4: BDF Verfahren 4ter Ordnung Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv32) 16

17 Einfluss der Anlaufrechnung y = 5t(2+3t)y, y(0) = 1, Fehler bei t = BDF2 BDF3 BDF BDF2 BDF3 BDF BDF2 BDF3 BDF RK3 Verfahren Heun expliziter Euler BDF2: BDF Verfahren 2ter Ordnung BDF3: BDF Verfahren 3ter Ordnung BDF4: BDF Verfahren 4ter Ordnung Für MSV der Ordnung p Anlaufrechnung mit Ordnung p 1 nötig Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv36) 17

18 Konsistenz + Stabilität = Konvergenz y = y, y 0 = 1, y 1 = e h konsistent und stabil y i+1 = y i 1 +2hf i 1 y i t i h = 0.2 h = 0.1 exakt konsistent, NICHT stabil y i+1 = 3y i 1 +4y i 2hf i 1 y i t i h = 0.2 h = 0.1 exakt Kapitel IV.4 - Lineare Mehrschritt-Verfahren (msv02) 18