TU5 Aussagenlogik II

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1 TU5 Aussagenlogik II Daniela Andrade / 21

2 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf findet ;) 2 / 21

3 Themenübersicht 1 Aussagenlogik II 3 / 21

4 Bitte nicht verwechseln! 4 / 21

5 Themenübersicht 1 Aussagenlogik II KV Diagramme DPLL-Algorithmus 5 / 21

6 KV Diagramme Themenübersicht 1 Aussagenlogik II KV Diagramme DPLL-Algorithmus 6 / 21

7 KV Diagramme KV-Diagramme in der Aussagenlogik KV-Diagramme benutzen wir in der Aussagenlogik, um die Semantik einer Formel F kompakter darzustellen. 7 / 21

8 KV Diagramme Beispiel: Semantik einer Formel im KV-Diagramm Gegeben: Formel F über V = {A, B, B}: F = ( B C ) ( A C ). Semantik in der Wahrheitstabelle und im KV-Diagramm: A B C (B C) (A C) / 21

9 Themenübersicht 1 Aussagenlogik II KV Diagramme DPLL-Algorithmus 9 / 21

10 Literale Ein Literal ist eine Variable oder die Negation einer Variable. Beispiel Die Menge aller Literale über V = {p, q, r} ist {p, q, r, p, q, r}. 10 / 21

11 Disjunktionen Eine Disjunktion F von Formeln F 1,..., F n ist eine Formel der Form F = F 1... F n. Beispiel F = (q (p r)) (r q) p (p q) ist eine Disjunktion. Info Die leere Disjunktion ist F := false. 11 / 21

12 Konjunktionen Eine Konjunktion F von Formeln F 1,..., F n ist eine Formel der Form F = F 1... F n. Beispiel F = (p q) q (q r) (p q s) ist eine Konjunktion. Info Die leere Konjunktion ist F := true. 12 / 21

13 Disjunktive Normalform Sei V eine beliebige Menge. Beispiel eine Formel über V heißt DNF-Klausel, falls sie eine Konjunktion von Literalen ist. Eine Formel über V in disjunktiver Normalform (DNF) ist eine Disjunktion von DNF-Klauseln. Folgende Formel F über V = {p, q, r, s} ist in DNF: F = ( p r s) ( q s) (p q r s) }{{}}{{}}{{} ( r s) }{{} Konjunktion Konjunktion Konjunktion Konjunktion }{{} Disjunktion 13 / 21

14 Konjunktive Normalform Sei V eine beliebige Menge. Beispiel eine Formel über V heißt KNF-Klausel, falls sie eine Disjunktion von Literalen ist. Eine Formel über V in konjunktiver Normalform (KNF) ist eine Konjunktion von KNF-Klauseln. Folgende Formel F über V = {p, q, r, s} ist in KNF: F = ( p r s) ( q s) (p q r s) }{{}}{{}}{{} ( r s) }{{} Disjunktion Disjunktion Disjunktion Disjunktion }{{} Konjunktion 14 / 21

15 Vollständige Normalformen Eine Formel ist in vollständiger DNF oder KNF, falls alle Klauseln in ihr genau dieselben Variablen besitzen. 15 / 21

16 Rezept Frage: Wie findet man eine zu einer gegebenen Formel F äquivalente Formel in vollständiger DNF bzw. KNF? Methode: Zuerst stelle die Wahrheitstafel der Formel F auf. Dann: DNF: 1 Wähle Zeilen mit Ergebnis 1. 2 Bilde für jede Zeile eine Konjunktion aller Variablen (mit ), in der alle mit 0 belegten Variablen negiert sind und die anderen nicht. 3 Bilde eine Disjunktion aller Konjunktionen (mit ). KNF: 1 Wähle Zeilen mit Ergebnis 0. 2 Bilde für jede Zeile eine Disjunktion aller Variablen (mit ), in der alle mit 1 belegten Variablen negiert sind und die anderen nicht. 3 Bilde eine Konjunktion aller Disjunktionen (mit ). 16 / 21

17 DPLL-Algorithmus Themenübersicht 1 Aussagenlogik II KV Diagramme DPLL-Algorithmus 17 / 21

18 DPLL-Algorithmus Ersetzen von Variablen Sei V eine Variablenmenge und F eine KNF-Formel mit p V F. F [p\ true] bezeichnet die Formel, die entsteht, in dem jedem Vorkommnis von p in F durch true ersetzt wird. F [p\ false] bezeichnet die Formel, die entsteht, in dem jedem Vorkommnis von p in F durch false ersetzt wird. Nachdem eine Variable mit true oder false belegt wurde, kann die entstehende Formel mit folgenden Regeln vereinfacht werden: F true F, F true true, true false, F false false, F false F, false true. 18 / 21

19 DPLL-Algorithmus Beispiel Sei F folgende KNF-Formel über V = {p, q, r, s}: Dann gilt und F = ( p q s) (p q s) (p q r) ( p r s). F [p\ true] ( p q s) (p q s) (p q r) ( p r s) (q s) ( r s) F [p\ false] ( p q s) ( p q s) ( p q r) ( p r s) ( q s) (q r). 19 / 21

20 DPLL-Algorithmus Infos DPLL überprüft die Erfüllbarkeit einer KNF-Formel. KNF-Formeln werden als Mengen dargestellt. Zum Beispiel: Achtung: ( p q r) q (r s) {{ p, q, r}, {q}, {r, s}} {} ˆ= leere Klausel ˆ= leere Disjunktion ˆ= false {{}} ˆ= leere Formel ˆ= leere Konjunktion ˆ= true Der Algorithmus hält, sobald die leere Menge zum ersten Mal gefunden wird. 20 / 21

21 DPLL-Algorithmus Rezept: DPLL-Algorithmus Frage: Ist eine gegebene KNF-Formel F erfüllbar? 1 Wenn F = {}, dann antworte erfüllbar ; 2 Wenn F = {{}}, dann antworte unerfüllbar ; 3 Sonst: 4 Für jede Variable p V F (in alphabetischer Reihenfolge): 5 Führe den Algorithmus für F [p\ true] aus; 6 Breche ab, falls F [p\ true] erfüllbar ; 7 Führe den Algorithmus für F [ p\ true] aus; 8 Breche ab, falls F [ p\ false] erfüllbar ; 21 / 21

TU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade

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