ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK WS 2015/16 GÜNTHER EDER

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1 ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK WS 2015/16 GÜNTHER EDER

2 SPARSAMKEIT BEI DER WAHL DER JUNKTOREN Wie sich mit Wahrheitstaeln zeigen lässt, benötigen wir nicht gar nicht alle Junktoren die oiziell in unserer Sprache vorkommen α β (α β) ( α β) w w w w w w w w w w α β (α β) (α β) w w w w w w w w w w Soern wir und zur Verügung haben, können wir auch ohne auskommen, ohne an Ausdrucksstärke zu verlieren Soern wir und zur Verügung haben, können wir auch ohne auskommen, ohne an Ausdrucksstärke zu verlieren

3 GEHT S NOCH SPARSAMER? Es geht noch sparsamer! Es gibt einzelne Junktoren, mit denen wir alle anderen Junktoren deinieren können Solche Junktoren nennt man auch Sheer-Junktoren α β (α β) bzw. (α NAND β) w w w w w w w Sheer-Strich α β (α β) bzw. (α NOR β) w w w w w Peirce-Operator" Wie sich leicht zeigen lässt, kann man sowohl mit als auch mit alle anderen Junktoren,,,, deinieren (Übungsbeispiel).

4 FUNKTIONALE VOLLSTÄNDIGKEIT Die Idee, dass wir mit einigen Junktoren andere Junktoren deinieren können, ührt zum Begri der unktionalen Vollständigkeit Dass eine Menge von Junktoren J unktional vollständig ist bedeutet, dass wir nicht nur alle Junktoren,,,, mit Hile der Junktoren in J deinieren können, sondern alle potentiellen Junktoren überhaupt! Um diese Idee zu präzisieren benötigen wir den Begri der Wahrheitsunktion

5 WAHRHEITSFUNKTION De. Eine n-stellige Wahrheitsunktion ist eine Funktion, die n-tupel von Wahrheitswerten au Wahrheitswerte abbildet, d.h. : {w, } n {w, } Unter einem n-tupel verstehen wir hier eine geordnete Folge von Wahrheitswerten der Länge n; {w, } n bezeichnet die Menge aller n- Tupel von Wahrheitswerten Zum Beispiel sind w, und, w zwei verschiedene 2-Tupel (oder einach Tupel); w, w, ist ein 3-Tupel (oder Tripel); w,,, ein 4- Tupel (oder Quadrupel) und w,, w,, w,, w ein 7-Tupel

6 BEISPIELE FÜR WAHRHEITSFUNKTIONEN Die Wahrheitsunktion, die der Negation entspricht, ist eine einstellige Wahrheitsunktion, die w au und au w abbildet w w Die Wahrheitsunktion, die der Konjunktion entspricht, ist eine zweistellige Wahrheitsunktion, die das 2-Tupel w, w au w, w, au,, w au, und, au abbildet w, w w,, w, w

7 BEISPIELE FÜR WAHRHEITSFUNKTIONEN Es gibt aber auch 3-, 4-, oder 17-stellige Wahrheitsunktionen, die keinem der üblichen Junktoren entsprechen, die aber nichtsdestotrotz potentiellen 3-, 4- oder 17-stelligen Junktoren enstprechen, etwa die Funktion g mit w, w, w w, w, w,, w w,,, w, w, w,,, w,, g w w w

8 WAHRHEITSFUNKTIONEN UND JUNKTOREN Oenbar entspricht jeder Formel die wir in unserer Sprache, via Wahrheitstael ür diese Formel, eine bestimmte Wahrheitsunktion. Wir sagen dann auch, dass diese Formel die Wahrheitsunktion ausdrückt. Mit diesen Festlegungen können wir deinieren: De. Eine Menge von Junktoren J heisst unktional vollständig alls sich durch die Formeln, die sich mit Hile der Junktoren in J bilden lassen, alle Wahrheitsunktionen ausdrücken lassen.

9 WAHRHEITSFUNKTIONEN UND JUNKTOREN Die Frage, die wir uns zuerst stellen ist: Gibt es überhaupt Junktorenmengen J, die unktional vollständig sind? Ist insbesondere unsere Menge von Junktoren {,,,, } unktional vollständig? Die Antwort ist: Ja. Eine Möglichkeit das einzusehen, besteht darin zu zeigen, dass jede Wahrheitsunktion in kanonischer Weise durch eine Formel ausdrückbar ist, die nur die Junktoren, und enthält. (Klarerweise ist {,,,, } unktional vollständig, wenn wir zeigen können, dass sogar {,, } schon unktional vollständig ist.)

10 BEISPIEL: SUCHEN EINE FORMEL MIT FOLGENDER WAHRHEITSTAFEL α sollte wahr sein alls p q r α w w w w w w w w w w w w w w w

11 BEISPIEL: SUCHEN EINE FORMEL MIT FOLGENDER WAHRHEITSTAFEL α sollte wahr sein alls p q r α w w w w w w (i) p wahr, q wahr, r alsch sind oder p wahr, q alsch, r alsch sind oder p alsch, q alsch und r alsch sind w w w w w w w w w

12 BEISPIEL: SUCHEN EINE FORMEL MIT FOLGENDER WAHRHEITSTAFEL α sollte wahr sein alls p q r α w w w w w w w w w w w w (i) p wahr, q wahr, r alsch sind oder p wahr, q alsch, r alsch sind oder p alsch, q alsch und r alsch sind (ii) d.h. alls (p q r) wahr ist oder (p q r) wahr ist oder ( p q r) wahr ist w w w

13 BEISPIEL: SUCHEN EINE FORMEL MIT FOLGENDER WAHRHEITSTAFEL α sollte wahr sein alls p q r α w w w w w w w w w w w w w w (i) p wahr, q wahr, r alsch sind oder p wahr, q alsch, r alsch sind oder p alsch, q alsch und r alsch sind (ii) d.h. alls (p q r) wahr ist oder (p q r) wahr ist oder ( p q r) wahr ist (iii) d.h. alls (p q r) (p q r) ( p q r) wahr ist w

14 BEISPIEL: SUCHEN EINE FORMEL MIT FOLGENDER WAHRHEITSTAFEL α sollte wahr sein alls p q r α w w w w w w w w w w w w w w w (i) p wahr, q wahr, r alsch sind oder p wahr, q alsch, r alsch sind oder p alsch, q alsch und r alsch sind (ii) d.h. alls (p q r) wahr ist oder (p q r) wahr ist oder ( p q r) wahr ist (iii) d.h. alls (p q r) (p q r) ( p q r) wahr ist (iv)et voila! Formel geunden: α = (p q r) (p q r) ( p q r)

15 DISJUNKTIVE NORMALFORM (DNF) Zum Auinden einer Formel α, die eine bestimmte vorgegebene Wahrheitsunktion ausdrücken soll / eine bestimmte vorgegebene Wahrheitstael haben soll, beolgen wir also olgendes Kochrezept: Schritt 1: Finde alle Zeilen / Interpretationen, in denen die gesuchte Formel α wahr sein soll. Schritt 2: Für jede einzelne der Zeilen / Interpretationen, die du im ersten Schritt ausgemacht hast: Bilde die Konjunktion aller atomaren Aussagen bzw. deren Negationen, je nachdem ob die atomare Aussage in dieser Interpretation wahr oder alsch ist. Schritt 3: Bilde die Disjunktion all der Konjunktionen, die du im zweiten Schritt gebildet hast. Eine Formel der Art wie man sie durch dieses Kochrezept bekommt, d.h. eine Disjunktion von Konjunktion von Literalen (= atomare Formeln bzw. deren Negationen), nennt man auch (kanonische) disjunktive Normalorm oder (K)DNF.

16 DNF UND FUNKTIONALE VOLLSTÄNDIGKEIT Der theoretisch wichtige Punkt ist olgender: Es ist klar, dass (i) sich ür jede Wahrheitsunktion, die nicht immer den Wert (alsch) hat, eine Formel in kanonischer DNF inden lässt, die diese Wahrheitsunktion ausdrückt. (ii) sich die konstante Wahrheitsunktion, die immer den Wert (alsch) hat, durch eine Formel ausdrücken lässt, die nur Junktoren aus {,, } enthält. (Welche!?) Daraus ergibt sich olgendes Theorem. Die Junktorenmenge {,, } ist unktional vollständig.

17 DNF UND FUNKTIONALE VOLLSTÄNDIGKEIT Wir haben rüher schon gesehen, dass sich (α β) und (α β) durch ( α β) bzw. ( α β) deinieren lassen. Zusammen mit dem Theorem von vorhin, olgt daher soort: Theorem. Die Junktorenmengen {, } und {, } sind unktional vollständig. Wir wissen auch, dass wir das materiale Konditional deinieren können (z.b. durch (α β) oder α β). Daraus olgt: Theorem. Die Junktorenmenge {, } ist unktional vollständig. Wir können also zeigen, dass eine bestimmte Junktorenmenge J unktional vollständig ist, indem wir zeigen, dass mit Hile der Junktoren in J die Junktoren in {, } (oder {, } oder {, }) deiniert werden können.

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