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1 ormale Logik 4. Sitzung Prof. Dr. Ansgar Beckermann Sommersemester 2005 Erinnerung Ein Satz ist genau dann logisch wahr, wenn er unabhängig davon, was die in ihm vorkommenden deskriptiven Zeichen bedeuten allein aufgrund der Bedeutung der in ihm vorkommenden logischen Ausdrücke wahr ist. Ein Argument ist logisch gültig, wenn sich allein aus der Bedeutung der in ihm vorkommenden logischen Ausdrücke ergibt, dass in allen Argumenten, die dieselbe logische orm besitzen, die Konklusion wahr ist, wenn alle Prämissen wahr sind. Dass ein Satz A von AL unabhängig davon wahr ist, was die in ihm vorkommenden deskriptiven Zeichen bedeuten, können wir mit Hilfe der im letzten Kapitel eingeführten Terminologie so ausdrücken: A ist wahr bzgl. aller Bewertungen V. Und dass für ein Argument A 1, Also: A aus Sätzen von AL gilt: Jedes strukturgleiche Argument mit wahren Prämissen hat auch eine wahre Konklusion, können wir so ausdrücken: ür alle Bewertungen V gilt: enn die Sätze A 1,, A n alle wahr sind bzgl. V, dann ist auch A wahr bzgl. V. Definition 11.1 Ein Satz A der Sprache AL ist genau dann logisch wahr, wenn sich allein aus der Bedeutung der in ihm vorkommenden Junktoren ergibt, dass A bzgl. aller Bewertungen von AL wahr ist. Definition 11.2 Sind A 1 und A Sätze von AL, dann ist das Argument A 1, Also: A genau dann logisch gültig, wenn sich allein aus der Bedeutung der in den Sätzen A 1 und A vorkommenden Junktoren ergibt, dass für alle Bewertungen V gilt: Sind die Sätze A 1 alle wahr bzgl. V, dann ist auch A wahr bzgl. V.

2 rage oher kennen wir eigentlich die Bedeutung der logischen Ausdrücke von AL? Die Bedeutung eines sprachlichen Ausdrucks ist sein Beitrag zu den ahrheitsbedingungen der Sätze, in denen er vorkommt. Definition 10.3 Ist V eine Bewertung der Sprache AL, dann ist ein Satz A von AL genau dann wahr bezüglich V, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i) A ist ein Satzbuchstabe, und die ahrheitsbedingung, die VAzuordnet, ist erfüllt; (ii) A ist eine Negation, d.h. A = B, und B ist falsch bzgl. V; (iii) A ist eine Konjunktion, d.h. A = (B C), und B und C sind beide wahr bzgl. V; Definition 10.3 Ist V eine Bewertung der Sprache AL, dann ist ein Satz A von AL genau dann wahr bezüglich V, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (iv) A ist eine Adjunktion, d.h. A = (B C), und von den Sätzen B und C ist mindestens einer wahr bzgl. V; (v) A ist eine Subjunktion, d.h. A = (B C), und B ist falsch bzgl. V oder C ist wahr bzgl. V oder beides; (vi) A ist eine Bisubjunktion, d.h. A = (B C), und die Sätze B und C sind beide wahr oder beide falsch bzgl. V. rage oher kennen wir eigentlich die Bedeutung der logischen Ausdrücke von AL? Antwort Die Bedeutung der logischen Ausdrücke von AL (der Junktoren) ergibt sich aus den Bedingungen der Definition 10.3.

3 Definition 11.1 Ein Satz A der Sprache AL ist genau dann logisch wahr, wenn sich allein aus der Bedeutung der in ihm vorkommenden Junktoren ergibt, dass A bzgl. aller Bewertungen von AL wahr ist. Definition 11.3 Ein Satz A der Sprache AL ist genau dann logisch wahr (symbolisch: AL A), wenn sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass A bzgl. aller Bewertungen von AL wahr ist. Definition 11.2 Sind A 1 und A Sätze von AL, dann ist das Argument A 1,, A n, Also: A genau dann logisch gültig, wenn sich allein aus der Bedeutung der in den Sätzen A 1 und A vorkommenden Junktoren ergibt, dass für alle Bewertungen V gilt: Sind die Sätze A 1 alle wahr bzgl. V, dann ist auch A wahr bzgl. V. Definition 11.4 Sind A 1 und A Sätze von AL, dann ist das Argument A 1, Also: A genau dann logisch gültig (symbolisch: A 1 AL A), wenn sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass für alle Bewertungen V gilt: Sind die Sätze A 1 alle wahr bzgl. V, dann ist auch A wahr bzgl. V. Sprachliche Verabredung 1. Ein Satz A der Sprache AL soll genau dann eine Tautologie heißen, wenn er logisch wahr ist. 2. Ein Satz A der Sprache AL soll genau dann eine Kontradiktion ( logisch falsch ) heißen, wenn sich allein aus der Bedeutung der in ihm vorkommenden Junktoren d.h., allein aus den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass A bzgl. aller Bewertungen von AL falsch ist. Definition 11.5 Zwei Sätze A und B der Sprache AL heißen genau dann logisch äuivalent (symbolisch: A AL B), wenn sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass für alle Bewertungen V von AL gilt: A ist genau dann wahr bzgl. V, wenn B wahr ist bzgl. V.

4 rage ie kann man feststellen, ob die Bedingungen der Definitionen 11.3, 11.4 und 11.5? Antwort Z.B. durch die ahrheitstafelmethode und durch die ahrheitsbaummethode. Die ahrheitstafelmethode Die ahrheitstafelmethode Betrachten wir z.b. den Satz (1) p p. ie kann man herausbekommen, ob sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass dieser Satz wahr ist bzgl. aller Bewertungen von AL? Die ahrheitstafelmethode Die ahrheitstafelmethode Es gibt nur 4 Arten von Bewertungen: Bewertungen, bzgl. deren p und beide wahr sind. Bewertungen, bzgl. deren p wahr und falsch ist. Bewertungen, bzgl. deren p falsch und wahr ist. Bewertungen, bzgl. deren p und beide falsch sind. enn für jede dieser 4 Arten gezeigt werden kann, dass aus der Definition 10.3 folgt, dass der Satz p p (1) p p wahr ist bzgl. aller Bewertungen dieser Art, dann ist damit gezeigt, dass (1) wahr ist bzgl. aller Bewertungen von AL. ahrheitswertverlauf

5 Die ahrheitstafelmethode Die ahrheitstafelmethode Ein zweites Beispiel (2) (p ) p Man kann mit der ahrheitstafelmethode nicht nur für einzelne Sätze von AL, sondern für alle Sätze einer bestimmten orm überprüfen, ob sie logisch wahr sind. p (p ) p Denn auch für beliebige Sätze A und B von AL z.b. gilt, dass es nur 4 Arten von Bewertungen gibt: Bewertungen, bzgl. deren A und B beide wahr sind. Bewertungen, bzgl. deren A wahr und B falsch ist. Bewertungen, bzgl. deren A falsch und B wahr ist. Bewertungen, bzgl. deren A und B beide falsch sind. Die ahrheitstafelmethode Die ahrheitstafelmethode Beispiel (A B) ( B A) A B (A B) ( B A) Mit Hilfe der ahrheitstafelmethode kann man außerdem auch prüfen, ob ein Satz von AL eine Kontradiktion ist bzw. ob alle Sätze einer bestimmten orm Kontradiktionen sind. Beispiel (A B) ( B A) A B (A B) ( B A)

6 Die ahrheitstafelmethode Satz 12.1 Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gilt: 1. AL A A (Satz der Identität) 2. AL A A (Satz vom ausgeschlossenen Dritten) 3. AL (A A) (Satz vom ausgeschlossenen iderspruch) 4. AL (A A) A (Satz des Clavius) 5. AL A (A B) (Satz des Duns Scotus) 6. AL A B A (Satz des Petrus Hispanus) 7. AL A A B Die ahrheitstafelmethode Satz 12.1 Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gilt: 8. AL A B (A B) 9. AL A (B A) 10a. AL (A B) ( B A) (Kontraposition) 10b. AL ( B A) (A B) (Kontraposition) 11.a. AL (A B B) A 11.b. AL ( A B B) A 12. AL (A (B C)) ((A B) (A C)) Die ahrheitstafelmethode Auch wenn es darum geht, zu überprüfen, ob ein Satz A aus den Sätzen A 1,..., A n folgt, kann man die ahrheitstafelmethode anwenden. Vorgehensweise I Bei der ersten Vorgehensweise zieht man die ahrheitstafeln für die Prämissen A 1,..., A n und die Konklusion A in eine ahrheitstafel zusammen, damit man die ahrheitswertverläufe dieser Sätze direkt vergleichen kann. Die ahrheitstafelmethode Auch wenn es darum geht, zu überprüfen, ob ein Satz A aus den Sätzen A 1,..., A n folgt, kann man die ahrheitstafelmethode anwenden. Vorgehensweise II Bei der zweiten Vorgehensweise prüft man, ob die Subjunktion wahr ist, deren Vorderglied aus der Konjunktion der Prämissen und deren Hinterglied aus der Konklusion besteht. D.h., wenn man prüfen will, ob der Satz A aus den Sätzen A 1,..., A n logisch folgt, überprüft man, ob der Satz A 1 A 2... A n A logisch wahr ist.

7 Die ahrheitstafelmethode Die ahrheitstafelmethode rage p, p AL? olgt logisch aus den Sätzen p und p? D.h., gilt: p, p AL? p p p Die ahrheitstafelmethode Die ahrheitstafelmethode p, p AL? Satz 12.2 p (p ) p Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gilt: 1. A B, A AL B (Modus ponens) 2. A B, B C AL A C (Kettenschluss) 3. A B, B AL A 4. A B, B AL A (Modus tollens)

8 Die ahrheitstafelmethode Satz Zwei Sätze A und B der Sprache AL sind genau dann logisch äuivalent, wenn die Bisubjunktion A B logisch wahr ist. Satz 11.8 Ist A ein Satz der Sprache AL, der den Satz B als Teilsatz enthält, und A der Satz, den man aus A erhält, indem man in A den Teilsatz B durch den Satz C ersetzt, dann gilt: enn B AL C, dann auch A AL A. Die ahrheitstafelmethode Satz 11.6 Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gelten die folgenden Äuivalenzen: 1. A AL A (Gesetz der doppelten Negation) 2.a A B AL ( A B) 2.b (A B) AL A B (Erstes Gesetz von De Morgan) 3.a A B AL ( A B) 3.b (A B) AL A B (Zweites Gesetz von De Morgan) Satz 11.6 Die ahrheitstafelmethode Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gelten die folgenden Äuivalenzen: 4. A B AL B A (Gesetz der Kontraposition) 5. A B AL A B 6. A B AL (A B) 7. A B AL A B 8. (A B) AL A B 9. A B AL (A B) (B A)

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