Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln

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1 5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst de wchtgste Recheregel vor. Nachfolged werde wr da ee Rehe vo Aweduge auf kombatorsche Schaltuge keelere. De BOOLEsche ALgebra ket ee gaze Mege Regel, de Se - we Se egermaße erfolgrech mt der BOOLEsche Algebra umgehe wolle - alle kee sollte. Ege davo habe Se berets keegelert. Der Umgag mt der BOOLEsche Algebra erfordert ege Route. Ee Besoderhet der BOOLEsche Algebra besteht dar, daß de sture Awedug der Regel mest cht zum Zel führt. Ma muß m allgemee sehr kokrete Vorstelluge davo habe, we das Ergebs aussehe soll, ud dafür geegete Regel auswähle. Ee BOOLEsche Fukto (s. o. st ee edeutge Abbldug f: B k > B mt B = {0,} ud B k = B B... B k-mal = { = (,,..., k }, B, =,...,k = {0...00,0...0,0...0,0...,...,...} de jedem Bärvektor B k B zuordet. ees der bede Elemete der Mege Für de Mege B gelte de ahelegede Ordugsrelato 0 <, woraus folgt 0 für alle für alle Wr wolle de Kosequeze daraus her cht weter vertefe. Für gewsse Begrffsblduge st es aber ützlch, sch dese Sachverhalt ezupräge. Vo de obe berets egeführte Fuktoe eer ud zweer Varable werde wr m wetere ur ee Telmege beötge ud äher betrachte. 4

2 Negato Schrebwese y = f( = / = = NOT Wahrhetstabelle y 0 0 Regel 0 = Kojukto = 0 = 0 = 0 = = = Schrebwese y = f (, & AND = m(, Wahrhetstabelle y Regel 0 = 0 (Idempotez = 0 (Komplemet (Kommutatvtät = ( ( (Assozatvtät Dsjukto Schrebwese y = f (, + OR = ma(, 4

3 Wahrhetstabelle y Regel 0 = (Idempotez = (Komplemet (Kommutatvtät = ( ( (Assozatvtät Atvalez Schrebwese y = f (, XOR Wahrhetstabelle y y Regel 0 = 0 = (Kommutatvtät = ( ( (Assozatvtät Äquvalez Schrebwese y = f (, XNOR EQU 4

4 Wahrhetstabelle y y Regel 0 = = 0 (Kommutatvtät = ( ( (Assozatvtät Wetere Recheregel ( ( ( (Dstrbutvtät ( ( ( (Dstrbutvtät ( ( ( (Dstrbutvtät ( ( ( (Dstrbutvtät ( (Absorpto ( (Absorpto ( (Absorpto ( (Absorpto (DeMorga (DeMorga (DeMorga, geeralsert (DeMorga, geeralsert f(,...,,, = f(,...,,, (Shao Der Shaosche Satz läßt sch och weter verallgemeer. Wege der Dualtät vo Kojukto ud Dsjukto eersets 44

5 ud Äquvalez ud Atvalez aderersets glt z. B. auch f(,...,,, = f(,...,,, Für de Umgag mt Äquvalez ud Atvalez sd och de achfolgede Regel hlfrech. De ver letztgeate Regel gelte allgeme ur für gerade Azahle vo Varable. Für ugerade Azahle vo Varable glt z. B.!!! De bede letzte Regel werde wr ur selte ud da ur eem ezge Zusammehag verwede: Etwckel eer Fukto f( ach eer Varable : f(,...,,..., f( = f( = 0 f(,...,,..., f(,...,0,..., Ablete eer Fukto f( ach eer Varable : δ f( δ f(,...,,..., = = f( f( δ δ = 0 = = f(,...,0,..., f(,...,,..., = f(,...,,..., f(,...,,..., 45

6 5... Wahrhetstabelle ud Normalforme Wahrhetstabelle habe wr berets keegelert ud verwedet. Se sd ees der grudlegede Beschrebugsmttel BOOLEscher Fuktoe. Im Kopf der Wahrhetstabelle werde auf der lke Sete de Varable eer geegete (d. h. a das kokrete Problem agepaßte Rehefolge aufgetrage, auf der rechte Sete der Fuktoswert f(. I der Tabelle selbst trägt ma auf der lke Sete alle dekbare Beleguge der Varable utereader e (ebefalls eer geegete, problemagepaßte Rehefolge!. Auf der rechte Sete ordet ma jeder Belegug der Varable de etsprechede Fuktoswert zu.... y = f(,,..., f(0,0,..., f(0,0,..., f(,,..., Aus der Wahrhetstabelle ka folgede BOOLEsche Fukto abgelese werde: y = f(,,...,... f( f( f(... Wr werde später dese ausführlche Schrebwese och verwede. Für de umttelbar folgede Betrachtuge verwede wr ee verefachte Schrebwese. Da de Fuktoswerte f( ur de Werte 0 oder aehme köe ud da außerdem glt 0 = 0 ud 0, köe alle dejege Kojuktoe weggelasse werde, de de Fuktoswert 0 lefer. Be de Kojuktoe, de de Fuktoswert lefer, lasse wr darüber haus de Fuktoswert weg. Bespel 5. Uter ".4.. Addto" habe wr ee Wahrhetstabelle verwedet, dort allerdgs für e Fuktosbüdel, da auf der rechte Sete zwe Fuktoswerte aufgeführt ware. Wr beschräke us her auf de auslaufede Übertrag c aus a b c c a b c c e aus e aus

7 ud lese aus der Tabelle zuächst ausführlch ab: c = a b c 0 a b c 0 a b c 0 a b c aus e e e e a b c 0 a b c a b c a b c e e e e Weglasse aller Kojuktoe mt dem Fuktoswert 0 ud Weglasse des Fuktoswerts be de verblebede Kojuktoe lefert schleßlch de verefachte Schrebwese: c = a b c a b c a b c a b c aus e e e e Obe der Tabelle sd de etsprechede Kojuktoe fett markert, ud es wrd klar se, daß der "Umweg" über de ausführlche Schrebwese zuküftg cht mehr ötg se wrd. Dese Schrebwese (Notatosform eer BOOLEsche Fukto heßt Kaosche dsjuktve Normalform (KDNF. Def.: Kaosche dsjuktve Normalform (KDNF De Kaosche dsjuktve Normalform (KDNF eer BOOLEsche Fukto f( st de dsjuktve Verküpfug eer Azahl vo Kojuktoe K j f( = f(,,...,,..., m = K K... K j... K, wobe jede der Kojuktoe K j ee kojuktve Verküpfug aller Varable (echt oder egert st. Bespel 5.. We blebe be der Wahrhetstabelle aus Bespel 5.. a b c c a b c c e aus e aus We ma aus der Tabelle de Zele auslest, dee c aus de Wert Null erhält (fett markert, ergbt sch aalog zu Bespel 5.. zuächst c = a b c a b c a b c a b c aus e e e e ud weter 47

8 c = a b c a b c a b c a b c. aus e e e e De Awedug eer der DeMorgasche Regel lefert da c = a b c a b c a b c a b c aus e e e e = (a b c (a b c (a b c (a b c e e e e Dese Schrebwese (Notatosform eer BOOLEsche Fukto heßt Kaosche kojuktve Normalform (KKNF. Def.: Kaosche kojuktve Normalform (KKNF De Kaosche kojuktve Normalform (KKNF eer BOOLEsche Fukto f( st de kojuktve Verküpfug eer Azahl vo Dsjuktoe D j f( = f(,,...,,..., m = D D... D j... D, wobe jede der Dsjuktoe D j ee dsjuktve Verküpfug aller Varable (echt oder egert st. Bespel 5.. (Vorgrff auf de Mmerug Ausgehed vom Ergebs des Bespels 5.. c = a b c a b c a b c a b c aus e e e e = K K K K 4 fdet ma durch "scharfes Hsehe" K K = a b c a b c = (a a b c = b c 4 e e e e K K = a b c a b c = a (b b c = a c 4 e e e e K K = a b c a b c = a b (c c = a b 4 e e e e ud schleßlch c = b c a c a b. aus e e 48

9 Dese Schrebwese (Notatosform eer BOOLEsche Fukto heßt Dsjuktve Normalform (DNF. Def.: Dsjuktve Normalform (DNF De Dsjuktve Normalform (DNF eer BOOLEsche Fukto f( st de dsjuktve Verküpfug eer Azahl vo Kojuktoe K j f( = f(,,...,,..., m = K K... K j... K, wobe jede der Kojuktoe K j ee ezge Varable (echt oder egert oder de kojuktve Verküpfug mehrerer oder aller Varable (echt oder egert se ka. Bespel 5.4. (Vorgrff auf de Mmerug Ausgehed vom Ergebs des Bespels 5.. c = (a b c (a b c (a b c (a b c aus e e e e = D D D D 4 fdet ma durch "scharfes Hsehe" D D = (a b c (a b c = a b (c c = a b e e e e D D = (a b c (a b c = a (b b c = a c e e e e D D = (a b c (a b c = (a a b c = b c 4 e e e e ud schleßlch c = (a b (a c (b c. aus e e Dese Schrebwese (Notatosform eer BOOLEsche Fukto heßt Kojuktve Normalform (KNF. 49

10 Def.: Kojuktve Normalform (KNF De Kojuktve Normalform (KNF eer BOOLEsche Fukto f( st de kojuktve Verküpfug eer Azahl vo Dsjuktoe D j f( = f(,,...,,..., m = D D... D j... D, wobe jede der Dsjuktoe D j ee ezge Varable (echt oder egert oder de dsjuktve Verküpfug mehrerer oder aller Varable (echt oder egert se ka. Für jede BOOLEsche Fukto f( estert - abgesehe vo Vertauschuge wege der Kommutatvtät der Kojukto ud der Dsjukto - geau ee KDNF ud geau ee KKNF. DNF ud KNF ka es für e ud deselbe BOOLEsche Fukto mehrere uterschedlche gebe. Es gbt wetere Normalforme, de wr her cht verwede werde. 50

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