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1 Streuungswerte: 1) Range (R) ab metrschem Messnveau ) Quartlabstand (QA) und mttlere Quartlabstand (MQA) ab metrschem Messnveau 3) Durchschnttlche Abwechung (AD) ab metrschem Messnveau 4) Varanz (s ) ab metrschem Messnveau ) Standardabwechung (s) ab metrschem Messnveau 6) Varatonskoeffzent (Vk) ab ratoskalertem Messnveau 1) Range (R): wrd auch Spannwete bzw. Varatonsbrete genannt st defnert als de Dfferenz zwschen dem größten und klensten Messwert ener Vertelung: R = x max - x mn Vortel des Streuungsmaßes: R st sehr enfach zu berechnen Nachtel des Streuungsmaßes: R gbt kene Auskunft über de Streuung der übrgen Messwerte, de zwschen den Extremwerten legen R wrd von Extremwerten beenflusst Bespel: Vertelung A x Vertelung B x R = 16 - = 14 R = 99 - = 97

2 ) Der Quartlabstand (QA) und der mttlere Quartlabstand (MQA): Es gbt zwe wetere Streuungsmaße, de erheblch stabler snd als der Range, wel se ncht von Extremwerten der Vertelung abhängen. Das erste Maß st der Quartlabstand (QA), defnert als: Quartlabstand (QA) = Q 3 - Q 1 Das zwete Maß st der mttlere Quartlabstand (MQA), defnert als: Q 3 Q MQA = 1 wobe Q 1 und Q 3 Quartle snd, nämlch das erste und drtte Quartl, de Schnttpunkte zwschen Verteln der Vertelung blden. De Quartle trennen de unteren und oberen % der Fälle ener Vertelung von den mttleren 0% der Fälle. Enen weteren Schnttpunkt bldet das zwete Quartl (Q ), das de Vertelung halbert und mt dem Medan dentsch st. Der Quartlabstand st demnach de Länge des Intervalls, das de mttleren 0% Fälle ener Beobachtungsrehe umfasst. Illustraton der Quartle und des Quartlabstandes: % der Fälle % der Fälle % der Fälle % der Fälle Q 1 Q = x Q 3 Quartlabstand (QA) Mttleren 0% der Fälle 3

3 Berechnung der Quartle: Man ermttelt de Quartle n drekter Analoge zur Bestmmung des Medans. Vorgehenswese: 1) Man ermttelt ¼ N bzw. ¾ N, d.h. de Anzahl der Fälle, de unterhalb Q 1 bzw. Q 3 legen. Q 1 = Messwert, unterhalb dessen genau ¼ und oberhalb dessen ¾ der Messwerte ener geordneten Rehe legt. Q 1 = ¼ N Q 3 = Messwert, unterhalb dessen genau ¾ und oberhalb dessen genau ¼ der Messwerte ener geordneten Rehe legt. Q 3 = ¾ N ) Man bestmmt anhand der kumulerten Häufgketsvertelung de (Klassen-) Intervalle, n de de Quartle Q 1 bzw. Q 3 fallen (Quartlntervalle). Das snd de Messwerte bzw. Intervalle mt ener kumulerten Häufgket glech oder (nächst) größer als ¼ N bzw. ¾ N. Ist de kumulerte Häufgket enes Intervalls genau glech ¼ N, dann st de exakte obere Grenze deses Intervalls der Wert des Quartls Q 1 ; st se genau glech ¾ N, dann st de exakte obere Grenze deses Intervalls der Wert des Quartls Q 3. 3) Man vergewssert sch der exakten unteren und oberen Grenzen der Quartlntervalle. 4) Man berechnet de Quartle nun nach der Formel: ¼ N Fu ¾ N Fu Q1 = U + h Fm und Q3 = U + h Fm U = exakte untere Grenze des Quartlntervalls N = Anzahl der Fälle Fu = kumulerte Häufgket unterhalb des Quartlntervalls Fm = Häufgket m Quartlntervall h bzw. Kb = Brete des Quartlntervalls De Quartle werden ncht durch Extremwerte beenflusst. Ene möglche graphsche Darstellung der Quartle st der Boxplot. 4

4 Konstrukton enes Boxplots: Gegeben se: Q 1 = Q = x ~ = 3 Q 3 = 4 x mn = 1 x max = 7 x 7 x max Q 3 Q Q 1 x mn

5 ) De durchschnttlche Abwechung (AD): Statstsches Streuungsmaß (we de Varanz und Standardabwechung (sehe unten)), das de Vertelung der Messwerten um hr arthmetsche Mttel charaktersert. Da de Summe der Abwechungen der Messwerte von hrem arthmetschen Mttel mmer glech Null st, müssen de negatven Vorzechen ausgeschaltet werden. De Durchschnttlche Abwechung, Standardabwechung und Varanz stellen verschedene Versonen dar, de anfallenden negatven Vorzechen be der Errechnung der Abwechungen (x - x ) zu umgehen. De Dfferenzen der Messwerte zu hrem arthmetschen Mttel werden her mt Betragsklammern absolut gesetzt. AD = f x N x Bespel: Varable Alter x f f x x - x f x - x = = = 1 = = = = 1 = = = 3 N = 1 1 x = = 1 AD = =,4 Interpretaton: En AD-Wert von,4 besagt, dass de Messwerte m Durchschntt,4 Enheten von hrem arthmetschen Mttel abwechen. Auf de Varable Alter bezogen bedeutet des: De Messwerte wechen durchschnttlch um,4 Jahre vom Altersdurchschntt ( x = Jahre) ab. 6

6 6) Varanz ( s ): st de Summe der quadrerten Abwechungen aller Messwerte von hrem arthmetschen Mttel, getelt durch hre Anzahl: f ( x x) s = N Bespel: Varable Alter x f f x (x - x ) (x - x ) f (x - x ) = = = = = = = = = = 9 N = x = = s = 34 = 6,8 Interpretaton: En s -Wert von 6,8 besagt, dass de Messwerte m Durchschntt 6,8 Quadrat-Enheten von hrem arthmetschen Mttel abwechen. Auf de Varable Alter bezogen bedeutet des: De Messwerte wechen durchschnttlch um 6,8 Quadrat-Jahre vom Altersdurchschntt ( x = Jahre) ab. 7

7 7) Standardabwechung (s): st de Wurzel aus der Varanz: s = s bzw. s = f ( x N x) Bespel: s = 6,8. Demnach beträgt de Standardabwechung s = 6,8 =, 61 Interpretaton: En s-wert von,61 besagt, dass de Messwerte m Durchschntt,61 Enheten von hrem arthmetschen Mttel abwechen. Auf de Varable Alter bezogen bedeutet des: De Messwerte wechen durchschnttlch um,61 Jahre vom Altersdurchschntt ( x = Jahre) ab. Allgemen: Standardabwechung und Varanz snd grundsätzlch als glechwertge Streuungsmaße anzusehen, denn wenn de Varanz groß (klen) st, st auch de Standardabwechung groß (klen). Für deskrptve Zwecke st allerdngs de Standardabwechung vorzuzehen, wel se en Kennwert n der Enhet der zugrunde legenden Messwerte st (n dem her vorlegenden Rechenbespel Jahre, ncht Quadrat-Jahre ) 8

8 Varatonskoeffzent (Vk, V) bzw. Unglechhetsmaß: Formel: s Vk =, wobe x > 0 x Der Varanzkoeffzent relatvert de Standardabwechung am Mttelwert. Der Varatonskoeffzent drückt de Standardabwechung n Mttelwertsenheten aus. Deses Maß wrd gelegentlch engesetzt, wenn Streuungen von Vertelungen mt unterschedlchen Mttelwerten zu verglechen snd und Mttelwert und Streuung vonenander abhängen. Bespel: Haushaltjahresenkommen n den Ländern A und B Land A: Land B: x A = xb = 0.000, da = Land A Land B x (x - x ) (x - x ) f (x - x ) x (x - x ) (x - x ) f (x - x ) s A = = 0 = 0 und s B = = = De Standardabwechung s bezeht sch auf de Dmensonen der Messwerte, z.b. auf das Enkommen n Euro Der Varatonskoeffzent st ene dmensonslose Größe und unempfndlch gegenüber lnearen Transformatonen (z.b. Wechselkursumrechnung) Vk A = = 0 und Vk B = = 1, Interpretaton: In beden Ländern streut, gemessen am Durchschntt, das Haushaltsenkommen unglech. De relatve Streuung st für das Land B größer als für das Land A. 9

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