Theoretische Informatik ITI

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1 Institut für Theoretishe Informtik ITI Dr. Jürgen Koslowski Theoretishe Informtik 2 Aufgenltt 6, Üungsufge 1 Weisen Sie die N P -Vollständigkeit des E-Prolem Clique nh (vergl. Bltt 5, Aufge 1). Wrum folgt dmit uh die NP - Vollständigkeit der Proleme UM und KÜ? Lösungsvorshlg: Clique gehört zu N P : Für die Einge V, E, k mit v =: n können k - elementige Teilmengen in Form von inären n -Tupeln mit k Einsen ls potentielle Zertifikte dienen. Ihre Länge ist liner eshränkt durh die Länge der Einge (Adjzenzmtrix mit Knotenzhl n ). Und in polynomiler Zeit knn üerprüft werden, o lle Elemente der gewählten Teilmenge durh G - Knten miteinnder verunden sind. Wir spezifizieren eine Reduktion St Clique wie folgt: für eine Boole she Formel ϕ in KNF ilden die Literle in den Kluseln die Knoten des Grphen G ϕ. Genuer: die Knoten sind Pre A, α, woei A eine Klusel und α ein in A vorkommendes Literl ist. A, α ist mit B, β genu dnn durh eine Knte verunden, wenn A B und α und β niht Negtionen voneinnder sind. Als Konstnte k verwenden wir die Anzhl der Kluseln in ϕ. Lufzeit: Die Konstruktion von G ϕ knn in polynomiler Zeit erfolgen: die Knoten sind direkt us ϕ lesr, während die Kntenkonstruktion den Vergleih eines Knotens mit den Literlen us llen nderen Klusen verlngt, ws eine Lufzeit von O(n 2 ) ht. Korrektheit: Eine erfüllende Belegung von ϕ muß jede Klusel mit true elegen, lso mindestens einem Literl us jeder Kluse den Wert true zuweisen. Ist ϕ erfüllr, wählen wir eine erfüllende Belegung und us jeder Klusel ein mit true elegtes Literl us. In dieser Menge von Literlen knn keine Vrile und ihre Negtion vorkommen. Dfür sind in G ϕ ll diese Literle durh Knten miteinnder verunden, ilden lso eine Clique der Größe k. Ist umgekehrt C V ϕ eine k Clique in G ϕ, so elegen wir lle Literle in C mit true. Nh Konstruktion von G ϕ enthält C keine Vrile und ihre Negtion, dmit ist diese Teilelegung konsistent. Alle niht in C uftretenden Literle können elieig elegt werden, solnge sih die Werte für eine Vrile und ihre Negtion untersheiden. Nun enthält jede der k Kluseln einen Knoten der Clique, und somit ein mit true elegtes Literl, ht lso seler den Wert tru. Ds gilt uh für ϕ ls Konjunktion ller Kluseln. Nh Aufge 1 sind Clique, UM und KÜ lle gleih shwierig, d wehselseitig ufeinnder reduzierr. D Clique zu N P gehört, gilt dies uh für die nderen eiden Proleme, d NP ezüglih ein unterer Ashnitt ist. Und die Verknüpfung dieser Reduktionen mit oiger Reduktion KNF-St Clique liefert Reduktionen KNF-St UM und KNF-St KÜ, welhe die N P -Vollständigkeit dieser Proleme zeigen. Aufge 2 [10 PUNKTE] Geen Sie für den Üergng q i(y), s j(y) q i (y), s j (y) zur Zeit t mit j(y) = 2 und

2 j (y) = 0 die Kluseln(!) n, die ls Teil von ϕ w Kopfposition, Feldinhlt und Bndinhlt zu den Zeiten t und t + 1 zueinnder in Beziehung setzen. Aufge 3 [10 PUNKTE] Geen Sie einen lterntiven Beweis der Zugehörigkeit von 3-Färrkeit zu NP n, indem Sie 3-Färrkeit uf St reduzieren. [Hinweis: Sie ruhen hier niht den Beweis des Cook shen Stzes nhzuspielen!] Aufge 4 [23 PUNKTE] Ds E-Prolem Inzidenz System (IS) ht ls Einge eine Menge S, eine endlihe Fmilie von Teilmengen S j S, j < n, und eine gnze Zhl k S. Zu entsheiden ist, o es eine Teilmenge T S mit höhstens k Elementen git, die jede der Mengen S j nihtleer shneidet. () [3 punkte] Üerlegen Sie sih zunähst eine vernünftige inäre Codierung von Instnzen dieses Prolems ls Einge für eine Turingmshine. () [20 punkte] Beweisen Sie dnn detilliert die NP-Vollständigkeit dieses Prolems. Üungsufge 5 [Zum Selststudium] Finden Sie eine korrekte Reduktion 3-St Hmiltonsher Kreis Lösungsvorshlg: Die folgende Lösung siert uf dem Beweis von Theorem 9.7 in [Pp94], der lledings m Shluß einen Fehler enthält: Idee: die Literle einer Boole shen Formel ϕ in KNF sollen uf estimmte Knten eines Grphen R(ϕ) geildet werden. Und d in 3-St jede Klusel ψ = (α β γ) us genu drei Literlen esteht, sollen die zugehörigen Knten ein usgezeihnetes Dreiek (ψ) ilden: α ψ 0 γ (1) Bei Kluseln liefert dies 3 Knoten. ψ 1 ψ 0 β Nun wollen wir erreihen, dß in jedem der Dreieke (ψ) Knten genu dnn zu einem Hmiltonshen Kreis gehören, wenn sie mit f lse ewertet werden. Insesondere können dnn niht lle drei Seiten von (ψ) vorkommen. Zu diesem Zwek ordnen wir in einer Vorstufe R(ϕ) von R(ϕ) jeder in ϕ vorkommenden Vrilen x i, i < n, zusätzlih zwei prllele(!) Knten zu, die die Belegungen von x i mit true zw. f lse repräsentieren. Dies erfordert n + 1 zusätzlihe Knoten, die wir einfh mit i n durhnummerieren: x i, true i i + 1 x i, flse Ds Prolem prlleler Knten löst sih im Folgenden utomtish, sold sie durh weitere Hilfsknoten ufgeteilt werden. Außerdem verfüge R(ϕ) üer zwei weitere Hilfsknoten J und K, die mit 0 und n und den Eken ller usgezeihneten Dreieke (ϕ) zu einer großen Clique mit Knoten verunden werden. (2)

3 Wird x i mit i < n mit true elegt, so möhten wir die entsprehende Knte von i nh i + 1 für einen Hmilton shen Kreis verwenden, der dnn keine der Knten für ds Literl x in den usgezeihneten Dreieken enthlten soll. Entsprehend drf die ndere Knte von i nh i + 1 niht in dem Hmiltonshen Kreis uftreten, während lle Knten für ds Literl x i in den usgezeiheneten Dreieken dzugehören sollen. Bei einer Belegung von x i mit f lse ist entsprehend umgekehrt zu verfhren: genu die mit f lse ezeihnete Knte von i nh i + 1 soll zum Hmilton shen Kreis gehören, eenso jede x i entsprehende Knte in den usgezeihneten Dreieken. Wir hen somit estimmte Pre von disjunkten Knten, von denen wir siherstellen wollen, dß genu eine von ihnen zu einem Hmiltonshen Kreis gehören knn. Folgende Hilfskonstruktion setzt diese Neenedingung für disjunkte Knten um, woei die disjunkten Knten durh Hilfsknoten ufgeteilt werden: ist der Grph d (3) Teilgrph eines Grphen G, woei von den niht ezeihneten Hilfsknoten keine weiteren Knten usgehen, so git es nur zwei Möglihkeiten, wie ein Hmilton sher Kreis für G diesen Teilgrphen durhlufen knn: mändernd zwishen und, oder mändernd zwishen und d. Jede Aweihung von einem dieser Wege führt zwngsläufig dzu, dß ein Knoten usgelssen wird. (Mn ehte, dß sehs Hilfsknoten und zwei vertikle Verindungen niht usreihen, um diese Verhlten zu grntieren. Neun Hilfsknoten und drei vertiklen Verindungen sheinen uszureihen, wenn mn und d vertusht.) Enthält umgekehrt ein Grph H disjunkte Knten {, } und {, d}, so knn mn sie durh den Grphen (3) ersetzen und somit erreihen, dß ein Hmilton sher Kreis im derrt modifizierten Grphen H entweder den mändernden Weg zwishen und, entsprehend der Knte {, } in H, oder den mändernden Weg zwishen und d, entsprehend der Knte {, d} in H enthält. Sollen im Grphen H entweder {, } oder die eiden Knten {, d} und {e, f} in einem Hmilton shen Kreis liegen (lle Knten prweise disjunkt), so läßt sih ds z.b. mit folgendem Hilfsgrphen relisieren d (4) e f Anlog knn mn verfhren, wenn die Alterntive zur Knte {, } us mehr ls zwei Knten esteht. Der Üersihtlihkeit hler werden wir diese Konstruktion durh folgende Mrkierung der zu verindenden Knten im Grphen R(ϕ) kenntlih mhen: d, d e f, d g e f h usw. (5) Um R(ϕ) zu erhlten verinden wir lle dem Literl x i entsprehenden Knten der usgezeihneten Dreieke mittels der oigen Konstruktion (5) mit der Knte x i true von i nh i + 1, und lle dem Literl x i entsprehenden Knten der usgezeihneten Dreieke mit der

4 Knte x i flse von i nh i + 1. D mindestens eine der ursprünglih prllelen Knten von i nh i + 1 gemäß (5) mit mindestens einer usgezeihneten Dreieksknte verunden ist, ht R(ϕ) keine prllelen Knten mehr. R(ϕ) esitzt 3 + n + 3 Knoten, und jede Knte der usgezeihneten Dreieke wird mittels 12 Hilfsknoten mit einer der Knten us (2) verunden. R(ϕ) esitzt dher 39 + n + 3 Knoten. Offenr knn R(ϕ) in polynomiler Zeit in n + konstruiert werden. Korrektheit der Reduktion: Die grphishe Akürzung (5) erlut uns, im Wesentlihen im Grphen R(ϕ) zu rgumentieren, der üersihtliher ist ls R(ϕ). Jeder Hmiltonshe Kreis C in R(ϕ) induziert zwei Pfde C 0 und C 1 von 0 nh n, von denen C 0 lle Knoten 1... n 1 enthält, während in C 1 usshließlih Knoten der usgezeihneten Dreieke vorkommen. Der Verluf von C 0 estimmt dei einen Whrheitswert für die Vrilen x i, i < n, entsprehend der ursprünglihen prllelen Knten von i nh i + 1. Dies shließt us, dß die gemäß (5) mit dieser verundenen und mit true ewerteten Literl-Knten der usgezeihneten Dreieke in C vorkommen, während die mit f lse ewerteten Literl-Knten dieser Dreieke in C vorkommen müssen. Aer in keinem usgezeihneten Dreiek können lle drei Knten zu C gehören, sonst w ürde ein Knoten mehrfh uftreten. Folglih muß mindestens ein Literl pro Klusel den Wert true hen, und somit ist ϕ erfüllr. Ist umgekehrt ϕ erfüllr, etw mit einer Belegung { x i : i < n } {true, flse} der Vrilen, so konstruieren wir einen Hmiltonshen Kreis in R(ϕ). Von 0 üer 1 nh n durhlufen wir die durh T estimmten Knten der Vorstufe von R(ϕ), ws in den usgezeihneten Dreieken Pfde der Länge < 3 uswählt: entweder zwei mit f lse elegte Knten, oder eine mit f lse elegte Knte und den leeren Pfd m gegenüerliegenden Knoten, oder nur die leeren Pfde n den drei Knoten. Anders usgedrükt, steht in jedem der usgezeihneten Dreieke mindestens eine Knte niht für den Hmiltonshen Kreis zur Verfügung. Wir denken uns die verfügren Knten der usgezeihneten Dreieke rot gefärt. Nun git es, diese zu einen Hmiltonshen Pfd von n nh 0 durh die Clique zu ergänzen, durh zur Untersheidung lu gefäte Knten. Dzu verwenden wir Induktion üer die Anzhl der usgezeihneten Dreieke: existiert ereits ein solher Hmilton sher Pfd, so können wir ein weiteres usgezeihetes Dreiek mit zwei, einer oder keiner rot gefärten Knte zur Clique hinzufügen und den Pfd entsprehend verlängern. Hierei ist es unwesentlih, o die usgezeihneten Dreieke von einer Formel in 3-KNF herrühren, wir können lso mit 0 Dreieken strten! 0 Dreieke: Pfd von n üer J, K nh 0. Annhme: für k usgezeihnete Dreieike läßt sih ein Hmiltonsher Pfd von n nh 0 finden. k + 1 Dreieke: Wähle zunähst einen Pfd, der nur k der Dreieke dekt. Dieser verindet 3k+4 Knoten mittels 3k+3 Knten, von denen mximl 2k Knten rot sind. Ein zusätzlihes Dreiek mit zwei roten Knten läßt sih wie folgt einuen: ei zwei roten Knten, so ist eine existierende lue Knte ufzusplten und ds neue Dreiek einzufügen; ei einer roten Knte, so sind zwei existierende lue Knten ufzusplten und zum einen die neue rote Knte, zum nderen der isolierte Punkt einzufügen; ht ds neue Dreiek keine roten Knten, so sind drei existierende lue Knte ufzusplten und die Knoten des neuen Dreieks einzufügen; Ein zusätzlihes Dreiek mit einer roten Knte erfordert ds ufsplitten einer vorhndenen luen Knte, um den isolierten Knoten unterzuringen, während die neue rote Knte direkt eingeut werden knn. Ht ds zusätzlihe Dreiek keine rote Knte, sind drei der grntiert vorhndenen luen Knten ufzusplitten. T

5 Litertur [Pp94] Christos H. Ppdimitriou. Computtionl Complexity. Addison-Wesley, 1994.