Vorlesung Mathematik 1 1

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1 Vorlesung Mathematik B.Grabowski 30. November 20 (C) Prof.Dr.B.Grabowski, HTW des Saarlandes, 0/20, Skript zur Vorlesung Mathematik

2 Zusammenfassung Das vorliegende Papier umfasst den Inhalt der Vorlesung Mathematik für Ingenieure und gibt Hinweise zu weiterführender Literatur. Wir verweisen auch auf die übliche Mathematik-Standard- Literatur, z.b. [Pap0]. Zur Ergänzung der im Skript enthaltenen Übungsaufgaben, d.h. zum weiteren Üben und zum Durchführen von Selbst-Kontrollen (Klausuren) verweisen wir auf unseren E-Learning-Tutor MathCoach.

3 Inhaltsverzeichnis Algebra-Grundlagen 3. Zweiwertige mathematische Logik Aussagen und Boolsche Funktionen Aussageformen Allquantor Existenzquantor Verneinungen von Aussageformen Anwendung der Boolschen Funktionen in der Schaltalgebra Übungs- und Hausaufgaben Beweisprinzipien Mathematische Sätze Der direkte Beweis Der indirekte Beweis und der Widerspruchsbeweis Vollständige Induktion Übungs- und Hausaufgaben Mengenlehre Darstellung von Mengen Mengenrelationen Mengenoperationen Besondere Mengen Zahlenmengen Intervalle reeller Zahlen Kreuzmengen Mächtigkeit von Mengen Übungs- und Hausaufgaben Rechnen mit reellen Zahlen Der Zahlenaufbau Brüche und Dezimalzahlen Regeln der Bruchrechnung Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche Das Summen- und das Produktzeichen Rechnen mit dem Summen- und Produktzeichen Eigenschaften von Summen- und Produktzeichen Indexverschiebung Der binomische Lehrsatz Fakultät und Binomialkoeffizient Kombinatorik Binomischer Lehrsatz Pascalsches Dreieck Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Das Potenzieren Das Wurzelziehen

4 Das Logarithmieren Beträge, Gleichungen und Ungleichungen Hausaufgabe Einführung in die Vektorrechnung Punkte und Vektoren in der Ebene Punkte und Vektoren im R n Addition, Subtraktion und Vielfachbildung von Vektoren Grafische Addition von Vektoren Grafische Subtraktion von Vektoren Rechnerische Addition von Vektoren Rechnerische Subtraktion von Vektoren Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Eigenschaften von +,-,*λ Der Betrag eines Vektors Hausaufgabe Das Skalarprodukt zweier Vektoren Karthesische Definition des Skalarproduktes Der Winkel zwischen 2 Vektoren Eigenschaften des Skalarproduktes Die Vektorprojektion Hausaufgabe Das Kreuzprodukt Definition des Kreuzproduktes Eigenschaften des Kreuzproduktes Berechnung des Kreuzproduktes Das Spatprodukt Definition des Spatproduktes Berechnung des Spatproduktes Eigenschaften des Spatproduktes Hausaufgabe Geometrie von Geraden und Ebenen im R Definition von Geraden Parameterdarstellung von Geraden - die Punkt-Richtungsform und die 2- Punkteform Nichtparametrische und parametrische Form von Geraden im R Lagebeziehungen von Punkten und Geraden zu Geraden Abstand eines Punktes von einer Geraden in R Lage zweier Geraden zueinander Abstand zweier paralleler Geraden Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden Definition von Ebenen im R Parametrische Darstellung der Ebene - die Punkt-Richtungs-Form und die 3-Punkte-Form Die Normalform (nicht-parametrische Darstellung) von Ebenen Lage von Geraden und Ebenen zu Ebenen Lage zwischen Gerade und Ebene Lage zweier Ebenen zueinander Abstände von Punkten, Geraden und Ebenen zu Ebenen Abstand eines Punktes von einer Ebene Abstand einer parallelen Geraden zu einer Ebene Abstand zweier paralleler Ebenen Übungs- und Hausaufgaben

5 Kapitel Algebra-Grundlagen In diesem Kapitel werden grundlegenden Bezeichnungen, Definitionen und Sätze aus der mathematischen Logik, der Technik des mathematischen Beweisens, der Mengenlehre und des Rechnen mit reellen Zahlen eingeführt. Ergänzend verweise ich auf das Mathe-Brückenlursskript der HTW und das Lehrbuch [Pap0]. Zum zusätzlichen interaktiven rechner-(web-)basierten Üben und zur Klausurvorbereitung sei auf unseren E-Learning-Tutor MathCoach verwiesen.. Zweiwertige mathematische Logik.. Aussagen und Boolsche Funktionen Gegenstand mathematischer Betrachtungen sind Aussagen. Definition. Eine Zusammenfassung von Worten heißt Aussage (der 2-wertigen Logik), wenn dieser eindeutig der Wahrheitswert wahr (W,), oder falsch (F,0) zugeordnet werden kann. In der Mathematik geht es darum, den Wahrheitswert (W,F) von Aussagen zu ermitteln. Beispiele () Ich lüge jetzt -> Weder W noch F -> keine Aussage (2) Ich würfele gleich eine 6 -> Weder W noch F, Chance 6 -> keine Aussage (3) 4 ist eine ungerade Zahl -> F -> Aussage Wir bezeichnen Aussagen im folgenden allgemein durch kleine Buchstaben: a,b,c,...p,q,r,.... Aussagen können durch logische Operatoren miteinander verknüpft werden. Definition.2 Verknüpft man Aussagen durch logische Operatoren (auch Junktoren genannt), so entstehen sogenannte logische Ausdrücke. Logische Operatoren sind: (Und; Konjunktion) (Oder; Disjunktion) (Wenn... so...; Implikation) (genau dann, wenn; Äquivalenz) (Nicht; Negation) 3

6 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 4 Beispiele: () a= Das Objekt ist ein Quadrat. b= Das Objekt ist ein Viereck. a b Lies: Ist das Objekt ein Quadrat, so ist es auch ein Viereck. (2) (4 < 0) Lies: 4 ist nicht kleiner 0. (3) (4 < 0) 4 0 Lies: 4 ist nicht kleiner als 0 genau dann, wenn 4 größer oder gleich 0 ist. Bzw. das Relationszeichen dreht sich bei Negation um! Definition.3 Eine Funktion, die jeweils k Aussagen a,..., a k einen Ausdruck A(a,..., a k ) zuordnet, heißt k-stellige Boolsche Funktion. Schreibweise: A: (a,..., a k ) {W, F } k {W, F } Beispiele: () A(a) = a Einstellige Boolsche Funktion, A: aɛ {W, F } {W, F } (2) A(a, b) = a b Zweistellige Boolsche Funktion, A: (a, b)ɛ {W, F } 2 {W, F } (3) A(a, b, c) = a b c Dreistellige Boolsche Funktion, A:(a, b, c)ɛ {W, F } 3 {W, F } Boolsche Funktionen haben nur endlich viele Werte in ihrem Definitions- und Wertebereich. Deshalb können wir sie vollständig durch ihre Wertetabellen beschreiben, die auch als Wahrheitswerttabellen bezeichnet werden. Beispiele: () A(a) = a a A(a) = a W F F W (2) A(a, b) = a b a b A(a, b) = a b W W W W F W F W W F F F (3) A(a, b, c) = a b c a b c A(a, b, c) = a b c W W W W W W F F W F W F W F F F F W W F F W F F F F W F F F F F

7 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 5 Die Boolsche Funktion in Beispiel (3) ist z.b. nur dann wahr, falls alle ihre Argumente a,b,c wahr sind. Die Beispiele zeigen, dass es genau 2 k mögliche Werte-Kombinationen der Argumente a, a 2,..., a k der k-stelligen Boolschen Funktion gibt. Diese bestimmen die Zeilenzahl der Wahrheitswerttabellen, bei einstelligen Boolschen Funktionen (Beipiel ) ist das 2 = 2, bei zweistelligen (Beispiel 2) ist das s 2 = 4 und bei dreistelligen (Beispiel 3) 2 3 = 8. Im folgenden werden die Boolschen Grundfunktionen,,,, durch ihre Wahrheitswerttabellen definiert. Definition.4 Wahrheitswerttabellen von,,,,,. A(a) = a a W F a F W Negation A(a, b) = a b a b a b W W W W F W F W W F F F Disjunktion A(a, b) = a b a b a b W W W W F F F W F F F F Konjunktion A(a, b) = a b a b a b W W W W F F F W W F F W Implikation A(a, b) = a b a b a b W W W W F F F W F F F W Äquivalenz A(a, b) = a b a b a b W W F W F W F W W F F F Kontravalenz (bzw. Antivalenz) Wir sehen folgenes: Die Disjunktion ist nur falsch, wenn beide Teilaussagen falsch sind. Die Konjunktion ist nur wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind. Die Äquivalenz ist nur wahr, wenn

8 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 6 beide Teilaussagen den gleichen Wahrheitswert haben. Die Kontravalenz ist nur wahr, wenn beide Teilaussagen unterschiedliche Wahrheitswerte haben. Die Implikation ist nur dann falsch, wenn aus einer wahren Aussage a eine falsche Aussage b folgen soll. Dass es sinnvoll ist, die Implikation als Wahr zu definieren, wenn aus etwas Falschem etwas Falsches folgt, zeigt folgendes Beispiel: Wenn der ein Dienstag ist, so ist der ein Mittwoch. Beide Teilaussagen sind falsch, d.h. der ist kein Dienstag und der kein Mittwoch. Trotzdem ist die Implikation eine wahre Aussage. Aus diesen Tabellen für die Boolschen Grundfunktionen kann man die Wahrheitswerttabellen (Funktionstabellen) für alle anderen Boolschen Funktionen ermitteln. Beispiele: Stellen Sie die jeweilige Wahrheitswerttabelle auf! () A(a, b) = b a Lösung: a b b a b a W W F F W W F W F F F W F W W F F W W W (2) A(a, b) = [( a) ( b)] Lösung: a b a b a b A(a, b) W W F F F W W F F W F W F W W F F W F F W W W F Aufgabe. Stellen Sie die Wahrheitswerttabelle für (a b) (a b) auf! Aufgabe. Geben Sie die Wahrheitswerttabellen an! Wenn wir uns die Tabelle () und die Definitionen der Boolschen Grundfunktion (a b) genau ansehen, so erkennen wir, dass ( b a) die gleiche Wahrheitswerttabelle wie (a b) besitzt. D.h. es gilt: (a b) ( b a). Ebenso erkennen wir, dass [( a) ( b)] die gleiche Wahrheitswerttabelle wie (a b) besitzt, d.h. es ist [( a) ( b)] (a b). Definition.5 Zwei k-stellige Boolsche Funktionen A(a,..., a k )und B(a,..., b k ) heißen äquivalent, falls ihre Wahrheitswerttabellen übereinstimmen. Schreibweise: A(a,..., a k ) B(a,..., a k )

9 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 7 Satz. Es gelten die folgenden Äquivalenzen:. ( a) a 2. a b b a 3. a b b a 4. (a b) [( b) ( a)] Kontraposition 5. (a b) (b ( a)) 6. (a b) (a b) (b a) 7. (a b) (b a) (a b) 8. (a b) a b de Morgan sche Regeln 9. (a b) a b 0. (a b) c (a c) (b c) Distributivität. (a b) c (a c) (b c) 2. (a b) c a (b c) 3. (a b) c a (b c) 4. (a b) (a b) Bemerkung: Wie beim Rechnen mit reellen Zahlen sind bei der Darstellung logischer Ausdrücke Klammerregeln zu beachten! Beweis: zu 0.) Seien A(a, b, c) = (a b) c, B(a, b, c) = (a c) (b a) Wir zeigen, dass die Wahrheitswerttabellen von A und B übereinstimmen. a b c a b a c b c A(a, b, c) B(a, b, c) W W W W W W W W W W F W F F F F W F W W W F W W W F F W F F F F F W W W F W W W F W F W F F F F F F W F F F F F F F F F F F F F q.e.d Beweis: zu 9.) A(a, b) = a b a b a b A(a, b) W W F F F W F F W F F W W F F F F W W W q.e.d

10 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 8 Aufgabe.2 Weisen Sie die folgende Äquivalenz nach: (a b) (b ( a)) Wie wir aus Satz. erkennen können, lässt sich jede andere Boolesche Funktion mit zwei oder mehr Argumenten (Eingängen) mit den Funktionen UND (Konjunktion), ODER (Disjunktion) und NICHT (Negation) realisieren. So kann man z.b. a b äquivalent durch b ( a) darstellen. In der Praxis der digitalen Schaltungstechnik wird das auch so gehandhabt. Deshalb sind diese drei Boolesche Funktionen,, die wichtigsten Grundfunktionen. Manchmal werden auch nur sie als Grundfunktionen bezeichnet...2 Aussageformen Definition.6 Ersetzt man in einer Aussage a eine Konstante durch eine Variable x, so entsteht eine sogenannte Aussageform a(x). Beispiele: () a(x) : x 2 0 (2) a(m) : m 2 gerade m gerade Bei Aussageformen wird durch Quantoren angegeben, auf welche Werte für die enthaltene Variable x (oder m) sich die Aussageform bezieht...2. Allquantor x M : a(x) man liest das so: Für alle x aus der Menge M gilt a(x)..2.2 Existenzquantor x M : a(x) man liest das so: Es existiert ein x aus der Menge M, für welches a(x) gilt Beispiel: Sei N = {, 2,...} die Menge der natürlichen Zahlen. Die Menge N besitzt ein kleinstes Element kann wie folgt als logische Aussageform formuliert werden: m N n N : n m (d.h.: es existiert eine nat. Zahl m, die kleiner oder gleich jeder anderen nat. Zahl ist) Weitere Beispiele Logische Darstellung Bedeutung x R: x 2 0 Das Quadrat jeder reellen Zahl ist 0 x R y R : x < y ( z R : x < z < y) Zwischen je 2 reellen Zahlen liegt eine dritte n N m N : m > n Zu jeder nat. Zahl gibt es eine größere nat. Zahl Bemerkung: In der Klausur sollten Sie logische Aussagen als Boolsche Funktionen (logische Darstellung) darstellen können und ihre Bedeutung in Worten erklären können!

11 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 9 Beispiel: Wir verwenden folgende Bezeichnungen: x= Student x G= Menge der Studenten an der HTW e(x) = x ist im ersten Semester m(x) = x besucht die Mathe-Vorlesung Aufgabe: Stellen Sie folgende Sätze als logische Ausdrücke bzw. Aussageformen dar! () Jeder Student der HTW, der die Mathe-Vorlesung besucht, ist im. Semester. Lösung: x G : m(x) e(x) (2) Nur Studenten des. Semesters (HTW) besuchen die Mathe-Vorlesung. Lösung: x G : m(x) e(x) (3) Alle Studenten des. Semesters besuchen die Mathe-Vorlesung. Lösung: x G : e(x) m(x) (4) Alle Studenten des. Semesters besuchen die Mathe-Vorlesung und kein anderer Student der HTW. Lösung: x G : m(x) e(x) Aufgabe.3 Formulieren Sie in Ergänzung des Beispiels folgende Aussage als Aussageform: Es gibt einen Studenten der HTW, der im ersten Semester ist, aber die Mathevorlesung nicht besucht Verneinungen von Aussageformen Definition.7 Existenz- und Allquantor werden wie folgt negiert (verneint): ( x M : a(x)) x M : a(x) ( x M : a(x)) x M : a(x) Bei der Verneinung drehen sich die Quantoren um (aus wird und umgekehrt) und das Negationszeichen wird hinter den Quantor gezogen. Beispiel: Verneinen Sie: n N k N : n < k Lösung: ( n N k N : n < k) n N ( k N : n < k) nɛn kɛn : (n < k) n N k N : n k Bedeutung dieser Aussage: N besitzt ein Maximum

12 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 0 Aufgabe.4 Formulieren Sie folgende Aussage als Boolsche Funktionen bzw. Aussageformen: (a) Die Menge der natürlichen Zahlen hat ein Minimum. (b) Die Menge der natürlichen Zahlen hat kein Maximum. (c) Für je zwei reelle Zahlen gilt: Ist a > b, so ist auch a 2 > b 2 (d) Negieren Sie die Aussage in (c)! (e) Bilden Sie die Negation der Aussage: Zwischen je zwei natürlichen Zahlen liegt ein Bruch. (f) Bilden Sie die Kontraposition der Aussage: m 2 > 0 = m > 0. Aufgabe.5 Was bedeutet die folgende Aussageformen: ɛ > 0 n o N n N : n > n o = n < ɛ Was meinen Sie? Ist diese Aussageform wahr oder falsch?..3 Anwendung der Boolschen Funktionen in der Schaltalgebra In der Schaltungstechnik verwendet man Boolsche Funktionen zur Beschreibung von Schaltungen. Begründet wurde diese als Schaltalgebra bezeichnete Vorgehensweise hauptsächlich von Claude Shannon in seiner Master-Abschlussarbeit A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits von 937. Die Schaltnetze, die man mithilfe der Schaltalgebra beschreibt, wurden früher hauptsächlich in Relais-Technik oder ähnlichen elektromechanischen Bauweisen hergestellt und die Boolschen Funktionen wurden zur Beschreibung der Zusammenhänge zwischen den Zuständen von Schaltern im Innern einer Schaltanordnung verwendet. In der Regel wird hierbei dem Schalterzustand aus eine logische Null zugeordnet, dem Schalterzustand ein entsprechend eine logische Eins. Die Darstellung von erfolgt durch eine Parallelschaltung, bei der die Lampe nur brennt, wenn beide Schalter geschlossen sind. Die Darstellung von erfolgt durch eine Reihenschaltung, bei der die Lampe brennt, wenn mindestens einer der beiden Schalter geschlossen ist, siehe Abbildung.. In der heutigen Digitaltechnik werden k-stellige Boolsche Funktionen nicht durch Schalter bzw. Relais, sondern durch elektronischen Bauelemente (Gatter) aufgebaut. Die Werte der Argumente der Boolschen Funktion sind die Eingänge des jeweiligen Gatters, der Wert der Boolschen Funktion der Ausgang des Gatters. Hierbei werden die logischen Werte der Eingänge durch unterschiedliche Spannungspegel realisiert. Im Normalfall bedeutet hier der höhere Pegel die logische Eins (bzw. W) und der niedrigere Pegel die logische Null (bzw. F), siehe Abbildung. Dabei reichen 3 Grundgatter, das AND-, OR-, und NOT-Gatter, zur Darstellung aller Boolschen Schaltungen aus (siehe auch Satz. über die Äquivalenz von Boolschen Funktionen). Zusätzlich wird manchmal das XOR- Gatter verwendet.

13 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen Abbildung.: Darstellung Boolscher Grundfunktionen durch Schaltungen und Gatter Man kann aus den in Abbildung. aufgeführten Grundschaltungen und Gatter komplexere Schaltungen und Gatter zusammenbauen, siehe Abbildung.2. Abbildung.2: Darstellung komplexerer Boolscher Funktionen durch Schaltungen und Gatter Beispiele: () Konstruieren Sie ein Gatter mit zwei Eingängen und einem Ausgang, das nur dann am Ausgang eine hat, wenn beide Eingänge den gleichen Zustand (entweder beide oder beide 0) haben. Alternativ lautet die Aufgabe: Konstruieren Sie eine Schaltung mit zwei Schaltern, bei der die Lampe nur brennt, wenn beide Schalter offen oder beide gedrückt sind. Lösung: Zunächst beschreiben wir die gewünschte Schaltung durch die passende Boolsche Funktion. Das ist offensichtlich A(a,b) = a b. a b wird nun durch Verwendung der Grundfunktionen,, dargestellt. Es ist (a b) [(a b) ( a b)], siehe Satz. über die Äquivalenz von Boolschen Funktionen. Die gesuchte Boolsche Funktion kann durch die folgende Schaltung bzw. Gatter unter

14 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 2 Verwendung von AND-, OR-, und NOT dargestellt werden: Abbildung.3: Darstellung der Boolschen Funktion A(a, b) = a b durch Schaltung und Gatter (2) Vereinfachen Sie folgende Schaltung: Abbildung.4: Zu vereinfachende Schaltung Lösung: Wir beschreiben die Schaltung zunächst durch eine Boolsche Funktion, offensichtlich lässt sie sich durch die folgende Boolsche Funktion darstellen: (a c) (b c). Diese Funktion können wir durch Anwendung des Distributivgesetzes (siehe Satz.) vereinfachen: (a c) (b c) (a b) c Daraus ergibt sich die folgende Vereinfachung der Schaltung: Abbildung.5: Äquivalente vereinfachte Schaltung Aufgabe.6

15 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 3 Konstruieren Sie ein Gatter mit drei Eingängen a, b und c und einem Ausgang, das nur dann am Ausgang den Wert hat (die Lampe brennt), wenn alle drei Eingänge das gleiche Eingangssignal besitzen (a=b=c= oder a=b=c=0). Wie sieht die dazugehörige Schaltung aus? Aufgabe.7 Vereinfachen Sie den folgenden boolschen Ausdruck und stellen Sie ihn als Schaltung und als Gatter nur unter Verwendung von AND, OR und NOT dar!..4 Übungs- und Hausaufgaben ( (a b) b) c Hausaufgabe : Übungsblatt.2 Beweisprinzipien.2. Mathematische Sätze Gegenstand mathematischer Betrachtungen sind Aussagen, die als Lehrsätze formuliert werden. Ein mathematischer Satz hat folgende Gestalt: Satz Voraussetzung: a (wird als W angesehen) Behauptung: b Kurzform: Satz Es gilt: a b. Bezeichnungen: In dieser Implikation wird a als hinreichend für b und b als notwendig für a bezeichnet. Beispiele: Satz Es gilt: A ist ein Quadrat A ist ein Viereck Satz Beh.: Wenn m 2 eine gerade natürliche Zahl ist, so ist auch m eine gerade natürliche Zahl. Satz Die Menge N der natürlichen Zahlen hat kein Maximum. Bei der Formulierung eines Satzes wird oft die Angabe von Es gilt: oder Behauptung: (Beh.:) weggelassen. Zu jedem Satz gehört ein Beweis. Ein Beweis ist der Nachweis, dass die Behauptung des Satzes, also b, Wahr ist, bzw. dass aus a=w folgt, dass b=w ist. Dazu wenden wir die Prinzipien der mathematischen Logik an. Wir unterscheiden 3 verschiedene Techniken des Beweisens: der direkte Beweis der indirekte Beweis und der Widerspruchsbeweis das Prinzip der Vollständigen Induktion

16 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen Der direkte Beweis Satz Behauptung: a b Um die Aussage des Satzes zu beweisen, leiten wir ausgehend von der Voraussetzung, dass a = W ist, Schritt für Schritt her, dass b = W ist. Am Ende eines erfolgreichen Beweises steht q.e.d (quot erra demonstrandum) als Zeichen dafür, dass der Beweis zu Ende ist. Allgemein sieht dann ein direkter Beweis zum obigen Satz wie folgt aus: Beweis: Sei a = W. Daraus folgt a = W, daraus folgt a 2 = W,..., daraus folgt b = W. q.e.d. Wir werden das Prinzip des direkten Beweises nun an 3 Beispielen demonstrieren. Satz.2 Vor.: m N und m ist durch 2 teilbar (gerade). Beh.: m 2 ist durch 2 teilbar (gerade) Beweis: Sei m eine gerade natürliche Zahl. k N : m = 2 k m 2 = (2k) 2 = 4 k k = 2 (2 k k) m 2 = 2 r und r(= 2 k k) N m 2 ist gerade. q.e.d. Satz.3 Vor.: Sei n N = {, 2,...} Beh.: n n (n+) i= i = n = 2 Beweis: Es ist n (n + ) = 2S S = n (n+) 2 q.e.d n = S und n + (n ) + (n 2) = S (n + ) + (n + ) + (n + ) (n + ) = 2S Satz.4 Vor.: n N Beh.: n N: n3 +2 n 5 +n > n 2 Beweis: Wir formen die Behauptung solange äquivalent um, bis man sieht, ob sie wahr ist oder falsch. n 3 +2 n 5 +n 2 > n 2 n 2 (n 5 + n 2 ) (n 3 + 2) n 2 > (n 5 + n 2 ) n 5 + 2n 2 > n 5 + n 2 (n 5 + n 2 ) n 2 > 0 Das ist offensichtlich für alle n N der Fall. q.e.d.

17 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 5 Aufgabe.8 Beweisen Sie folgende Sätze mittels direktem Beweis. (a) Satz Ist m N ungerade so ist auch m 2 ungerade. (b) Satz Vor.: Seien f(x) und g(x) zwei punktsymmetrische Funktionen, d.h. es gilt: f(x) = f( x) und g(x) = g( x) Beh.: Dann ist die Funktion h(x) = f(x) g(x) achsensymmetrisch, d.h. es gilt: h(x) = h( x). (c) Satz Sei n N und q R, q <. Dann gilt: n i= q i = qn q.2.3 Der indirekte Beweis und der Widerspruchsbeweis Grundlage als indirekten Beweis ist die Kontraposition (a b) ( b a). Statt: Satz Es gilt: a b zeigen wir die äquivalente Kontraposition: Satz Es gilt: b a Diese zeigen wir durch den direkten Beweis. Beispiel: Satz.5 m N gilt: Wenn m 2 gerade (a), so ist m gerade (b). Beweis: Durch direkten Beweis lässt sich diese Aussage nicht nachweisen. Wir verwenden den indirekten Beweis und zeigen die Kontraposition: m ist ungerade ( b) m 2 ist ungerade ( a) Diese zeigen wir durch den direkten Beweis: Sei m ungerade ( b) k N o : m = 2k + (2k+ ist allgemeine Darstellung ungerader (d.h. nicht durch 2 teilbarer) Zahlen für k N o = {0,, 2,...} ) m 2 = (2k + ) 2 = (2k) 2 + 4k + 4k 2 + 4k + 2 (2k 2 + 2k) + m 2 = 2r +, r N m 2 ist ungerade. q.e.d. Eine andere spezielle Form des indirekten Beweises ist der Wiederspruchsbeweis.

18 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 6 Satz: (Vor.: wird nicht explizit hingeschrieben, es gilt das gesamte bisherige Vorwissen als Voraussetzung) Beh: b Bew: indirekt: Wir nehmen an, dass gilt b = W. Hieraus leiten wir Schritt für Schritt auf direktem Wege a = W a 2 = W a 3 = W einen Wiederspruch zu unserem bisherigen Wissen, oder zu b = W ab. Demzufolge kann die Annahme b = W nicht stimmen, d.h.es muss b = F sein und folglich ist b = W. q.e.d. Wir demonstrieren dieses Beweisprinzip an einem Beispiel. Satz.6 Beh: Die Menge aller reellen Zahlen x mit 0 < x < ist nicht durchnummerierbar. Bew.:(Cantorsches Diagonalverfahren) Annahme: Die reellen Zahlen x mit 0 < x < sind durchnummerierbar. Nummerierung: x = 0, x x 2 x 3... x 2 = 0x 2 x 22 x x i = 0, x i x i2 x i3... x ii... wobei (x ij {0,,..., 9}) Mit dieser Nummerierung sind dann alle Zahlen x mit 0 < x < erfasst, der erste Index i charakterisiert die Nummer der Zahl in der Durchnumerierung und der zweite Index j die Position der Nachkommastelle der Zahl. Wir konstruieren nun eine neue Zahl: x = 0, x x 22 x x ii... mit x ii = { xii + falls x ii < 9 0 falls x ii = 9 Offensichtlich ist x x,weil die. Ziffer hinterm Komma nicht stimmt x x 2,weil die 2. Ziffer hinterm Komma nicht stimmt x x i, weil die i.te Ziffer hinterm Komma nicht stimmt usw. usf.. D.h. x ist eine Zahl, die auch zwischen 0 und liegt, aber nicht durch unsere Nummerierung erfasst werden konnte. D.h. man benötigt mehr Zahlen als natürliche Zahlen existieren, um alle Zahlen aus (0,) zu erfassen bzw. durch zu numerieren. = Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass sich alle reellen Zahlen (0, ) (durch die Menge N) nummerieren lassen. q.e.d. Aufgabe.9 Beweisen Sie folgende Sätze mittels indirektem Beweis. (a) Satz Ist m 2 für m N ungerade, so ist auch m ungerade. (b) Satz Ist m 2 für m N durch 5 teilbar, so ist auch m durch 5 teilbar. (c) Satz Die Menge der natürlichen Zahlen hat kein Maimum.

19 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen Vollständige Induktion Siehe hierzu auch diesen Link. Diese Technik wird auf Behauptungen der folgenden Form angewendet: Satz Beh: natürlichen Zahlen n n 0 gilt a(n). Kurzschreibweise: n n 0 : a(n). Beispiele: a)satz n 4 : 2 n n! (n 0 = 4) b)satz n : n i= i = n(n+) 2 (n 0 = ) c)satz n N : n3 +2n 2 n 5 +n 2 n (n 2 0 = ) Allgemeine Beweistechnik der vollständigen Induktion: Beweis: (a) I.A. (Induktionsanfang) n = n 0 Wir zeigen, dass a(n 0 ) gilt (d.h. a(n) = W für den Startwert n = n 0 ) (b) I.S. (Induktionsschritt) Vor: a(n) Beh: a(n + ) D.h. wir zeigen, wenn a(n) für irgendein beliebiges festes n Wahr ist, so ist a(n + ), -d.h. die Aussage auch für den Nachfolger von a(n)- Wahr. Damit gilt a(n) für alle n n 0, denn es gilt: a(n 0 ) = W a(n 0 + ) = W a(n ) = W... I.A. I.S. I.S. I.S. Wir demonstrieren das Beweisprinzip der Vollständigen Induktion an 3 Beispielen. Satz.7 n : n i= i = n(n+) 2 Beweis: V.I. (a) I.A. n 0 = LS (linke Seite): i= i = RS (rechte Seite): (+) 2 = LS=RS a(n 0 ) = W q.e.d. (b) I.S. Vor: Für ein festes beliebiges n gilt: a(n) : i = n(n+) Beh: a(n + ) : n+ i= i = (n+)(n+2) 2 i= Bew: Die Beweistechnik für den Induktionsschritt I.S. kann man wie folgt allgemein beschreiben. Wir gehen von der linken Seite (LS) der Behauptung aus, zerlegen sie so, dass die linke Seite der Voraussetzung darin vorkommt, ersetzen dann die linke Seite der Vorausstzung durch die rechte Seite der Voraussetzung und formen dann den entstehenden Ausdruck solange um, bis die rechte Seite (RS) der Behauptung da steht. LS Beh = n+ i= i = n + (n + ) = n i= i + (n + ) (Zerlegung) 2

20 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 8 = n(n+) 2 + (n + ) (Ersetzung) = n(n+)=+2(n+) 2 = (n+)(n+2) 2 (Umformen) = RS Beh q.e.d. Satz.8 n : n i= i3 = n 3 = (n+)2 (n) 2 4 Bew: V.I. (a) I.A. Wir zeigen, dass a(n) für n = n 0 = gilt. n 0 = : LS = i= i3 = 3 = RS = (+)2 () 2 4 = = LS = RS q.e.d. (b) I.S. Vor: n i= i3 = (n+)2 n 2 4 Beh: n+ i 3 = (n+2)2 (n+) 2 Bew: LS Beh i= = n+ i= i3 = n 3 + (n + ) 3 = n i= i3 + (n + ) 3 (Zerlegung) = (n+)2 n (n + ) 3 (Ersetzung) = (n+)2 n 2 +4(n+) 3 4 (Umformung) = (n+)2 (n 2 +4 (n+)) 4 = (n+)2 (n+2) 2 4 = RS Beh q.e.d. Satz.9 n 4 : 2 n < n! 4 Bew: V.I. (a) I.A. n 0 = 4: LS=2 4 = 6, RS=4! = 24 LS < RS. q.e.d. (b) I.S. Vor: 2 n < n! Beh: 2 (n+) < (n + )! Bew: LS Beh = 2 (n+) = 2 n 2 (Zerlegung) < n! 2 (Ersetzung) n! (n + ) (Umformung) = (n + )! = RS Beh q.e.d.

21 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 9 Aufgabe.0 Beweisen Sie folgende Sätze mittels Vollständiger Induktion. (a) Satz Ist m 2 für m N ungerade, so ist auch m ungerade. (b) Satz Ist m 2 für m N durch 5 teilbar, so ist auch m durch 5 teilbar. (c) Satz Die Menge der natürlichen Zahlen hat kein Maimum..2.5 Übungs- und Hausaufgaben Hausaufgabe 2 : Übungsblatt 2, Aufgabe.3 Mengenlehre Definition.8 Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohl unterschiedener Objekte, die hinsichtlich einer oder mehrerer Eigenschaften als gleichartig angesehen werden können, zu einer Gesamtheit. Schreibweisen: A,B,C,...M = Mengen M={o, o 2,..., o k }, o i = Elemente der Menge {}=leere Menge x M: x ist Element von M x / M: x ist kein Element von M.3. Darstellung von Mengen. M={a, a 2, a 3, a 4 } Aufzählen aller Elemente der Menge. Bsp.: M={3, 6, 9} 2. Durch Angabe einer die Elemente charakterisierenden Eigenschaft: M={(x D) E(x)} (E(x) = definierende Eigenschaft). Beispiel: M={n N n 3 N 3 n 2} M={x R x 0} =Menge der nicht negativen reellen Zahlen. Q = { n m n Z m N} =Menge der Brüche = Menge der rationalen Zahlen Z = {n n N n = 0 n N} =Menge der ganzen Zahlen 3. Induktive Definition einer Menge n 0 M n M f(n) M (f(n) ist eine gegebene Funktion) Beispiel: N : N n N n + N N = {, 2, 3,...} Menge aller durch 2 teilbaren nat. Zahlen: A : 2 A (n A n + 2 A)

22 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen Mengenrelationen Definition.9. A B heißt: Die Menge A ist in B enthalten. (A B x A x B) 2. A = B heißt: A und B sind identisch, d.h. enthalten genau die gleichen Elemente. 3. A B heißt: Die Menge A ist in B echt enthalten. (A B A B und A B.) Venn-Diagramme: Die grafische Darstellung von Mengenrelationen und Operationen erfolgt durch sogenannte Venn-Diagramme. Beispiele:. {2, 4, 6} N Abbildung.6: Darstellung der Relation A B im Venn-Diagramm 2. {n N n 2 N} = {n N k N : n = 2k} Definition.0 Die Menge P = {A A M} aller Teilmengen einer Menge M heißt Potenzmenge von M. Beispiel: Sei M = {, 2, 3}. Die Potenzmenge von M ist dann P = {{}, {}, {2}, {3}, {, 2}, {, 3}, {2, 3}, M}..3.3 Mengenoperationen Definition.. A B = {x x A x B} sprich: A vereinigt B 2. A B = {x x A x B} sprich: A geschnitten B 3. A \ B = {x x A x / B} sprich: A minus B bzw. A ohne B Beispiel: Seien A = {2, 3, 4} und B = {2, 4, 8}. Dann ist: A B = {2, 3, 4, 8} A B = {2, 4} A \ B = {3} B \ A = {8}. Auch die Mengenoperationen kann man im Venn-Diagramm verdeutlichen, siehe Abbildung.7.

23 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 2 Abbildung.7: Darstellung der Mengenoperationen,, \ im Venn-Diagramm Aufgabe. Definition.2 Zwei Mengen A und B heißen disjunkt (durchschnittsfremd), falls gilt:. A B = {} Beispiel: Die Mengen A = {, 2, 3} und B = {2, 4, 6} sind disjunkt. Definition.3 Sei A M. Dann heißt M Obermenge von A und A M = {x M x / A}heißt Komplement (bzw. Komplementärmenge) von A bzgl M.

24 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 22 Offensichtlich gilt: Beispiele: Abbildung.8: Darstellung des Mengen-Komplements im Venn-Diagramm A M = M \ A. M = {, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}. Dann ist A M = {, 3, 5} A = {n N n 2 N} ist die Menge der geraden nat. Zahlen. Dann ist A N = {n N n 2 / N} = {n N k N : n = 2k } die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen. Aufgabe.2 Verwenden Sie die richtigen Symbole! Aufgabe.2 Berechnen Sie folgende Mengen! Aufgabe.3 Veranschaulichen Sie Mengenoperationen im Venn-Diagramm! Für die Mengenoperationen gelten folgende Rechenregeln. Satz.0 (Eigenschaften von Mengenoperationen) Beh.: Es gilt:. Ā = A 2. A B = B A Kommutativität 3. A B = B A Kommutativität 4. (A B) C = A (B C) Assoziativität 5. (A B) C = A (B C) Assoziativität 6. (A B) C = (C B) (C A) Distributivität 7. (A B) C = (C B) (C A) Distributivität

25 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen A B = Ā B De Morgansche Regel 9. A B = Ā B De Morgansche Regel 0. (A \ B) (A B) = A. A A = A A = A 2. A {} = {}, A {} = A Beweisen kann man diese Rechenregeln auf sehr anschauliche Weise mittels Venn-Diagrammen. Dazu stellt man die linke und die rechte Seite der entsprechenden zu beweisenden Gleichung im Venn-Diagramm dar und prüft, ob die Grafiken, die die Mengen beider Seiten darstellen, identisch sind. Wir demonstrieren das an einem Beispiel. Beweis zu 8. A B = Ā B (De Morgansche Regel): Wir stellen die linke Seite und die rechte Seite dieser Gleichung im Venn-Diagramm dar, siehe Abbildung.9. Abbildung.9: Darstellung der De Morganschen Regel im Venn-Diagramm Wie wir an dieser Abbildung sehen, sind die linke und die rechte Seite der Gleichung 8. identisch. q.e.d. Aufgabe.3 Beweisen Sie die Beziehungen 7. und 0. des Satzes.0 mittels Venn-Diagrammen! Aufgabe.4 Welche Mengen sind gleich? Geben Sie die richtigen Mengenoperationen an!.3.4 Besondere Mengen.3.4. Zahlenmengen In der Mathematik unterscheiden wir Mengen von Zahlen. So zum Beispiel die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die reellen Zahlen. Die Bezeichnungen der uns bisher bekannten Zahlenbereiche listen wir im folgenden auf. Menge der natürlichen Zahlen: N = {, 2,...}. (Induktive Definition: N, n N (n + ) N )

26 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 24 Menge der natürlichen Zahlen mit der Null: N 0 = {0,, 2,...} = N {0}. Menge der ganzen Zahlen: Z = {z z N z N z = 0}. Menge der rationalen Zahlen (Brüche): Q = { m n m Z n N}. Die Brüche kann man als periodische oder endliche Dezimalzalen darstellen, so z.b. ist 2 = 0, 5 eine endliche Dezimalzahl und 3 = 0, eine periodische Dezimalzahl. Menge der irrationalen Zahlen: I = Menge aller nicht endlichen und nicht periodischen Dezimalzahlen. So z.b. sind 2 und die Eulersche Zahl e und die Zahl π irrationale Zahlen. Menge der reellen Zahlen: R = Q I Intervalle reeller Zahlen Für a b unterscheiden wir folgende Intervalle: [a, b] = {x R a x b} geschlossenes Intervall von a bis b. (a, b] = {x R a < x b} (linksseitig) halboffenes Intervall von a bis b. [a, b) = {x R a x < b} (rechtsseitig) halboffenes Intervall von a bis b. (a, b) = {x R a < x < b} offenes Intervall von a bis b. (, b] = {x R x b} und (, b) = {x R x < b}. [a, ) = {x R x a} und (a, ) = {x R x > a}. (, ) = R. Aufgabe.4 Geben Sie folgende Menge als Intervall an! Kreuzmengen (( 2, 4] [ 3, )) [0, 5] Definition.4 Das Gebilde (x, x 2,..., x n ) für x i R, i =...n, n N heißt n-tupel. Bezeichnungen: n = 2: (x, x 2 ) geordnetes Paar n = 3: (x, x 2, x 3 ) Tripel n = 4 (x, x 2, x 3, x 4 ) Quadrupel Achtung Tupel unterscheiden sich von Mengen dadurch, dass die Reihenfolge der Elemente bei Tupeln eine Rolle spielt und bei Mengen nicht. Es ist M={, 2, 3}={3, 2, } und (, 2, 3) (3, 2, ) Beispiel Eine Parabel wird durch eine Menge von Punkten dargestellt: f = { (x, y) x R y = x 2}. Kurzschreibweise: y = x 2, x R.

27 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 25 Definition.5 A = {(x,...x n ) x A x 2 A 2...x n A n } = A A 2 A 3... A n heißt Kreuzmenge von A,...A n Bezeichnung für Kreuzmengen aus n identischen Mengen: B B... B = B n Beispiele: Rechteck der Seitenlängen 3 und 2: A = {(x, y) x [, 2] y [, ]} = [, 2] [, ] Dreidimensionaler Würfel der Kantenlänge : W = {(x, y, z) x [0, ] y [0, ] z [0, ]} = [0, ] [0, ] [0, ] = [0, ] 3 Quadrat der Seitenlänge 2: A = [, ] 2 Die reelle Zahlenebene: R 2 = {(x, y) x R y R} Der n-dimensionale reelle Raum: R n =Menge aller n-tupel mit x i R i =...n. Weitere Beispiele: Seien A = {, 2, 3} und B = {, 2}. Dann ist: AxB = {(, ), (2, ), (3, ), (, 2), (2, 2), (3, 2)} BxA = {(, ), (, 2), (, 3), (2, ), (2, 2), (2, 3)} Wir sehen, dass das Kreuzprodukt nicht kommutativ ist, d.h. es gilt i.a. A B B A. (AxB) \ (BxA) = {(3, ), (3, 2)} (BxA) \ (AxB) = {(, 3), (2, 3)} (AxB) (BxA) = {(, ), (, 2), (2, 2), (2, )} Wir sehen, dass in unserem Beispiel (AxB) (BxA) = (A B) (A B) ist. Das kann man auch allgemein für beliebige Mengen A und B nachweisen. Aufgabe.5 Zeigen Sie dass für beliebige Mengen A und B folgende Behauptung stimmt: Satz: Es gilt (AxB) (BxA) = (A B) Mächtigkeit von Mengen Definition.6 Sei M eine Menge. Dann ist M gleich der Anzahl der Elemente in M. Beispiele

28 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 26 M={, 2, 3, 4, 5, 7, 3} M = 7 {} = 0 p(a) = 2 A Definition.7 a) Eine Menge M mit M = k N heißt endlich. b) Eine Menge M mit M = N heißt abzählbar c) Eine Menge M mit M > N heißt überabzählbar Definition.8 2 Mengen A,B heißen gleichmächtig, falls gilt: A = B Satz. Es gilt M = N Es existiert bijektive Abbildung von f M N, die jedes Element aus M genau ein Element aus N zuordnet und umgekehrt. Alle Elemente von M sind durchnummerierbar. Beispiel Sei N = {, 2, 3,...} die Menge der natürlichen Zahlen und Z = {..., 2,, 0,, 2, 3,...} die Menge der ganzen Zahlen. Behauptung: Z = N Beweis: Wir definieren eine bijektive Zuordnung Z N der natürlichen zu den ganzen Zahlen wie folgt, d.h. wir numerieren die ganzen Zahlen wie folgt durch: Wir ordnen der ganzen Zahl 0 die natürliche Zahl zu, den positiven ganzen Zahlen die geraden natürlichen Zahlen und den negativen ganzen Zahlen die ungeraden natürlichen Zahlen: Z N q.e.d Für den Nachweis, dass auch die Menge Q der Brüche abzählbar unendlich ist, benötigen wir eine bijektive Abbildung zwischen Q und N. Diese lässt sich nicht so leicht konstruieren. Wir verwenden hier den folgenden Satz. Satz.2 a) Seien A i, i =,..., k k endliche Mengen. Dann ist k i= A i = A A 2...A k auch endlich. b) Seien A i, i =, 2..., k k abzählbare Mengen. Dann ist k i= A i abzählbar. c) Seien A i, i =, 2... abzählbar unendlich viele abzählbare Mengen. Dann ist i= A i abzählbar. Mit Hilfe dieses Satzes können wir leicht zeigen, dass die Menge der Brüche ebenfalls abzählbar unendlich ist, d.h. es gibt genauso viele Brüche, wie natürliche Zahlen.

29 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 27 Satz.3 Es gilt: Q = N Beweis: Sei Qn = { n m m N } = { n, n 2, n 3, n 4,...} Qn = N Qn ist für jedes feste n Z abzählbar. Weiterhin ist Q = n Z Qn und folglich ist Q die Vereinigung von abzählbar viewlen abzählbar Mengen Qn. Nach Satz.2 c) ist damit Q abzählbar, also gilt Q = N. q.e.d. Satz.4 Es gilt: (0, ) > N R > N Jedes relle Zahlenintervall (a, b) ist überabzählbar..3.6 Übungs- und Hausaufgaben Hausaufgabe 3 : Übungsblatt 2, Aufgaben 2 bis 8.4 Rechnen mit reellen Zahlen.4. Der Zahlenaufbau N= Natürliche Zahlen erlaubte Operationen: <,>, =,, +, * (Abkürzung für +). Problem: Die Lösung x von x + 7 = 2 führt aus N heraus, es ist x = 5. Z = {z z N z N z = 0} = Ganze Zahlen erlaubte Operationen: <,>, =,, +, -, * (Abkürzung für +). Problem: Die Lösung x von x 7 = 2 führt aus Z heraus, es ist x = 2 7. Q = { m n m Z n N} = Rationale Zahlen Besonderheit: Menge der rationalen Zahlen = Menge der endlichen oder periodischen Dezimalzahlen. Z.B. 2 5 = 0, 4, 7 3 = 2, erlaubte Operationen: <,>, =,, +, -, *, /. Problem: Die Diagonale d in einem Quadrat der Seitenlänge ergibt sich nach Pythagoras als Lösung der Gleichung d 2 = 2. Diese Lösung d = 2 ist kein Bruch, d.h. die Lösung dieser Gleichung führt aus Q heraus.

30 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 28 Ir = Irrationale Zahlen = Menge der nichtendlichen und nichtperiodischen Dezimalzahlen. Besonderheit: Zur Menge der irrationalen Zahlen gehören Z.B. 2 =, , π = 3, und die Eulersche Zahl e = 2, Bei praktischen Rechnungen muss man irrationale Zahlen runden, dabei entstehen Runddungsfehler, die sich zu sehr großen Fehlern fortpflanzen können. Besser ist es, bei Rechnungen so lange wie möglich das entsprechende Zahlensymbol e, π, 2 usw. zu verwenden und erst zu runden, wenn der Term nicht weiter vereinfacht werden kann. Das machen z.b. Mathematik-Softwaresysteme, die als Computeralgebrasysteme (CAS) bezeichnet werden. Mathematik-Software, die nicht mit Symbolen rechnen kann, bezeichnet man demgegenüber als numerische Software. Irrationale Zahlen kann man in berechenbare und nichtberechenbare Zahlen unterscheiden. Eine Zahl heißt berechenbar, wenn es einen Algorithmus gibt, der sie mit jeder beliebigen vorgegebenen Genauigkeit (= Stellenzahl nach dem Komma) ermitteln kann. Andernfalls heisst sie nicht berechenbar. Z.B. ist 2 berechenbar, π ist nicht berechenbar. erlaubte Operationen: <, >, =,, +, -, *, /, Potenzieren,, log a (). R = Q Ir = Reelle Zahlen = Alle Dezimalzahlen. Besonderheit: Zwischen je zwei reellen Zahlen liegt eine dritte. Die reellen Zahlen kann man nicht mehr durchnumerieren (abzählen), d.h. R ist überabzählbar unendlich, bzw. R > N. erlaubte Operationen: <, >, =,, +, -, *, /, Potenzieren,, log a (). Problem: Die Lösungen x der Gleichung x = 0 führen aus R heraus, es ist x = 2 oder x = 2. C = {x + y x R y R} = Komplexe Zahlen. Besonderheit: Die neue Zahl j = wird als imaginäre Einheit bezeichnet. erlaubte Operationen: =,, +, -, *, /, Potenzieren,, log a (). Es sind alle arithmetischen Operationen möglich, es treten keine Probleme mehr auf. Aber in C gibt es keine Ordnung mehr, man kann komplexe Zahlen nicht anordnen, < und > sind nicht mehr erlaubt. Mit komplexen Zahlen werden wir uns im Sommersemester befassen. In den folgenden Abschnitten beschäftigen wir uns mit reellen Zahlen..4.2 Brüche und Dezimalzahlen.4.2. Regeln der Bruchrechnung Sie müssen die Regeln der Bruchrechnung perfekt beherrschen. Dazu verweisen wir auf das Brückenkursskript, Kapitel.4. Aufgabe.6 Lesen Sie sich das Kapitel.4. in diesem Brückenkursskript durch! Link: MST_KI/ws /Brueckenkurs-07-08

31 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 29 Lösen Sie anschließend folgende Übungsaufgaben! Aufgabe.7 Vereinfachen Sie folgende Terme! a) b) ( 4 c) 6 d) e) ) x x + y + 2y x + y 2x + y x + y a xy + b x c y f) g) h) i) 3x : (4 + y) 4 y x x 2 9 x x x 2 6x+9 x 3 x x x + x 2 4x x+3 x 2 + x 02 x 4 x + 3 Aufgabe.5 Lösen Sie diese Aufgaben zur Bruchrechnung in MathCoach!. Dividieren Sie Brüche! 2. Kürzen Sie Brüche! 3. Bilden Sie den Hauptnenner! 4. Vereinfachen Sie Terme! 5. Ordnen Sie Brüche an! Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche Brüche sind endliche oder periodische Dezimalzahlen. Beispiele: 5 = 0.2 und 3 = Die Umrechnung von Brüchen in Dezimalzahlen erfolgt einfach durch schriftliche Division. Beispiel: = 3 : = 0, Die Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche erfolgt so: Endliche Dezimalzahlen mit k Nachkommastellen werden mit 0 k erweitert, d.h. die Zahl wird mit 0 k multipliziert, das ergibt den Zähler des Bruches; und anschließend durch 0 k dividiert. Das Ergebnis kann man dann noch kürzen. Beispiel: = = =

32 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 30 Nicht endliche, aber periodische Dezimalzahlen p, bei denen die Periode in der k.ten Nachkommastelle beginnt und m Ziffern die Periode bilden, werden wie folgt umgerechnet:. Sie werden mit 0 m multipliziert, wir erhalten 0 m p 2. Die Differenz q = 0 m p p ist immer eine endliche Dezimalzahl 3. Diese endliche Dezimalzahl q wird wie oben beschrieben als Bruch dargestellt 4. Anschließend wird q = 0 m p p nach p umgestellt, wir erhalten das Ergebnis: p = q 0 m Beispiele. p = 0.3 ist umzurechnen. Es ist m =, nur eine Ziffer (die 3) ist an der Periode beteiligt, und wir erhalten 0 p p = = 3 Daraus folgt p = 3 0 = 3 9 = 3 2. p = 2.23 ist umzurechnen. Es ist m = (nur die Ziffer 3 ist an der Periode beteiligt) und wir erhalten 0 p p = = = = 90. = Daraus folgt p = = = p = ist umzurechnen. Es ist nun m = 3, denn die drei Ziffern 345 sind an der Periode beteiligt, und wir erhalten 0 3 p p = = = = Daraus folgt p = = = Aufgabe.8 Rechnen Sie folgende Dezimalzahlen in Brüche um! a) 0.24 b) 2.2 c) d) Das Summen- und das Produktzeichen.4.3. Rechnen mit dem Summen- und Produktzeichen Möchte man das Quadrat aller Zahlen von bis 0 addieren, so müsste man schreiben: Wir verwenden dafür eine abkürzende Schreibweise: 0 i= i2. Die abkürzende Schreibweise lohnt sich, wenn man viele Summanden addieren möchte. Für die Summe der Quadrate aller Zahlen von bis 000 schreiben wir dann z.b. 000 i= i2. heißt Summenzeichen. Im folgenden beschäftigen wir uns mit diesem Summenzeichen und außerdem mit dem Produktzeichen. Definition.9 (Summen- und Produktzeichen) Wir verwenden für die Summe von n reellen Zahlen folgende abkürzende Schreibweise: a + a a n = Der erste Summand wird gebildet durch die Zuordnung i = zu a i und man erhält a. Im folgenden wird der Laufindex i jeweils um erhöht und man erhält den nächsten Summanden. Der letzte n i= a i

33 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 3 Summand a n ergibt sich dann für i = n. Diese Schreibweise lässt sich verallgemeinern, für m n ist: n a m + a m a n = i heißt Summationsindex, m und n sind die Summationsgrenzen und a m,, a n sind die Summanden. Analog definieren wir das Produkt von reellen Zahlen: a... a n = i=m a i n a i und a m... a n = i= Beispiele zum Summen- und Produktzeichen. a) = 4 i=2 2i b) = 4 i= ( )i+ i c) x + x 2 x 3 + x 4 = 4 i= ( )i x i d) = 5 i=2 i e) = 3 i= i2 n i=m a i Aufgabe.9 Stellen Sie den Term mittels Summen- bzw. Produktzeichen dar! a) b) Aufgabe.20 Berechnen Sie den Wert der Summen und Produkte! a) 4 i=2 2i b) 4 i= ( )i+ i c) 4 i= ( )i i d) 4 i= i i+ e) 4 i= ( )i+ i+ i f) ( ) 2 i= (2i) 2 i g) 5 ( i= 2i + 3i 2 4 ) Eigenschaften von Summen- und Produktzeichen Für das Summen- und Produktzeichen gelten natürlich die gleichen Regeln wie für das Addieren und Multiplizieren von reellen Zahlen. Zum Beispiel gelten folgende Eigenschaften: Satz.5 Es ist:. n i= a i + n i= b i = n i= (a i + b i ) 2. n i= c a i = c n i= a i 3. n i= c = n c 4. i=k n c=(n k+) c Analog gilt für das Produktzeichen:

34 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 32 Satz.6 Es ist:. n i= (a i) n = ( n i= a i) n 2. n i= a i b i = n i= a i n i= b i 3. n i= c = cn 4. n i=k c = c(n k+) Aufgabe.2 Die Summe x = n bezeichnet man als arithmetisches Mittel der Zahlen x,..., x n. Rechnen Sie die Summen auf der linken Seite der folgenden Gleichungen aus und weisen Sie dadurch nach, dass sie gleich der rechten Seite sind! a) n i= (x i x) = 0 b) n i= (x i x) 2 = n i= x2 i n (x) Indexverschiebung Die Darstellung einer Summe von Zahlen durch ein Summenzeichen ist nicht eindeutig. Z.B. Kann man leicht prüfen, dass gilt: i = (i 0) = (i 20) = (i + 0) i= i= i=2 Oft ist es sinnvoll, den Laufindex i von einem anderen Startwert als anfangen zu lassen. Damit sich der Wert der Summe nicht verändert, ist folgende Regel zu beachten: Wenn wir die Summationsgrenzen unter und über dem Summenzeichen um eine konstante Zahl c erhöhen, so müssen wir in den Summanden a i die Indexvariable i um diese Konstante c veringern! Wenn wir die Summationsgrenzen unter und über dem Summenzeichen um eine konstante Zahl c veringern, so müssen wir in den Summanden a i die Indexvariable i um diese Konstante c erhöhen! Diesen Vorgang nennt man Indexverschiebung. Satz.7 (Indexverschiebung) Es gilt für jede Zahl c 0: m m+c m c a i = a i c = Analog gilt: i=n m a i = i=n i=n+c m+c i=n+c n i= x i a i c = i=n c m c i=n c i= 9 a i+c a i+c Aufgabe.22 Füllen Sie die richtigen Werte in die leeren Felder (Kästchen) ein! a) 4 i=2 2i = 5 i=3 b) 4 i= ( )i+ i = i= ( )i i c) 5 i i=0 i+ = i= 0 d) 4 i= ( )i+ i+ i = i=0 ( )i 8 i 8 i 9

35 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen Der binomische Lehrsatz.4.4. Fakultät und Binomialkoeffizient Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 3 Symbole auf 3 Felder zu legen, so dass in jedem Feld ein Symbol liegt? Offensichtlich sind das folgende 6 Möglichkeiten: Wir haben 3 Möglichkeiten, den. Platz zu belegen (. Spalte der Grafik). Ist der.platz belegt, so haben wir noch 2 Möglichkeiten, für den 2.Platz (das wird durch die Zeilen der Grafik dargestellt). Für den 3. Platz verbleibt dann nur noch eine Möglichkeit. Insgesamt sind das 3 2 Möglichkeiten. In Verallgemeinerung dieser Tatsache kann man zeigen, dass es genau k (k )... 2 Möglichkeiten gibt, k Objekte auf k Plätzen anzuordnen. Die Anzahl verschiedener Layouts einer Tastatur mit 50 Zeichen ist dann zum Beispiel gleich Die Kenntnis dieser Anzahl ist dann von praktischem Interesse, wenn man unter allen Varianten die beste finden möchte. Das Gebiet, welches sich mit derartigen Fragen befasst, nennt man kombinatorische Optimierung. Das Produkt k (k )... der ersten k natürlichen Zahlen kommt auch in vielen anderen mathematischen Fragestellungen vor. Deshalb führt man eine abkürzende Schreibweise dafür ein: k! = k (k ).... k! bezeichnet man als k Fakultät. Die Fakultät und auch der sogenannte Binomialkoeffizient, die wir im folgenden erläutern werden, sind abkürzende Schreibweisen für zwei mathematische Ausdrücke, die häufig in mathematischen Rechnungen vorkommen. Sie finden vor allem in der Kombinatorik Anwendung. Auch können Binomische Formeln leicht unter Verwendung der Binomialkoeffizienten ausgerechnet werden. Definition.20 (Die Fakultät) Für n N0 definiert man n! (sprich n Fakultät) als: 0! = und n! = 2... n für n > 0 Die Fakultät n! ist für n > 0 folglich das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen. a) 4! = = 24 b) 6! = = 720

36 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 34 Definition.2 (Der Binomialkoeffizient) ( ) Für n N0, k N0, n k, definiert man den n Binomialkoeffizienten (sprich n über k ) als: ( ) k n n! (k + ) (k + 2)... n = = k (n k)! k! 2... (n k) a) b) ( ) 5 = 5! 2 3! 2! ( ) 5 = 5! 4! 4! = = = 0 = = 5 = 5 Aufgabe.6 Berechnen Sie Fakultät und Binomialkoefizient! Kombinatorik Satz.8 (Kombinatorische Bedeutung von Fakultät und Binomialkoeffizient) Es gilt:. Kombinatorische Bedeutung von n! n! ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, n verschiedene Objekte auf n Plätze anzuordnen. ( ) n 2. Kombinatorische Bedeutung von k ( ) n ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, aus n verschiedenen Objekten genau k (k n) k auszuwählen. Wieviele Worte ergeben sich aus den 3 Buchstaben A,B,C? Es ergeben sich die folgenden n! = 2 3 = 6 Möglichkeiten: (A,B,C) (A,C,B) (B,A,C) (B,C,A) (C,A,B) (C,B,A). Wieviele Wortkombinationen mit genau zwei der 3 Buchstaben A,B,C kann man bilden? Es sind( alle ) Paare aus den Buchstaben A,B,C zu bilden, deshalb ist k=2 und n=3 und es gibt 3 genau = 3 solche Paare: (A,B) (A,C) (B,C). 2 Zahlenlotto 6 aus 49 : Wieviele mögliche verschiedene Tipps gibt es beim Zahlenlotto 6 aus 49? Die Anzahl der verschiedenen Tipp-Möglichkeiten ist gleich der Anzahl, 6 verschiedene Zahlen aus 49 Zahlen auszuwählen, also gleich ( n k ) = 49! (49 6)! 6! = = Die Chance, beim Lotto 6 aus 49 6 Richtige zu ziehen ist also zu ca. 4 Millionen. Aufgabe.23 Auf einer Feier erhalten 0 Personen ein Glas Wein, je zwei stoßen miteinander an. Wie oft erklingen die Gläser? Aufgabe.24 Am Ende eines Skiwochenendes fahren alle 30 Teilnehmer in einer langen Schlange den Berg hinunter. Auf wieviele Arten können sie sich zu einer Schlange formieren?

37 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 35 Aufgabe.25 5 Bücher sollen auf 5 Regalpl atze verteilt werden. Dabei stammen 2 vom gleichen Autor Peter Meier, die anderen 3 von 3 anderen Autoren.. Wieviele Möglichkeiten gibt es, die 5 Bücher in die 5 Regalplätze einzuordnen? 2. Bei wieviel Anordnungen stehen die beiden Bücher von Peter Meier nebeneinander? Binomischer Lehrsatz Ausdrücke der Form (a + b) n bezeichnet man als Binomische Formeln. Mit Hilfe der Binomialkoeffizienten lassen sich die Binomischen Formeln ausmultiplizieren. Satz.9 (Der Binomische Lehrsatz) Für alle a R, b R, n N0 gilt: n ( ) (a + b) n n = a n k b k k k=0 zum Binomischen Lehrsatz: 0 ( ) ( ) 0 0 (a + b) 0 = a 0 k b k = a 0 b 0 = k 0 k=0 ( ) ( ) ( ) (a + b) = a k b k = a b 0 + a 0 b = a + b k 0 k=0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) 2 = a 2 k b k = a 2 b 0 + a b + a 0 b 2 k 0 2 k=0 = a a b + b 2 3 ( ) 3 (a + b) 3 = a 3 k b k k k=0 ( ) 3 = a 3 b ( ) 3 a 2 b + = a a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ( ) 3 a b ( ) 3 a 0 b 3 3 (a + b) 4 aus! Aufgabe.26 Rechnen Sie mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes die Binomische Formel Pascalsches Dreieck Die Berechnung der Koeffizienten ( n k) beim Ausrechnen der Binomischen Formel ist recht mühsehlig. Mit Hilfe des sogenannten Pascalschen Dreiecks können wir die Binomialkoeffizienten ( ) n k relativ leicht ermitteln. Im Pascalschen Dreieck ordnen wir die Binomialkoeffizienten ( n k) in Form eines Deieckes an. In der ersten Zeile steht ( 0 0). In der 2. Zeile stehen ( ( 0), ). In der 3. Zeile stehen ( ( 2 0), 2 ( ), 2 2). Und in der n+.ten Zeile stehen alle Koeffizienten ( n ) ( 0, n ( ),... n ( n ), n n). Wir erhalten dann das Dreieck:

38 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 36 ( 0 0) ( ) ( 0 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 0 2) ( 3 ) ( 3 ) ( usw. usf. ) ( 3 3) Rechnen wir alle Binomialkoeffizienten in diesem Dreieck aus, so ergeben sich folgende Zahlen: usw. usf. Wir erkennen folgende Gesetzmäßigkeiten im Dreieck: Die Ränder des Dreiecks ( n 0) und ( n n) sind für jedes n=0,,..., gleich. Das Dreieck ist symmetrisch um die vertikale Mittelachse. Jeder Binomialkoeffizient ( n k) der nicht am Rand steht, ist die Summe der beiden Koeffizienten ( ( ) ( n k, n ) k ) der vorhergehenden Reihe, in dessen Mitte er steht. Wenn wir also die 5. Reihe berechnen wollen, so müssen wir nur folgende Zeile anfügen: usw. usf. Es ist also ( 4 ) ( 0 =, 4 ) ( = 4, 4 ) ( 2 = 6, 4 ) ( 3 = 4 und 4 ) 4 =. Nach Binomischen Lehrsatz würde sich dann z.b. ergeben: (a + b) 4 = a a 3 b + 6 a 2 b a b 3 + b 4. Satz.20 (Eigenschaften des Binomialkoeffizienten) Für Binomialkoeffizienten gelten folgende nützliche Eigenschaften:. Symmetrie: Für alle n N0, k N0, n k, gilt: (a) ( ( n 0) = n n) = (b) ( ) ( n = n n ) = n

39 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 37 (c) ( ) ( n k = n ) n k 2. Rekursivität: Für alle n N0, k N0, n k, gilt: ( n+ ) ( k = n ( k) + n ) k Aufgabe.27 Beweisen Sie Rekursivität des Binomialkoeffizienten: ( Für alle n N0, k N0, n k, gilt: n+ ) ( k = n ( k) + n ) k aus! Aufgabe.28 Multiplizieren Sie mittels Pascalschem Dreieck das Polynom (x + y) 6 Aufgabe.7 Rechnen Sie mit den Gesetzmäßigkeiten im Pascalschen Dreieck!.4.5 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Soll eine Zahl a n mal mit sich selbst multipliziert werden, so schreibt man abkürzend: a n = a a... a. Der Term a n wird a hoch n gelesen. Berechnet man das Produkt x = a n, so sprechen wir vom Potenzieren. a heißt Basis und n heißt Exponent. Die Gleichung x = a n kann man nach a und nach n umstellen. Es ist a = n x und n = log a (x). Die erste Operation nennt man Wurzelziehen, die zweite Operation heißt Logarithmieren. Das heißt, das Logarithmieren und das Wurzelziehen sind die beiden Umkehroperationen des Potenzierens Das Potenzieren Für das Potenzieren gelten Rechengesetze. Die grundlegenden Potenzgesetze sind die folgenden:. a 0 = 2. a n a m = a (n+m) 3. a n b n = (a b) n 4. a ( n) = a n a 5. n a = a n a ( m) = a (n m) m 6. a n b n = ( a b )n 7. (a n ) m = a (n m) 8. a nm = a (nm ) Beispiele: a) ( x 3 x 3 ) = (x 3 x 3 ) = (x 6 ) = x 6

40 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 38 b) ( ) x 2 2 3x 2 a 4 a 3 ( ) a 3 2 ( = x 2 3 x 2 a 4 = a6 x 4 3 x2 a 4 = 3 a2 a ) 2 x 2 = 3 x Aufgabe.29 Berechnen Sie folgende Potenzen und vereinfachen Sie dabei so weit wie möglich! a) b) (5 x)2 5 x 3 ( ) x 2 ( ) 3a 2 2 5xa 4 a 3 4x 3 c) (a 8 ) (a 4 + ) d) e) (a b) 3 + 3(b a) 3 Aufgabe.8 Rechnen Sie mit Potenzen! Das Wurzelziehen Definition.22 (Rechenregeln für das Wurzelziehen) Die Gleichung x = a n kann man nach a und nach n umstellen. Es ist a = n x ( n-te Wurzel aus x ). Diese Operation nennt man Wurzelziehen, d.h., das Wurzelziehen ist eine Umkehroperation des Potenzierens. a heißt Wurzel, x heißt Radikand und n Radikator. Aus den Potenzgesetzen, die für die Ausgangsgleichung x = a n gelten, folgen entsprechende Gesetze für die Wurzel. Dazu muss man sich nur klarmachen, dass gilt: n x = x n. Wurzelgesetze sind damit z.b. die folgenden:. n x n y = x n y n = (x y) n = n x y usw., usf.. Beispiel: ( ) n m x = x n m = x m n = n m x m x n = x n m = ( m x) n n = x x n = x n = n x = = ( 2 + ) (2 + 2) (2 2) (2 + 2) = 3 (2 + 2) 4 2 = 3 2 (2 + 2)

41 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 39 Aufgabe.30 Vereinfachen Sie folgende Terme! a) 3 x 6 (2y) 2 b) x 3 y 3 x y c) x 3 y d) 3 x y 4 x 3 y Aufgabe.3 Erweitern Sie den Nenner mit Hilfe der Binomischen Formeln so, das keine Wurzeln mehr im Nenner vorhanden sind! a) b) c) Aufgabe.9 Rechnen Sie mit Wurzeln! Das Logarithmieren Definition.23 (Rechenregeln für das Logarithmieren) Die Gleichung x = a n kann man nach n umstellen. Es ist n = log a (x). a bezeichnet man als Basis des Logarithmus und n heißt Logarithmus von x zur Basis a. Diese Operation nennt man Logarithmieren. D.h., das Logarithmieren ist eine Umkehroperation des Potenzierens. Spezielle Logarithmen: Ist die Basis gleich der Eulerschen Zahle e=2,78..., so sprechen wir vom natã 4rlichen Logarithmus und schreiben kurz log e (x) = ln(x). Ist die Basis a = 0, so sprechen wir vom dekadischen Logarithmus und schreiben kurz log 0 (x) = lg(x). Aus den Potenzgesetzen, die für die Ausgangsgleichung x = a n gelten, folgen entsprechende Gesetze für den Logarithmus. Die grundlegenden Logarithmengesetze sind die folgenden:. -Regel: log a (a) = 2. 0-Regel: log a () = 0 3. Potenzregel: log a (x n ) = n log a (x) 4. Produktregel: log a (x y) = log a (x) + log a (y) 5. Quotientenregel: log a ( x y ) = log a(x) log a (y) 6. Reziproke Regel: log a (x) = log x (a) 7. Logarithmen-Umrechnung: log a (x) = log b (x) log b (a) = ln(x) ln(a) Daraus lassen sich weitere Regeln ableiten, wie zum Beispiel: 8. a log a (x) = x insbesondere e ln(x) = x 9. Potenzregel: log a x(b) = x log a(b)

42 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 40 Beispiel: Vereinfachen Sie 4 log 256 (6) 2 log 4 (64)! Es ist: 4 log 256 (6) 2 log 4 (64) = 4 log 6 (256) 2 log 4(4 3 ) = 4 log 6 (6 2 ) 2 log 4(4 3 ) = 4 2 log 6 (6) 2 3 log 4(4) = = 4 Aufgabe.32 Vereinfachen Sie folgende Terme ohne Taschenrechner! a) lg(4) + 2 lg(5) b) e 5 ln(2) c) log (a+b) (a + b) 2 d) log 5 (625) ( ) a e) lg 3 b c 2 ( ) 3 f) lg a4 b 2 Aufgabe.33 Berechnen Sie folgende Logarithmen ohne Taschenrechner! a) log 25 (625) + 5 log 25 (5) b) 2 log 6 ( 4) + 20 log6 (4) c) 5 log 25 ( 5) + 6 log25 (5) d) log 27 (8) + 4 log 27 (27) Aufgabe.0 Berechnen Sie Logarithmen! Aufgabe. Rechnen Sie mit Logarithmen! Aufgabe.2 Vereinfachen Sie Terme!.4.6 Beträge, Gleichungen und Ungleichungen Sie müssen die Regeln des Rechnens mit Beträgen, und die Methoden zum Auflösen von Gleichungen und Ungleichungen beherrschen. Sie sollten Gleichungen und Ungleichungen lösen können, gerade in den Fällen, bei denen es sich um quadratische Gleichungen und Ungleichungen handelt, oder diese Beträge enthalten. Wir verweisen dazu auf das Brückenkursskript. Aufgabe.34 Lesen Sie sich das Kapitel.7. in diesem Brückenkursskript durch! Link: MST_KI/ws /Brueckenkurs-07-08

43 B.Grabowski Mathematik, Kap. Algebra-Grundlagen 4 Lösen Sie folgende Übungsaufgaben! Aufgabe.35 Lösen Sie die folgenden Ungleichungen grafisch und analytisch! a) x 2 x+ 2, x b) x 2 20 c) x 2 > 6 8x d) x 2 > 5 e) x 2 < x + f) x 2 < x + Aufgabe.36 Lösen Sie die folgenden Gleichungen! a) x 2 x+ = 2, x b) x 2 = 20 c) x 2 = 6 8x d) x 2 = 5 e) x 2 = x + f) x 2 = x Hausaufgabe Hausaufgabe 4 : Übungsblatt 3

44 Kapitel 2 Einführung in die Vektorrechnung In der Physik und der Technik werden viele Größen nicht nur durch einen Zahlenwert, sondern auch durch eine Richtung beschrieben. Dazu gehören Kräfte, Wege, Geschwindigkeiten und viele weitere Größen. Anschaulich kann man diese Größen durch Pfeile darstellen, wobei die Information über die Größe in der Länge des Pfeiles steckt und die Richtung durch die Lage des Pfeils und seine Pfeilspitze charakterisiert wird. Solche Objekte nennt man in der Mathematik Vektoren und kennzeichnet sie durch einen Buchstaben und durch einen symbolischen Pfeil über dem Buchstaben. Beispiele: a, b, r, F. Ein Vektor a beschreibt alle Pfeile, die gleiche Länge und gleiche Richtung besitzen. D.h., zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Richtung und die gleiche Länge besitzen. a In der Mathematik werden Vektoren verwendet, um die gerichtete Strecke (Verbindung) zwischen 2 Punkten im R n darzustellen. Die Richtung eines Vektors kann durch die Angabe von Winkeln zu den Koordinatenachsen beschrieben werden. Alternativ zur Angabe von Länge und Richtung lässt sich ein Vektor eindeutig durch Koordinaten im rechtwinklige kartesische Koordinatensystem beschreiben. In den folgenden Abschnitten beschäftigen wir uns mit der Darstellung von Vektoren im n- dimensionalen reellen Raum R n und mit Rechenoperationen zum Rechnen mit Vektoren, sowie der physikalischen bzw. geometrischen Bedeutung dieser Operationen. 2. Punkte und Vektoren in der Ebene Ein Punkt in der Ebene wird durch seine Koordinaten P = (p, p 2 ) eindeutig charakterisiert. Durch einen Vektor kann man 2 Punkte P und Q miteinander verbinden; durch Abtragen des Vektors v an den Punkt P = (p, p 2 ) gelangt man zum Punkt Q = (q, q 2 ). Man schreibt v = P Q oder P + v = Q, wobei die Operation + das Abtragen des Vektors v an den Punkt P bedeutet. 42

45 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 43 Wir können den Vektor v mathematisch endeutig durch die 2 Komponenten v und v 2 darstellen, die ( seine ) Ausdehnung in x- und y-richtung beschreiben. Mathematisch wird v als geordnetes Paar v dargestellt, wobei seine Komponenten untereinander geschrieben werden, um ihn von einem v 2 Punkt (v, v 2 ) mit gleichen Koordinaten zu unterscheiden. Wir sehen an der Grafik, dass die Komponenten v, v 2 des Vektors v mit den Koordinaten der beiden Punkte P und Q, die v miteinander verbindet, zusammenhängen. Es ist v i = q i p i die Differenz der i-ten Koordinate der beiden Punkte Q und P, die der Vektor verbindet. ( ) v Andererseits sehen wir, dass die Operation Abtragen von v = an den Punkt P = (p, p 2 ) im Ergebnis den Punkt Q = P + v = (p + v, p 2 + v 2 = (q, q 2 ) liefert, dessen Koordinaten sich aus der Addition der Kordinaten von P und v ergeben. v 2 Aufgabe 2. a) Welcher Vektor v führt vom Punkt P = (, ) zum Punkt Q = (3, 0)? b) Wie lauten die Koordinaten ( des Punktes Q, der entsteht, wenn man an den Punkt P = (3, ) den Vektor v = abträgt? 2) Da zwei Vektoren gleich sind, wenn sie die gleiche Richtung und die gleiche Länge besitzen, sind zwei Vektoren gleich, wenn ihre Koordinaten v i übereinstimmen. Folgendes Bild zeigt mehrere identische Vektoren v. Sie unterscheiden sich lediglich durch die Lage ihres Anfangspunktes, an dem sie abgetragen werden (dadurch unterscheidet sich dann auch der Endpunkt). Der Vektor 0P, der den Koordinatenursprung 0 mit dem Punkt P verbindet, wird als Ortsvektor des Punktes P bezeichnet. Der Ortsvektor 0P von P hat offensichtlich die gleichen Koordinaten wie der Punkt P. Um Vektoren und Punkte voneinander zu unterscheiden, verwendet man zur Darstellung eines Punktes die Zeilenschreibweise und zur Darstellung eines Vektors die Spaltenschreibweise, bei der

46 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 44 die einzelnen Komponenten untereinander angeordnet sind: v = ( ) x OP =, x und y bilden hierbei die Koordinaten des Punktes P = (x, y). y Der Vektor v, der genauso lang wie v ist, aber in die entgegengesetzte Richtung zeigt, wird als Gegenvektor zu v bezeichnet; wir schreiben v = v. Wir erhalten den Gegenvektor zu einem Vektor v, indem wir Pfeilspitze und Anfangspunkt von v vertauschen. Offensichtlich erhalten wir die Koordinaten des Gegenvektors zu einem Vektor v, indem wir einen Vorzeichenwechsel in allen Koordinaten von v durchführen; so ist zum Beispiel der Gegenvektor zu v = ( ) v = v =. 2 ( 2 ) der Vektor Aufgabe 2.2 ( a) Zeichnen Sie den Vektor v = auf mindestens 3 verschiedene Weisen in ein Koordinaten- 2) system ein! b) Zeichnen Sie den Ortsvektor zum Punkt P = (, 2) ein! ( ) c) Zeichnen Sie den Vektor v = in das Koordinatensystem ein! Was stellen Sie fest 2 bezüglich Länge und Richtung von v und v? ( ) 3 d) Zeichnen Sie den Vektor v = und seinen Gegenvektor v in ein Koordinatensystem 4 ein! 2.2 Punkte und Vektoren im R n Im dreidimensionalen Anschauungsraum kommt eine 3. Angabe, die Höhe zur Lagebeschreibung eines Punktes und damit als Koordinate eines Vektors hinzu. Jeder Punkt im Raum wird durch die Angabe der Koordinaten P = (x, y, z) beschrieben, wobei die Reihenfolge vorgeschrieben ist.

47 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 45 z P = (x, y, z ) y x Der Vektor 0P, der vom Ursprung des Koordinatensystems ausgeht und am Punkt P endet, ist v = x OP =, x, y und z bilden hierbei die Koordinaten des Punktes P. y z Die Koordinaten von Vektoren, die nicht im Koordinatenursprung beginnen, können auch im dreidimensionalen Raum als Differenzen der Koordinaten des Endpunktes und des Anfangspunktes beschrieben werden. So hat ein Vektor von einem Punkt A = (x a, y a, z a ) zu einem Punkt B = (x b, y b, z b ) die Vektordarstellung: z v = AB = x b x a y b y a z b z a 2 Q = (0, 2, 2) 2 y x 2 P = (2, 2, 0) Der Vektor v, der den Punkt P = (2, 2, 0) mit dem Punkt Q = (0, 2, 2) verbindet ist v = P Q = 2 2 = Aufgabe 2.3

48 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 46 z A 2 2 y a) x 2 B Welcher Vektor AB verbindet im oben gezeichneten Würfel die Eckpunkte A und B miteinander? b) Welcher Vektor v führt vom Punkt P = (,, 2) zum Punkt Q = ( 3, 0, 5)? c) Wie lauten die Koordinaten des Punktes Q, der entsteht, wenn man an den Punkt P = (3,, 4) den Vektor v = 2 abträgt? 2 3 d) Wie lauten die Koordinaten des Gegenvektors zum Vektor v = Aufgabe 2. Stelle Vektoren und Ortsvektoren grafisch dar! Aufgabe 2.2 Berechne Punkte und Vektoren! Wir wollen unsere Erkenntnisse nun auf den R n verallgemeinern. Definition 2. R n = Rx...xR = {(x,..., x n ) x i,n R i =,..., n} heißt n-dimensionaler reeller Punktraum. Definition 2.2 Seien P und Q zwei Punkte aus dem R n. Das Gebilde v für welches gilt: v ist die gerichtete Strecke zwischen P und Q und heißt Vektor zwischen P und Q. Schreibweise: v = P Q. Wir bezeichnen mit P + v = Q das Abtragen eines Vektors an einen Punkt. Satz 2. Seien P = (p,, p n ) und Q = (q,, q n ) zwei Punkte im R n und v = P Q der Vektor, der P und Q miteinander verbindet. Dann gilt für die Koordinaten v i von v v i = q i p i bzw. es ist v v = : = v = v n q p : q n p n.

49 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 47 Andererseits gilt für die Koordinaten q i des Endpunktes Q der Abtrageoperation: Q = P + v = (p + v,, p n + v n ) Bemerkung: Wir schreiben die Koordinaten eines Vektors stets untereinander im Unterschied zu einem Punkt, dessen Koordinaten nebeneinander geschrieben werden. { Definition 2.3 V n = v P R n Q R n : v = } P Q v = : v i R i =...n = Rn heißt n-dimensionaler reeller Vektorraum. v n Definition 2.4 Der Vektor v = OP, der den Ursprungspunkt O mit einem Punkt P verbindet, hat die gleichen Koordinaten wie P und heißt Ortsvektor von P. v v Der Vektor v = v 2 : heißt Gegenvektor zu v = v 2 :. v n v n Bemerkung: Der Gegenvektor v zu v hat die gleiche Länge wie v und zeigt in die entgegengesetzte Richtung (d.h. Pfeilspitze und Vektor-Fuss sind vertauscht). Wir verwenden folgende abkürzende Schreibweisen für besondere Lagen von zwei Vektoren zueinander: a b a parallel zu b a b in gleiche Richtung a b in verschiedener Richtung a b senkrecht 2.3 Addition, Subtraktion und Vielfachbildung von Vektoren 2.3. Grafische Addition von Vektoren Wir addieren a + b, indem wir den Vektor b am Vektor a abtragen, oder umgekehrt, indem wir a an b abtragen. Der Vektor c = a + b wird als Resultierende von a und b bezeichnet. c verbindet den Anfang von a mit dem Ende von b.

50 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung Grafische Subtraktion von Vektoren Die Differenz zweier Vektoren lässt sich durch den Gegenvektor einfach erklären. Wir subtrahieren a b, indem wir an den Vektor a den Vektor b, d.h. den Gegenvektor zu b abtragen. Das geschieht praktisch, indem wir den Vektor b mit der Spitze zuerst an a abtragen. Der der Resultierenden c = a + b zweier Kräfte entgegengesetze Vektor d = c heißt Gegenkraft zu c. Es gilt offensichtlich: a + b + d = 0 bzw. a + b c = 0. Vektorkette: Es oft notwendig, einen unbekannten Vektor durch andere bekannte darzustellen. Dabei hilft das Bilden einer Vektorkette. Von einem beliebigen Startpunkt wählt man einen geschlossenen Weg über beliebig viele Wege und addiert dabei alle betroffenen Vektoren, die im Umlaufsinn liegen und addiert den Gegenvektor beim Durchlaufen gegen den Umlaufsinn. Die so gebildete Summe wird immer 0. a d c A b Vom Punkt A aus würde eine Vektorkette so aussehen: b + c + d a = 0. Diese Vektorgleichung kann nach jedem Vektor umgestellt werden. Aufgabe 2.3 Grafische Addition und Subtraktion von Vektoren

51 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung Rechnerische Addition von Vektoren Zwei Vektoren werden addiert, indem man die Komponenten addiert. Definition 2.5 Seien a = a + b = a : a n + b : = b n a : a n a + b : a n + b n und b =. b : zwei Vektoren im R n. Dann ist b n Beispiel. Seien a = 5 und 2 b = 3. 4 Dann ist c = a ( 2) b = = = Rechnerische Subtraktion von Vektoren Wir erinnern daran, dass jede Komponente des Gegenvektors a einen Vorzeichenwechsel bzgl. a erhält. 2 2 Beispiel Ist a = 3 so ist a = 3. Die Differenz zweier Vektoren kann auf die Addition mit dem Gegenvektor zurückgeführt werden. Deshalb werden zwei Vektoren subtrahiert, indem man ihre Koordinaten subtrahiert. a Definition 2.6 Seien a = : und b = b : zwei Vektoren im R n. Dann ist a b = a + ( a b a b b) = : + : = :. a n b n a n b n a n Beispiel Seien a = 5 und b = Dann ist d = a 2 ( 2) 3 b = 5 3 = 5 3 = b n

52 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 50 d zeigt von der Pfeilspitze von b zur Pfeilspitze von a. a d b Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 2a Addieren wir a mit sich selbst, so entsteht der Vektor a+ a = : 2a n = 2 a. D.h., 2 a ist der Vektor, den man erhält, wenn man die Koordinaten von a komponentenweise mit 2 multipliziert. 2 a ist offensichtlich doppelt so lang wie a. Das können wir verallgemeinern. Definition 2.7 Bei der Multiplikation eines Vektors v mit einer Zahl λ (Skalar genannt) wird diese Zahl als Faktor mit jeder Komponente des Vektors multipliziert. v λ v w = λ v = λ : = v n : λ v n Der so gebildete Vektor bleibt in der Richtung gleich oder nimmt bei negativem Wert von λ die Gegenrichtung an, in seiner Länge ändert sich der Vektor um das λ fache. Für λ = 0 erhält man den Nullvektor. Folgende Bilder zeigen die Eigenschaften der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Allgemein gilt:. λ a ist λ mal so lang wie a. 2. Ist λ >, so wird a verlängert, ist λ <, so wird a verkürzt. 3. Ist λ > 0, so hat λ a die gleiche Richtung wie a. 4. Ist λ < 0, so ist die Richtung von a entgegengesetzt zu a Eigenschaften von +,-,*λ Fassen wir die Definitionen von Addition, Multiplikation mit Skalar und Subtraktion zusammen, so gilt: a Satz 2.2 Seien a = : und b = b : zwei Vektoren und λ R und µ R. Dann gilt: a n b n λ a + µ b λ a + µ b = : λ a n + µ b n

53 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 5. Beispiel. 0 2 ( ) = = Satz 2.3 Seien a, b, c R n, λ, µ R. Dann gilt:. a + b = b + a (kommutativ) 2. a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (assoziativ) 3. λ ( a + b ) = λ a + λ b (distributiv) 4. (λ + µ) a = λ a + µ a (distributiv) Aufgabe 2.4 Seien F = 0, F 2 = 2 und F 3 3 =. 0 a) Berechnen Sie die Resultierende Kraft F = 2 F + F 2 F 3! b) Berechnen Sie die Gegenkraft F zu F! Aufgabe 2.4 Addition und Subtraktion von Vektoren und Multiplikation mit einem Skalar 2.4 Der Betrag eines Vektors Der Betrag eines Vektors a oder in Kurzschreibweise a ist seine Länge. Ist der Vektor in Komponentenschreibweise gegeben, so lässt sich seine Länge durch Anwenden des Satzes von Pythagoras berechnen.

54 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 52 In der Ebene erhalten wir: Abbildung 2.: Die Länge (der Betrag) eines Vektors a = ( ax a y ) = a 2 x + a 2 y Das können wir auf den R n verallgemeinern. a Definition 2.8 Sei a = :. Dann ist die Länge von a gleich a n a = a : a n = a 2 + a a2 n a wird auch als Betrag von a bezeichnet. Beispiel Ist a = 5 so ist der Betrag: 4 a = ( 4) 2 = 42. Aufgabe 2.5 Gegeben sind die Vektoren: a = 5, 2 3 b = 3 und c = 4 4 6

55 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 53 Bestimmen Sie die folgenden Vektoren: a. d = a 2 b + 3 c b. e = a b + b a Bestimmen Sie die Längen folgender Vektoren: c. f = b a d. g = c + 3 a e. a a Definition 2.9 Ein Vektor a mit der Länge a = heißt normiert(er Vektor). Satz 2.4 Sei a ein Vektor und λ R ein Skalar. Dann gilt:. λ a = λ a 2. a a hat die Länge Bemerkung:. bedeutet: Die Länge von λ a ist das λ fache der Länge von a. 2. bedeutet: Wollen wir einen Vektor normieren, so multiplizieren wir ihn mit dem Reziproken seines Betrages. Aufgabe 2.6 Sei a = ( 3 4 ). Welche Länge hat a? 2. Geben Sie den Vektor b an, der in die gleiche Richtung zeigt wie a, d.h. b a und für den gilt: b =. 3. Geben Sie den Punkt Q an, der 0 Längeneinheiten von P = ( ) in Richtung des Vektors a entfernt ist. Aufgabe 2.5 Betrag eines Vektors 2.4. Hausaufgabe Hausaufgabe 5 : Übungsblatt 4, Aufgaben Das Skalarprodukt zweier Vektoren In den folgenden Abschnitten führen wir 3 verschiedene Produkte von Vektoren ein. Wir beginnen mit dem sogenannten Skalarprodukt zweier Vektoren. Das Skalarprodukt zweier Vektoren darf auf keinen Fall verwechselt werden mit der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Beim Skalarprodukt handelt es sich um eine spezielle Multiplikation, die viele Anwendungen gerade bei physikalischen Themen hat. Zum Beispiel gilt für die mechanische Arbeit (W ) die Beziehung: Arbeit = Kraft Weg

56 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 54 Wenn man nur die reinen Zahlenwerte einsetzt, gilt diese Formel bekanntlich nur dann, wenn Kraft und Weg in gleicher Richtung liegen. In jedem anderen Fall muss der zwischen der Kraft und dem Weg liegende Winkel berücksichtigt werden, denn es leistet nur die Komponente der Kraft einen Anteil zur Arbeit, die in Richtung des Weges zeigt. Die so beschriebene Produktbildung entspricht mathematisch dem Skalarprodukt der Vektoren Kraft ( F ) und Weg ( s). W = F s = F s cos (γ), wobei γ der zwischen den Vektoren liegende Winkel ist. Beachte: Das Ergebnis der Skalarmultiplikation zweier Vektoren ist ein Skalar, kein Vektor Karthesische Definition des Skalarproduktes Wir definieren das Skalarprodukt zunächst als komponentenweise Multiplikation. Definition 2.0 Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist definiert als: a b = a : b : = a b + a 2 b a n b n a n b n Aufgabe 2.7 Ein Schrägaufzug wird durch ein Drahtseil bewegt. Die auf das Seil wirkende Kraft lässt sich durch den Vektor F 6 = 2 kn ausdrücken. Der tiefste Punkt liegt bei P u (550; 300; 50), der höchste 3 Punkt bei P o = (670; 350; 200). Die Angaben der Punkte sind in Meter und beziehen sich auf einen Vermessungspunkt. Welche Arbeit wird für eine Aufzugsfahrt verrichtet? Der Winkel zwischen 2 Vektoren Wie hängt die o.g. Definition des Skalarproduktes mit der obigen Formel für die Arbeit W zusammen, in der Beträge und eingeschlossener Winkel der Vektoren vorkommen? Das wollen wir uns im zweidimensionalen Fall verdeutlichen.

57 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 55 ( a ) ( ) Seien a = und a b b =. Wir zeichnen diese in ein Koordinatensystem ein und erkennen 2 2 b 2 (grün gezeichnete) rechtwinkligen Dreiecke. Aus den Gesetzmäßigkeiten in rechtwinkligen Dreiecken wissen wir, dass gilt: a = a cos(α), a 2 = a sin(α), b = b cos(β), b 2 = b sin(β). Wir erhalten folglich für das Skalarprodukt von a mit b : ( a a b = ) ( ) b a 2 b 2 = a b + a 2 b 2 = a cos(α) b cos(β) + a sin(α) b sin(β) = a b (cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)) = a b cos(γ) γ = β α ist dabei der von a und b eingeschlossene Winkel. Die letzte Gleichung folgt aus den sogenannten Additionstheoremen für die cosinus- und sinus- Funktion: cos(β α) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β). Dieses Ergebnis können wir auf den R n verallgemeinern. Satz 2.5 Seien a und b zwei Vektoren und γ der durch a und b eingeschlossene Winkel (0 γ 90 ). Dann gilt für das Skalarprodukt a b = a b cos(γ) Wir erhalten damit eine Möglichkeit, den Winkel, den 2 Vektoren miteinander einschließen, zu berechnen: a b cos(γ) = a b Beispiel 3 a = 2 ; 5 b = 3, gesucht ist der eingeschlossene Winkel γ: 4 γ = arccos( 0, 54) = 22, ( ) ( 5) 4 cos (γ) = = ( ) = 0, Beispiel 3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der x-achse und dem Vektor a = 2! 5

58 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 56 Lösung: Die x-achse kann durch den Einheits-Vektor e x = 0 dargestellt werden, der in die gleiche 0 Richtung wie die x-achse zeigt und auf die Länge normiert ist. Dann erhalten wir für den gesuchten Winkel γ x : γ x = arccos(0, 48666) 60, cos (γ x ) = = , Aufgabe 2.8. Bestimmen Sie den Winkel des Vektors a = zu allen 3 Koordinatenachsen! 2. Bestimmen Sie alle Seitenlängen und Innen-Winkel des Dreiecks, welches durch die Vektoren a = 0 a = und a + b aufgespannt wird! 2 Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, so ist γ = 90 und cos(γ) = 0. Daraus folgt eine weitere oft benötigte Eigenschaft des Skalarproduktes, die besagt, dass es immer dann Null wird, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Satz 2.6 Seien a und b zwei Vektoren mit a 0 und b 0 und sei γ der durch a und b eingeschlossene Winkel (0 γ 90 ). Dann gilt: a b = 0 cos(γ) = 0 a und b stehen senkrecht aufeinander. Beispiel Gegeben ist der Vektor a = senkrecht steht. ( 3 2). Bestimmen Sie einen Vektor der x, y Ebene, der auf a Lösung: Es gibt unendlich viele Vektoren mit dieser Eigenschaft, weil der Betrag bzw. die Länge des Vektors nicht zu berücksichtigen ist. Der gesuchte Vektor muss die Bedingung erfüllen, dass das Skalarprodukt null wird. Daraus erhält man den Ansatz: b = ( bx b y ) und a b = ( ( ) 3 bx = 0. 2) b y

59 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 57 Jede Lösung der Gleichung 3 b x +( 2) b y = 0 liefert eine Lösung. Da in der Gleichung 2 Variablen stehen, kann eine davon beliebig gewählt werden und die zweite ergibt sich in Abhängigkeit ( der gewählten ersten: b x = 2 3 b y. Wählt man b y = 3 erhält man b x = 2 und den Vektor 2 b =. 3) Jeder Vektor λ b mit λ 0 steht ebenfalls senkrecht auf a. Bei Vektoren der Ebene findet man immer einen orthogonalen Vektor, indem man die Komponenten vertauscht und eines der beiden Komponentenvorzeichen ändert. Bemerkung: 2 senkrecht aufeinanderstehende Vektoren werden auch als orthogonal bezeichnet. Aufgabe 2.9 k 3 r = 2 und s = 2k k Bestimmen Sie die Zahl k so, dass die Vektoren orthogonal sind Eigenschaften des Skalarproduktes ( In der Literatur wird häufig auch die Bezeichnung a, ) b für das Skalarprodukt verwendet, d.h. ( es ist a, ) b = a b. Im folgenden Satz und den darauffolgenden Betrachtungen zum Satz von Pythagoras werden wir diese Schreibweise verwenden. Satz 2.7 Das Skalarprodukt besitzt folgende Eigenschaften: Seien a und b zwei Vektoren im R n und seien λ und µ zwei reelle Zahlen. Dann gilt: (. a, ) ( ) b = b, a (kommutativ) ( ) ( ) 2. λ a + µ b, c = λ ( a, c) + µ b, c (linear) 3. ( a, a) = a 2 Mit Hilfe dieser Eigenschaften lassen sich viele Eigenschaften aus der Geometrie beweisen. Wir beweisen im folgenden den Satz von Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes. Satz 2.8 Sei ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, wobei die Seitenlängen der senkrecht aufeinander stehenden Seiten a und b betragen und die dritte Seite die Länge c besitzt.

60 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 58 Dann gilt: c 2 = a 2 + b 2. Beweis: Wir betrachten die Seiten des Dreiecks als Vektoren. Dann gilt:. a und b stehen senkrecht aufeinander, d.h. es gilt 2. c = a + b. ( ) 3. ( a, a) = a 2, b, b = b 2, ( c, c) = c 2. ( a, ) b = 0. Aus den im obigen Satz genannten Eigenschaften des Skalarproduktes folgt dann die Behauptung des Satzes von Phytagoras: c 2 = c = (( c, c) ) q.e.d = a + b, a + b ( = ( a, a) + 2 a, ) b ( ) = ( a, a) + b, b = a 2 + b 2 = a 2 + b 2. ( ) + b, b Aufgabe 2.0 Zwei Vektoren a und b haben folgende Eigenschaften: a = 4, b = 3, a und b stehen senkrecht aufeinander. Weiterhin sei v = 2 b 3 a.. Wie groß ist das Skalarprodukt zwischen b und dem Vektor v? 2. Wie groß ist der Winkel zwischen b und v? Die Vektorprojektion Mit Hilfe des Skalarprodukts lässt sich die sogenannte Vektorprojektion einführen. Unter dem Projektionsvektor pr eines Vektors b auf einen Vektor a versteht man die Senkrechtprojektion von b auf a, siehe Grafik.

61 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 59 Offensichtlich gilt für den Projektionsvektor pr:. pr = λ a ( pr ist parallel zu a). 2. ( ) b pr, a = 0 ( b pr und a stehen senkrecht aufeinander). Daraus läst sich der Projektionsvektor ermitteln: Es ist ( ) b pr, a = 0 ( ) b, a ( pr, a) = 0 ( ) b, a (λ a, a) = 0 ( ) b, a λ ( a, a) = 0 ( b, a) ( a, a) = λ ( b, a) a 2 = λ und für den Projektionsvektor ergibt sich: pr = λ a = ( b, a) a 2 a. Aufgabe Seien a = 0 und 4 b = Berechnen Sie die Projektion von b auf a, sowie die Projektion von b auf a! Skizzieren Sie beide Projektionsvektoren, sowie a und b im Koordinatensystem! 3 2. Seien a = 2 und b = 2. Berechnen Sie die Projektion von a auf b! Hausaufgabe Hausaufgabe 6 : Übungsblatt 4, Aufgaben Das Kreuzprodukt 2.6. Definition des Kreuzproduktes Ein weiteres wichtiges Produkt von Vektoren ist das sogenannte Kreuzprodukt. Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist dieses nur für Vektoren im dreidimensionalen reellen Raum R 3 definiert und liefert als Ergebnis wieder einen Vektor. Alternative Bezeichnungen für das Kreuzprodukt sind Vekorprodukt oder äußeres Produkt.

62 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 60 Schreibweise: a b = c Das Kreuzprodukt c ist zunächst über seine Richtung und Länge definiert. Definition 2. Das Kreuzprodukt c = a b hat folgende Richtung und Länge:. Richtung: Der Ergebnisvektor c steht senkrecht zu beiden Vektoren a und b, aus denen er gebildet wird, d. h. er steht senkrecht auf der Ebene, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird. Seine Orientierung ergibt sich durch die sogenannte Rechte-Hand-Regel. Dabei zeigt der Daumen der rechten Hand auf den Vektor a, der Zeigefinger der rechten Hand auf b. Die Richtung von c ergibt sich dann automatisch aus der Richtung des Mittelfingers der rechten Hand, wie bei einer rechtsdrehenden Schraube. 2. Länge: Die Länge c von c ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogrammes, das von a und b aufgespannt wird. D.h., es ist: c = a b = a b sin (γ) Eigenschaften des Kreuzproduktes Die zweite Eigenschaft der Länge des Kreuzproduktes kann man verwenden, um zu überprüfen, ob 2 Vektoren in gleicher Richtung verlaufen (kollinear sind). In diesem Fall wird nämlich kein Parallelogramm aufgespannt, es ist also γ = 0 und damit sin(γ) = 0 und folglich ist der Betrag des Vektorproduktes c gleich 0 bzw. c gleich dem Nullvektor 0. Satz 2.9 Es gilt: a und b sind parallel c = a b = 0 Schauen wir uns nun die. Eigenschaft, d.h. die Richtung des Kreuzproduktes an.

63 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 6 Aufgabe 2.2 Zeichnen Sie in folgende Grafiken den Vektor c = ax b ein! 0 0 Aufgabe 2.3 Seien e x = 0, e y = und e y = 0 die Einheitsvektoren in 0 0 einem karthesischen Koordinatensystem, wobei die 3 Vektoren wie im Bild eingezeichnet liegen.

64 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 62 Welchen Zusammenhang gibt es zwischen. e x e y und e y e x? 2. e x e y und e z? Offensichtlich gilt:. e x e x = e y e y = e z e z = e x e y = e z, e y e x = e z. 3. e x e z = e y, e z e x = e y. 4. e y e z = e x, e z e y = e x. Diese Eigenschaften lassen sich verallgemeinern. Satz 2.0 Seien a, b R 3 und λ, µ R. Dann gilt:. a a = 0 2. a b = b a 3. ( ) ( ) λ a µ b c = λ ( a c) + µ b c Berechnung des Kreuzproduktes Wir haben das Vektorprodukt bisher nur geometrisch durch Richtung und Länge definiert. Unter Verwendung der 3 Eigenschaften des Skalarproduktes, die insbesondere für die Einheitsvektoren e x, e y, e z gelten, kann man die Komponentenschreibweise des Vektorproduktes herleiten. Satz 2. Es gilt a b = a x a y b x b y = a yb z a z b y a z b x a x b z a z b z a x b y a y b x Beweis: Es sind a = a x a y a z 0 0 = a x 0 + a y a z 0 = a x e x + a y e y + a z e z 0 0 und analog b = b x e x + b y e y + b z e z. Daraus ergibt sich unter Verwendung der o.g. Eigenschaften -3 des Kreuzproduktes

65 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 63 a b = (a x e x + a y e y + a z e z ) (b x e x + b y e y + b z e z ) = a x b x ( e x e x ) + a x b y ( e x e y ) + a x b z ( e x e z ) +a y b x ( e y e x ) + a y b y ( e y e y ) + a y b z ( e y e z ) +a z b x ( e z e x ) + a z b y ( e z e y ) + a z b z ( e z e z ) = a x b y e z a x b z e y a y b x e z + a y b z e x +a z b x e y a z b y e x = (a y b z a z b y ) e x + (a z b x a x b z ) e y + (a x b y a y b z ) e z = a x a y b x b y = a yb z a z b y a z b x a x b z a z b z a x b y a y b x q.e.d Die Komponentenschreibweise sieht zunächst kompliziert aus, lässt sich aber mit Hilfe von Eselsbrücken einprägen. In jeder Zeile stehen nur Komponenten, die die Eckpunkte eines Rechtecks bilden, das man sich über das Vektorprodukt legen kann. a b = a x a y a z Die durch die Diagonale verbundenen Komponenten werden multipliziert, wobei man oben links beginnt und dann subtrahiert man die durch Multiplikation verbundenen Komponenten der anderen Diagonalen. Das Rechteck wird anschließend um eins nach unten verschoben, wobei die fehlenden Zahlenwerte ergänzt werden. Am besten Schreibt man sich beide Vektoren doppelt untereinander und streicht jeweils die erste und letzte Zeile, weil die nicht benötigt werden. Dann verschiebt man das Rechteck der Reihe nach dreimal und notiert die jeweils entstehenden Differenzausdrücke. b x b y b z 3 Beispiel Zu bilden ist das Vektorprodukt der Vektoren: a = 2 und b = 3 5 4

66 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 64 Aufgabe 2.4 (Quelle: Abitur 2005, Mathe 3./4. Fach Aufgabe 2., 2.2) Gegeben sind die drei Punkte A = (2, 4, ), B = ( 5, 6, ) und C(4, 20, 4). Liegen die drei Punkte A, B und C auf einer Geraden? Aufgabe 2.5 Gegeben sind die Vektoren: u = a) Berechnen Sie u v und v u, was fällt auf? b) Berechnen Sie v w 2, v = 2 5, w = c) Berechnen Sie die Fläche, des von den Vektoren u und w aufgespannten Parallelogramms d) Berechnen Sie ( u v) ( v u) e) Berechnen Sie u ( v w) und ( u v) w. Was fällt auf? f) A = (, 3, 4), B = ( 2, 2, 5) und C = (4, 6, 3) bilden die Punkte eines Dreiecks im Raum. Drücken Sie die Seiten des Dreiecks durch Vektoren aus. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit Hilfe des Vektorproduktes. Aufgabe 2.6 Seien a, b, c drei Vektoren im R 3 mit folgenden Eigenschaften. b ( a c) 2. b = 5 Wie groß ist das Skalarprodukt zwischen b und v = 2 b 3 a? 2.7 Das Spatprodukt 2.7. Definition des Spatproduktes Das dritte Produkt von Vektoren ist das Spatprodukt. Dieses wird aus 3 Vektoren im R 3 gebildet und ist gleich dem Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt der ersten beiden Vektoren mit dem

67 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 65 dritten Vektor. Wie bei Vektorprodukt kommt es hier auf die Reihenfolge der drei Vektoren des Spatproduktes an! Definition 2.2 Seien a = a x a y, b = b x b y und c = c x c y drei Vektoren. Dann heißt a z b z c z [ a, ] ( b, c = a ) b c Spatprodukt von a, b und c. Auch das Spatprodukt hat eine geometrische Bedeutung. Man kann zeigen, dass der Betrag des Spatproduktes gleich dem Volumen des durch a, b und c aufgespannten Körpers ist, den man auch als Spat bezeichnet. c b a Satz [ 2.2 Sei V das Volumen des durch die 3 Vektoren a, b und c aufgespannten Spats. Dann gilt: a, b, c] = V Berechnung des Spatproduktes Die Berechnung des Spatproduktes ergibt folgende Formel: [ a, ] ( b, c = a ) b c a y b z a z b y c x = a z b x a x b z c y a x b y a y b x c z = a x b y b z + b x c y a z + c x a y b z a z b y c x b z c y a x c z a y b x Auch für diese Formel gibt es eine Eselsbrücke, mit deren Hilfe sich die Formel leicht merken, bzw. aufstellen lässt. Dazu schreiben wir die 3 Vektoren spaltenweise nebeneinander und rechts daneben nocheinmal die ersten beiden Spalten a und b. Wir können nun jeweils 3 Diagonalen von links oben nach rechts unten (durchgehende Linie) und 3 Diagonalen von rechts unten nach links oben (gestrichelte Linie) bilden. Die Produkte der 3 Zahlen der Diagonalen von links oben nach rechts unten (durchgehende Linien) werden im Spatprodukt addiert und davon die Produkte der 3 Zahlen der Diagonalen von rechts unten nach links oben (gestrichelte Linien) subtrahiert.

68 B.Grabowski Mathematik, Kap.2 Vektorrechnung 66 Beispiel Wie groß ist das Volumen V des durch die 3 Vektoren a = 3, b = 0 2, c = aufgespannten Spats? Dazu berechnen wir zunächst das Spatprodukt der drei Vektoren: 0 0 Folglich ist das Volumen V = Aufgabe 2.7 Gegeben sind die Vektoren: u =, v = 5, w = a) Wie groß ist das Volumen, des durch diese 3 Vektoren aufgespannten Spats? b) Berechnen Sie [ u, v, w] und [ v, u, w]. Was fällt Ihnen auf, wenn man 2 Vektoren im Spatprodukt vertauscht? [ c) Wie groß ist das Spatprodukt a, b, a + ] b für beliebige Vektoren a und b, die beide ungleich dem Nullvektor sind? Begründen Sie Ihre Antwort! Eigenschaften des Spatproduktes Satz 2.3 Seien a, b, c R 3 3 Vektoren im R 3. Dann gilt. 2. [ a, ] [ b, c = a, c, ] [ b = c, a, ] b = usw. d.h. die Vertauschung zweier Vektoren im Spatprodukt bewirkt eine Vorzeichenänderung! [ λ a + µ a 2, ] [ b, c = λ a, ] [ b, c + µ a 2, ] b, c (Linearität) Definition Vektoren im R 3 heißen komplanar, falls sie in einer Ebene liegen. Offensichtlich können wir mit Hilfe des Spatproduktes herausfinden, ob 3 Vektoren komplanar sind. Da sie in diesem Falle kein Volumen aufspannen, ist ihr Spatprodukt gleich 0. Satz 2.4 Seien a, b, c R 3. Dann gilt a, [ b, c sind komplanar a, ] b, c = 0.

69 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 67 Aufgabe 2.8 ( Quelle: Abitur 2006 Mathe./2. Fach Aufgabe 2.2) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkteschar A k = (k, 0, 2k), k R, und die beiden Punkte B = (0,, 2) und C = (2, 2, 0) gegeben.. Bestimmen Sie k so, dass A k, B und C auf einer Geraden liegen. 2. Für k 2 bildet jeder Punkt A k mit den Punkten B und C ein Dreieck. Zeigen Sie, dass dass Dreieck A k BC einen Flächeninhalt von 3 2 k + 2 hat. 3. Ermitteln Sie alle k R, so dass das Dreieck A k BC einen Flächeninhalt von 4,5 hat. 4. Weisen Sie nach: Die Höhe h a des Dreiecks A 5 BC liegt außerhalb des Dreiecks Hausaufgabe Hausaufgabe 7 : Übungsblatt 5

70 Kapitel 3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 3. Definition von Geraden 3.. Parameterdarstellung von Geraden - die Punkt-Richtungsform und die 2-Punkteform Ist ein Punkt P o R 3 und ein Vektor a R 3 gegeben, so bilden alle Punkte, die man durch Abtragen eines Vielfachen λ a von a an den Punkt P o erhält, eine Gerade. Abbildung 3.: Darstellung von Geraden durch Punkte und Vektoren Definition 3. Gegeben seien ein Punkt P o R 3 und ein Vektor a R 3. Dann bildet die wie folgt definierte Menge aller Punkte g = { } P R 3 P = P o + λ a, λ R eine Gerade, wir schreiben kurz: g : P = P o + λ a, λ R. Diese Darstellung einer Geraden heißt Punkt-Richtungsform der Geraden g. P o heißt Aufpunkt und a heißt Richtungsvektor der Geraden g. Eine weitere Möglichkeit eine Gerade eindeutig zu charakterisieren besteht darin, zwei Punkte, z.b. P o und P festzulegen, durch die diese Gerade verläuft. P o kann dann als Aufpunkt und P o P als Richtungsvektor verwendet werden. Wir erhalten so die sogenannte 2-Punkteform einer Geraden. 68

71 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 69 Definition 3.2 Sind P o und P zwei Punkte im R 3. Dann bildet die wie folgt definierte Menge aller Punkte { g = P R 3 } P = P o + λ P o P, λ R eine Gerade, wir schreiben kurz: g : P = P o + λ P o P, λ R. Diese Darstellung einer Geraden heißt 2-Punkteform der Geraden g. Bemerkung: Die Punkt-Richtungsform und die 2-Punkteform heißen Parameterformen der Geraden. Der Parameter ist λ R. Im Unterschied dazu gibt es die nichtparametrische Darstellung einer Geraden, die wir für den R 2 im nächsten Abschnitt darstellen werden. Beispiel: Seien A = (3, 2, 0) und B = (2, 2, ) zwei Punkte im R 3. a) Geben Sie die Gerade g an, die durch die beiden Punkte verläuft! b) Liegt C = (3, 2, 2) auf der Geraden g? c) Bestimmen Sie für den Punkt D = (2, 2, k) die Variable k so, dass D auf der Geraden g liegt! Lösung: Wir schreiben im folgenden aus optischen Gründen sowohl Punkt- als auch Vektorkoordinaten senkrecht auf! Zu a) g : P = 2 + λ 2 2 = 2 + λ 0, λ R Zu b) Wenn C auf der Geraden g liegt, so muss es ein λ R geben, so dass gilt: = 2 + λ Dieses ist nur erfüllt, wenn die Gleichheit komponentenweise gilt: 3 = 3 λ 2 = 2 2 = λ Wir sehen, dass es keine Zahl λ gibt, die alle drei Gleichungen erfüllt. Um die. Gleichung zu erfüllen, muss λ = 0 sein, die 3. Gleichung ist aber nur für λ = 2 erfüllt. Demzufolge liegt C nicht auf der Geraden g. Zu c) Wenn D auf der Geraden g liegen soll, muss k so festgelegt werden, dass für irgendein λ R gilt: = 2 + λ 0. k 0 Dieses ist nur erfüllt, wenn die Gleichheit komponentenweise gilt: 2 = 3 λ 2 = 2 k = λ Aus der. Gleichung folgt λ = und folglich ist wegen der 3. Gleichung k =. D.h., D = (2, 2, ) liegt auf der Geraden g.

72 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 70 Aufgabe 3. Seien A = (,, ) und B = (0,, ) zwei Punkte im R 3. a) Geben Sie die Gerade g an, die durch die beiden Punkte verläuft! b) Liegt C = (, 2, ) auf der Geraden g? c) Bestimmen Sie für den Punkt D = (, 2, k) die Variable k so, dass D auf der Geraden g liegt! 3..2 Nichtparametrische und parametrische Form von Geraden im R 2 Im R 2 haben wir Geraden bisher durch eine Funktion der Gestalt y = m x + b, x R dargestellt. Diese Gestalt heißt Normalform der Geraden. Wir bezeichnen die Normalform auch als nichtparameterische Form der Geraden. Wie erhalten wir aus der Normalform die Punkt-Richtungsform? Dazu schauen wir uns die geometrische Bedeutung der beiden Geradenparameter m und b an. Abbildung 3.2: Darstellung einer Gerade im R 2 Für die Darstellung der Geraden in Punkt-Richtungsform benötigen wir einen Aufpunkt P o und einen Richtungsvektor a. Wie wir der Grafik ( entnehmen können, ist ein Aufpunkt durch P o = (0, b) und ein Richtungsvektor durch a = gegeben, und folglich ist: m) g : P = ( ) ( ( x 0 = + λ, λ R. y b) m) Wie kommen wir umgekehrt von der Parameterdarstellung einer Geraden ( ( ) ( ) x xo ax g : P = = + λ, λ R y) y o a y zur nichtparametrischen Form y = mx + b? Aus der Parameterdarstellung folgt: x = x o + λ a x y = y o + λ a y

73 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 7 Um den Zusammenhang zwischen x und y zu erhalten, stellen wir die erste Gleichung nach λ um und setzen dieses λ in die zweite Gleichung ein. Es ist λ = x xo a x und folglich y = y o + ay a x (x x o ). Die letzte Gleichung ergibt die Beziehung zwischen x und y. Wir stellen diese nun noch so um, dass die Form y = mx + b entsteht: Es ist also m = ay a x und b = (y o ay a x x o ). y = ay a x x + (y o ay a x x o ). Aufgabe 3.2 a) Durch g : P = ( ) ( 2 + λ 3 2), λ R ist eine Gerade in Punkt-Richtungsform gegeben. Wie lautet die Normalform y = m x + b? b) Durch 2x+3y = 7 ist eine Gerade in Normalform in R 2 gegeben. Wie lautet die Parameterform? c) Geben Sie die Normalform und die Punkt-Richtungsform der Geraden an, die durch die beiden Punkte P = (, 2) und P 2 = (, 3) verläuft! 3.2 Lagebeziehungen von Punkten und Geraden zu Geraden 3.2. Abstand eines Punktes von einer Geraden in R 3 Der Abstand d = dist(q, g) eines Punktes Q von einer Geraden g ist der kleinste Abstand, den Q zu einem Punkt der Geraden erreichen kann. Damit ist der Abstand die Länge des Vektors QL, wobei dieser senkrecht auf der Geraden steht. Definition 3.3 Der Abstand dist(q, g) eines Punktes Q von einer Geraden g ist wie folgt definiert: dist(q, g) = min P g P Q = LQ. L heißt Lotpunkt. Im folgenden wollen wir eine Formel zur Berechnung dieses Abstandes dist(q, g) herleiten. Sei g : P = P o + λ a, λ R.

74 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 72 Abbildung 3.3: Abstand eines Punktes Q von einer Geraden g Wir sehen, dass gilt: Der Abstand ist d = dist(q, g) = LQ = P oq P ol. Der Lotpunkt ist L = P o + P ol. Der für Abstand und Lotpunkt benötigte Vektor Vektor a, d.h. es ist P ol = ( P oq, a a 2 Damit erhalten wir folgendes Ergebnis. ) a. P ol ist die Projektion von P oq auf den Satz 3. Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden g mit dem Aufpunkt P o Richtungsvektor a ist und dem d = dist(q, g) = ( ) P oq, a P oq a a. 2 Der Lotpunkt L der bei Fällen des Lots von Q auf g entsteht, ist: L = P o + ( ) P oq, a Man kann den Abstand auch durch folgende einfachere Formel berechnen. a 2 a. Satz 3.2 Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden g mit dem Aufpunkt P o Richtungsvektor a ist und dem d = dist(q, g) = P oq a a. Aufgabe 3.3 Weisen Sie nach, dass sich der Abstand dist(q, g) entsprechend der Formel im o.g. Satz berechnen lässt. Überlegen Sie sich dazu, wie die Höhe LQ im Dreieck (P o, L, Q) mit der Fläche P oq a des durch P 0 Q und a aufgespannten Parallelogramms und a zusammenhängt!

75 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 73 Aufgabe 3.4 Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q = (,, ) von der Geraden mit dem Aufpunkt P o = (, 3, 2) und dem Richtungsvektor a = 0! Geben Sie den Lotpunkt L an! Lage zweier Geraden zueinander Zwei Geraden können gleich sein sich schneiden senkrecht aufeinander stehen parallel zueienander liegen windschief zueinander sein In diesem Abschnitt wollen wir Kriterien aufstellen, anhand derer wir die Lage zweier Geraden zueinander erkennen können. Zu Beginn wollen wir zunächst wiederholen, wie wir die Lage von Vektoren zueinander mit Hilfe der Vektorprodukte ermitteln können. Aufgabe 3.5 Geben Sie unter Verwendung der 3 Vektorprodukte (Skalar-, Kreuz-, Spatprodukt) Gleichungen an, die erfüllt sein müssen, wenn die Vektoren a, b und c folgende Lagen zueinander besitzen: a) a b. b) a, b, c sind komplanar. c) a b. Gegeben seien zwei Geraden im R 3 g : P = P + λ a, λ R g 2 : P = P 2 + µ a 2, µ R Folgende Abbildung zeigt, wie für die verschiedenen Lagen der Geraden die Aufpunkte und Richtungsvektoren der beiden Geraden zueienander liegen.

76 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 74 Abbildung 3.4: Lagen zweier Geraden zueinander Aufgabe 3.6 Geben Sie unter Verwendung der 3 Vektorprodukte (Skalar-, Kreuz-, Spatprodukt) Gleichungen für a, a 2 und P P 2 an, die erfüllt sein müssen, wenn die beiden Geraden folgende Lagen zueinander besitzen: a) g g 2 g g 2 (g parallel zu g 2 ) b) g = g 2 (g identisch zu g 2 ) c) g g 2 (g schneidet g 2 ) d) g g 2 (g steht senkrecht auf g 2 ) e) g windschief zu g 2 Satz 3.3 Es gilt: a) g g 2 g g 2 (g parallel zu g 2 ) a a 2 = 0 P P 2 a 2 0 b) g = g 2 (g identisch zu g 2 ) a a 2 = 0 P P 2 a 2 = 0 c) g g 2 (g steht senkrecht auf g 2 ) ( a, [ a 2 ) = 0 P P 2, a, ] a 2 = 0 d) g g 2 (g schneidet g 2 ) a [ a 2 0 P P 2, a, ] a 2 = 0 e) g windschief zu g 2 a [ a 2 0 P P 2, a, ] a 2 0 Aufgabe 3.7 Gegeben seien die beiden Geraden g : mit Aufpunkt P = (4, 2, 3) und Richtungsvektor a = und g 2 : mit den 2 Punkten P 2 = (, 0, 2) und P 22 = (4, 2, 3). Welche Lage haben g und g 2 zueinander? 2 3

77 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 75 Aufgabe 3.8 Sei g eine Gerade mit dem Aufpunkt P o = (2,, 3) und dem Richtungsvektor a =. a) Geben Sie Aufpunkt und Richtungsvektor einer Geraden h an, die parallel zu g im Abstand 2 verläuft! b) Geben Sie Aufpunkt und Richtungsvektor einer Geraden l an, die senkrecht auf g steht und g im Punkt P o schneidet! 2 c) Ist die Gerade mit dem Aufpunkt P = (3, 0, 4) und dem Richtungsvektor a = 2 identisch zu 2 g? Abstand zweier paralleler Geraden Gegeben sind die Geraden: g : P = P + λ a g 2 : P = P 2 + µ a 2 Der Abstand der beiden Geraden voneinander wird als kleinster Abstand zwischen je zwei Punkten der beiden Geraden definiert. Man kann zeigen, dasss dieser Abstand gerade gleich dem Abstand des Aufpunktes P von der Geraden g 2 bzw. gleich dem Abstand des Aufpunktes P 2 von der Geraden g ist. Abbildung 3.5: Abstand zweier paralleler Geraden Definition 3.4 Der Abstand dist(g, g 2 ) zweier Geraden ist wie folgt definiert: dist(g, g 2 ) = min Q g,q 2 g 2 Q Q 2 = dist(p, g 2 ) = dist(p 2, g ). Damit lässt sich dieser Abstand gemäß folgender Formel berechnen. Satz 3.4 Der Abstand zweier Geraden voneinander ist dist(g, g 2 ) = a P P 2 a = a 2 P P 2 a 2

78 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 76 Aufgabe 3.9 Berechnen Sie den Abstand der Geraden g mit dem Aufpunkt P = (,, ) und dem Richtungsvektor a = 2 von der Geraden mit dem Aufpunkt P 2 = (, 3, 2) und dem Richtungsvektor a2 = 0! Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden Gegeben sind die Geraden g : P = P + λ a und g 2 : P = P 2 + µ a 2. Der Schnittwinkel ist definiert als Winkel zwischen den Richtungsvektoren der beiden Geraden. Definition 3.5 Winkel(g, g 2 ) = W inkel( a, a 2 ) = arccos ( ) ( a, a 2) a a 2 Abbildung 3.6: Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden Der Schnittpunkt S liegt auf beiden Geraden, d.h. es gilt: S = P + λ S a und S = P 2 + µ S a 2. Wir setzen beide Graden gleich P + λ S a = P 2 + µ S a 2. und erhalten die zum Schnittpunkt S gehörenden Werte für λ S und µ S. Diese Werte setzen wir in die entsprechende Formel für S ein und erhalten so den Schnittpunkt S. Beispiel: Gegeben seien die beiden Geraden g mit Aufpunkt P = (4, 2, 3) und Richtungsvektor a = 2 3 und g 2 mit Aufpunkt P 2 = (, 0, 2) und Richtungsvektor 3 a 2 = 2. Für den Schnittwinkel α der Geraden ergibt sich:

79 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 77 cos(α) = ( 2 3 ) ( 3 2 ) ( 2 3 ) ( 3 2 ) = = 5 7 α = arccos ( 5 7) = 44, 4. Für ( den Schnittpunkt setzen wir die beiden Geraden gleich: 42 ) + λ ( ) ( ) ( 3) 20 = 32 + µ 2 3 und lösen diese Gleichungen nach λ und µ auf. Wir erhalten λ = 0, µ =. Setzen wir diese Werte in die jeweils passende Schnittpunktformel ein, so ergibt sich: S = P + λ a = (4, 2, 3) + λ 2 = (4, 2, 3) 3 und analog S = P 2 + λ 3 a 2 = (, 0, 2) + µ 2 = (4, 2, 3). Hausaufgabe 8 : Übungsblatt 6, Aufgaben,2 und Definition von Ebenen im R Parametrische Darstellung der Ebene - die Punkt-Richtungs-Form und die 3-Punkte-Form Zwei nichtparalelle Vektoren a 0 und b 0 spannen eine Ebene auf. Durch diese Vektoren und einen Aufpunkt P o kann man alle Punkte P der Ebene erreichen. Abbildung 3.7: Darstellung einer Ebene durch Punkte und Vektoren Definition 3.6 Gegeben seien ein Punkt P o R 3 und zwei nichtparallele Vektoren a, b R 3. Dann bildet die wie folgt definierte Menge aller Punkte E = { } P R 3 P = P o + λ a + µ b, λ, µ R eine Ebene, wir schreiben kurz: E : P = P o + λ a + µ b, λ, µ R. Diese Darstellung einer Ebene heißt Punkt-Richtungsform der Ebene E. P o heißt Aufpunkt und a, b heißen Richtungsvektoren der Ebene E. Eine weitere Möglichkeit eine Ebene eindeutig zu charakterisieren besteht darin, drei Punkte, z.b. P o, P und P 2 festzulegen, die in der Ebene liegen. P o kann dann als Aufpunkt und P o P

80 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 78 und P o P 2 als Richtungsvektoren verwendet werden. Wir erhalten so die sogenannte 3-Punkteform einer Ebene. Definition 3.7 Sind P o, P und P 2 drei Punkte im R 3, die nicht auf einer Geraden liegen. Dann bildet die wie folgt definierte Menge aller Punkte { E = P R 3 } P = P o + λ P o P + µ P o P 2, λ, µ R eine Ebene, wir schreiben kurz: g : P = P o + λ P o P + µ P o P 2, λ, µ R. Diese Darstellung einer Ebene heißt 3-Punkteform der Ebene g. Bemerkung: Die Punkt-Richtungsform und die 3-Punkteform heißen Parameterformen der Ebene. Die Parameter sind λ und µ. Im Unterschied dazu gibt es die nichtparametrische Darstellung bzw. Normalform einer Ebene, die wir im nächsten Abschnitt darstellen werden. Aufgabe 3.0 Seien A = (,, ), B = (, 0, 3) und C = (0,, ) drei Punkte im R 3. a) Geben Sie die Ebene E an, in der alle drei Punkte liegen! b) Liegt D = (, 2, ) in der Ebene E? Die Normalform (nicht-parametrische Darstellung) von Ebenen Definition 3.8 Das Kreuzprodukt n = a b der beiden Richtungsvektoren der Ebene heißt Normalenvektor der Ebene. Abbildung 3.8: Der Normalenvektor einer Ebene Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene, d.h. für jeden Punkt P stehen der zugehörige Vektor P o P zwischen P und dem Aufpunkt der Ebene und der Normalenvektor senkrecht aufeienander. Diese Eigenschaft der Ebenenpunkte P liefert eine weitere, die sogenannte Normalform oder nichtparametrische Definition der Ebene. Definition 3.9 Gegeben seien ein Punkt P o R 3 und ein Vektor n R 3. Dann bildet die wie folgt definierte Menge aller Punkte E = { P R 3 (P o P, n) = 0 }

81 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 79 eine Ebene, wir schreiben kurz: E : (P o P, n) = 0. Diese Darstellung einer Ebene heißt Normalform oder nichtparametrische Form der Ebene E. n heißt Normalenvektor der Ebene E. Schauen wir uns die Normalform der Ebene genauer an. Seien P o = (x o, y o, z o ), P = (x, y, z) und n = ( ) Po P, n = 0 n x n y n z. Dann gilt n x (x x o ) + n y (y y o ) + n z (z z o ) = 0 n x x + n y y + n z z = d mit d = n x x o + n y y o + n z z o. D.h., die Normalform einer Ebene ist eine Gleichung der Form a x + b y + c z = d Diese Gleichung heißt Normalengleichung der Ebene. Der Koeffizientenvektor der Normalenvektor. a b ist dabei c Man kann die Ebenengleichung auch umstellen: z = a x + b y + d und erhält damit die direkte Verallgemeinerung einer Geradengleichung y = a x + b im R 2. Beispiele für Ebenen: 2x + y z = 3 z = 2x + 3y 3x + y = Aufgabe 3. a) Geben Sie zu den drei o.g. Beispielebenen den Normalenvektor n und einen Aufpunkt P o an! b) Skizzieren Sie alle 3 Ebenen im R 3, indem Sie jeweils die 3 Schnittpunkte mit den 3 Koordinatenachsen einzeichnen! Ist eine Ebene in Normalform gegeben, so kann man durch Einsetzen von geeigneten Werten für x, y, z in die Ebenengleichung 3 Punkte finden, die in der Ebene liegen und erhält damit die 3 - Punkte-Form der Ebene und daraus auch die Punkt-Richtungsform der Ebene. Umgekehrt, ist eine Ebene in Punkt-Richtungsform gegeben, so erhält man die Normalform, indem man n = a b bildet und die Normalengleichung der Ebene aufstellt. Beispiel: Seien P = (,, ), P 2 = (0,, 2) und P 3 = (, 0, ) drei Punkte, die eine Ebene definieren. Geben Sie die Ebene in Normalform, d.h. die Normalengleichung der Ebene an! Lösung: Aus den 3 Punkten berechnen wir

82 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 80 den Aufpunkt: P = (,, ), die Richtungsvektoren: a = P P 2 = 2, b = P P 3 = 2, 0 den Normalenvektor: n = a b = 2, 3 und die Normalengleichung: x 2y 3z = d, wobei d = x 0 2y o 3z o = 2 3 = 4 ist. Die Ebenengleichung in Normalform lautet folglich x 2y 3z = 4. Aufgabe 3.2 a) Geben Sie die Ebene E : 3x + y + z = 5 in Punkt-Richtungsform an! b) Geben Sie die Ebene E 2 : P = P o + λ ( 2 ) ( 3) 0 + µ 2, mit Po = (,, ), λ, µ R, in Normalform an! c) Liegt P = (2,, 0) in E 2? d) Für welche Werte k der Punkt P = (,, k) in der Ebene E 2? Aufgabe 3.3 Gegeben sei folgende Ebene E : 3x + y + z = 5. a) Geben Sie eine Ebene E 2 in Normalform an, die parallel zu E im Abstand 3 verläuft! b) Geben Sie eine Ebene E 3 in Normalform an, die senkrecht auf E steht! 3.4 Lage von Geraden und Ebenen zu Ebenen 3.4. Lage zwischen Gerade und Ebene Gegeben sei die Gerade g : P = P g + λ a und die Ebene E mit dem Aufpunkt P E Normalenvektor n. und dem Folgende Abbildung zeigt, wie für die verschiedenen Lagen der Geraden und der Ebenen die Aufpunkte, der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zueienander liegen.

83 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 8 Abbildung 3.9: Lagen zwischen Gerade und Ebene Aufgabe 3.4 Geben Sie unter Verwendung der 3 Vektorprodukte (Skalar-, Kreuz-, Spatprodukt) Gleichungen für a, n und P g, sowie P E an, die erfüllt sein müssen, wenn Gerade und Ebene folgende Lagen zueinander besitzen: a) g E g / E (g parallel zu E) b) g E (g liegt in E) c) g E (g schneidet E) d) g E (g schneidet E senkrecht) Satz 3.5 Es gilt: ( ) a) g E g / E (g parallel zu E) ( n, a) = 0 P g P E, n 0 ( ) b) g E (g liegt in E) ( n, a) = 0 P g P E, n = 0 c) g E (g schneidet E senkrecht) ( a n) = 0 d) g E (g schneidet E) ( n, a) 0 Aufgabe 3.5 Sei E eine Ebene mit dem Aufpunkt P E = (2,, 3) und dem Normalenvektor n =. a) Geben Sie Aufpunkt und Richtungsvektor einer Geraden g an, die parallel zu E im Abstand 2 verläuft!

84 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 82 b) Geben Sie Aufpunkt und Richtungsvektor einer Geraden g 2 an, die E senkrecht im Punkt P E schneidet! Aufgabe 3.6 Gegeben seien eine Ebene E mit dem Aufpunkt P E = (, 2, ) und dem Normalenvektor n = 0 2 und eine Gerade g mit dem Aufpunkt P g = (,, 3) und dem Richtungsvektor a = (,, 2 ). Welche Lage hat g zu E? Aufgabe 3. Lage von Geraden zu Ebenen Lage zweier Ebenen zueinander Gegeben sind die Ebene E mit dem Aufpunkt P und dem Normalenvektor n und die Ebene E 2 mit dem Aufpunkt P 2 und dem Normalenvektor n 2. Folgende Abbildung zeigt, wie für die verschiedenen Lagen der beiden Ebenen die Aufpunkte und Normalenvektoren zueienander liegen. Abbildung 3.0: Lagen zweier Ebenen zueinander Aufgabe 3.7 Geben Sie unter Verwendung der 3 Vektorprodukte (Skalar-, Kreuz-, Spatprodukt) Gleichungen

85 B.Grabowski Mathematik, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R 3 83 für n, n 2 und P sowie P 2 an, die erfüllt sein müssen, wenn die beiden Ebenen folgende Lagen zueinander besitzen: a) E E 2 E E 2 (E parallel zu E 2 ) b) E = E 2 (E identisch zu E 2 ) c) E E 2 (E schneidet E 2 ) d) E E 2 (E schneidet E 2 senkrecht) Satz 3.6 Es gilt: a) E E 2 E E 2 (E parallel zu E 2 ) n ( n 2 = 0 P P 2, ) n 0 b) E = E 2 (E identisch zue 2 ) n ( n 2 = 0 P P 2, n = 0 c) E E 2 (E schneidet E 2 senkrecht) ( n, n 2 ) = 0 d) E E 2 (E schneidet E 2 ) n n 2 0 Aufgabe 3.8 Aufgabe 3.9 Sei E eine Ebene mit dem Aufpunkt P E = (2,, 3) und dem Normalenvektor n =. a) Geben Sie eine Ebene E in Normalform und Parameterform an, die parallel zu E im Abstand 2 verläuft! b) Geben Sie eine Ebene E 2 in Normalform und Parameterform an, die E senkrecht schneidet und für die gilt, dass P E E 2 ist!