Spieltheorie I für VWL Midterm Name:... Matrikelnummer:...

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1 Spieltheorie I für VWL Midterm Name:... Matrikelnummer:... ACHTUNG!!!: Alle Antworten sind zu begründen. Unbegründete bzw. unleserliche Antworten werden nicht bewertet! (1) Betrachten Sie das folgende Spiel in Normalform: L M R U 1,3 4, 3,5 D, 6,1 1,0 (a) Geben Sie die Definition eines Nash-Gleichgewichts an. (b) Finden Sie alle Nash-Gleichgewichte dieses Spiels in reinen Strategien. (c) Finden Sie alle Nash-Gleichgewichte dieses Spiels in gemischten Strategien. () Die Regierungen von zwei Ländern entscheiden gleichzeitig und unabhängig voneinander über die Länge der Arbeitswoche. Jedes Land betrachtet zwei Möglichkeiten: S = 35 und L = 40 Arbeitsstunden in der Woche. Wenn Land i = 1, eine Arbeitswoche von x i Stunden wählt, dann ist der gesamte Output beider Länder gleich G = minx 1, x } und jedes Land bekommt davon die Hälfte, G/. Die Kosten von Land i sind c x i, wobei 0 < c < 1 ist. Somit ist der Payoff von Land i durch G/ c x i gegeben. (a) Betrachten Sie die wöchentliche Produktion vom Konsumgut als Spiel. Wer sind die Spieler? Welche Strategiemenge hat jeder Spieler? Schreiben Sie die Auszahlungsmatrix des Spiels. (b) Finden Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien. (c) Diskutieren Sie informell die Eigenschaften der Gleichgewichte. Welches halten Sie für plausibler? (3) Betrachten Sie das folgende Spiel in extensiver Form, wo Spieler 1 in den Entscheidungsknoten a and d, während Spieler in den Entscheidungsknoten b and c eine Aktion wählen muss. Die Schreibweise (6, 4), z.b., bedeutet, dass Spieler 1 die Auszahlung 6 und Spieler die Auszahlung 4 erhält. (6, 4) x b T (5, 5) y 1 a B L (8, ) c R F (, 1) 1 d Z (4, 3)

2 (a) Wie viele Teilspiele (einschließlich das Spiel selbst) hat dieses Spiel? (b) Geben Sie die Definition einer Strategie in einem Spiel in extensiver Form an, indem Sie die folgenden Begriffe verwenden: Plan, Entscheidungsknoten. (c) Geben Sie die Mengen der Strategien von Spieler 1 und von Spieler an. (d) Schreiben Sie die Normalform (die Auszahlungsmatrix) dieses Spiels hin. (e) Finden Sie alle Nash-Gleichgewichte dieses Spiels (in reinen Strategien). (f) Geben Sie die Definition eines teilspielperfekten Gleichgewichts an, indem Sie die folgenden Begriffe verwenden: Teilspiel, Nash-Gleichgewicht. (g) Finden Sie das teilspielperfekte Gleichgewicht dieses Spiels. (4) [Asymmetrisches Cournot-Duopol] Betrachten Sie einen Markt mit Anbietern, die miteinander konkurrieren und jeweils die eigene Outputmenge festlegen. Mit y i bezeichnen wir die Outputmenge von Unternehmen i, i 1, }. Die Nachfrage ist gegeben durch die inverse Nachfragefunktion 160 Y wenn 0 Y 160 P (Y ) = 0 wenn Y 160 wobei Y = y 1 +y die Gesamtproduktion bezeichnet. Die Unternehmen haben unterschiedliche Kostenfunktionen: Unternehmen 1 hat die Kostenfunktion C 1 (y 1 ) = 8y 1 und Unternehmen die Kostenfunktion C (y ) = 6y. (a) Nehmen Sie an, dass die Firmen ihre Angebotsmengen gleichzeitig festlegen. Betrachten Sie diese Situation als ein Spiel in Normalform. Definieren Sie die Menge der Spieler, die Mengen der Strategien sowie die Auszahlungsfunktionen beider Spieler. (b) Was ist eine Reaktionsfunktion? Berechnen Sie die Reaktionsfunktionen beider Unternehmen und interpretieren Sie diese. (c) Berechnen Sie die Outputmenge beider Firmen yi C, den Gesamtoutput Y C, den Marktpreis p C und die Gewinne beider Firmen πi C im Nash-Gleichgewicht. (d) Nehmen Sie an, ein Monopolist besitze beide Firmen und maximiere die Summe ihrer Gewinne. Diskutieren Sie diesen Fall (keine vollständige Analyse erforderlich).

3 Midterm Game Theory I for Economics Name:... Student Number:... Note!!!: All answers must contain a detailed explanation of your results. Answers without reasoning will not be graded! (1) Consider the following normal form game: (a) Write the definition of a Nash equilibrium. L M R U 1,3 4, 3,5 D, 6,1 1,0 (b) Find all Nash equilibria in pure strategies of this game. (c) Find all Nash equilibria in mixed strategies of this game. () The governments of two countries decide simultaneously and independently the length of the working week. Each country considers only two possibilities: S = 35 and L = 40 hours weekly. If country i = 1, chooses a working week of x i hours, the total output of both countries is G = minx 1, x } and each country gets G/. The cost to country i is c x i where 0 < c < 1, so that the net payoff of country i is G/ c x i. (a) Think of the weekly production of consumption good as a game. Who are the players? What is the strategy set of each player? Write the payoff matrix of the game. (b) Find all the Nash equilibria in pure strategies. (c) Discuss the characteristics of the Nash equilibria informally. Which one seems more plausible to you? (3) Consider the following extensive form game, where at decision nodes a and d, player 1 moves, while at decision nodes b and c, player moves, and, e.g., (6, 4) means that player 1 obtains payoff 6, while player obtains payoff 4. (6, 4) x b T (5, 5) y 1 a B L (8, ) c R F 1 d Z (, 1) (4, 3) (a) How many subgames (including the whole game) does this game have? (b) Write the definition of a strategy in extensive form games, using the following words: plan, decision node.

4 (c) Write down the strategy set of player 1 and the strategy set of player. (d) Write down the normal form (payoff matrix) of this game. (e) Find all Nash equilibria in pure strategies of this game. (f) Write the definition of a subgame perfect equilibrium, using the following words: subgame, Nash equilibrium. (g) Find the subgame perfect equilibrium of this game. (4) [Asymmetric Cournot Duopoly] Consider a market with firms in competition who determine their own outputs. By y i we denote the output of firm i, i 1, }. The demand is given by the inverse demand function 160 Y if 0 Y 160 P (Y ) = 0 if Y 160 where Y = y 1 + y denotes the total production in this market. The firms have different cost functions: firm 1 has the cost function C 1 (y 1 ) = 8y 1, and firm the cost function C (y ) = 6y. (a) Suppose that the firms decide simultaneously about their outputs. Consider this situation as a normal form game. Define the set of players, the strategy sets and the payoff functions of both players. (b) What is a reaction function? Compute the reaction functions of both firms and interpret them. (c) Compute the outputs of both firms y C i, the total output Y C, the market price p C, and the profits of both firms π C i in the Nash equilibrium. (d) Suppose that a monopolist owns both firms and maximizes the sum of their profits. Discuss this case (no full analysis required).

5 Answers to Midterm Exam (1) (a) Correct answers include: A Nash equilibrium is a strategy profile such that players play best responses to each other. A Nash equilibrium is a strategy profile such that no player can obtain a larger payoff by unilateral deviation. A Nash equilibrium is a strategy profile s such that u i (s i, s i ) u i(s i, s i ) for all player i and for all strategies s i, where u i is the payoff function of player i. (b) The Nash equilibria in pure strategies are (U, R) and (D, L). (c) Since M is strictly dominated by L, it is sufficient to consider the game: L R U 1,3 3,5 D, 1,0 Then, the Nash equilibria in mixed strategies of the original game are: (1[U] + 0[D], 0[L] + 0[M] + 1[R]) (0[U] + 1[D], 1[L] + 0[M] + 0[R]) ( 1 [U] + 1 [D], 3 [L] + 0[M] [R] ). [In my opinion, answers such as (1[U] + 0[D], 0[L] + 1[R]), (0[U] + 1[D], 1[L] + 0[R]), (1/[U] + 1/[D], /3[L] + 1/3[R]) should be allowed.] () (a) The set of players is 1, }. The strategy set of player 1 is S, L} ; the strategy set of player is S, L}. The payoff matrix of this game is: S L S 35 35c, 35 35c 35 35c, 35 40c L 35 40c, 35 35c 40 40c, 40 40c (b) Note that 0 < c < 1. The Nash equilibria in pure strategies are (S, S) and (L, L). (c) Mention the properties that in (S, S), both players play the less risky action S, while in (L, L), both players obtain a larger payoff than in (S, S). (3) (a) The game has 4 subgames. (b) A strategy is a plan that assings an action to every decision node. (c) The strategy set of player 1 is T F, T Z, BF, BZ} ; the strategy set of player is xl, xr, yl, yr}. (d) The normal form of this game is give by xl xr yl yr T F 6, 4 6, 4 5, 5 5, 5 T Z 6, 4 6, 4 5, 5 5, 5 BF 8,, 1 8,, 1 BF 8, 4, 3 8, 4, 3 (e) The Nash equilibria are (T F, yr), (T Z, yr), (BF, xl), (BF, yl). 1

6 (f) A subgame perfect equilibrium is a strategy profile that constitutes a Nash equilibrium in every subgame. (g) By backward induction, the subgame perfect equilibrium is (T Z, yr). [In my opnion, the answer (T, y) should not be allowed.] (4) (a) The set of players is 1, }. The strategy set of each player is [0, ). The payoff function of player 1, π 1, is given by π 1 (y 1, y ) = P (y 1 + y )y 1 C 1 (y 1 ) The payoff function of player, π, is given by = (P (y 1 + y ) 8)y 1 (15 y 1 y )y 1 if 0 y 1 + y 160 = 8y 1 if y 1 + y > 160. π (y 1, y ) = P (y 1 + y )y C (y ) = (P (y 1 + y ) 6)y (154 y 1 y )y 1 if 0 y 1 + y 160 = 6y 1 if y 1 + y > 160. [In my opinion, answers such as the following should be allowed: [0, 160], [0, 15], [0, 154] for strategy sets (strategy set is not derived, but assumed); π 1 (y 1, y ) = (15 y 1 y )y 1 and π (y 1, y ) = (154 y 1 y )y for payoff functions (where the possibility that P (y 1 + y ) = 0 is ignored).] (b) The reaction function of player i is a function that assigns the best response of i to each action of the other player. The reaction function of player 1, r 1, is given by r 1 (y ) = 15 y if y 15 0 if y > 15. The reaction function of player, r, is given by 154 y 1 if y r (y 1 ) = 0 if y 1 > 154. (c) Nash equilibrium (y C 1, yc ) satisfies y C 1 = r 1(y C ) y C = r (y C 1 ). Since such (y1 C, yc ) lies in the interior (draw the graphs), it is sufficient to solve the simultaneous equations y 1 = 15 y y = 154 y 1.

7 Then we have The total output is The market price is The profits are (y1 C, y C ) = (50, 5). Y C = y C 1 + y C = 10. p C = P (Y C ) = 58. π1 C = π 1 (y1 C, y C ) = (P (y1 C + y C ) 8)y1 C = 50 (= 500), π C = π (y1 C, y C ) = (P (y1 C + y C ) 6)y C = 5 (= 704). (d) Since the marginal cost of firm is always less than the marginal cost of firm 1 (for any pair of (y 1, y )), the monopolist should have only firm operate. Then the optimal output quantity is the monopolist quantity with cost function C, which is given by the maximization problem max y P (y )y C (y ). 3