Theoretische Physik F Statistische Physik

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1 Institut für Theoretische Festkörperphysik Prof. Dr. Gerd Schön Theoretische Physik F Statistische Physik Sommersemester 2010

2 2 Statistische Physik, G. Schön, Karlsruher Institut für Technologie (Universität)

3 Statistische Physik, G. Schön, Karlsruher Institut für Technologie (Universität) 3 Vorwort Das vorliegende Skriptum zur Vorlesung "Theoretische Physik F (Statistische Physik)" enthält den geplanten Stoff dieser letzten der theoretischen Kursvorlesungen. Das Ziel dieser Vorlesung soll sein, soviel wie möglich von dem theoretischen Werkzeug zu vermitteln, dessen Kenntnis man von ausgebildeten Physikern und Physikerinnen erwartet. Dabei denke ich als Beispiel an Kolloquien im Bereich der Festkörperphysik. Die Vortragenden sollen davon ausgehen können, dass ihre Zuhörer eine gewisse Grundausbildung und Allgemeinwissen besitzen, so dass sie mit den entsprechenden Schlagwörtern die physikalischen Probleme und Lösungsmethoden beschreiben können. Dies ist viel Stoff, zum Teil ist es auch eine subjektive Wahl. Dazu gehört sicher ein Vielteilchen-Hamilton-Operator für Elektronen und Phononen (Kap. 6), die Boltzmann-Transport Theorie (Kap. 7) und eine Einführung in die Theorie der Phasenübergänge (Kap. 9). Dazu gehören aber auch Eigenschaften des Rauschens und eine master Gleichung für die Besetzungsverhältnisse von Atomen im thermischen Strahlungsfeld mit Übergangsraten, die detailliertes Gleichgewicht erfüllen (Kap. 3), sowie der Kubo-Formalismus für die linearen Response- Funktionen (Kap. 8). Daneben soll diese Vorlesung aber auch systematisch die Grundlagen dieser Konzepte darstellen. Daher beginne ich mit einer Zusammenfassung der Thermodynamik (Kap. 1) und präsentiere eine detaillierte Herleitung der Konzepte der statistischen Physik in Kap. 4 mit den einfachen Anwendungen in Kap. 5. Bei der Vorbereitung der Vorlesung habe ich eine Reihe von Büchern verwendet. Die wichtigsten sind unten angegeben. Dieses Skriptum ist kein Ersatz für ein Literaturstudium. Darüber hinaus wissen wir, dass wir ein echtes Verständnis nur erreichen, wenn wir uns selbst aktiv mit dem Stoff auseinandersetzen, zum Beispiel durch das Lösen von Übungsaufgaben. Ich hoffe aber, dass dieses Skriptum von Nutzen ist zur ersten Orientierung und als eine Zusammenfassung. Schließlich will ich noch danken. Vor allem Albert Schmid, von dem ich die Statistische Physik gelernt habe, und dessen Skriptum auch hier eingeflossen ist. Meinen Mitarbeitern und ehemaligen Übungsgruppenleitern Christoph Bruder, Jan von Delft, Matthias Eschrig, Jürgen König, Herbert Schoeller, Frank Wilhelm und Ulrich Zülicke, die mit vielen Korrekturen und kritischen Bemerkungen zu diesem Skriptum beigetragen haben. Und Evmarie Schwartz, die mit viel Sorgfalt meine ursprünglich handschriftlichen Notizen in die erste druckbare Form umgesetzt hat. Karlsruhe, März 2010 G.S.

4 4 Inhalt Statistische Physik, G. Schön, Karlsruher Institut für Technologie (Universität) 1. Thermodynamik (Zusammenfassung) 1.0 Mathematische Vorbemerkungen 1.1 Definitionen, Begriffe, Zustandsgleichungen 1.2 Die Hauptsätze der Thermodynamik 1.3 Der Carnot'sche Kreisprozess 1.4 Die Entropie 1.5 Fundamentale Relation der Thermodynamik 1.6 Thermodynamische Potentiale 1.7 Response Funktionen 1.8 Kontaktvariablen und Stabilität 1.9 Mischungsentropie und Gibbs'sches Paradox 2. Wahrscheinlichkeitstheorie 2.1 Elementare Begriffe 2.2 Binomial-, Gauß- und Poisson-Verteilung 2.3 Random Walk und Diffusion 2.4 Zentraler Grenzwertsatz 2.5 Spektrale Dichte 3. Stochastische Prozesse 3.1 Begriffe, elementare Eigenschaften (Markov Prozesse,...) 3.2 Master Gleichung 3.3 Detailliertes Gleichgewicht 3.4 Fokker-Planck Gleichung 3.5 Langevin Beschreibung (und äquivalente Fokker-Planck Gleichung) 3.6 Thermische Aktivierung 3.7 Modelle für Dissipation 4. Statistische Mechanik (klassisch und quantenmechanisch) 4.1 Gibbs-Ensemble, klassische Liouville-Gleichung und fundamentales Postulat der klassischen statistischen Mechanik 4.2 Dichtematrix, quantenmechanische Liouville-Gleichung und fundamentales Postulat der Quantenstatistik 4.3 Die Entropie 4.4 Thermodynamik des mikrokanonischen Ensembles 4.5 Gleichverteilungssatz 4.6 Das kanonische Ensemble 4.7 Das großkanonische Ensemble 4.8 Der dritte Hauptsatz 5. Ideale Systeme 5.1 Das (Maxwell-) Boltzmann-Gas 5.2 Identische Teilchen in der Quantenmechanik (Bosonen und Fermionen) 5.3 Das Bose (-Einstein)-Gas 5.4 Bose-Einstein Kondensation 5.5 Hohlraumstrahlung, Photonen 5.6 Phononen 5.7 Das ideale Fermi (-Dirac)-Gas 5.8 Elektronen im Festkörper, Bloch-Zustände und Bandstruktur

5 Statistische Physik, G. Schön, Karlsruher Institut für Technologie (Universität) Das entartete Fermi-Gas, Sommerfeld-Entwicklung 5.10 Pauli Paramagnetismus 6. Systeme mit Wechselwirkung 6.1 Wechselwirkende Teilchen 6.2 Virialentwicklung (van der Waals-Gas) 6.3 Spin-Modelle mit Wechselwirkung 6.4 Das 1-dimensionale Ising-Modell 6.5 Cluster-Entwicklung 6.6 Variationsmethoden 6.7 Numerische Methoden: Monte Carlo 6.8 Feynman'sche Pfadintegrale und Quanten-Monte-Carlo 6.9 Wechselwirkungen in Festkörpern (Born-Oppenheimer) Quantisierung 6.11 Stoßraten 6.12 Abschirmung der Coulomb-Wechselwirkung in Festkörpern 6.13 Quasiteilchen 7. Boltzmann Transport Theorie 7.1 Die BBGKY Hierarchie und Boltzmann-Gleichung 7.2 Elektron-Elektron Stöße 7.3 Störstellenstreuung, Elektron-Phonon Streuung 7.4 Elektrische Leitfähigkeit 7.5 Wärmeleitfähigkeit und thermoelektrische Effekte 7.6 Onsager-Relationen 7.7 Boltzmann-Gleichung im magnetischen Feld 7.8 Wigner-Funktion 8. Linear Response, Kubo Formalismus 8.1 Schrödinger-, Heisenberg- und Wechselwirkungsbild 8.2 Linear Response 8.3 Fluktuations-Dissipationstheorem 8.4 Kramers-Kronig-Relationen 8.7 Die elektrische Leitfähigkeit 9. Phasenübergänge 9.1 Paramagnetismus 9.2 Molekularfeld-Näherung für das Ising-Modell 9.3 Landau freie Energie (Funktional, MFA, Korrelationsfunktion, Fluktuationen und Ginzburg-Kriterium, Phasenübergang 1. Ordnung) 9.4 Weitere Modelle 9.5 Kritische Exponenten und Universalitätsklassen

6 6 Statistische Physik, G. Schön, Karlsruher Institut für Technologie (Universität) Empfohlene Literatur L.E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics, E. Arnold (Publishers) 1980, 1987 T. Fliessbach, Statistische Physik, BI 1993 H. Haug, Statistische Physik, 2. Auflage, Springer 2006 H. Römer und T. Filk, Statistische Mechanik, VCH Verlag 1994 F. Schwabl, Statistische Mechanik, 2. Auflage, Springer 2004 L.D. Landau und E.M. Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik V, Statistische Physik, Akademie Verlag 1975

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