Theoretische Physik II: Analytische Mechanik und Grundlagen der Thermodynamik. Version SS 2015 Tilman Plehn Original von Matthias Bartelmann

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1 Theoretische Physik II: Analytische Mechanik und Grundlagen der Thermodynamik Version SS 2015 Tilman Plehn Original von Matthias Bartelmann 1. September 2015

2 i stellen Sie Fragen! sollten Sie Werbung für die Fachschaft oder anderes studentisches Engagement machen wollen, dann melden Sie sich gerne bei mir. Informationen zum Beispiel zur Organisation der Vorlesung und der Übungen gibt es in der Vorlesung. die erste Übung ist eine Präsenzübung. Übungsblätter können gerne in Kleingruppen bearbeitet werden. Die Lösungen werden einzeln abgegeben, und müssen in der Übungsgruppe vorgerechnet werden können. die letzte Vorlesung findet am 9.7. statt. die Woche des dient der Klausurvorbereitung (study week). 60% der Übungspunkte sind die Voraussetzung für die Klausurzulassung. die beste Vorbereitung für die Klausur sind die Übungsblätter. es gibt nur eine Klausur am 18.7 von 9:15-13:00 zur Klausur können Sie ein doppelseitig beschriebenes oder. bedrucktes DIN-A4-Blatt mitnehmen, weitere Hilfsmittel werden nicht benötigt. es gibt eine Nachklausur am Ende der Semesterferien. Wer zum Beispiel aus Krankheitsgründen nur einen Teil der ersten Klausur(en) schreiben konnte melde sich bitte bei Johann Brehmer. Herzlichen Dank an viele Studentinnen und Studenten, die das Skript kommentiert und korrigiert haben und damit sehr dazu beigetragen haben, es zu verbessern und verständlicher zu machen!

3 Inhaltsverzeichnis 1 Schwingungen gekoppelter Systeme Parametrisierte Koordinaten Normalkoordinaten Transformation auf Normalkoordinaten Bestimmung der Normalkoordinaten Stabilität Gekoppelte Pendel Dreiatomiges Molekül (nicht in Vorlesung) Kinetische und potentielle Energie Normalkoordinaten Systeme mit Nebenbedingungen Vorbereitung Verallgemeinerte Koordinaten Lagrange-Multiplikatoren Das d Alembertsche Prinzip Zwangskräfte im Gleichgewicht Dynamische Systeme Lagrange-Gleichungen erster Art Lagrange-Formulierung Lagrange-Gleichungen zweiter Art Herleitung Beispiele ii

4 INHALTSVERZEICHNIS iii Beschleunigte Bezugssysteme Kreiselbewegung Kräftefreier symmetrischer Kreisel Eulersche Gleichungen (nicht in Vorlesung) Kreisel im Schwerefeld Extremalprinzipien Prinzip der stationären Wirkung Das Fermatsche Prinzip Hamiltons Prinzip Hamilton-Funktion Die kanonischen Gleichungen Hamilton-Funktion und Energie Hamilton-Gleichungen und Wirkungsprinzip Symmetrien und Erhaltungssätze Galilei-Invarianz Noether-Theoreme Lorentz-Invarianz (nicht in Vorlesung) Spezielle Lorentztransformation Der Minkowski-Raum Analytische Mechanik Kanonische Transformationen Bahnen im erweiterten Phasenraum Kanonische Transformationen Hamilton-Jacobi-Gleichung Harmonischer Oszillator Bewegung des freien Massenpunkts Liouvillescher Satz, Poisson-Klammern Liouvillescher Satz

5 INHALTSVERZEICHNIS iv Poisson-Klammern Stabilität und Chaos Stabilität Bewegung in der Nähe des Gleichgewichts Asymmetrischer Kreisel Sätze zur Stabilität Attraktoren und van-der-pol-gleichung Chaos in der Himmelsmechanik Saturnmond Hyperion Chaotisches Taumeln auf der Ellipsenbahn Statistische Physik Grundpostulat Mikro- und Makrozustände Phasenraum Der Liouvillesche Satz Übergang ins Gleichgewicht Anzahl zugänglicher Zustände Wechselwirkungen zwischen Systemen Mechanische Arbeit und Wärme Unvollständige Differentiale Quasistatische Zustandsänderungen Temperatur und Entropie Thermisches Gleichgewicht Reversible Zustandsänderungen Temperatur Energieverteilung Entropie Definition

6 INHALTSVERZEICHNIS v Erster Hauptsatz Maxwell-Boltzmann-Verteilung Maxwell-Verteilung Boltzmann-Verteilung Beispiele (nicht in Vorlesung) Verlauf einer Adiabate Helium-Diffusion Fermi-Druck Thermodynamik Thermodynamische Beziehungen Eindeutigkeit der Entropie Thermisches und mechanisches Gleichgewicht Wärmekapazität und spezifische Wärme Ideales Gas Zustandsgleichung Spezifische Wärmen und Entropie Adiabatische Expansion Erweiterungen (nicht in Vorlesung) Thermodynamische Funktionen Legendre-Transformationen Enthalpie etc Maxwell-Relationen Anwendungen (nicht in Vorlesung) Spezifische Wärmen Entropie und Energie Phasenübergänge Phasengleichgewicht Extremaleigenschaften Chemisches Potential

7 INHALTSVERZEICHNIS vi Gibbssche Phasenregel Reaktionsgleichgewichte Phasenübergang im Van der Waals-Gas Van der Waals-Gas Kritische Isotherme Latente Wärme Statistik Wahrscheinlichkeitsverteilungen Unsicherheiten Zentraler Grenzwertsatz Daten vs Theorie Satz von Bayes Bayesische Wahrscheinlichkeit Volumeneffekte Profile-Likelihood

8 Kapitel 1 Schwingungen gekoppelter Systeme Im vergangenen Semester haben wir uns physikalisch vor allem mit der Bewegung punktförmiger Körper in Raum und Zeit befasst. Die entsprechenden Kapitel behandelten: Newtonsche Axiome und den freien Fall Bahnkurven, Energieerhaltung und konservative Kräfte beschleunigte Bezugssysteme Bewegung starrer Körper Trägheit harmonische Oszillatoren Pendel Die formale Grundlage aller dieser Systeme waren die Newtonschen Axiome, vor allem die Lösung der Differentialgleichung zweiter Ordnung, F = mẍ, mit dem Ergebnis einer Tajektorie x(t). Als alternativen Weg zur Beschreibung eines sich bewegenden Teilchens haben wir lediglich Erhaltungssätze genutzt. Ein Beispiel war Energieerhaltung, die wir über Newtonsche Mechanik und einen integrierenden Faktor abgeleitete hatten. Zwei Aspekte haben wir in diesem Formalismus nicht wirklich zufriedenstellend behandeln können. Erstens haben wir Randbedingungen durch eine geeignete Wahl der Koordinaten zwar elegant aber nicht sehr allgemein berücksichtigt. Zweitens haben wir nie wirklich Systeme mit mehr als einem Teilchen berechnet. 1

9 KAPITEL 1. SCHWINGUNGEN GEKOPPELTER SYSTEME 2 In diesem Semester werden wir diese beiden Einschränkungen umgehen. Dazu brauchen wir einen neuen Formalismus, der die Newtonschen Axiome ersetzen sollte. Wir werden sehen, dass er sich grob aus der Idee der Energieerhaltung entwickeln lässt. Der erste Schritt in diese Richtung ist aber eine verallgemeinerte Beschreibung der Bewegung von Massenpunkten jenseits der üblichen, vom 3-dimensionalen Raum inspirierten Koordinaten. 1.1 Parametrisierte Koordinaten Bei der Diskussion des Pendels war uns bereits ein Fall begegnet, in dem die Koordinaten x durch einen Winkel φ ausgedrückt wurden, weil sich ein Massenpunkt auf einer Kreislinie in einer Ebene bewegt. Dadurch wird die Anzahl der Freiheitsgrade von drei auf einen reduziert. Ein weiteres Beispiel sind zwei Pendel, die durch eine Stange zwischen ihren beiden Massen verbunden sind. Die Kopplung zwischen den Pendeln reduziert die sechs Freiheitsgrade auf einen. Allgemein betrachten wir den N Massenpunkte, die so aneinander gekoppelt sind, so dass ihnen f Freiheitsgrade bleiben. Zur Beschreibung der Bewegung brauchen wir f Parameter q k (t), von denen die Raumkoordinaten abhängen, x j = x j [q k (t)] ẋ j = x j q k q k (1.1) Stellen wir die Parameter q j durch die Koordinaten x k dar, dann gilt auch q j = q j x k ẋ k oder q j ẋ k = q j x k. (1.2) Es muss möglich sein, auch die kinetische und die potentielle Energie durch die Parameter q j auszudrücken. Die kinetische Energie eines einzelnen Massenpunkts m i ist T i = m i 2 x i 2 = m i x i x i q j q k = m i x i x i q j q k, (1.3) 2 q j q k 2 q j q k und die gesamte kinetische Energie ergibt sich durch die Summe über alle Massenpunkte, T( q) = f j=1 f N k=1 i=1 m i 2 x i x i q j q q j q k. (1.4) k

10 KAPITEL 1. SCHWINGUNGEN GEKOPPELTER SYSTEME 3 Nach dem zweiten Newtonschen Axiom lautet die Bewegungsgleichung für die Koordinate x j des Massenpunkts m i in einem konservativen Kraftfeld F j = m i ẍ j = V( x) x j. (1.5) Mithilfe der kinetischen Energie des Massenpunkts lässt sich diese Bewegungsgleichung durch d T i = V( x) (1.6) dt ẋ k x k ausdrücken. Eine ganz ähnlich Relation hatten wir für den integrierenden Faktor bei der Ableitung des Energiesatzes verwendet. Wenn wir hier die Parameter q j einführen, dann wird aus dieser Relation d dt T i ( q) q j q j ẋ k = V( q) q j q j. (1.7) x k Wir setzen nun voraus, dass die Verknüpfung der beiden Koordinaten q j / x k zeitunabhängig ist und erhalten mit (1.2) d T i q j = d ( T i q j d = dt q j ẋ k dt q j x k dt ) T i q j q j was im Allgemeinen nur möglich ist, wenn d T i ( q) dt q j x k = V( q) q j q j, (1.8) x k = V( q) q j (1.9) ist. Die Bewegungsgleichungen für die Parameter q j enspricht also (1.6) für die Koordinaten x k. In der Gleichgewichtslage des Systems dürfen sich die Parameter q j nicht ändern, q j = 0. Da die kinetische Energie T nach (1.4) eine quadratische Form in den verallgemeinerten Geschwindigkeiten q j ist, ist dort auch T/ q j = 0, 0 = d dt T i ( q) q j = V( q) q j, (1.10) d.h. die verallgemeinerten Kraftkomponenten Q i = V/ q i verschwinden im Gleichgewicht. Wir definieren den Ursprung q j = 0 als Gleichgewichtslage und entwickeln die potentielle Energie als Taylorreiche bis zur 2. Ord-

11 KAPITEL 1. SCHWINGUNGEN GEKOPPELTER SYSTEME 4 nung in kleinen Auslenkungen q j, f V V( q) = V q=0 + q q j=1 j j + 1 f 2 V q q=0 2 q j,k=1 j q k j q k + O(q 3 ) q=0 = 1 f 2 V q 2 q j q k j q k + O(q 3 ) q=0 =: 1 2 j,k=1 f V jk q j q k + O(q 3 ), (1.11) j,k=1 wegen (1.10). Eine Konstante im Potential kann gleich Null gesetzt werden. Analog kann die kinetische Energie auch nahe der Gleichgewichtslage als T = 1 2 f N j,k=1 i=1 geschrieben werden. ( ) xi x i m i q j q k q j q k =: 1 2 f T jk q j q k (1.12) j,k=1 Die quadratischen Formen T und V können nun durch Matrizen ausgedrückt werden. Dazu definieren wir q := q 1. q f, T := V := Für beliebige q ist q T T q 0, denn T 11 T 1 f.. = T T T f 1 T f f V 11 V 1 f.. V f 1 V f f = VT. (1.13) 2 q T T q N f x i x i N f x i = m i q j q k = m i q i=1 j,k=1 j q k q j q i=1 j=1 j 0. (1.14) Die kinetische Energie kann nicht negativ werden, also ist T eine positiv-semidefinite Matrix. Wir nehmen im folgenden an, dass T positiv definit ist. Aus (1.9) folgen dann wieder unter der Bedingung dass die Relation der Koordinaten zeitlich konstant ist, die Bewegungsgleichungen d dt T q = V q T q + V q = 0, (1.15) die offensichtlich eine Verallgemeinerung der harmonischen Schwingungsgleichung ẍ + ω 2 0 x = 0 sind.

12 KAPITEL 1. SCHWINGUNGEN GEKOPPELTER SYSTEME Normalkoordinaten Wir haben gelernt, dass man Systeme mit N Massenpunkten und komplizierten Randbedingungen durch parametrisierte Koordinaten beschrieben kann, die im wesentlichen den bekannten Bewegungsgleichungen gehorchen, und mit deren Hilfe man die kinetische und potentielle Energie genau wie in Ortskoordinaten schreiben kann. Allerdings sind die entsprechenden quadratischen Formen T und V stark zwischen den Richtungen q j korreliert. Nachdem wir Matrizen diagonalisieren können stellt sicht die Frage, ob man auch die quadratischen Formen T oder V durch eine geeignete Koordinatenwahl vereinfachen kann Transformation auf Normalkoordinaten Da T positiv definit ist, gibt es eine Matrix B so, dass T = B T B (1.16) gilt. Zum Beweis benutzen wir, dass sich T diagonalisieren lässt. Seien t 1,..., t f die Eigenwerte, also die Diagonalelemente nach der Diagonalisierung. Dann gibt es eine orthogonale Koordinatentransformation R so, dass T = R T diag(t j )R (1.17) gilt. Da T positiv definit ist, sind die t j 0. Sei nun B = diag( t 1,..., t f )R, dann gilt offenbar und außerdem ist T = ( B )T B, (1.18) det B = f t j. (1.19) Die Matrix B ist selbst nur bis auf eine orthogonale Transformation S festgelegt, denn B SB =: B liefert ebenfalls j=1 B T B = ( B ) T ( S T S ) B = ( B )T B = T. (1.20) Wir transformieren jetzt in einem ersten Schritt die Parameter q j ξ j, wobei ξ = B q. Da det B > 0 ist, lässt B sich invertieren, q = B 1 ξ =: A ξ. (1.21) Damit nimmt die kinetische Energie die vereinfachte Form T = 1 2 q T T q = 1 2 q T B T B q = 1 ξ T I ξ = 1 ξ T ξ (1.22) 2 2

13 KAPITEL 1. SCHWINGUNGEN GEKOPPELTER SYSTEME 6 an, aber die potentielle Energie wird V = 1 2 q T V q = 1 2 ξ T A T VA ξ. (1.23) Wir können in einem zweiten Schritt B von links mit einer orthogonalen Matrix S zu multiplizieren, B = SB A = B 1 = ( B ) 1 S 1 =: A S T. (1.24) Der Ausdruck für die kinetischen Energie ändert sich nicht, aber wir erhalten für die potentielle Energie V = 1 2 ξ T S [ ( A )T VA ] S T ξ = 1 2 ξ T diag(λ j ) ξ, (1.25) mit einer geeigneten Wahl von S und den zu berechnenden Eigenwerten λ j. Ausgedrückt durch die Parameter ξ j lassen sich die kinetische und die potentielle Energie daher in die einfache Form T = 1 2 f ξ 2 j, V = 1 2 j=1 f λ j ξ 2 j (1.26) j=1 bringen, und die Bewegungsgleichungen lauten dann d T + V = d dt ξ j ξ j dt ξ j + λ j ξ j = ξ j + λ j ξ j = 0 (1.27) für alle 1 j f. Durch die Einführung der Parameter ξ j entkoppeln also die Bewegungsgleichungen und beschreiben f unabhängige harmonische Oszillatoren. Die ξ j heißen Normalkoordinaten Bestimmung der Normalkoordinaten Normalkoordinaten sind nur hilfreich, wenn wir sie für ein gegebenes System einfach konstruieren können. Zunächst bestimmen wir die Eigenwerte λ j über das charakteristische Polynom von A T VA, det ( A T VA λ ) = 0 det [ B ( T A T VA λ ) B ] = 0 det (V λt ) = 0 (1.28)

14 KAPITEL 1. SCHWINGUNGEN GEKOPPELTER SYSTEME 7 d.h. die λ j sind auch die Eigenwerte von V bezüglich T. Außerdem gilt A T VA =diag(λ j ) VA =B T diag(λ j ) =B T (BB 1 ) diag(λ j ) = T A diag(λ j ). (1.29) Um die Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ j zu erhalten zerlegen wir die Matrix A in Spaltenvektoren a j, A = ( ) a 1,..., a f, a j = A 1 j. A f j und erhalten damit aus (1.29) die Eigenwertgleichung (1.30) V a j = λ j T a j, (1.31) in der T an die Stelle der Einheitsmatrix tritt. Die Sätze über das gewöhnliche Eigenwertproblem sind vollständig auf das Eigenwertproblem übertragbar, in dem T die Rolle der Einheitsmatrix übernimmt (T ist der metrische Tensor des Eigenwertproblems). Zum Beispiel sind die a j orthonormal bezüglich T, denn A T T A = A T B T BA = 1 a T j T a k = δ jk. (1.32) Daraus ergibt sich folgende Vorschrift für die Konstruktion der Matrix A und für die Transformation auf Normalkoordinaten ξ: 1. Zunächst das Eigenwertproblem (V λt ) a = 0 lösen und ein vollständiges, bezüglich T orthonormales System von Eigenvektoren a j bestimmen, 2. danach mittels q = f a j ξ j = A ξ (1.33) j=1 auf Normalkoordinaten transformieren Stabilität Die Lösungen der Bewegungsgleichungen (1.27) nehmen die Form e ±i λ j t (λ ξ j j 0) (1.34) ξ j (λ j = 0) an. Wie können als zwei Fälle unterscheiden:

15 KAPITEL 1. SCHWINGUNGEN GEKOPPELTER SYSTEME 8 1. Alle λ j > 0, also λ j =: ω 2 j ; dann sind die Lösungen harmonische Schwingungen, mit konstanten C j und δ j. ξ j (t) = C j cos(ω j t δ j ) (1.35) 2. Mindestens ein λ j 0, dann kann ξ j im Rahmen der betrachteten Näherung unbegrenzt wachsen. Stabilität ist sicher, wenn alle λ j > 0 sind. Das ist genau dann der Fall, wenn V strikt positiv ist, d.h. wenn die Potentialfunktion in der Ruhelage ein striktes Minimum hat. Das System ist instabil, wenn mindestens ein λ j < 0 ist. Wenn mindestens ein Eigenwert λ j = 0 und die anderen λ k 0 sind, müssen für die Stabilitätsanalyse Terme höherer Ordnung herangezogen werden. Wenn alle λ j > 0 sind, dann ist die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung für das Gesamtsystem nach (1.33) und (1.35) q(t) = f a j ξ j (t) = j=1 f a j C j cos(ω j t δ j ). (1.36) j=1 Die ω j sind die Eigenfrequenzen und werden auch Normalfrequenzen genannt. Bei Normalschwingungen ist nur eine Normalkoordinate angeregt, z.b. ξ j, und die anderen sind in Ruhe. Dann ist q(t) = a j C j cos(ω j t δ j ) (1.37) ohne Summation über j. Die Konstanten C j und δ j werden durch die Anfangsbedingungen bestimmt, q(t = 0) = q 0, q(t = 0) = q 0. Damit folgt q 0 = f a j C j cos δ j, q0 = j=1 f a j C j ω j sin δ j. (1.38) j=1 Wegen der Orthonormalität der a j bezüglich T ist a T j T q 0 = C j cos δ j, a T j T q 0 = C j ω j sin δ j, (1.39) woraus C j und δ j bestimmt werden können. Bemerkung: Das System kehrt nie in seine Anfangslage zurück, wenn die ω j nicht in rationalen Verhältnissen zueinander stehen.

16 KAPITEL 1. SCHWINGUNGEN GEKOPPELTER SYSTEME Gekoppelte Pendel Nachdem wir atypisch für diese Vorlesung die Normalkoordinaten erst formal eingeführt haben fehlt uns noch ein illustratives Beispiel. Gegeben seien zwei gleiche ebene Pendel der Länge l, an denen Massenpunkte der Masse m hängen. Der Abstand der Aufhängungspunkte sei x 0, und die Pendel seien durch eine Feder mit der Federkonstanten k und der Ruhelänge x 0 aneinander gekoppelt. Geeignete Parameter zur Beschreibung dieses Systems sind die beiden Auslenkwinkel ϕ 1 und ϕ 2. Damit lautet die kinetische Energie T = m 2 ( l2 ϕ l2 ϕ 2 2) oder T = ml 2 ( ). (1.40) Die potentielle Energie setzt sich aus den Beiträgen des Schwerefelds und der Feder zusammen, V = mgl [ ] cos ϕ 1 + cos ϕ 2 + k [ ] 2 (x1 x 2 ) (y 1 y 2 ) 2 x 0. (1.41) Für kleine Auslenkungen können die y 1,2 gegenüber den x 1,2 vernachlässigt werden. Außerdem können x 1 = l sin ϕ 1 lϕ 1, x 2 = x 0 + lϕ 2 und cos ϕ j 1 ϕ 2 j /2 genähert werden. Damit lautet die potentielle Energie ( ϕ 2 ) 1 V = mgl 2 + ϕ2 2 + k 2 2 l2 (ϕ 1 ϕ 2 ) 2 ( ) ( ) oder V = mgl + kl 2. (1.42) wobei die Konstante 2mgl weggelassen wurde. Die Gleichung det(v λt ) = 0 bestimmt das charakteristische Polynom (mgl + kl 2 ml 2 λ) 2 k 2 l 4 = 0, (1.43) woraus man die Lösungen λ 1 = g l, λ 2 = g l + 2 k m (1.44) erhält. Die beiden entsprechend (1.32) normierten Eigenvektoren sind ( ) ( ) a 1 =, a 2ml 1 2 =, (1.45) 2ml 1 d.h. die Normalschwingungen entsprechen solchen Schwingungen, bei denen die beiden Pendel entweder gleichphasig oder gegenphasig schwingen.

17 KAPITEL 1. SCHWINGUNGEN GEKOPPELTER SYSTEME Dreiatomiges Molekül (nicht in Vorlesung) Kinetische und potentielle Energie Wir betrachten ein lineares, dreiatomiges, symmetrisches Molekül mit Atomen der Masse m rechts und links im Abstand l von einem zentralen Atom der Masse M. Die Wechselwirkung zwischen den Atomen werde beschrieben durch Federn mit der Federkonstante k > 0 (Beispiel: CO 2 ). Wir beschränken uns auf Bewegungen längs der Molekülachse. Die kinetische Energie ist T = m 2 (ẋ2 und die potentielle Energie ist V = k ẋ2 3 ) + M 2 ẋ2 2, (1.46) [ (x2 x 1 l) 2 + (x 3 x 2 l) 2]. (1.47) Die Ruhelage stellt sich im Minimum von V ein, also bei x 2 x 1 = l = x 3 x 2. (1.48) Diese Beschreibung ist eindeutig bis auf eine Verschiebung längs der x-achse (Translation des Moleküls ohne innere Bewegung). Wir wählen den Ursprung so, dass in der Ruhelage x 2 = 0 ist und bezeichnen mit q j die Auslenkungen der Atome aus ihren Ruhelagen, q 1 := x 1 + l, q 3 = x 3 l, x 2 = q 2. (1.49) Damit lauten die kinetische und die potentielle Energie des Moleküls T = m ( q M ) m q2 2 + q2 3, V = k [ (q2 q 1 ) 2 + (q 3 q 2 ) 2]. 2 (1.50) Normalkoordinaten Aus (1.50) lassen sich die Matrizen T und V ablesen: m 0 0 k k 0 T = 0 M 0, V = k 2k k. (1.51) 0 0 m 0 k k

18 KAPITEL 1. SCHWINGUNGEN GEKOPPELTER SYSTEME 11 Das charakteristische Polynom lautet det (V λt ) = 0 k λm k 0 det k 2k λm k = 0 0 k k λm (k λm) [ (2k λm)(k λm) k 2] k 2 (k λm) = 0.(1.52) Eine Lösung ist offenbar λ 1 = k/m; die anderen beiden ergeben sich aus Mmλ 2 k(m + 2m)λ = 0 (1.53) zu λ 2 = 0 und λ 3 = k(m + 2m)/(Mm). Die Eigenfrequenzen sind ω i = λ i, also k ω 1 = m, ω 2 = 0, ω 3 = k M + 2m Mm. (1.54) Das orthonormale Eigensystem a i muss nun aus (1.31) bestimmt werden. Für i = 1 gilt 0 k 0 k k ( ) 2 M k m 0 k 0 a 11 a 21 a 31 = 0, (1.55) woraus unmittelbar a 21 = 0 und a 11 + a 31 = 0 folgen. Die Orthonormalitätsbedingung a T 1 T a 1 = 1 verlangt (a 11, a 21, a 31 ) m M m woraus insgesamt a 11 = 1/ 2m folgt, also Für i = 2 ist a 1 = 1 2m k k 0 k 2k k 0 k k a 12 a 22 a 32 a 11 a 21 a 31 = 1, (1.56). (1.57) = 0, (1.58) also a 12 = a 22 = a 32, und die Orthonormalitätsbedingung fordert (2m + M)a 2 12 = 1. Daher folgt a 2 = 1 2m + M (1.59)

19 KAPITEL 1. SCHWINGUNGEN GEKOPPELTER SYSTEME 12 Für i = 3 ist schließlich k 2m k 0 M k k M k m 0 k k 2m M a 13 a 23 a 33 = 0, (1.60) woraus man a 13 = a 33 und a 13 = a 23 M/(2m) erhält. Die Orthonormalitätsbedingung ergibt dann a 12 = 1 2m ( ), (1.61) 1 + 2m M so dass der dritte Eigenvektor a 3 = M 2m(M + 2m) 1 2m/M 1 (1.62) lautet. Die allgemeine Lösung bekommt man dann aus (1.36). Den drei Eigenschwingungen entsprechen folgende Bewegungen: 1. Für i = 1 ruht M und die beiden äußeren Atome schwingen gegeneinander, 2. i = 2 entspricht einer Translation des gesamten Moleküls längs der x-achse, und 3. für i = 3 schwingt M gegenphasig gegen die beiden gleichphasig schwingenden äußeren Atome.

20 Kapitel 2 Systeme mit Nebenbedingungen Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, dass geeignete Koordinaten für die Freiheitsgrade eines Systems nicht immer intuitiv gewählt werden müssen, sondern gezielt konstruiert werden können. Bei der Konstruktion der Freiheitsgrade spielen Neben- oder Zwangbedingungen eine zentrale Rolle. In diesem Kapitel verfolgen wir weiter die Abstrahierung von Koordinaten und die Konstruktion von Bewegungsgleichungen, aber im Hinblick auf Zwangsbedingungen. 2.1 Vorbereitung Verallgemeinerte Koordinaten Neben- oder Zwangsbedingungen können auf verschiedene Weisen formuliert werden. Oft ist es möglich, sie durch Gleichungen der Art g i ( x 1,..., x N, t) = 0, 1 i r (2.1) auszudrücken, die r Bedingungen an die N Ortsvektoren der Massenpunkte stellen. Bei r Zwangsbedingungen für N Massenpunkte reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf f = 3N r. Wir nehmen im Folgenden an, dass die g i genügend oft differenzierbar sind und dass die Matrix g 1 g x x 3N.. (2.2) g r x 1... g r x 3N dort den Rang r hat, wo g i ( x j, t) = 0 erfüllt ist 1 Beispiele für Zwangsbedingungen dieser Art sind: 1 Der Rang einer linearen Abbildung A : V V ist die Dimension ihres Bildraums, d.h. die Dimension des Raums, der von den Bildvektoren aller Vektoren aus dem Vektorraum V aufgespannt wird. 13

21 KAPITEL 2. SYSTEME MIT NEBENBEDINGUNGEN 14 Eine Bewegung auf einer Ebene erfüllt die Bedingung x n = 0, wenn n der Normalenvektor der Ebene ist. Eine Bewegung auf einer Kugel stellt die Bedingung x = R = konst., also x R = 0. Zwangsbedingungen dieses Typs heißen holonom, sonst nichtholonom. Ein Beispiel für eine nichtholonome Zwangsbedingung ist die Bewegung innerhalb einer Kugel, also x R. Bedingungen, die die Zeit explizit enthalten, heißen rheonom, anderenfalls skleronom (rheos, fließend; skleros, starr). Der Konfigurationsraum eines Systems ist der Teil des 3Ndimensionalen Raums, der von den Koordinaten der N Massenpunkte erreicht werden kann. Die r Bedingungsgleichungen g i definieren eine (3N r)-dimensionale so genannte Untermannigfaltigkeit im Konfigurationsraum. Auf dieser Untermannigfaltigkeit kann die Lage des Systems durch f = 3N r unabhängige Parameter q j angegeben werden. Wir kennen sie als parametrisierte oder verallgemeinerte Koordinaten. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines freien Massenpunkts der dreidimensionale reelle Raum R 3. Die Zwangsbedingung x = R definiert eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit, nämlich eine Kugelschale. So zum Beispiel kann die Zwangsbedingung für die Bewegung eines Massenpunktes auf der Oberfläche einer Kugel mit Radius R, x R = 0, durch x = R sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ (2.3) mit 0 ϑ π, 0 ϕ 2π angegeben werden, d.h. (q 1, q 2 ) können durch die Winkel (ϑ, ϕ) repräsentiert werden Lagrange-Multiplikatoren In der Physik geht es oft darum, eine gegebene Größe unter Randbedingungen zu optimieren. Als Beispiel betrachten wir die Oberfläche eines Zylinders mit dem Radius R und der Höhe H, die bei konstantem Volumen V minimiert werden soll. Die holonome Zwangsbedingung lautet πr 2 H V = 0, (2.4) In R und H ist die Richtung einer erlaubten Änderung durch die totale Ableitung 0 = ( πr 2 H V ) dr + ( πr 2 H V ) dh R H = 2πRH dr + πr 2 dh (2.5)

22 KAPITEL 2. SYSTEME MIT NEBENBEDINGUNGEN 15 gegeben. Das Minimum der Fläche A = 2πRH + 2πR 2 bei einer gleichzeitigen Variation von R und H ist ebenfalls durch die totale Ableitung gegeben, 0 = A A dr + dh= (2πH + 4πR) dr + 2πR dh (2.6) R H Wir könnten nun die Zwangsbedingung in eine Relation zwischen R und H umwandeln und dann die Minimumsbedingung lösen. Alternativ gibt es eine Methode, die sich leichter auf komplexere Systeme erweitern lässt. Dazu kombinieren wir die beiden Bedingungen (2.5) und (2.6) mit Hilfe eines unbestimmten Faktors λ R, 0 = (2πH + 4πR + λ 2πRH) dr + ( 2πR + λ πr 2) dh (2.7) Wenn beide originalen Bedingung erfüllt sind, dann gilt diese Bedingung für jeden Wert von λ. Dieselbe Gleichung können wir aber auch lösen, indem wir λ bestimmen und im Gegenzug eine korrelierte Variation von R und H erhalten. Der zweite Termin in (2.7) gibt uns den sogenannten Lagrange-Multiplikator 2πR + λπr 2 = 0 λ = 2 R. (2.8) Der erste Term definiert die Verknüpfung zwischen R und H, 0 = 2πH + 4πR 2 R 2πRH = 2πH + 4πR 4πH H = 2R (2.9) Die Oberfläche eines Zylinders mit festem Volumen wird also dann extremal, wenn sein Durchmesser gleich seiner Höhe ist. Diesen Zugang für die Suche nach Extrema von Funktionen unter Nebenbedingungen verallgemeinern wir nun. Für eine Funktion f ( x) liegen ihre Extrema dort, wo der Gradient verschwindet, f ( x) = 0. (2.10) Entlang einer gemeinsamen Variation der Koordinaten muss die totale Ableitung verschwinden, d f = f d x = 0. (2.11) Eine holonome Nebenbedingung reduzierte die Anzahl der Freiheitsgrade um einen und ist durch g( x) = 0, (2.12)

23 KAPITEL 2. SYSTEME MIT NEBENBEDINGUNGEN 16 beschrieben. Diese Nebenbedingung bedeutet, dass sich g( x) längs erlaubter Bewegungen nicht ändern darf, dg = g d x = 0. (2.13) Mit Hilfe eines Lagrange-Multiplikator λ R kombinieren wir die beiden Bedingungen zu d f + λdg = ( f + λg) d x = 0. (2.14) Wir können einen Term herausgreifen um λ zu bestimmen, f + λ g = 0, (2.15) x 3 x 3 solange g/ x 3 0. Ebenso müssen die beiden anderen Ableitungen separat verschwinden, f + λ g = 0 ( j = 1, 2) (2.16) x j x j Aus diesen Bedingungen erhalten wir die erlaubte Koordinatenfläche. Wenn allgemein r Bedingungen g k = 0 (1 k r) zu erfüllen sind, wird jede mit einem eigenen Lagrange-Multiplikator λ k berücksichtigt, so dass dann die Bedingungen für Extrema unter Nebenbedingungen lauten. f x j + r k=1 λ k g k x j = 0 (1 j N) (2.17) 2.2 Das d Alembertsche Prinzip Im vorigen Kapitel haben wir die Bewegung von Teilchen unter Zwangsbedingungen mit Hilfe geeigneter Koordinaten beschrieben. Die Newtonsche Mechanik und insbesondere Kräfte haben hier keine Rolle gespielt. Das wird auch so bleiben, allerdings werden wir vorher noch einen kurzen Blick auf die Verbindung zwischen Zwangsbedingungen und entsprechenden Zwangskräften werfen Zwangskräfte im Gleichgewicht Als Beispiel betrachten wir eine Kugel, die unter dem Einfluss der Schwerkraft F reibungsfrei in einer Röhre in der y-z-ebene gleite, beschrieben durch die holonome Zwangsbedingung Jean Baptiste le Rond d Alembert f (y, z) = 0 (2.18)

24 KAPITEL 2. SYSTEME MIT NEBENBEDINGUNGEN 17 Die Tangentialkomponente von F relativ zur Röhre verursacht eine Bewegung, während die Normalkomponente durch eine Zwangskraft Z kompensiert wird, Z = ( F n) n. (2.19) Im Gleichgewicht haben wir die komplette Kompensation F + Z = 0. (2.20) Wir wollen die Gleichgewichtsbedingung in allgemeinen Fällen finden. Dazu denken wir uns eine virtuelle Verrückung δ x ( ) δy δ x =, (2.21) δz für die 0 = f δ x = f (y, z) δy + y f (y, z) δz (2.22) z gelten muss, wenn der Massenpunkt in der Röhre bleibt. Die virtuelle Verrückung erfordert eine virtuelle Arbeit, die im Gleichgewicht wegen (2.20) verschwindet, δa = ( F + Z) δ x = 0 δ x = 0. (2.23) Die Gleichgewichtslage ist dadurch charakterisiert, dass dort virtuelle Verrückungen keine virtuelle Arbeit verrichten. Da immer δ x tangential und Z normal zur Röhre ist, gilt Z δ x = 0, d.h. die Zwangskraft leistet nie virtuelle Arbeit. In der Gleichgewichtslage können also auch die äußeren Kräfte keine virtuelle Arbeit leisten, so dass die beiden Bedingungen F δ x = 0 und f δ x = 0 (2.24) gelten. Das ist das Prinzip der virtuellen Arbeit oder das d Alembertsche Prinzip. Wir wissen aus der vorherigen Rechnung, dass wir die beiden Bedingungen (2.24) mit Hilfe eines Lagrange-Multiplikators λ erfüllen können, 0 = F + λ f ) δ x ( = F y + λ f y ) δy + ( F z + λ f ) δz = 0. (2.25) z Im Gegensatz zur Optimierung im vergangenen Kapitel bestimmen wir jetzt die Gleichgewichtslage komplett. Die beiden Koordinaten δy und δz sind zunächst unabhängig, werden aber durch die Zwangsbedingung miteinander verknüpft. Wenn wir f (y, z) = 0 ebenfalls erfüllen, dann definiert (2.25) drei Gleichungen für drei Unbekannte.

25 KAPITEL 2. SYSTEME MIT NEBENBEDINGUNGEN 18 Als Beispiel betrachten wir einen Massenpunkt, der längs einer Parabel in der y-z-ebene gleitet, also f (y, z) = z y 2 = 0. Die Schwerkraft ist F = mg e z. Das Prinzip der virtuellen Arbeit liefert zunächst für die Gleichgewichtslage ( F + λ f ) [( δ x = woraus 0 mg ) + λ ( 2y 1 )] ( δy δz ) = 0, (2.26) 2λyδy = 0 und mgδz + λδz = 0 (2.27) folgen. Wenn die δy und δz beliebig sein dürfen, erhalten wir λ = mg und y = 0. (2.28) Bei y = 0 muss wegen der Zwangsbedingung aber auch z = 0 sein. Also wird das Gleichgewicht bei (y, z) = (0, 0) erreicht, wo die Zwangskraft ( ) Z = λ f 0 = mg = mg e y=0,z=0 1 z (2.29) beträgt Dynamische Systeme Wir formulieren nun das d Alembertsche Prinzip um, so dass wir es von statischen auf dynamische Systeme erweitern können. Gegeben seien N Massenpunkte mit den Ortsvektoren x i, 1 i N, die sich unter dem Einfluss der äußeren Kräfte F i bewegen. Zwangsbedingungen werden durch Zwangskräfte Z dargestellt. Virtuell heißt eine Verrückung δx i, die unendlich klein, mit den Zwangsbedingungen verträglich und sonst willkürlich ist. Wenn die Zwangskräfte keine virtuelle Arbeit verrichten, also N Z i δ x i = 0 (2.30) i=1 erfüllen, dann folgt im Gleichgewicht sofort N F i δ x i = 0. (2.31) i=1 Im Gleichgewicht verschwindet demnach die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte.

26 KAPITEL 2. SYSTEME MIT NEBENBEDINGUNGEN 19 Abseits vom Gleichgewicht lautet die Bewegungsgleichung für jeden Massenpunkt F i + Z i = p i. (2.32) Wenn die Zwangskräfte wieder (2.30) erfüllen, dann gilt offenbar das d Alembertsche Prinzip in der Form N ( F i p i ) δ x i = 0. (2.33) i=1 Man betrachtet dann die p i als Kräfte, die so genannten Trägheitskräfte. Die Bewegung verläuft also so, dass die virtuelle Arbeit der Summe von äußeren und Trägheitskräften verschwindet. Als Beispiel bewege sich ein Massenpunkt der Masse m an einem Ende einer masselosen Stange der Länge l, die in ihrem anderen Ende drehbar aufgehängt ist. Sein Ortsvektor, seine Geschwindigkeit und seine Beschleunigung sind ( ) ( ) ( ) y sin ϕ cos ϕ x = = l, x = l ϕ, z cos ϕ sin ϕ x = l ϕ ( cos ϕ sin ϕ ) + l ϕ 2 ( sin ϕ cos ϕ Eine konstanter Winkelgeschwindigkeit Trägheitskraft ( p = m x = ml ϕ 2 sin ϕ cos ϕ ) ) = ml ϕ 2 x = mv2 l da v = x = l ϕ. Das ist die Zentrifugalkraft.. (2.34) ϕ erzeugt dann die x l, (2.35) Zur Illustration wenden wir das d Alembertsche Prinzip auf das mathematische Pendel an. Die Zwangskraft Z muss senkrecht zur Bewegung von m zeigen. Die äußere Kraft ist die Schwerkraft F = mg e z. Die Zwangsbedingung legt den Massenpunkt auf einen Kreisbogen fest, ( ) y x = z ( = l sin ϕ cos ϕ ) (2.36) Eine virtuelle Verrückung δ x, die mit der Zwangsbedingung verträglich ist, muss demnach ( ) cos ϕ δ x = lδϕ (2.37) sin ϕ erfüllen. Aus dem d Alembertschen Prinzip (2.33) mit der Trägheitskraft (2.34) erhalten wir [ ( ) ( ) ( )] 0 cos ϕ sin ϕ mg ml ϕ ml ϕ 2 δ x = 0 (2.38) 1 sin ϕ cos ϕ

27 KAPITEL 2. SYSTEME MIT NEBENBEDINGUNGEN 20 oder Da δϕ beliebig war, folgt daraus ( mgl sin ϕ ml 2 ϕ)δϕ = 0. (2.39) ϕ = g l sin ϕ g l ϕ. (2.40) Für kleine Auslenkungen ϕ 1 ist dies offensichtlich die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit der Kreisfrequenz ω = g/l, wie es für das mathematische Pendel sein muss Lagrange-Gleichungen erster Art Gegeben sei wieder ein mechanisches System aus N Massenpunkten. Zur Vereinfachung der Notation betrachten wir die 3N Koordinaten x i, 1 i 3N, der Massenpunkte statt ihrer N Ortsvektoren. Das System erfahre die äußeren Kräfte F i, 1 i 3N, und unterliege r holonomen Zwangsbedingungen g j (x 1,..., x 3N ) = 0, 1 j r. Das d Alembertsche Prinzip besagt dann für einen Satz virtualle Verrückungen δx i 3N i=1 (F i m i ẍ i ) δx i = 0, (2.41) wobei die δx i wegen der Zwangsbedingungen die r Gleichungen 3N i=1 g j x i δx i = 0 (2.42) erfüllen müssen. Wegen der r Zwangsbedingungen sind nur 3N r der Verrückungen δx i beliebig, während die r anderen davon abhängig sind. Die beiden Gleichungen (2.41) und (2.42) lassen sich wieder durch r Lagrange-Multiplikatoren λ j kombinieren, 3N r F g j i m i ẍ i + λ j x i δx i = 0. (2.43) i=1 Die λ j können nun so gewählt werden, dass die Vorfaktoren der r abhängigen Verrückungen in (2.43) verschwinden. Nehmen wir o.b.d.a. an, das seien die ersten r Verrückungen, dann folgt j=1 F i m i ẍ i + r j=1 λ j g j x i = 0, 1 i r, (2.44) oder, in Matrix-Schreibweise, F λ = Q, (2.45)

28 KAPITEL 2. SYSTEME MIT NEBENBEDINGUNGEN 21 wobei die Abkürzungen ( ) g j F = (F i j ) := x i, Q = (Q i ) := m i ẍ i F i (2.46) eingeführt wurden, in denen 1 i, j r sind. Offensichtlich ist (2.45) ein lineares Gleichungssystem für die r Multiplikatoren λ j, das eindeutig lösbar ist, wenn det F 0 gilt, was wir schon zu Beginn des Kapitels in (2.2) vorausgesetzt hatten. Dann können wir die r Lagrange-Multiplikatoren durch die Inversion bestimmen. λ = F 1 Q (2.47) Die derart bestimmten λ j, 1 j r, werden dann in die verbleibenden 3N r Gleichungen eingesetzt, 3N r F g j i m i ẍ i + λ j x i δx i = 0. (2.48) i=r+1 j=1 Diese restlichen δx i betrachten wir wie gewohnt als beliebig, also muss F i m i ẍ i + r j=1 λ j g j x i = 0, r + 1 i 3N (2.49) gelten. Dies sind die Lagrange-Gleichungen erster Art. Beispiel: Eine Perle gleite reibungslos auf einem masselosen Draht, der sich um eines seiner Enden dreht und dabei die x-y- Ebene überstreicht. Die eine Zwangsbedingung ist, dass die Perle den Draht nicht verlassen kann, f (x, y) = y cos ϕ x sin ϕ = 0 (2.50) Da keine äußeren Kräfte wirken, folgt aus dem d Alembertschen Prinzip (2.41) mit dem einen Lagrange-Multiplikator λ ( ) ( ) ( ) ẍ ẍ sin ϕ m + λ f = m + λ = 0. (2.51) ÿ ÿ cos ϕ Gleichzeitig mit den Koordinaten x, y, und φ zu arbeiten ist nicht praktisch. Der naheliegende Ansatz x = r cos ϕ, y = r sin ϕ gibt ( ) ( ) ( ) ẋ cos ϕ sin ϕ = ṙ + r ϕ (2.52) ẏ sin ϕ cos ϕ ( ) ( ) ( ) ẍ cos ϕ sin ϕ = ( r r ϕ 2 ) + (2ṙ ϕ + r ϕ). ÿ sin ϕ cos ϕ

29 KAPITEL 2. SYSTEME MIT NEBENBEDINGUNGEN 22 Wenn wir dies in (2.51) einsetzen erhalten wir ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ ( r r ϕ 2 ) + (2ṙ ϕ + r ϕ) = λ ( ) sin ϕ. sin ϕ cos ϕ m cos ϕ (2.53) Indem wir zum Beispiel diese Gleichung einmal mit (cos ϕ, sin ϕ) und einmal mit ( sin ϕ, cos ϕ) multiplizieren, folgen die beiden unabhängigen Bedingungen λ m = 2ṙ ϕ + r ϕ und r r ϕ2 = 0. (2.54) Die zweite Gleichung ist die Bewegungsgleichung. Man sieht, dass die Zentrifugalkraft mr ϕ 2 als Trägheitskraft auftritt, die die Perle radial nach außen treibt.

30 Kapitel 3 Lagrange-Formulierung Mit dem d Alamberschen Prinzip verlassen wir jetzt die Newtonsche Mechanik mit ihrer Betrachtung von Kräften und wenden uns einer Formulierung ausschließlich über die Lagrange-Gleichung und ihre verallgemeinerten Koordinaten zu. Wie im vergangenen Kapitel beschrieben kann man natürlich die Kräfte weiterhin bestimmen, aber wir werden sehen dass sie bei der Berechung von dynamischen Systemen keine Rolle mehr spielen. Stattdessen entwickeln wir unseren Formalimus in Richtung Erhaltungsgrößen. 3.1 Lagrange-Gleichungen zweiter Art Herleitung Statt der kartesischen Koordinaten benutzen wir nun f = 3N r verallgemeinerten Koordinaten q i. Die kartesischen Koordinaten lassen sich dann in der Form x i = x i ( q; t) schreiben. Für das d Alembertsche Prinzip ist zunächst die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte 3N f 3N x i f δa e = F i δx i = F i q δq j =: Q j δq j, (3.1) j i=1 j=1 i=1 j=1 Joseph Louis Lagrange wobei wir verallgemeinerten Kraftkomponenten definieren, Q j = 3N i=1 F i x i q j = 3N i=1 V( x; t) x i x i = q j V( x( q; t); t) q j (3.2) 23

31 KAPITEL 3. LAGRANGE-FORMULIERUNG 24 Die virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte ist δa t = = = 3N i=1 j=1 m i ẍ i δx i f 3N ( ) xi m i ẍ i δq j q j=1 i=1 j f d 3N x i 3N dt m i ẋ i q d x i m i ẋ i j dt q j δq j. (3.3) i=1 i=1 Die Zeitableitung im zweiten Term können wir vereinfachen, d x i ( q; t) = dt q j f 2 x i q k + 2 x i q j q k t q j f x i q k + x i q k t k=1 = q j k=1 = ẋ i( q; t) q j, (3.4) mit der üblichen Definition ẋ( q, t) = dx( q, t)/dt. Weiterhin nutzen wir (1.2) oder ẋ i / q j = x i / q j, dann wird δa t = = f d dt j=1 f j=1 3N i=1 wobei wir die kinetische Energie ẋ i 3N m i ẋ i q ẋ i m i ẋ i j q j δq j i=1 ( d T T ) δq j, (3.5) dt q j q j T = 1 2 3N i=1 m i ẋ 2 i (3.6) identifiziert haben. Nach dem d Alembertschen Prinzip muss die gesamte virtuelle Arbeit der äußeren und der Trägheitskräfte verschwinden, also 0 = δa e + δa t = f j=1 ( Q j d T + T ) δq j. (3.7) dt q j q j Für beliebige δq j folgen die Lagrange-Gleichungen zweiter Art, d T T = Q j = V. (3.8) dt q j q j q j Definieren wir die Lagrange-Funktion durch L = T V = T(q, q, t) V(q, t), (3.9)

32 KAPITEL 3. LAGRANGE-FORMULIERUNG 25 dann lauten die Lagrange-Gleichungen zweiter Art einfach d L L = 0. (3.10) dt q j q j In dieser Form werden sie gewöhnlich als Lagrange-Gleichungen bezeichnet. Mit ihrer Hilfe löst sich die Mechanik von den kartesischen Koordinaten. Die Lagrange-Gleichungen zeigen dann, wie sich aus Ableitungen der Lagrange-Funktion die Bewegungsgleichungen in den verallgemeinerten Koordinaten ergeben Beispiele Für einen Massenpunkt der Masse m im Feld einer vorgegebenen Potentialkraft ist die Lagrange-Funktion L = T V = m 2 3 ẋi 2 V. (3.11) i=1 Hieraus folgen die Bewegungsgleichungen d dt mẋ i + V x i = 0. (3.12) Zur Beschreibung eines Massenpunkts m im Feld einer Zentralkraft wählen wir ebene Polarkoordinaten (r, ϕ) als verallgemeinerte Koordinaten. Das Potential ist V = V(r), und wegen x 2 = ṙ 2 + r 2 ϕ 2 ist die kinetische Energie T = m(ṙ 2 + r 2 ϕ 2 )/2. Damit lautet die Lagrange-Funktion L = m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) V(r), (3.13) und für die beiden verallgemeinerten Koordinaten r und ϕ erhalten wir sofort die beiden Lagrange-Gleichungen d(mr 2 ϕ) dt = 0 und m r mr ϕ 2 + V r = 0. (3.14) Die erste Gleichung formuliert die Drehimpuls-Erhaltung, die zweite ist die Bewegungsgleichung Beschleunigte Bezugssysteme Kehren wir zurück zur Behandlung der Scheinkräfte, die in beschleunigten Bezugssystemen deswegen auftreten, weil sie keine Inertialsysteme sind. Sei also ein (ungestrichenes) Bezugssystem gegeben, das sich relativ zu einem (gestrichenen) Inertialsystem

33 KAPITEL 3. LAGRANGE-FORMULIERUNG 26 dreht und bewegt, so dass zwischen gestrichenen und ungestrichenen Ortsvektoren die Beziehung x = R( a + x) (3.15) besteht, wobei a der zeitlich konstante Ortsvektor des Ursprungs des Inertialsystems aus der Sicht des beschleunigten Systems ist. Zwischen den Geschwindigkeiten in beiden Systemen besteht dann die Beziehung x = R [ x + ω ( a + x) ], (3.16) wie im ersten Teil der Vorlesung gezeigt wurde. Um die Lagrange-Funktion im gestrichenen System aufzustellen, brauchen wir zunächst die kinetische Energie T = m [ ] 2 x + ω ( a + x) 2 L = m 2 { x x [ ω ( a + x) ] + [ ω ( a + x) ] 2 } V( x). (3.17) Die partielle Ableitung nach x i ergibt L + V x i x i = m { } 2ẋ j ɛ jkl ω k (a + x) l + ɛ jkl ɛ jmn ω k (a + x) l ω m (a + x) n 2 x i = m { } 2ẋ j ɛ jki ω k + ɛ jki ɛ jmn ω k ω m (a + x) n + ɛ jkl ɛ jmi ω k (a + x) l ω m 2 = mẋ j ɛ jki ω k + m 2 ɛ jkiɛ jmn ω k ω m (a + x) n + m 2 ɛ jklɛ jmi ω k (a + x) l ω m = mẋ j ɛ jki ω k + m 2 ɛ jkiɛ jmn ω k ω m (a + x) n + m 2 ɛ jknɛ jmi ω k (a + x) n ω m = mẋ j ɛ jki ω k + mɛ jki ɛ jmn ω k ω m (a + x) n = mẋ j ɛ jki ω k + mɛ i jk ( ɛ jmn ω m (a + x) n ) ωk = m( x ω) i + m [[ ω ( a + x) ] ω ] i, (3.18) Die partielle Ableitung nach den Geschwindigkeiten x liefert L = mẋ i + m ( ω ( a + x) ) i. (3.19) ẋ i Deswegen lauten die Bewegungsgleichungen m d [ ] [ ] x + ω ( a + x) m x ω m ω ( a + x) ω + V = 0 dt (3.20) oder m x + m [ ] ω ( a + x) + 2m ω x + m [ ω ( ω x )] + m [ ω ( ω a )] + V = 0, (3.21) in Übereinstimmung mit dem Ergebnis aus dem ersten Teil der Vorlesung.

34 KAPITEL 3. LAGRANGE-FORMULIERUNG Kreiselbewegung Um die Anwendung der Lagrange-Gleichungen auf physikalische Systeme zu illustrieren nutzen wir Kreisel. Offensichtlich sind dort kartesische Koordinaten ungeeignet, und die Bewegungen können je nach Kraft komplex genügend komplex sein, um als Beispiele für den neuen Formalismus zu dienen und uns dann in Richtung von Erhaltungsgrößen zu führen Kräftefreier symmetrischer Kreisel Wir hatten im ersten Teil der Vorlesung gesehen, dass die kinetische Energie der Rotation eines starren Körpers T rot = 1 2 ω T Θ ω (3.22) ist, wobei Θ der Trägheitstensor ist. Außerdem hatten wir dort die drei Euler-Winkel (ϕ, ϑ, ψ) eingeführt und in (I-9.13) gezeigt, dass sich die Winkelgeschwindigkeit ω eines starren Körpers allgemein durch ω 1 = ϕ sin ϑ sin ψ + ϑ cos ψ, ω 2 = ϕ sin ϑ cos ψ ϑ sin ψ, ω 3 = ϕ cos ϑ + ψ (3.23) darstellen lässt. Die drei Euler-Winkel sind die nächstliegenden verallgemeinerten Koordinaten, durch die die drei Rotationsfreiheitsgrade des starren Körpers ausgedrückt werden können. Die Energie des kräftefreien Kreisels setzt sich aus der Rotation und der Translation zusammen. Wir wählen zunächst ein Bezugssystem, in dem der Schwerpunkt des Kreisels ruht. Außerdem können wir die Rotationsenergie in einem beliebigen Bezugssystem auswerten, weil sie als Skalar unabhängig vom Bezugssystem ist. Dafür bietet sich das Hauptachsensystem des starren Körpers an, in dem sein Trägheitstensor die Form L(ϕ, ϑ, ψ) = Θ 1 2 Θ = diag(θ 1, Θ 2, Θ 2 ) (3.24) annimmt. Nehmen wir der Einfachheit halber weiter an, dass der starre Körper symmetrisch gegenüber Drehungen um die x 3 - Achse ist, gilt weiter Θ 1 = Θ 2. Die Lagrange-Funktion lautet dann ( ω ) Θ 3 ω2 2 + = Θ 1 2 ( ϕ 2 sin 2 ϑ + ϑ 2) + Θ ω2 3 (3.25) ( ϕ cos ϑ + ψ ) 2.

35 KAPITEL 3. LAGRANGE-FORMULIERUNG 28 Allgemein muss immer die Energie erhalten bleiben. Außerdem hängt L nicht von ϕ und ψ ab. Mit den zugehörigen konjugierten Impulse haben wir also drei Erhaltungsgrößen E = T rot = L p ψ = L ψ = Θ ( 3 ϕ cos ϑ + ψ ) p ϕ = L ϕ = Θ 1 ϕ sin 2 ϑ + Θ 3 ( ϕ cos ϑ + ψ ) cos ϑ. (3.26) Zunächst können wir den Winkel ψ aus p ϕ eliminieren, p ϕ =Θ 1 ϕ sin 2 ϑ + p ψ cos ϑ ϕ = p ϕ p ψ cos ϑ. (3.27) Θ 1 sin 2 ϑ Damit können wir die erhaltene Energie durch E = Θ ( ) 1 pϕ p ψ cos ϑ 2 sin 2 ϑ + Θ 1 2 Θ 1 sin 2 ϑ 2 ϑ 2 + p2 ψ 2Θ 3 2 ( ) Θ E p2 ψ 1 2Θ = pϕ p ψ cos ϑ 2 sin 2 ϑ + ϑ 2 (3.28) 3 Θ 1 sin 2 ϑ ausdrücken. Diese Gleichung enthält weder ϕ noch ψ und ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für ϑ. Um sie zu lösen, führen wir einige Abkürzungen ein, nämlich α := 2 Θ E p2 ψ 1 2Θ 3 a := p ψ Θ 1 b := p ϕ Θ 1. (3.29) Außerdem führen wir y := cos ϑ ein. Dann ist ẏ = sin ϑ ϑ, und (3.28) lautet ( ) pϕ p ψ cos ϑ 2 1 α = Θ 1 sin 2 ϑ + ẏ2 sin 2 ϑ = (b ay) y + ẏ2 2 1 y 2 ẏ 2 =α(1 y 2 ) (b ay) 2. (3.30) Ihre implizite Lösung erhalten wir durch Separation der Variablen, y(t) dy t t 0 = α(1 y2 ) (b ay). (3.31) 2 y 0 Man kann solche Gleichungen numerisch lösen, aber analytisch kommen wir an dieser Stelle nicht weiter.

36 KAPITEL 3. LAGRANGE-FORMULIERUNG Eulersche Gleichungen (nicht in Vorlesung) Die Kreiselbewegung kann auch direkt mithilfe der Drehimpulserhaltung untersucht werden, allerdings müssen wir dann zwischen dem kreiselfesten System x und dem Inertialsystem x unterscheiden. Wir nehmen zusätzlich an, dass auf den i-ten Massenpunkt im Inertialsystem die äußere Kraft F i wirkt. Sie übt auf den Kreisel das gesamte Drehmoment M = d L dt = N i=1 ( ) x i F i (3.32) aus. Zu den Größen L und M im kreiselfesten System bestehen die Zusammenhänge L = R L und M = R M. Außerdem gilt nach Definition des Trägheitstensors im Inertialsystem L = Θ ω. In (I- 8.15) können wir den Impuls durch den Drehimpuls ersetzen und erhalten die Relation zwischen den Bezugssystemen R M = M = d dt ( ) L = R L + ω L. (3.33) Multiplikation mit R T von links gibt uns die Euler-Gleichungen im kreiselfesten System M = L + ω L = Θ ω + ω Θ ω, (3.34) die im Hauptachsensystem die Form annehmen. M 1 = Θ 1 ω 1 + ω 2 ω 3 (Θ 3 Θ 2 ) M 2 = Θ 2 ω 2 + ω 1 ω 3 (Θ 1 Θ 3 ) M 3 = Θ 3 ω 3 + ω 1 ω 2 (Θ 2 Θ 1 ) (3.35) Wieder setzen wir für den symmetrischen Kreisel Θ 1 = Θ 2 Θ 3 und nehmen zunächst an, dass er sich kräftefrei bewege, das äußere Drehmoment also verschwinde, M = 0 = M. Mit der Definition Θ := Θ 3 Θ 1 werden die Euler-Gleichungen (3.35) Θ 1 ω 1 + ω 2 ω 3 Θ = 0, Θ 1 ω 2 ω 1 ω 3 Θ = 0, Θ 1 ω 3 = 0. (3.36) Also ist ω 3 konstant, was der Aussage aus (3.26) und (3.57) entspricht, dass ψ = p ψ eine Konstante der Bewegung ist. Die verbleibenden beiden Euler-Gleichungen, können zu der einen Gleichung d dt (ω 1 + iω 2 ) i(ω 1 + iω 2 ) ω 3 Θ Θ 1 = 0 (3.37)

37 KAPITEL 3. LAGRANGE-FORMULIERUNG 30 für die komplexe Winkelgeschwindigkeit ω 1 + iω 2 zusammengefasst werden. Trennung der Variablen ergibt die Lösung [ ω 1 + iω 2 = A exp i ω ] 3 Θ t (3.38) Θ 1 oder ( ) ω3 Θ ω 1 = A cos t Θ 1 ( ) ω3 Θ, ω 2 = A sin t Θ 1. (3.39) Die Winkelgeschwindigkeit ω läuft im körperfesten System mit der Frequenz ω 3 Θ/Θ 1 um die Figurenachse. Wegen L = Θ ω folgt für den Drehimpuls ( ) ( ) ω3 Θ ω3 Θ L 1 = AΘ 1 cos t, L 2 = AΘ 1 sin t Θ 1 L 3 = Θ 3 ω 3 = konst. (3.40) Wenn wir das raumfeste System wieder so wählen, dass e 3 L ist, dann ist der Winkel zwischen der Figurenachse und e 3 konstant, ϑ = konst. und ϑ = 0, und L L2 2 tan ϑ = = A Θ 1. (3.41) L 3 Θ 3 ω 3 Wegen ϑ = 0 vereinfachen sich die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit (3.23) in raumfesten Koordinaten zu Daraus erhalten wir ω 1 = ϕ sin ϑ sin ψ, ω 2 = ϕ sin ϑ cos ψ, Θ 1 ω 3 = ϕ cos ϑ + ψ. (3.42) ω 1 + iω 2 = ϕ sin ϑ(sin ψ + i cos ψ) = i ϕ sin ϑe iψ, ω 3 = ϕ cos ϑ + ψ = konst. (3.43) Vergleichen wir dieses Ergebnis mit (3.38) und schreiben die komplexe Amplitude A in der Form erhalten wir A = A e iδ, (3.44) ϕ sin ϑ = i(ω 1 + iω 2 )e iψ [ ( )] ω3 Θ = i A exp i t + δ + ψ Θ 1 [ ( ω3 Θ = A exp i t + δ + ψ π )] Θ 1 2. (3.45),

38 KAPITEL 3. LAGRANGE-FORMULIERUNG 31 Da hier eine reelle mit einer komplexen Größe verglichen wird, muss das Argument der Exponentialfunktion verschwinden, Demnach folgt mit (3.41) ψ = π 2 ω 3 Θ t δ Θ 1 ϕ sin ϑ = A. (3.46) ϕ = A sin ϑ t + ϕ 0 = Θ 3ω 3 Θ 1 cos ϑ t + ϕ 0. (3.47) Die Figurenachse läuft mit der Kreisfrequenz Θ 3 ω 3 /Θ 1 cos ϑ um den Drehimpulsvektor Kreisel im Schwerefeld Schließlich untersuchen wir noch einen symmetrischen Kreisel der Masse m mit Θ 1 = Θ 2 Θ 3 im Schwerefeld der Erde, der außerhalb seines Schwerpunkts, aber auf der Figurenachse unterstützt wird. Der Vektor vom Unterstützungspunkt zum Schwerpunkt sei s. Er definiert eine zweite (mögliche) Drehbewegung. Die nach unten zeigende Schwerkraft g übt dann das Drehmoment M = m s g (3.48) auf den Kreisel aus. Die Lagrange-Funktion (3.25) enthält nun auch die potentielle Energie V = m g s = mgs cos ϑ, L = Θ ( 1 ϕ 2 sin 2 ϑ + ϑ 2) + Θ ( 3 ϕ cos ϑ + ψ ) 2 mgs cos ϑ. (3.49) 2 2 Wieder kommen ϕ und ψ nicht in der Lagrange-Funktion vor, so dass p ϕ und p ψ wie in (3.26) Konstanten der Bewegung bleiben. Damit bleibt auch (3.27) für ϕ, aber die Energie ist E = T + V = L + 2V (3.50) = Θ ( 1 ϕ 2 sin 2 ϑ + ϑ 2) + Θ ( 3 ϕ cos ϑ + ψ ) 2 + mgs cos ϑ. 2 2 Der Term V = mgs cos ϑ kommt also auch auf der rechten Seite von (3.28) dazu. Definieren wir zusätzlich zu den Abkürzungen (3.29) noch β := 2mgs, (3.51) Θ 1 verändert sich die Differentialgleichung (3.30) zu ẏ 2 = (α βu)(1 u 2 ) (b au) 2, (3.52) deren implizite Lösung im Allgemeinen auf elliptische Integrale führt. Wie schon in (3.31) sind wir an dieser Stelle am Ende unserer analytischen Möglichkeiten angelangt.