1- und 2-Wege QFAs. Stephan Sigg Quantentheoretische Grundlagen. 3. DFAs und QFAs. 4. Einige bekannte Ergebnisse

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1 1- und 2-Wege QFAs Stephan Sigg Einleitung und Überblick 2. Quantentheoretische Grundlagen 3. DFAs und QFAs 4. Einige bekannte Ergebnisse 5. Offene Fragen 6. Schluß Seminar 1- und 2-wege QFAs

2 Qubits Qubit als Analogon zum klassischen Bit Basiszustände 0 und 1 als Parallele zu 0 und 1 0 = 1 0, 1 = 0 1 Aber auch Zwischenzustände möglich: ψ = α 0 + β 1 = α β α 2 + β 2 = 1 und α, β C ψ = 1 Punkt in komplexem Vektorraum mit innerem Produkt Seminar 1- und 2-wege QFAs

3 Mehrere Qubits Verallgemeinerung auf mehrere Qubits: Für α ij C : ψ = α α α α = α 00 α 01 α 10 α 11 mit ψ = 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs

4 Bemerkungen und Schwierigkeiten Beobachtung: Die Anzahl der Basiszustände verdoppelt sich mit jedem weiteren Qubit Messungen: Sei ψ = n i=0 α i q i Erste Messung liefert q i mit Wahrscheinlichkeit α i 2 Neuer Zustand ist q i Jede weitere Messung liefert q i mit Wahrscheinlichkeit 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs

5 Bedingungen an die Bausteine Quadratische Matrix Unitarität : U U = I Alle Einträge aus C Bausteine in Quantenschaltkreisen Noch weitere Einschränkungen, aber hier nicht wichtig Hadamard Gate als Beispiel für einen ein - Qubit Baustein: H = Seminar 1- und 2-wege QFAs

6 Bedingungen an die Bausteine Quadratische Matrix Unitarität : U U = I Alle Einträge aus C Bausteine in Quantenschaltkreisen Noch weitere Einschränkungen, aber hier nicht wichtig Hadamard Gate als Beispiel für einen ein - Qubit Baustein: H = Seminar 1- und 2-wege QFAs

7 Quantenbausteine Beispiel H(α 0 + β 1 ) = α β = 1 α + β 2 α β = (α + β) (α β) 2 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs

8 DFAs M = (Q, Σ, q 0, δ, F ) Endmarkierungen: ; Unterscheidung zwischen 1-DFAs und 2-DFAs 1-DFA: Kopf darf nur in eine Richtung wandern δ d : Q Γ Q 2-DFA: δ 2 d : Q Γ Q { 1, 0, 1} Erkennen genau die regulären Sprachen Seminar 1- und 2-wege QFAs

9 DFAs Zustandsüberführung in Matrizenschreibweise Zustände werden durch Einheitsvektoren beschrieben Quadratische Matrizen Alle Matrixeinträge aus {0, 1} Jede Spalte darf nur maximal eine 1 enthalten Seminar 1- und 2-wege QFAs

10 Beispiel δ(q 0, σ) = q 1 und δ(q 1, σ) = q 1 q 0 = ; q 1 = V σ (q 0 ) = V σ (q 1 ) = = = = q 1 = q 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs

11 Reversible Automaten Spezieller DFA Verboten: δ r (q, σ) q δ r (q, σ) q RFAs Seminar 1- und 2-wege QFAs

12 RFAs Zustandsüberführung in Matrizenschreibweise Zustände werden durch Einheitsvektoren beschrieben Quadratische Matrizen Alle Einträge aus {0, 1} Permutationsmatrizen Seminar 1- und 2-wege QFAs

13 Beispiel δ(q 0, σ) = q 1 und δ(q 1, σ) = q 0 q 0 = ; q 1 = V σ (q 0 ) = V σ (q 1 ) = = = = q 1 = q 0 Seminar 1- und 2-wege QFAs

14 1-QFAs M = {Q, Σ, q 0, δ q, Q acc, Q rej } Q non = Q \ (Q acc Q rej ) Endmarkierungen: ; Zustände q i beschreiben Einheitsvektoren aus C n Alle q i Q spannen komplexen Vektorraum auf Überlagerungen möglich: ψ = n i=1 α i q i mit ψ = 1 ψ ist Punkt im komplexen Vektorraum Seminar 1- und 2-wege QFAs

15 Zustandsüberführung Überführungsfunktion δ q : Q Γ Q C Auch als Überführungsmatrix V σ V σ ψ = n j=1 q i Q ψ jδ(q j, σ, q i ) q i Unitarität: V σ V σ = I Beispiel RFAs sind spezielle QFAs δ q (q 0, σ, q 0 ) = α 1 ; δ q (q 0, σ, q 1 ) = α 2 δ q (q 1, σ, q 0 ) = α 3 ; δ q (q 1, σ, q 1 ) = α 4 V σ = α 1 α 2 α 3 α 4 Seminar 1- und 2-wege QFAs

16 Messungen Für ψ = n 1 i=0 α i q i Zustand aus Q acc wird mit Wahrscheinlichkeit q i Q acc α i 2 gemessen Der Automat stoppt und akzeptiert Analog für Q rej Zustand aus Q non wird mit Wahrscheinlichkeit q i Q non α i 2 gemessen Der Automat fällt in die Überlagerung ψ neu = q i Q non α i ψ i ψ neu muss noch normiert werden: 1 ψ neu ψ i q i Q non Seminar 1- und 2-wege QFAs

17 Ablauf eines Rechenschrittes Ausgangspunkt: ψ 1 = n 1 i=0 α i q i Lesen der Bandinschrift σ an Kopfposition Anwenden der zugehörigen Überführungsfunktionen δ q (q i, σ) Resultierende Überlagerung: ψ 2 = n 1 i=0 n 1 j=0 α i δ(q i, σ, q j ) q j = n 1 i=1 β i q i Messen der Überlagerung ψ 2 Normieren Kopfbewegung Seminar 1- und 2-wege QFAs

18 Beispiel für einen 1-QFA, der L ab = {a b }erkennt Problem: Überführungsmatrizen müssen unitär sein DFA kann deswegen nicht einfach übertragen werden Lösung hier: Zulassen eines Fehlers 1 p mit p 3 = 1 p p Seminar 1- und 2-wege QFAs

19 Eingabe: w L ab = {a b } Startzustand: q 0 Seminar 1- und 2-wege QFAs

20 Gelesenes Zeichen: resultierende Überlagerung: 1 p q 0 + p q 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs

21 Gelesenes Zeichen: a resultierende Überlagerung: 1 p((1 p) q0 + p(1 p) q 1 + p q rej ) + p( p(1 p) q 0 + p q 1 1 p q rej ) = 1 p q 0 + p q 1 Die Amplituden vor q rej heben sich gegenseitig auf! Seminar 1- und 2-wege QFAs

22 Überlagerung nach dem Normieren: 1 p q0 + p q 1 Der QFA bleibt in dieser Überlagerung, solange a gelesen wird Seminar 1- und 2-wege QFAs

23 Gelesenes Zeichen: b Resultierende Überlagerung: 1 p qrej + p q 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs

24 Zustände q i Q non : p Seminar 1- und 2-wege QFAs

25 Nach dem Normieren: q 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs

26 Gelesenes Zeichen: b Der Zustand bleibt unverändert Seminar 1- und 2-wege QFAs

27 Gelesenes Zeichen: Resultierende Überlagerung: q acc Seminar 1- und 2-wege QFAs

28 Insgesamt w L ab = {a b } QFA verwirft mit Wahrscheinlichkeit 1 p < 1 2 QFA akzeptiert mit Wahrscheinlichkeit 1 (1 p) = p w / L ab = {a b } QFA verwirft mit Wahrscheinlichkeit p Seminar 1- und 2-wege QFAs

29 2-QFAs Kopf darf sich nach links, rechts oder gar nicht bewegen Überführungsfunktion δ q : Q Γ Q { 1, 0, 1} C Überführungsmatrix V σ ist unitär Die Kopfbewegung wird durch den erreichten Zustand bestimmt : D(q i ) = d ; d { 1, 0, 1} Seminar 1- und 2-wege QFAs

30 Bekannte Ergebnisse Ein 1-QFA kann von einem 2-RFA simuliert werden Kondacs, Watrous (1997) 1-QFAs können L a = {a, b} a nicht erkennen Kondacs, Watrous (1997) 1-QFAs mit größerer Fehlerwahrscheinlichkeit können mehr Sprachen erkennen Ambainis, Freivalds (1998); Ambainis, Bonner, Freivalds, Golovkins, Karpinski (1999) Seminar 1- und 2-wege QFAs

31 2-QFAs sind mächtiger als 2-DFAs 2-QFAs können alle regulären Sprachen erkennen Ein 1-DFA kann von einem 2-RFA simuliert werden - Kondacs, Watrous (1997) Ein 2-RFA ist ein spezieller 2-QFA Ein 2-QFA kann die nicht-reguläre Sprache L eq = {a k b k k N} erkennen Kondacs, Watrous (1997) Es gibt einen 2-QFA, der die nicht-kontextfreie Sprache L 3eq = {a m b m c m m N} erkennt Kondacs, Watrous (1997) Seminar 1- und 2-wege QFAs

32 2-QFA, der L eq = {a n b n n N} erkennt M N erkennt L eq = {a n b n n N} mit einseitigem Fehler ɛ N ist frei wählbar und bestimmt den Fehler ɛ für w L eq akzeptiert M N mit Wahrscheinlichkeit 1 ansonsten verwirft M N mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1 1 N Seminar 1- und 2-wege QFAs

33 Beweis Phase 1: Jede Eingabe w mit w / {a u b v u, v N} wird von M N verworfen Phase 2: Eingaben w mit w {a u b v u v} werden mit Wahrscheinlichkeit 1 1 N verworfen Seminar 1- und 2-wege QFAs

34 33-1

35 33-2

36 33-3

37 33-4

38 33-5

39 Beweis - Phase 2 Wieviele Schritte benötigt jeder Pfad für w = a u b v? Für jeden der N Pfade: Für jeden Buchstaben b werden N j + 2 Schritte benötigt Für jeden Buchstaben a werden j + 1 Schritte benötigt Insgesamt also: (j + 1)u + (N j + 2)v + 1 Schritte Unter der Annahme j j gilt u = v (j + 1)u + (N j + 2)v + 1 = (j + 1)u + (N j + 2)v + 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs

40 Beweis - Phase 2 Wieviele Schritte benötigt jeder Pfad für w = a u b v? Für jeden der N Pfade: Für jeden Buchstaben b werden N j + 2 Schritte benötigt Für jeden Buchstaben a werden j + 1 Schritte benötigt Insgesamt also: (j + 1)u + (N j + 2)v + 1 Schritte Unter der Annahme j j gilt u = v (j + 1)u + (N j + 2)v + 1 = (j + 1)u + (N j + 2)v + 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs

41 Beweis - Phase 2 Für w {a u b v u = v}: Jeder Pfad erreicht die Markierung zur selben Zeit Andernfalls erreicht jeder der Pfade die linke Endmarkierung zu einem anderen Zeitpunkt Quanten Fourier Transformation Seminar 1- und 2-wege QFAs

42 Klassischer Fall Einschub: Fourier-Transformation Eingabe: x 0,..., x N 1 C Ausgabe: y 0,..., y N 1 C mit Quanten Fourier-Transformation y k = 1 N 1 N j=0 Orthonormale Basis 0,..., N 1 Ausgabe: j 1 N 1 N k=0 x j e 2πijk/N e 2πijk/N k Seminar 1- und 2-wege QFAs

43 Nach der Fourier-Transformation Beweis - Phase 2 Fall 1: w L eq = {a n b n n N}: 1 N N l=1 N j=1 e ( 2πi N jl ) sl, 0 = 1 N e ( 2πi N Nj ) N j=1 }{{} =1 s N, N N 1 l=1 N j=1 e ( 2πi N jl ) } {{ } =0 s l, 0 = s N, 0 Seminar 1- und 2-wege QFAs

44 Nach der Fourier-Transformation Beweis - Phase 2 Fall 1: w L eq = {a n b n n N}: 1 N N l=1 N j=1 e ( 2πi N jl ) sl, 0 = 1 N e ( 2πi N Nj ) N j=1 }{{} =1 s N, N N 1 l=1 N j=1 e ( 2πi N jl ) } {{ } =0 s l, 0 = s N, 0 Seminar 1- und 2-wege QFAs

45 Nach der Fourier-Transformation Beweis - Phase 2 Fall 1: w L eq = {a n b n n N}: 1 N N l=1 N j=1 e ( 2πi N jl ) sl, 0 = 1 N e ( 2πi N Nj ) N j=1 }{{} =1 s N, N N 1 l=1 N j=1 e ( 2πi N jl ) } {{ } =0 s l, 0 = s N, 0 Seminar 1- und 2-wege QFAs

46 Falls w / L eq = {a n b n n N} : Beweis - Phase 2 Die Pfade erreichen die Markierung einzeln 1 N mit v i {0... N 1} Für den k-ten Pfad: N l=1 e ( 2πi N kl ) sl, 0 + i k 1 e ( 2πi N kn ) sn, N 1 N N = 1 s N, N 1 N N l=1 l=1 1 N r i,vi e ( 2πi N kl ) sl, 0 e ( 2πi N kl ) sl, 0 Insgesamt wird nur mit Wahrscheinlichkeit 1/N akzeptiert Seminar 1- und 2-wege QFAs

47 Falls w / L eq = {a n b n n N} : Beweis - Phase 2 Die Pfade erreichen die Markierung einzeln 1 N mit v i {0... N 1} Für den k-ten Pfad: N l=1 e ( 2πi N kl ) sl, 0 + i k 1 e ( 2πi N kn ) sn, N 1 N N = 1 s N, N 1 N N l=1 l=1 1 N r i,vi e ( 2πi N kl ) sl, 0 e ( 2πi N kl ) sl, 0 Insgesamt wird nur mit Wahrscheinlichkeit 1/N akzeptiert Seminar 1- und 2-wege QFAs

48 Falls w / L eq = {a n b n n N} : Beweis - Phase 2 Die Pfade erreichen die Markierung einzeln 1 N mit v i {0... N 1} Für den k-ten Pfad: N l=1 e ( 2πi N kl ) sl, 0 + i k 1 e ( 2πi N kn ) sn, N 1 N N = 1 s N, N 1 N N l=1 l=1 1 N r i,vi e ( 2πi N kl ) sl, 0 e ( 2πi N kl ) sl, 0 Insgesamt wird nur mit Wahrscheinlichkeit 1/N akzeptiert Seminar 1- und 2-wege QFAs

49 Offene Fragen QFAs mit verallgemeinerten Messungen Konstruktion von unterschiedlichen QFA Varianten für verschiedene Sprachen? Pumping Lemma für Quantenautomaten? Seminar 1- und 2-wege QFAs

50 Danke für die Aufmerksamkeit! Seminar 1- und 2-wege QFAs

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