1- und 2-Wege QFAs. Stephan Sigg Quantentheoretische Grundlagen. 3. DFAs und QFAs. 4. Einige bekannte Ergebnisse
|
|
- Jonas Gerhardt
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 1- und 2-Wege QFAs Stephan Sigg Einleitung und Überblick 2. Quantentheoretische Grundlagen 3. DFAs und QFAs 4. Einige bekannte Ergebnisse 5. Offene Fragen 6. Schluß Seminar 1- und 2-wege QFAs
2 Qubits Qubit als Analogon zum klassischen Bit Basiszustände 0 und 1 als Parallele zu 0 und 1 0 = 1 0, 1 = 0 1 Aber auch Zwischenzustände möglich: ψ = α 0 + β 1 = α β α 2 + β 2 = 1 und α, β C ψ = 1 Punkt in komplexem Vektorraum mit innerem Produkt Seminar 1- und 2-wege QFAs
3 Mehrere Qubits Verallgemeinerung auf mehrere Qubits: Für α ij C : ψ = α α α α = α 00 α 01 α 10 α 11 mit ψ = 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs
4 Bemerkungen und Schwierigkeiten Beobachtung: Die Anzahl der Basiszustände verdoppelt sich mit jedem weiteren Qubit Messungen: Sei ψ = n i=0 α i q i Erste Messung liefert q i mit Wahrscheinlichkeit α i 2 Neuer Zustand ist q i Jede weitere Messung liefert q i mit Wahrscheinlichkeit 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs
5 Bedingungen an die Bausteine Quadratische Matrix Unitarität : U U = I Alle Einträge aus C Bausteine in Quantenschaltkreisen Noch weitere Einschränkungen, aber hier nicht wichtig Hadamard Gate als Beispiel für einen ein - Qubit Baustein: H = Seminar 1- und 2-wege QFAs
6 Bedingungen an die Bausteine Quadratische Matrix Unitarität : U U = I Alle Einträge aus C Bausteine in Quantenschaltkreisen Noch weitere Einschränkungen, aber hier nicht wichtig Hadamard Gate als Beispiel für einen ein - Qubit Baustein: H = Seminar 1- und 2-wege QFAs
7 Quantenbausteine Beispiel H(α 0 + β 1 ) = α β = 1 α + β 2 α β = (α + β) (α β) 2 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs
8 DFAs M = (Q, Σ, q 0, δ, F ) Endmarkierungen: ; Unterscheidung zwischen 1-DFAs und 2-DFAs 1-DFA: Kopf darf nur in eine Richtung wandern δ d : Q Γ Q 2-DFA: δ 2 d : Q Γ Q { 1, 0, 1} Erkennen genau die regulären Sprachen Seminar 1- und 2-wege QFAs
9 DFAs Zustandsüberführung in Matrizenschreibweise Zustände werden durch Einheitsvektoren beschrieben Quadratische Matrizen Alle Matrixeinträge aus {0, 1} Jede Spalte darf nur maximal eine 1 enthalten Seminar 1- und 2-wege QFAs
10 Beispiel δ(q 0, σ) = q 1 und δ(q 1, σ) = q 1 q 0 = ; q 1 = V σ (q 0 ) = V σ (q 1 ) = = = = q 1 = q 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs
11 Reversible Automaten Spezieller DFA Verboten: δ r (q, σ) q δ r (q, σ) q RFAs Seminar 1- und 2-wege QFAs
12 RFAs Zustandsüberführung in Matrizenschreibweise Zustände werden durch Einheitsvektoren beschrieben Quadratische Matrizen Alle Einträge aus {0, 1} Permutationsmatrizen Seminar 1- und 2-wege QFAs
13 Beispiel δ(q 0, σ) = q 1 und δ(q 1, σ) = q 0 q 0 = ; q 1 = V σ (q 0 ) = V σ (q 1 ) = = = = q 1 = q 0 Seminar 1- und 2-wege QFAs
14 1-QFAs M = {Q, Σ, q 0, δ q, Q acc, Q rej } Q non = Q \ (Q acc Q rej ) Endmarkierungen: ; Zustände q i beschreiben Einheitsvektoren aus C n Alle q i Q spannen komplexen Vektorraum auf Überlagerungen möglich: ψ = n i=1 α i q i mit ψ = 1 ψ ist Punkt im komplexen Vektorraum Seminar 1- und 2-wege QFAs
15 Zustandsüberführung Überführungsfunktion δ q : Q Γ Q C Auch als Überführungsmatrix V σ V σ ψ = n j=1 q i Q ψ jδ(q j, σ, q i ) q i Unitarität: V σ V σ = I Beispiel RFAs sind spezielle QFAs δ q (q 0, σ, q 0 ) = α 1 ; δ q (q 0, σ, q 1 ) = α 2 δ q (q 1, σ, q 0 ) = α 3 ; δ q (q 1, σ, q 1 ) = α 4 V σ = α 1 α 2 α 3 α 4 Seminar 1- und 2-wege QFAs
16 Messungen Für ψ = n 1 i=0 α i q i Zustand aus Q acc wird mit Wahrscheinlichkeit q i Q acc α i 2 gemessen Der Automat stoppt und akzeptiert Analog für Q rej Zustand aus Q non wird mit Wahrscheinlichkeit q i Q non α i 2 gemessen Der Automat fällt in die Überlagerung ψ neu = q i Q non α i ψ i ψ neu muss noch normiert werden: 1 ψ neu ψ i q i Q non Seminar 1- und 2-wege QFAs
17 Ablauf eines Rechenschrittes Ausgangspunkt: ψ 1 = n 1 i=0 α i q i Lesen der Bandinschrift σ an Kopfposition Anwenden der zugehörigen Überführungsfunktionen δ q (q i, σ) Resultierende Überlagerung: ψ 2 = n 1 i=0 n 1 j=0 α i δ(q i, σ, q j ) q j = n 1 i=1 β i q i Messen der Überlagerung ψ 2 Normieren Kopfbewegung Seminar 1- und 2-wege QFAs
18 Beispiel für einen 1-QFA, der L ab = {a b }erkennt Problem: Überführungsmatrizen müssen unitär sein DFA kann deswegen nicht einfach übertragen werden Lösung hier: Zulassen eines Fehlers 1 p mit p 3 = 1 p p Seminar 1- und 2-wege QFAs
19 Eingabe: w L ab = {a b } Startzustand: q 0 Seminar 1- und 2-wege QFAs
20 Gelesenes Zeichen: resultierende Überlagerung: 1 p q 0 + p q 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs
21 Gelesenes Zeichen: a resultierende Überlagerung: 1 p((1 p) q0 + p(1 p) q 1 + p q rej ) + p( p(1 p) q 0 + p q 1 1 p q rej ) = 1 p q 0 + p q 1 Die Amplituden vor q rej heben sich gegenseitig auf! Seminar 1- und 2-wege QFAs
22 Überlagerung nach dem Normieren: 1 p q0 + p q 1 Der QFA bleibt in dieser Überlagerung, solange a gelesen wird Seminar 1- und 2-wege QFAs
23 Gelesenes Zeichen: b Resultierende Überlagerung: 1 p qrej + p q 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs
24 Zustände q i Q non : p Seminar 1- und 2-wege QFAs
25 Nach dem Normieren: q 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs
26 Gelesenes Zeichen: b Der Zustand bleibt unverändert Seminar 1- und 2-wege QFAs
27 Gelesenes Zeichen: Resultierende Überlagerung: q acc Seminar 1- und 2-wege QFAs
28 Insgesamt w L ab = {a b } QFA verwirft mit Wahrscheinlichkeit 1 p < 1 2 QFA akzeptiert mit Wahrscheinlichkeit 1 (1 p) = p w / L ab = {a b } QFA verwirft mit Wahrscheinlichkeit p Seminar 1- und 2-wege QFAs
29 2-QFAs Kopf darf sich nach links, rechts oder gar nicht bewegen Überführungsfunktion δ q : Q Γ Q { 1, 0, 1} C Überführungsmatrix V σ ist unitär Die Kopfbewegung wird durch den erreichten Zustand bestimmt : D(q i ) = d ; d { 1, 0, 1} Seminar 1- und 2-wege QFAs
30 Bekannte Ergebnisse Ein 1-QFA kann von einem 2-RFA simuliert werden Kondacs, Watrous (1997) 1-QFAs können L a = {a, b} a nicht erkennen Kondacs, Watrous (1997) 1-QFAs mit größerer Fehlerwahrscheinlichkeit können mehr Sprachen erkennen Ambainis, Freivalds (1998); Ambainis, Bonner, Freivalds, Golovkins, Karpinski (1999) Seminar 1- und 2-wege QFAs
31 2-QFAs sind mächtiger als 2-DFAs 2-QFAs können alle regulären Sprachen erkennen Ein 1-DFA kann von einem 2-RFA simuliert werden - Kondacs, Watrous (1997) Ein 2-RFA ist ein spezieller 2-QFA Ein 2-QFA kann die nicht-reguläre Sprache L eq = {a k b k k N} erkennen Kondacs, Watrous (1997) Es gibt einen 2-QFA, der die nicht-kontextfreie Sprache L 3eq = {a m b m c m m N} erkennt Kondacs, Watrous (1997) Seminar 1- und 2-wege QFAs
32 2-QFA, der L eq = {a n b n n N} erkennt M N erkennt L eq = {a n b n n N} mit einseitigem Fehler ɛ N ist frei wählbar und bestimmt den Fehler ɛ für w L eq akzeptiert M N mit Wahrscheinlichkeit 1 ansonsten verwirft M N mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1 1 N Seminar 1- und 2-wege QFAs
33 Beweis Phase 1: Jede Eingabe w mit w / {a u b v u, v N} wird von M N verworfen Phase 2: Eingaben w mit w {a u b v u v} werden mit Wahrscheinlichkeit 1 1 N verworfen Seminar 1- und 2-wege QFAs
34 33-1
35 33-2
36 33-3
37 33-4
38 33-5
39 Beweis - Phase 2 Wieviele Schritte benötigt jeder Pfad für w = a u b v? Für jeden der N Pfade: Für jeden Buchstaben b werden N j + 2 Schritte benötigt Für jeden Buchstaben a werden j + 1 Schritte benötigt Insgesamt also: (j + 1)u + (N j + 2)v + 1 Schritte Unter der Annahme j j gilt u = v (j + 1)u + (N j + 2)v + 1 = (j + 1)u + (N j + 2)v + 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs
40 Beweis - Phase 2 Wieviele Schritte benötigt jeder Pfad für w = a u b v? Für jeden der N Pfade: Für jeden Buchstaben b werden N j + 2 Schritte benötigt Für jeden Buchstaben a werden j + 1 Schritte benötigt Insgesamt also: (j + 1)u + (N j + 2)v + 1 Schritte Unter der Annahme j j gilt u = v (j + 1)u + (N j + 2)v + 1 = (j + 1)u + (N j + 2)v + 1 Seminar 1- und 2-wege QFAs
41 Beweis - Phase 2 Für w {a u b v u = v}: Jeder Pfad erreicht die Markierung zur selben Zeit Andernfalls erreicht jeder der Pfade die linke Endmarkierung zu einem anderen Zeitpunkt Quanten Fourier Transformation Seminar 1- und 2-wege QFAs
42 Klassischer Fall Einschub: Fourier-Transformation Eingabe: x 0,..., x N 1 C Ausgabe: y 0,..., y N 1 C mit Quanten Fourier-Transformation y k = 1 N 1 N j=0 Orthonormale Basis 0,..., N 1 Ausgabe: j 1 N 1 N k=0 x j e 2πijk/N e 2πijk/N k Seminar 1- und 2-wege QFAs
43 Nach der Fourier-Transformation Beweis - Phase 2 Fall 1: w L eq = {a n b n n N}: 1 N N l=1 N j=1 e ( 2πi N jl ) sl, 0 = 1 N e ( 2πi N Nj ) N j=1 }{{} =1 s N, N N 1 l=1 N j=1 e ( 2πi N jl ) } {{ } =0 s l, 0 = s N, 0 Seminar 1- und 2-wege QFAs
44 Nach der Fourier-Transformation Beweis - Phase 2 Fall 1: w L eq = {a n b n n N}: 1 N N l=1 N j=1 e ( 2πi N jl ) sl, 0 = 1 N e ( 2πi N Nj ) N j=1 }{{} =1 s N, N N 1 l=1 N j=1 e ( 2πi N jl ) } {{ } =0 s l, 0 = s N, 0 Seminar 1- und 2-wege QFAs
45 Nach der Fourier-Transformation Beweis - Phase 2 Fall 1: w L eq = {a n b n n N}: 1 N N l=1 N j=1 e ( 2πi N jl ) sl, 0 = 1 N e ( 2πi N Nj ) N j=1 }{{} =1 s N, N N 1 l=1 N j=1 e ( 2πi N jl ) } {{ } =0 s l, 0 = s N, 0 Seminar 1- und 2-wege QFAs
46 Falls w / L eq = {a n b n n N} : Beweis - Phase 2 Die Pfade erreichen die Markierung einzeln 1 N mit v i {0... N 1} Für den k-ten Pfad: N l=1 e ( 2πi N kl ) sl, 0 + i k 1 e ( 2πi N kn ) sn, N 1 N N = 1 s N, N 1 N N l=1 l=1 1 N r i,vi e ( 2πi N kl ) sl, 0 e ( 2πi N kl ) sl, 0 Insgesamt wird nur mit Wahrscheinlichkeit 1/N akzeptiert Seminar 1- und 2-wege QFAs
47 Falls w / L eq = {a n b n n N} : Beweis - Phase 2 Die Pfade erreichen die Markierung einzeln 1 N mit v i {0... N 1} Für den k-ten Pfad: N l=1 e ( 2πi N kl ) sl, 0 + i k 1 e ( 2πi N kn ) sn, N 1 N N = 1 s N, N 1 N N l=1 l=1 1 N r i,vi e ( 2πi N kl ) sl, 0 e ( 2πi N kl ) sl, 0 Insgesamt wird nur mit Wahrscheinlichkeit 1/N akzeptiert Seminar 1- und 2-wege QFAs
48 Falls w / L eq = {a n b n n N} : Beweis - Phase 2 Die Pfade erreichen die Markierung einzeln 1 N mit v i {0... N 1} Für den k-ten Pfad: N l=1 e ( 2πi N kl ) sl, 0 + i k 1 e ( 2πi N kn ) sn, N 1 N N = 1 s N, N 1 N N l=1 l=1 1 N r i,vi e ( 2πi N kl ) sl, 0 e ( 2πi N kl ) sl, 0 Insgesamt wird nur mit Wahrscheinlichkeit 1/N akzeptiert Seminar 1- und 2-wege QFAs
49 Offene Fragen QFAs mit verallgemeinerten Messungen Konstruktion von unterschiedlichen QFA Varianten für verschiedene Sprachen? Pumping Lemma für Quantenautomaten? Seminar 1- und 2-wege QFAs
50 Danke für die Aufmerksamkeit! Seminar 1- und 2-wege QFAs
Ein Vergleich verschiedener Varianten von endlichen Quantenautomaten. Stephan Sigg. Diplomarbeit am Fachbereich Informatik der Universität Dortmund
Ein Vergleich verschiedener Varianten von endlichen Quantenautomaten Stephan Sigg Diplomarbeit am Fachbereich Informatik der Universität Dortmund August 2004 Gutachter PD Dr. Detlef Sieling PD Dr. Martin
MehrMotivation Phasenbestimmung
Motivation Phasenbestimmung Problem Spezialfall der Phasenbestimmung Gegeben: Zustand z = 1 n y {0,1} n( 1)x y y Gesucht: x F n Für n = 1 ist der Zustand z = 1 ( 0 + ( 1) x 1 ) = H x. Es gilt H z = x,
MehrBerechenbarkeit und Komplexität: Erläuterungen zur Turingmaschine
Berechenbarkeit und Komplexität: Erläuterungen zur Turingmaschine Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik Algorithmen und Komplexität 24. Oktober 26 Programmierung der TM am Beispiel Beispiel:
MehrQuantencomputer: Einführung
Quantencomputer: Einführung Martin Lange Institut für Informatik Ludwig-Maximilians-Universität München Quantencomputer: Einführung p.1/29 Einleitung Quantencomputer: Einführung p.2/29 Geschichte Computer
Mehr9.2 Die Klassen QP und BQP
Definition (r-universell): sei R eine Menge von reversieblen booleschen Funktionen, die auf einer konstanten Anzahl von Bits operieren. R heißt r-universell, falls jede reversible Funktion als Verknüpfung
MehrDas Pumping Lemma: Ein Anwendungsbeispiel
Das Pumping Lemma: Ein Anwendungsbeispiel Beispiel: Die Palindromsprache ist nicht regulär. L = { } w {0, 1} w ist ein Palindrom Beweis: Angenommen, L ist doch regulär. Gemäß Pumping Lemma gibt es dann
MehrEinführung in Quantenalgorithmen
Einführung in Quantenalgorithmen Inhalt: 1. Einleitung 2. Einteilung der Quantenalgorithmen 3. Vorteile von Quantenalgorithmen 4. Funktionsweise bzw. Aufbau von Quantenalgorithmen 5. Erste Beispiele: a.
Mehr2 2 Reguläre Sprachen. 2.2 Endliche Automaten. Übersicht
Formale Systeme, Automaten, Prozesse Übersicht 2 2. Reguläre Ausdrücke 2.3 Nichtdeterministische endliche Automaten 2.4 Die Potenzmengenkonstruktion 2.5 NFAs mit ɛ-übergängen 2.6 Minimale DFAs und der
MehrKontextsensitive und Typ 0 Sprachen Slide 2. Die Turingmaschine
Kontextsensitive und Typ 0 Sprachen Slide 2 Die Turingmaschine DTM = Deterministische Turingmaschine NTM = Nichtdeterministische Turingmaschine TM = DTM oder NTM Intuitiv gilt: DTM = (DFA + dynamischer
MehrQuantum Computing. Seminar: Informatikanwendungen in Nanotechnologien. Wladislaw Debus
Seminar: Informatikanwendungen in Nanotechnologien 20.06.2006 Inhalt 1 Einführung 2 Aufbau eines Quantencomputers Qubits Quantenregister Schaltkreise 3 Komplexitätsklassen 4 Quantenalgorithmen Faktorisierung
MehrVL-03: Turing Maschinen II. (Berechenbarkeit und Komplexität, WS 2017) Gerhard Woeginger
VL-03: Turing Maschinen II (Berechenbarkeit und Komplexität, WS 2017) Gerhard Woeginger WS 2017, RWTH BuK/WS 2017 VL-03: Turing Maschinen II 1/27 Organisatorisches Nächste Vorlesung: Mittwoch, Oktober
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 18. Januar 2018 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 18.01.2018 Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE KIT Die Forschungsuniversität
MehrVorlesungsmitschrift. Quantencomputer. 2002/2003 Prof. Dr. Grädel. Jan Möbius,David Bommes. 9. Dezember 2002
Vorlesungsmitschrift Quantencomputer WS /3 Prof. Dr. Grädel Jan Möbius,David Bommes 9. Dezember Inhaltsverzeichnis Einleitung. Historischer Überblick......................................... Experiment................................................
MehrDeterministische und nichtdeterministische Turing-Maschinen, Typ1- und Typ0-Sprachen
Dr. Sebastian Bab WiSe 12/13 Theoretische Grundlagen der Informatik für TI Termin: VL 15 + 16 vom 17.12.2012 und 20.12.2012 Deterministische und nichtdeterministische Turing-Maschinen, Typ1- und Typ0-Sprachen
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2011/12 Deterministische Kellerautomaten Von besonderem Interesse sind kontextfreie Sprachen,
Mehr1 Σ endliches Terminalalphabet, 2 V endliche Menge von Variablen (mit V Σ = ), 3 P (V (Σ ΣV )) {(S, ε)} endliche Menge von Regeln,
Theorie der Informatik 9. März 24 7. Reguläre Sprachen I Theorie der Informatik 7. Reguläre Sprachen I Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 9. März 24 7. Reguläre Grammatiken 7.2 DFAs 7.3 NFAs
MehrUnitäre und orthogonale Matrix
Unitäre und orthogonale Matrix Eine komplexe n n-matrix A heißt unitär, falls A 1 = A t = A, d.h. falls die Spalten von A eine orthonormale Basis von C n bilden. Unitäre und orthogonale Matrizen 1-1 Unitäre
MehrQuantum Ordered Binary Decision Diagrams
Quantum Ordered Binary Decision Diagrams Hecke Schrobsdorff BCCN Göttingen Oberseminar Theoretische Informatik WS 5 Inhalt Einführung Wiederholung: Quantumcomputing 3 Wiederholung: OBDDs 4 Quanten Branching
MehrTuring Maschinen II Wiederholung
Organisatorisches VL-03: Turing Maschinen II (Berechenbarkeit und Komplexität, WS 2017) Gerhard Woeginger Nächste Vorlesung: Mittwoch, Oktober 25, 14:15 15:45 Uhr, Roter Hörsaal Webseite: http://algo.rwth-aachen.de/lehre/ws1718/buk.php
MehrAlgorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG
Algorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG Sommerakademie Rot an der Rot AG 1 Wieviel Platz brauchen Algorithmen wirklich? Daniel Alm Institut für Numerische Simulation Universität Bonn August
MehrDas Pumping-Lemma Formulierung
Das Pumping-Lemma Formulierung Sei L reguläre Sprache. Dann gibt es ein n N mit: jedes Wort w L mit w n kann zerlegt werden in w = xyz, so dass gilt: 1. xy n 2. y 1 3. für alle k 0 ist xy k z L. 59 / 162
MehrMehrband-Turingmaschinen und die universelle Turingmaschine
Mehrband-Turingmaschinen und die universelle Turingmaschine Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 1 / 15 Turingmaschinen mit mehreren Bändern k-band
MehrH MPKP. Beispiel für eine Rechnung. Reduktion H MPKP. Überführungsregeln
H MPKP Konfiguration einer TM als String schreiben: Bandinschrift zwischen den Blank-Zeichen Links von der Kopfposition Zustand einfügen. Beispiel für eine Rechnung ##q ab##xq b##xyq 2 ##xyzq 3 ##xyq 4
MehrÜbersicht. 3 3 Kontextfreie Sprachen
Formale Systeme, Automaten, Prozesse Übersicht 3 3.1 Kontextfreie Sprachen und Grammatiken 3.2 Ableitungsbäume 3.3 Die pre -Operation 3.4 Entscheidungsprobleme für CFGs 3.5 Normalformen für CFGs 3.6 Chomsky-Normalform
MehrRekursiv aufzählbare Sprachen
Kapitel 4 Rekursiv aufzählbare Sprachen 4.1 Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Durch Zulassung komplexer Ableitungsregeln können mit Grammatiken größere Klassen als die kontextfreien Sprachen beschrieben
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Dorothea Wagner 26.10.2010 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK 0 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
Mehr4 Matrizenrechnung. Beide Operationen geschehen also koeffizientenweise. Daher übertragen sich die Rechenregeln von K(m n, k).
4 Matrizenrechnung Der Vektorraum der m n Matrizen über K Sei K ein Körper und m, n N\{0} A sei eine m n Matrix über K: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = = (a ij) mit a ij K a m a m2 a mn Die a ij heißen die
Mehr5.2 Endliche Automaten
114 5.2 Endliche Automaten Endliche Automaten sind Turingmaschinen, die nur endlichen Speicher besitzen. Wie wir bereits im Zusammenhang mit Turingmaschinen gesehen haben, kann endlicher Speicher durch
MehrTyp-0-Sprachen und Turingmaschinen
Typ-0-Sprachen und Turingmaschinen Jean Vancoppenolle Universität Potsdam Einführung in formale Sprachen und Automaten Dr. Thomas Hanneforth (Präsentation aus Foliensätzen von Dr. Thomas Hanneforth und
Mehr1 Σ endliches Terminalalphabet, 2 V endliche Menge von Variablen (mit V Σ = ), 3 P (V (Σ ΣV )) {(S, ε)} endliche Menge von Regeln,
Theorie der Informatik 8. März 25 8. Reguläre Sprachen I Theorie der Informatik 8. Reguläre Sprachen I 8. Reguläre Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger 8.2 DFAs Universität Basel 8. März 25 8.3 NFAs
MehrInformatik III - WS07/08
Informatik III - WS07/08 Kapitel 5 1 Informatik III - WS07/08 Prof. Dr. Dorothea Wagner dwagner@ira.uka.de Kapitel 5 : Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Informatik III - WS07/08 Kapitel 5 2 Definition
MehrÜbungsblatt 1. Lorenz Leutgeb. 30. März 2015
Übungsblatt Lorenz Leutgeb 30. März 205 Aufgabe. Annahmen ohne Einschränkungen: P Σ und P Γ. Per Definitionem der Reduktion: P P 2 f : Σ Γ wobei f total und berechenbar, genau so, dass: w Σ : w P f(w)
MehrMusterlösung Informatik-III-Nachklausur
Musterlösung Informatik-III-Nachklausur Aufgabe 1 (2+2+4+4 Punkte) (a) L = (0 1) 0(0 1) 11(0 1) 0(0 1) (b) Der Automat ist durch folgendes Übergangsdiagramm gegeben: 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1 0 s q 1 1 0 0 q
MehrFORMALE SYSTEME. 10. Vorlesung: Grenzen regulärer Sprachen / Probleme für Automaten. TU Dresden, 14. November 2016.
FORMALE SYSTEME 10. Vorlesung: Grenzen regulärer Sprachen / Probleme für Automaten Markus Krötzsch TU Dresden, 14. November 2016 Rückblick Markus Krötzsch, 14. November 2016 Formale Systeme Folie 2 von
MehrInhalt. Quantenbits, -gatter, -register. Einleitung. Seminar über Quantencomputer. Klassische Betrachtungsweise. Klassisches Modell
Quantenbits -gatter -register Seminar über Quantencomputer Jörg Meltzer & Axel Steinacker Inhalt Klassisches Modell Vektorielle Zustandsbeschreibung klassischer Register Einfache Gatter Was sind Qubits
Mehr1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie 15 Ziele vgl. AFS: Berechnungsmodelle für Typ-0- und Typ-1-Sprachen (Nicht-)Abschlußeigenschaften
MehrTuringmaschinen Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: Komplexitätstheorie und effiziente Algorithmen
Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: und effiziente Algorithmen Wintersemester 2011/12 Schematische Darstellung einer Turing-Maschine: Kopf kann sich nach links und
MehrHoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen
Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen 18.4. 2012 176 Automatentheorie und formale Sprachen VL 5 Reguläre und nichtreguläre Sprachen Kathrin Hoffmann 18. Aptil 2012 Hoffmann (HAW
MehrSingulärwert-Zerlegung
Singulärwert-Zerlegung Zu jeder komplexen (reellen) m n-matrix A existieren unitäre (orthogonale) Matrizen U und V mit s 1 0 U AV = S = s 2.. 0.. Singulärwert-Zerlegung 1-1 Singulärwert-Zerlegung Zu jeder
MehrDie Nerode-Relation und der Index einer Sprache L
Die Nerode-Relation und der Index einer Sprache L Eine zweite zentrale Idee: Sei A ein vollständiger DFA für die Sprache L. Repäsentiere einen beliebigen Zustand p von A durch die Worte in Σ, die zu p
MehrTeil VI. Anwendungen, Teil 1: XML und deterministische reguläre Ausdrücke
Teil VI Anwendungen, Teil 1: XML und deterministische reguläre Ausdrücke XML anhand von Beispielen... Anwendungen XML 1 / 10 XML-Schema In vielen Anwendungen sollen nur bestimmte XML-Dokumente zugelassen
MehrBeweisidee: 1 Verwende den Keller zur Simulation der Grammatik. Leite ein Wort. 2 Problem: der Keller darf nicht beliebig verwendet werden, man kann
Automaten und Formale prachen alias Theoretische Informatik ommersemester 2011 Dr. ander Bruggink Übungsleitung: Jan tückrath Wir beschäftigen uns ab jetzt einige Wochen mit kontextfreien prachen: Kontextfreie
MehrOgden s Lemma: Der Beweis (1/5)
Ogden s Lemma: Der Beweis (1/5) Wir betrachten zuerst die Rahmenbedingungen : Laut dem auf der vorhergehenden Folie zitierten Satz gibt es zur kontextfreien Sprache L eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) in
MehrFormale Sprachen und Automaten: Tutorium Nr. 8
Formale Sprachen und Automaten: Tutorium Nr. 8 15. Juni 2013 Übersicht 1 Nachtrag 2 Besprechung von Übungsblatt 7 Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 3 CFG PDA Definitionen Ein Beispiel! Aufgabe 4 Der PDA als
MehrTuring Maschine. Thorsten Timmer. SS 2005 Proseminar Beschreibungskomplexität bei Prof. D. Wotschke. Turing Maschine SS 2005 p.
Thorsten Timmer SS 2005 Proseminar Beschreibungskomplexität bei Prof. D. Wotschke Turing Maschine SS 2005 p. 1/35 Inhalt Einführung Formale Definition Berechenbare Sprachen und Funktionen Berechnung ganzzahliger
Mehr20 2 Vom Bit zum Quantenregister
0 Vom Bit zum Quantenregister zweier Zustände. Wir können aber niemals erkennen, welchen Wert diese Anteile α und β genau haben. Wollen wir die Drehrichtung bestimmen, müssen wir sie messen. Dabei wird
MehrFORMALE SYSTEME. Wiederholung. Beispiel: NFA. Wiederholung: NFA. 4. Vorlesung: Nichtdeterministische Endliche Automaten. TU Dresden, 20.
Wiederholung FORMALE SYSTEME 4. Vorlesung: Nichtdeterministische Endliche Automaten Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme Grammatiken können Sprachen beschreiben und sie grob in Typen unterteilen
MehrDekohärenz und Grundprinzip der Quantenfehlerkorrektur
Dekohärenz und Grundprinzip der Quantenfehlerkorrektur Bachelorarbeit Gregor Wurm, Betreuer: Prof. E. Arrigoni Institut für Theoretische Physik der Technischen Universiät Graz 24. Sept. 2010 Übersicht
MehrSatz (Abschluß unter der Stern-Operation)
Satz (Abschluß unter der Stern-Operation) Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann ist auch L regulär. Beweis: Es gibt einen NFA M = (Z, Σ, S, δ, S, E) mit L(M) = L. Wir bauen aus diesem NFA nun wie folgt
MehrDie mathematische Seite
Kellerautomaten In der ersten Vorlesung haben wir den endlichen Automaten kennengelernt. Mit diesem werden wir uns in der zweiten Vorlesung noch etwas eingängiger beschäftigen und bspw. Ansätze zur Konstruktion
MehrTechnische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert 11. Juli HA-Lösung. TA-Lösung
Technische Universität München Sommer 26 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert. Juli 26 HA-Lösung TA-Lösung Einführung in die theoretische Informatik Aufgabenblatt 3 Beachten Sie: Soweit nicht
MehrInformatik III. Arne Vater Wintersemester 2006/ Vorlesung
Informatik III Arne Vater Wintersemester 2006/07 10. Vorlesung 24.11.2006 1 Turingmaschinen Informatik III 9. Vorlesung - 2 Turingmaschinen Eine (deterministische 1-Band) Turingmaschine (DTM) wird beschrieben
MehrSuche nach einem solchen Kreis. Endlichkeitstest. Vereinigung und Durchschnitt. Abschlusseigenschaften
Endlichkeitstest Eingabe: DFA/NFA M. Frage: Ist die von M akzeptierte Sprache endlich? Nahe liegende Beobachtung: In einem DFA/NFA, der eine unendliche Sprache akzeptiert, muss es einen Kreis geben, der
MehrFORMALE SYSTEME. Wiederholung. Beispiel: NFA. Wiederholung: NFA. 4. Vorlesung: Nichtdeterministische Endliche Automaten. TU Dresden, 19.
Wiederholung FORMALE SYSTEME 4. Vorlesung: Nichtdeterministische Endliche Automaten Markus Krötzsch Professur für Wissensbasierte Systeme Grammatiken können Sprachen beschreiben und sie grob in Typen unterteilen
MehrQuantenschaltkreise. Seminar: Quantenrechner ~ Sommersemester Dozenten: Prof. Johannes Köbler und Olaf Beyersdorff
Quantenschaltkreise Seminar: Quantenrechner ~ Sommersemester 24 Dozenten: Prof. Johannes Köbler und Olaf Beyersdorff Vortrag: Jens Kleine ~ jkleine@informatik.hu-berlin.de Vortag vom 12.5.24 ~ Humboldt
MehrDas Postsche Korrespondenzproblem
Das Postsche Korrespondenzproblem Eine Instanz des PKP ist eine Liste von Paaren aus Σ Σ : (v 1, w 1 ),..., (v n, w n ) Eine Lösung ist eine Folge i 1,..., i k von Indizes 1 i j n mit v i1... v ik = w
MehrFallstudien der mathematischen Modellbildung Teil 3: Quanten-Operationen. 0 i = i 0
Übungsblatt 1 Aufgabe 1: Pauli-Matrizen Die folgenden Matrizen sind die Pauli-Matrizen, gegeben in der Basis 0, 1. [ [ [ 0 1 0 i 1 0 σ 1 = σ 1 0 = σ i 0 3 = 0 1 1. Zeigen Sie, dass die Pauli-Matrizen hermitesch
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2010 Lösungsblatt 3 14. Mai 2010 Einführung in die Theoretische
MehrTheorie der Informatik
Theorie der Informatik 8. Reguläre Sprachen II Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 24. März 24 Pumping Lemma Pumping Lemma: Motivation Man kann zeigen, dass eine Sprache regulär ist, indem man
MehrBeweis: Nach dem Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen ist
CF versus CS Theorem CF ist echt in CS enthalten. Beweis: Nach dem Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen ist L = {a m b m c m m 1} nicht kontextfrei. Andererseits ist L kontextsensitiv, wie die Grammatik
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008
2. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 1 Einelementiges Alphabet (4 Punkte) (a) Geben
MehrTechnische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert 27. Juni HA-Lösung. TA-Lösung
Technische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert 27. Juni 2016 HA-Lösung TA-Lösung Einführung in die theoretische Informatik Aufgabenblatt 9 Beachten Sie: Soweit
MehrKontextfreie Sprachen werden von PDAs akzeptiert
Kontextfreie Sprachen werden von PDAs akzeptiert Sei G = (Σ, V, S, P) eine kontextfreie Grammatik. Dann gibt es einen PDA A mit L(A) = L(G). Der PDA A arbeitet mit nur einem Zustand q 0, besitzt das Kelleralphabet
MehrQuanten Fourier Transformation & Shors Faktorisierungs Algorithmus
Quanten Fourier Transformation & Shors Faktorisierungs Algorithmus Universität Siegen 4. Juli 2006 Inhaltsverzeichnis Quantenfouriertransformation 1 Quantenfouriertransformation Rechnen mit Qubits diskrete
Mehr2.2 Reguläre Sprachen Endliche Automaten
2.2.1 Endliche Automaten E I N G A B E Lesekopf endliche Kontrolle Signal für Endzustand Ein endlicher Automat liest ein Wort zeichenweise und akzeptiert oder verwirft. endlicher Automat Sprache der akzeptierten
MehrÜbungsaufgaben Quantum-Computing
Departement Informatik Open Class Sieben Wunder der Informatik Prof. Dr. Juraj Hromkovič Übungsaufgaben Quantum-Computing Zürich, 30. Oktober 007 Zusammenfassung Die erste und sehr gut geschriebene deutschsprachige
MehrTheoretische Informatik 1
heoretische Informatik 1 uringmaschinen David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung U Graz SS 2014 Übersicht uring Maschinen Algorithmusbegriff konkretisiert Modelldefinition uring-berechenbarkeit
MehrSimulation eines Quantencomputers
Simulation eines Quantencomputers J. Metzner, M. Schmittfull Simulation eines Quantencomputers p.1/34 Ziele des Projekts Entwicklung einer leistungsfähigen und effizienten Simulation eines Quantencomputers
MehrFormale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Abschlusseigenschaften
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 18. April 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/64 NFAs - Grundlagen DFAs vs. NFAs Der
MehrEndliche Automaten. Endliche Automaten J. Blömer 1/24
Endliche Automaten Endliche Automaten J. Blömer /24 Endliche Automaten Endliche Automaten sind ein Kalkül zur Spezifikation von realen oder abstrakten Maschinen regieren auf äußere Ereignisse (=Eingaben)
MehrAkzeptierende Turing-Maschine
Akzeptierende Turing-Maschine Definition: Eine akzeptierende Turing-Maschine M ist ein Sechstupel M = (X, Z, z 0, Q, δ, F ), wobei (X, Z, z 0, Q, δ) eine Turing-Maschine ist und F Q gilt. Die von M akzeptierte
MehrInformatik IV. Pingo Sommersemester Dozent: Prof. Dr. J. Rothe. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 1 / 13
Informatik IV Sommersemester 2019 Dozent: Prof. Dr. J. Rothe J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 1 / 13 Website http://pingo.upb.de/ Code: 1869 J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 2 / 13 Frage
Mehr7.3 Unitäre Operatoren
Wir können jeden Operator T wie folgt schreiben: Dabei gilt T = 1 2 (T + T ) + i( 1 2 i (T T )) (T + T ) = T + T sowie ( 1 2 i (T T )) = 1 2 i (T T) = 1 2 i (T T ). Wir können T also in zwei lineare Operatoren
MehrKapitel 2: Formale Sprachen Gliederung
Gliederung. Einleitung und Grundbegriffe. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie 2.. Chomsky-Grammatiken 2.2. Reguläre Sprachen Reguläre Grammatiken, ND-Automaten
MehrWS06/07 Referentin: Katharina Blinova. Formale Sprachen. Hauptseminar Intelligente Systeme Dozent: Prof. Dr. J. Rolshoven
WS06/07 Referentin: Katharina Blinova Formale Sprachen Hauptseminar Intelligente Systeme Dozent: Prof. Dr. J. Rolshoven 1. Allgemeines 2. Formale Sprachen 3. Formale Grammatiken 4. Chomsky-Hierarchie 5.
Mehra b b a Alphabet und Wörter - Zusammengefasst Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 2 Endliche Automaten und reguläre Sprachen
Formale Grundlagen der Informatik Kapitel 2 und reguläre Sprachen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 5. April 26 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de /52 Alphabet und Wörter
MehrQuantenfehlerkorrektur
korrektur korrektur 14. Juli 2005 Seminar: Quantencomputing korrektur Einleitung Ideales (fehlerfreies) Quantencomputing liefert schnelle Algorithmen Ideales Quantencomputing ohne Bedeutung für die Praxis
Mehr1. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2003/2004. Mit Lösung!
Universität Karlsruhe Theoretische Informatik Fakultät für Informatik WS 23/4 ILKD Prof. Dr. D. Wagner 2. Februar 24. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 23/24 Mit Lösung! Beachten Sie:
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen (III) 8.07.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
MehrEndliche Automaten. Endliche Automaten J. Blömer 1/23
Endliche Automaten Endliche Automaten sind ein Kalkül zur Spezifikation von realen oder abstrakten Maschinen regieren auf äußere Ereignisse (=Eingaben) ändern ihren inneren Zustand produzieren gegebenenfalls
MehrFormale Methoden 1. Gerhard Jäger 23. Januar Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/18
1/18 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 23. Januar 2008 2/18 Das Pumping-Lemma Sein L eine unendliche reguläre Sprache über ein endliches Alphabet
MehrAutomaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2013
Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik Sommersemester 2013 Dr. Sander Bruggink Übungsleitung: Jan Stückrath Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 1 Reguläre Ausdrücke Wozu
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2010 Lösungsblatt 7 15. Juni 2010 Einführung in die Theoretische
MehrWorterkennung in Texten speziell im Compilerbau 20. April Frank Heitmann 2/64
Grenzen regulärer Sprachen? Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 4 Über reguläre Sprachen hinaus und Pumping Lemma Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de Wir haben mittlerweile einiges
MehrDisMod-Repetitorium Tag 4
DisMod-Repetitorium Tag 4 Endliche Automaten, Reguläre Sprachen und Kontextfreie Grammatiken 22. März 2018 1 Endliche Automaten Definition DFA Auswertungen Äquivalenzrelationen Verschmelzungsrelation und
MehrReguläre Sprachen. R. Stiebe: Theoretische Informatik für ING-IF und Lehrer,
Reguläre Sprachen Reguläre Sprachen (Typ-3-Sprachen) haben große Bedeutung in Textverarbeitung und Programmierung (z.b. lexikalische Analyse) besitzen für viele Entscheidungsprobleme effiziente Algorithmen
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Sascha Böhme, Lars Noschinski Sommersemester 2011 Lösungsblatt 8 18. Juli 2011 Einführung in die Theoretische Informatik
MehrSei Σ ein endliches Alphabet. Eine Sprache L Σ ist genau dann regulär, wenn sie von einem regulären Ausdruck beschrieben werden kann.
Der Satz von Kleene Wir haben somit Folgendes bewiesen: Der Satz von Kleene Sei Σ ein endliches Alphabet. Eine Sprache L Σ ist genau dann regulär, wenn sie von einem regulären Ausdruck beschrieben werden
MehrEinführung in Quantencomputer
Einführung in Quantencomputer Literatur M. Homeister, (jetzt FB Informatik und Medien an der Fachhochschule Brandenburg) Quantum Computing verstehen, Springer Vieweg Verlag (25) E. Rieffel und W. Polak,
MehrÜbungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 18/19
Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 6 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 18/19 Ausgabe 8. Januar 2019 Abgabe 22. Januar 2019, 11:00 Uhr (im
MehrAlgorithmen für Quantencomputer I
1. Institut für Theoretische Physik Universität Stuttgart 19. Juli 2011 1 Grundlagen (Wiederholung) QuBit Register Gatter 2 3 Bit-Flip-Fehler Phasen-Flip-Fehler 4 Prinzip eines Quantenalgorithmus QuBit
Mehr{a i b i i 0} FORMALE SYSTEME. Kellerautomaten. (Nicht)Abschlusseigenschaften für Typ 2. Ein Berechnungsmodell für Typ-2-Sprachen
(Nicht)Abschlusseigenschaften für Typ 2 FORMALE SYSTEME 15. Vorlesung: Einleitung Kellerautomaten Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme Satz: Wenn L, L 1 und L 2 kontextfreie Sprachen sind,
MehrSemi-Entscheidbarkeit und rekursive Aufzählbarkeit
Semi-Entscheidbarkeit und rekursive Aufzählbarkeit Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 9. November 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung
MehrEin Einfaches Univerales Schaltelement und Zellularautomaten für Rechnerreversibilität
Ein Einfaches Univerales Schaltelement und Zellularautomaten für Rechnerreversibilität Vortrag von Dennis Felsing im Proseminar Zellularautomaten und Diskrete Komplexe Systeme Sommersemester 2011 1/27
MehrBeispiele akzeptierender Turingmaschinen
Formale Sprachen und Automaten Beispiele akzeptierender Turingmaschinen Da wir am Donnerstag nicht mehr genug Zeit hatten, die akzeptierenden Turingmaschinen nochmal im Detail durchzusprechen, habe ich
MehrDefinition (Reguläre Ausdrücke) Sei Σ ein Alphabet, dann gilt: (ii) ε ist ein regulärer Ausdruck über Σ.
Reguläre Ausdrücke Definition (Reguläre Ausdrücke) Sei Σ ein Alphabet, dann gilt: (i) ist ein regulärer Ausdruck über Σ. (ii) ε ist ein regulärer Ausdruck über Σ. (iii) Für jedes a Σ ist a ein regulärer
Mehr