Einführung in LTL unter MAUDE. Maschine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 1

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1 Einführung in LTL unter MAUDE Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 1

2 Verifikation eines Systems System- Verhalte% System- Spezifikatio% Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 2

3 Verifikation eines Systems System- Verhalte% System- Spezifikatio% system enjoys property Theorem Proving: Systems formula implies property formula. Model Cheking: φ = f Systems semantis is model of property formula. M, s = f} Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 3

4 Definition 5.29 Eine Kripke-Struktur ist ein Tupel M := (S, S 0, R, L), für das folgendes gilt: 1. S endlihe Zustandsmenge, 2. S 0 S Menge von Anfangszuständen, 3. R S S links totale 6 (Transitions-) Relation, 4. L : S 2 AP Abbildung, die jedem Zustand s eine Menge L(s) AP von aussagenlogishen atomaren Formeln zuordnet (die in diesem Zustand gelten). 5. Ein Pfad oder eine Rehnung aus s S ist eine Folge π = s 0, s 1, s 2,... mit s 0 = s und i : R(s i, s i+1 ) Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 4

5 Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 5

6 5.6 Temporale Logik Modallogik Predikatenlogik Temporallogik Aussagenlogik Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 6

7 Beispiel 5.32 Spezifikation eines Aufzuges (Fragment) I. Jede Anforderung des Aufzugs wird auh erfüllt. II. Der Aufzug passiert keinen Stokwerk (SW) mit einer niht erfüllten Anforderung. Beispiel für physikalishes Bewegungsgesetz: z(t) = 1 2 gt2 (freier Fall des Aufzuges) Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 7

8 ( ( I. Jede Anforderung des Aufzugs wird auh erfüllt. I. t, n(app(n, t) t > t. serv(n, t )) ( ( H(t) Position des Fahrstuhls zur Zeit t, app(n, t) offene Anforderung von Stokwerk n zur Zeit t, serv(n, t) Fahrstuhl bedient Stokwerk n Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 8

9 Temporale Logik für die Informatik: Pnueli 1977: Temporale Logik für Informatik: Pnueli 1977 Linear Temporal Logi: LTL CT L : omputation tree logi, Emerson und Halpern 1986 p irgendwann einmal gilt p p t0 p von jetzt an gilt immer p t p p p p p p p p p t0 t t 2 t 1 n n+1 t Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 9

10 p bedeutet? t0 p bedeutet? t0 Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 10

11 Abwikeln der Kripke-Struktur. ab ab b b ab Abbildung 5.15: Abwiklung einer Kripke-Struktur Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 11

12 CT L -Formeln ab Zustands- Zustandsquantoren Pfad-Quantoren: ab b A für alle Pfade, E es gibt ein Pfad, Pfadquantoren Pfadund temporale Quantoren: Xp next time : p gilt im zweitem Zustand ab des Pfades (vorher ), b ab Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 12

13 Pfad- Pfadquantoren und temporale Quantoren: Xp next time : p gilt im zweitem Zustand des Pfades (vorher ), F p eventually, in the future : p gilt in einem Zustand des Pfades (vorher ), Gp always, globally : p gilt in allen Zuständen des Pfades (vorher ), puq until : es gibt einen Zustand auf dem Pfad, in dem q gilt und vor diesem Zustand gilt immer p. p p p p p p p p p q Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 13

14 prq release : Dual zu puq. q gilt bis einshließlih des ersten Zustands, in dem p gilt oder q gilt immer. q q q q q q q q q p q q q q q q q q q Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 14

15 Angenommen, dass f 1, f 2 Zustands- und g 1, g 2 Pfad- Formeln sind, so ist = definiert durh: M, π = g 1 M, π = g M, π = g 1 g 2 M, π = g 1 oder M, π = g M, π = g 1 g 2 M, π = g 1 und M, π = g M, π = Xg 1 M, π 1 = g M, π = F g 1 k 0. M, π k = g M, π = Gg 1 k 0. M, π k = g 1. k 14. M, π = g 1 Ug 2 k 0. M, π k = g 2 und für alle 0 j < k gilt M, π j = g M, π = g 1 Rg 2 j 0, wenn für jeden i < j M, π i = g 1 gilt, dann M, π j = g 2. Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 15

16 4 Model Cheking Für eine gegebene Kripke-Struktur M = (S, R, L) und eine gegebene temporal-logishe Formel f ist zu berehnen: {s S M, s = f} M ist hier als Graph explizit gegeben. Mashine!es Beweisen Einführung in LTL Seit# 16