Exzentrischer Stoß. Der genaue zeitliche Verlauf der Kraft ist nicht bekannt. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-1
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- Felix Melsbach
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1 Exzentrischer Stoß Allgemeine Stoßvorgänge zwischen zwei Körpern in der Ebene können mit Hilfe des integrierten Impulssatzes und des integrierten Drallsatzes behandelt werden. Während des Stoßes treten kurzzeitig große Kräfte auf, die zu einer Änderung der Geschwindigkeiten führen. Bekannt sind die Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten vor dem Stoß. Gesucht sind die Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten nach dem Stoß. Der genaue zeitliche Verlauf der Kraft ist nicht bekannt. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-1
2 Exzentrischer Stoß 1. Idealisierungen 2. Definitionen 3. Integrierter Impuls- und Drallsatz 4. Stoß zwischen freien Körpern 5. Stoß auf gelagerten Körper 6. Rauer Stoß Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-2
3 1. Idealisierungen Idealisierungen sind vereinfachende Annahmen, die getroffen werden, damit ein Problem rechnerisch untersucht werden kann. Bei Stoßvorgängen werden folgende Annahmen getroffen: Die Stoßdauer t S ist so klein, dass Lageänderungen der beiden Körper während der Stoßdauer vernachlässigt werden können. Die an der Berührstelle der Körper auftretenden Kräfte sind so groß, dass während der Stoßdauer alle anderen Kräfte vernachlässigt werden können. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-3
4 1. Idealisierungen Die Verformungen der beiden Körper sind so klein, dass die Bewegungsgesetze für starre Körper angewendet werden können. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-4
5 2. Definitionen Die Berührungsebene liegt tangential zu den beiden Körpern. Der Stoßpunkt P liegt in der Berührungsebene. Die Stoßnormale geht durch den Stoßpunkt P und steht senkrecht auf der Berührungsebene. S 1 P Berührungsebene S 2 Stoßnormale Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-5
6 2. Definitionen Gerader Stoß: Schiefer Stoß: v 1 Stoßnormale v 1 Stoßnormale S 1 S 1 P P S 2 S 2 v 2 v 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-6
7 2. Definitionen Beim geraden Stoß haben die Geschwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß die Richtung der Stoßnormalen. Beim schiefen Stoß stimmen die Richtungen der Geschwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß nicht mit der Stoßnormalen überein. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-7
8 2. Definitionen Zentrischer Stoß: Exzentrischer Stoß: S 1 S 1 P P S 2 S 2 Stoßnormale Stoßnormale Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-8
9 2. Definitionen Beim zentrischen Stoß geht die Stoßnormale durch die beiden Schwerpunkte. Beim exzentrischen Stoß geht die Stoßnormale nicht durch die beiden Schwerpunkte. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-9
10 2. Definitionen Glatter Stoß: Reibungskräfte werden vernachlässigt. Die Stoßkräfte wirken in Richtung der Stoßnormalen. Rauer Stoß: Reibungskräfte werden berücksichtigt. Es wirken auch Kräfte in der Berührungsebene. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
11 3. Integrierter Impuls- und Drallsatz Integrierter Impulssatz: Die Bewegung des Schwerpunktes eines starren Körpers wird durch den Impulssatz beschrieben: m v S =F t Integration bezüglich der Zeit liefert: 2 t 2 m v S dt= F dt t 1 t 1 t 2 Mit dem Kraftstoß F= F dt t 1 lautet der integrierte Impulssatz: m v S t 2 v S t 1 = F Für ebene Probleme folgen daraus die beiden Gleichungen: m v Sx t 2 v Sx t 1 = F x, m v Sy t 2 v Sy t 1 = F y Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
12 3. Integrierter Impuls- und Drallsatz Integrierter Drallsatz: Die Drehung eines starren Körpers um seinen Schwerpunkt wird durch den Drallsatz beschrieben: L S =M S Integration bezüglich der Zeit liefert: Für einen Stoß ist die Zeit t S = t 2 t 1 so klein, dass die Lageänderung des Körpers während dieser Zeit vernachlässigt werden kann. t 2 t 1 t 2 L S dt= t 1 M S dt Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
13 3. Integrierter Impuls- und Drallsatz Daher gilt: t 2 t 1 Mit t 2 t M S dt= r P F dt=r 2 P F dt=r P F t 2 t 1 t 1 L S dt=l S t 2 L S t 1 =J S t 2 t 1 lautet der integrierte Drallsatz: t 1 F P r P S J S t 2 t 1 =r P F Für eine Drehung um die z-achse folgt daraus: J Sz t 2 t 1 =x P F y y P F x Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
14 4. Stoß zwischen freien Körpern Aufgabenstellung: Zwei glatte Körper stoßen aufeinander. Bekannt sind die Massen m 1 und m 2, die Massenträgheitsmomente J S1 und J S2, die Schwerpunktsgeschwindigkeiten v 1 und v 2 sowie die Winkelgeschwindigkeiten ω 1 und ω 2 vor dem Stoß. Gesucht sind die Schwerpunktsgeschwindigkeiten V 1 und V 2 sowie die Winkelgeschwindigkeiten Ω 1 und Ω 2 nach dem Stoß. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
15 4. Stoß zwischen freien Körpern Koordinatensystem: Die x-achse zeigt entlang der Stoßnormalen. Die y-achse liegt in der Berührungsebene. y P S 1 S 2 x Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
16 4. Stoß zwischen freien Körpern Aufstellen der Gleichungen: F(t) a 1 a F(t) S 2 2 S 1 y x Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
17 4. Stoß zwischen freien Körpern Integrierter Impulssatz für Körper 1: Integrierter Impulssatz für Körper 2: m 1 V 1 x v 1 x = F x m 1 V 1 y v 1 y = 0 Integrierter Drallsatz für Körper 1: J S =a 1 F x m 2 V 2 x v 2 x = F x m 2 V 2 y v 2 y = 0 Integrierter Drallsatz für Körper 2: J S = a 2 F x Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
18 4. Stoß zwischen freien Körpern Damit stehen sechs Gleichungen zur Ermittlung der sieben unbekannten Größen V 1x, V 1y, V 2x, V 2y, Ω 1, Ω 2 und F x zur Verfügung. Die fehlende Gleichung folgt aus der Stoßbedingung, die zwischen den Geschwindigkeiten im Punkt P besteht: k= V P1x V P2x v P1x v P2x Dabei ist k die Stoßzahl. Für die Geschwindigkeiten im Punkt P gelten die kinematischen Beziehungen v P1x = v 1 x a 1 1 v P2x = v 2 x a 2 2 V P1x = V 1 x a 1 1 V P2x = V 2 x a 2 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
19 4. Stoß zwischen freien Körpern Auflösen der Gleichungen: Aus dem integrierten Impulssatz in y-richtung folgt: V 1 y =v 1 y, V 2 y =v 2 y Aus dem integrierten Impulssatz in x-richtung folgt: F V 1 x =v 1 x x F, V m 2 x =v 2 x x 1 m 2 Aus dem integrierten Drallsatz folgt: 1 = 1 a 1 F x J S 1, 2 = 2 a 2 F x J S 2 Damit lassen sich die gesuchten Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten berechnen, wenn der Kraftstoß bekannt ist. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
20 4. Stoß zwischen freien Körpern Aus der Stoßbedingung folgt: k v P1x v P2x V P1x V P2x =0 Mit den kinematischen Beziehungen ergibt sich: k v 1 x a 1 1 v 2 x a 2 2 V 1 x a 1 1 V 2 x a 2 2 =0 V 1 x V 2 x a 1 1 a 2 2 = k v 1 x v 2 x a 1 1 a 2 2 Einsetzen der Beziehungen zwischen den Geschwindigkeiten und dem Kraftstoß führt auf: v 1 x v 2 x F 1 x 1 m 1 m a 1 1 a 2 2 F a 2 1 x a J S 1 J S 2 = k v 1 x v 2 x a 1 1 a 2 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
21 Daraus folgt: 4. Stoß zwischen freien Körpern 1 k v 1 x v 2 x a 1 1 a 2 2 = F x 1 1 a 2 1 m 1 m 2 a 2 2 J S 1 J S 2 Ergebnis: F x = 1 k v 1 x v 2 x a 1 1 a a 2 1 a 2 2 m 1 m 2 J S 1 J S 2 V 1 x =v 1 x F x m 1, V 1 y =v 1 y, 1 = 1 a 1 F x J S 1 V 2 x =v 2 x F x m 2, V 2 y =v 2 y, 2 = 2 a 2 F x J S 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
22 Beispiel: 4. Stoß zwischen freien Körpern Ein Fahrzeug fährt seitlich versetzt auf ein langsameres Fahrzeug auf. y a 1 a 2 S 2 S 1 P x Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
23 4. Stoß zwischen freien Körpern Daten für Fahrzeug 1: Masse m 1 = 2000kg Massenträgheitsmoment J S1 = 1500kgm 2 Geschwindigkeit v 1 = 180km/h Winkelgeschwindigkeit ω 1 = 0s -1 Abstand a 1 = 0,5m Daten für Fahrzeug 2: Masse m 2 = 1000kg Massenträgheitsmoment J S2 = 500kgm 2 Geschwindigkeit v 2 = 140km/h Winkelgeschwindigkeit ω 2 = 0s -1 Abstand a 2 = -0,3m Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
24 4. Stoß zwischen freien Körpern Stoßzahl: k = 0,4 Bemerkung: Der Wert des Abstandes a 2 ist negativ, da sich der Stoßpunkt P unterhalb des Schwerpunktes S 2 befindet. Ergebnisse: Kraftstoß: F x =8423,6 Ns Geschwindigkeiten: V 1 =164,84 km/h, V 2 =170,32km/h Winkelgeschwindigkeiten: 1 =2,81 s 1, 2 =5,05s 1 Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
25 5. Stoß auf gelagerten Körper Beim Stoß auf einen gelagerten Körper treten auch am Lager Stoßkräfte auf. Die Stoßkräfte am Lager haben die gleiche Größenordnung wie die Stoßkräfte am Stoßpunkt. Alle anderen Kräfte können gegenüber den Stoßkräften vernachlässigt werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
26 Aufgabenstellung: 5. Stoß auf gelagerten Körper Auf einen gelenkig gelagerten Körper wirkt ein Stoß. Der gestoßene Körper ist vor dem Stoß in Ruhe. F Bekannt ist der Kraftstoß, die Masse m und das Massenträgheitsmoment J A des gestoßenen Körpers. Gesucht sind die Lagerkräfte während des Stoßes und die Winkelgeschwindigkeit des Körpers nach dem Stoß. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
27 Koordinatensystem: 5. Stoß auf gelagerten Körper Die x-achse wird so gewählt, dass sie in Richtung des Kraftstoßes zeigt. A S F(t) y x Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
28 5. Stoß auf gelagerten Körper Aufstellen der Gleichungen: A y (t) d A A x (t) c y x b S F(t) Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
29 5. Stoß auf gelagerten Körper Integrierter Impulssatz: mv x = F A x mv y = A y Integrierter Drallsatz bezüglich des ortsfesten Punktes A: J A z =b F = b F J A z Kinematik: V x =c, V y = d Damit lassen sich die Lagerkräfte aus dem integrierten Impulssatz berechnen: A x = F mv x = F mc A y = mv y =md A x = F 1 mcb J A z A y = F mdb J A z Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
30 5. Stoß auf gelagerten Körper Stoßmittelpunkt Π: Der Stoßmittelpunkt ist der Punkt, in dem der Körper gelagert werden muss, damit im Lager keine Kräfte auftreten. Damit die x-komponente der Lagerkraft verschwindet, muss gelten: 1 mcb =0 c= J A z J A z mb Mit dem Trägheitsradius folgt: c= i A 2 b i A = J A z m Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
31 5. Stoß auf gelagerten Körper Damit die y-komponente der Lagerkraft verschwindet, muss der Abstand d gleich Null sein. Π c Der Stoßmittelpunkt liegt auf der zur Stoßkraft senkrechten Geraden durch den Schwerpunkt und hat vom Schwerpunkt den Abstand F b S c= i A 2 b Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
32 5. Stoß auf gelagerten Körper Bei Körpern, auf die Stöße wirken, wird versucht, den Lagerpunkt in den Stoßmittelpunkt zu legen: Hammer Tennisschläger Ein Körper, der nicht gelagert ist, dreht sich unmittelbar nach dem Stoß um den Stoßmittelpunkt. Der Stoßmittelpunkt ist der Momentanpol der freien Bewegung unmittelbar nach dem Stoß. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
33 5. Stoß auf gelagerten Körper Beispiel: In welcher Höhe h muss eine homogene Billardkugel horizontal angestoßen werden, damit sie auf glatter Ebene nach dem Stoß rollt? h Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
34 5. Stoß auf gelagerten Körper Freigeschnittene Billardkugel: F S y h A r x A y Da die Ebene glatt ist, muss die Horizontalkraft verschwinden. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
35 5. Stoß auf gelagerten Körper Die Horizontalkraft verschwindet, wenn Punkt A der Stoßmittelpunkt ist. Dann muss gelten: r= J A z mh h= J A z mr Massenträgheitsmoment bezüglich Punkt A: J A z =J S z m r 2 = 2 5 m r2 mr 2 = 7 5 m r2 Ergebnis: h= 7 5 r Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
36 6. Rauer Stoß Beim Stoß zwischen rauen Körpern wird angenommen, dass die Körper während des Stoßes aneinander haften. Die Geschwindigkeitskomponenten am Berührungspunkt P in der Berührungsebene sind während des Stoßes und damit auch unmittelbar nach dem Stoß gleich: V P1y =V P2y Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
37 6. Rauer Stoß Aufgabenstellung: Eine homogene Kugel stößt schief gegen eine raue Wand. Bekannt ist die Masse m, das Massenträgheitsmoment J S sowie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v und die Winkelgeschwindigkeit ω vor dem Stoß. Gesucht ist die Schwerpunktsgeschwindigkeit V und die Winkelgeschwindigkeit Ω nach dem Stoß. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
38 6. Rauer Stoß Koordinatensystem: Die x-achse steht senkrecht auf der Wand. Die y-achse ist parallel zur Wand. v y P x ω Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
39 6. Rauer Stoß Aufstellen der Gleichungen: F y Integrierter Impulssatz: r m V x v x = F x m V y v y = F y y S P F x Integrierter Drallsatz bezüglich des Schwerpunkts: J S = r F y x Stoßbedingung: k= V Px v Px = V x v x V x = k v x Haftbedingung: V Py =0 V y r =0 V y = r Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
40 6. Rauer Stoß Aus dem integrierten Impulssatz in y-richtung folgt: F y = m V y v y =m r v y Damit folgt aus dem integrierten Drallsatz: J S = r m r v y J S mr 2 =J S m r v y = J S m r v y J S m r 2 Mit J S = 2 folgt: 5 m r2 2 5 m r2 mr v y 2 = = 2 5 m r2 m r v y r Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
41 6. Rauer Stoß Ergebnis: = v y r, V x= k v x, V y = 5 7 v y 2 7 r Fall 1: 5 2 v y r V y 0, 0 Die Kugel prallt nach unten zurück und behält dabei ihre Drehrichtung bei. Fall 2: 5 2 v y r V y 0, 0 Die Kugel prallt nach oben zurück und ändert dabei ihre Drehrichtung. Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik
2. Exzentrischer Stoß
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