Reglersynthese und Simulation

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1 Institut für Mess- und Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. C. Stiller Universität Karlsruhe (TH) Reglersynthese und Simulation von A. Hans, B. Horner, F. Böhringer, F. Moosmann Lernziele 1. Regelung einer instabilen Strecke 2. Stabilitätsuntersuchung nach dem Hurwitz-Kriterium 3. Reglersynthese nach dem Wurzelortsverfahren 4. Simulation auf dem Rechner Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Notwendigkeit einer Regelung Forderungen an eine Regelung Bearbeitung einer Regelungsaufgabe Systemanalyse Stabilitätsdefinition Kriterium von Hurwitz Beispiel Reglersynthese und Reglerentwurf Das Wurzelortsverfahren Definition der Wurzelortskurve Beispiel Dominante Pole D 1

2 4 Regelung einer magnetischen Aufhängung Überblick Beschreibung des Versuchsaufbaus Beschreibung der Einzelkomponenten des Versuchsaufbaus Differentialgleichung und Übertragungsfunktion des Magnet-Kugel-Systems Berechnung der Systemparameter Modell des Servoverstärkers Versuchsvorbereitung Aufgabe Aufgabe Versuchsdurchführung Aufgabe Aufgabe Aufgabe A Anhang 27 A.1 Regeln für die Konstruktion von Wurzelortskurven (WOK) A.2 Hinweise zur Bedienung des Programmpakets MATLAB und der Toolbox SIMULINK und CONTROL A.2.1 Was ist MATLAB? A.2.2 Allgemeines A.2.3 Einige wichtige Befehle A.2.4 Aufbau einer Strecke D 2

3 1 Einleitung 1.1 Notwendigkeit einer Regelung Bei technischen Sytemen (z. B. Personenaufzug, Raumheizung) tritt häufig eine zeitveränderliche Größe (z. B. Drehzahl, Raumtemperatur) auf, an deren Verhalten man interessiert ist und der ein gewünschter Zeitverlauf aufgeprägt werden soll. Häufig besteht das Ziel darin, diese Ausgangsgröße auf einen festen Wert zu bringen und in diesem Zustand zu halten. Die gezielte Beeinflussung der Ausgangsgröße durch die Stellgröße wird in den meisten Fällen dadurch erschwert, daß auf das technische System von der Umgebung her Störungen einwirken (z. B. Lastwechsel, Außentemperatur). Wesentliche Eigenschaften solcher Störgrößen sind: Sie wirken darauf hin, die Ausgangsgröße von dem gewünschten Verhalten abzubringen. Sie sind nur ungenau bekannt. Vor allem kann man ihr zeitliches Verhalten nicht genau vorherhersagen, weil es unerwarteten Änderungen unterliegt. 1.2 Forderungen an eine Regelung Damit eine Regelung ihrer prinzipiellen Bestimmung nachkommen kann, muß folgende Grundforderung erfüllt sein. Stabilität: Bei einer Änderung der Führungs- oder Störgröße durchläuft die Regelgröße einen Übergangsvorgang (Einschwingvorgang). Dieser braucht nicht unbedingt eine Schwingung zu sein, sondern kann auch monoton (aperiodisch) verlaufen. Jedoch soll er mit wachsender Zeit abklingen. Darüber hinaus sollen noch weitergehende qualitative Forderungen erfüllt sein: Stationäre Genauigkeit: Die Regelabweichung, die sich im stationären Zustand einstellt, soll innerhalb einer vorgegebenen Schranke liegen. Nur dann wird die Regelgröße nach einer Störgrößenänderung den Sollwert wieder mit genügender Näherung annehmen und nach einer Führungsgrößenänderung dem neuen Sollwert hinreichend nahe kommen. Dämpfung und Schnelligkeit: Bei sprungförmigen Änderungen der Führungs- oder Störgröße darf die Regelgröße nicht zu stark über den stationären Endwert überschwingen. Andererseits soll sie sich dem Sollwert nach nicht zu langer Zeit annähern. Eine andere Art von quantitativer Forderung ist die Optimierung der Regelung, z.b. bezüglich der Zeit oder des Energieverbrauchs. Hierzu wird ein Gütemaß oder Gütekriterium eingeführt, das es je nach Art zu minimieren oder maximieren gilt. D 3

4 1.3 Bearbeitung einer Regelungsaufgabe Zur Bearbeitung einer Regelungsaufgabe geht man wie folgt vor: 1. Identifikation der Regelstrecke und der zu regelnden Größen. 2. Wahl einer geeigneten Stelleinrichtung, einer Meßeinrichtung und eines Vergleichgliedes. 3. Bildung eines mathematisches Modells des Regelkreises: Dazu stellt man auf Grund der physikalischen Gesetze die Gleichungen (z. B. Differential- und Differenzengleichungen) auf, welche das dynamische Verhalten der Regelung beschreiben. Eine Modellvereinfachung (z. B. Linearisierung) gehört als ganz wesentlicher Bestandteil zur Modellbildung hinzu. 4. Systemanalyse: Untersuchung der Eigenschaften des Regelkreises wie Stabilitätsverhalten, stationäres Verhalten usw. 5. Reglersynthese bzw. Reglerentwurf: Hierbei wird das dynamische Verhalten so gestaltet, daß die an die Regelung gestellten Forderungen erfüllt werden. Als Ergebnis der Synthese erhält man die Gleichung des Reglers, welcher das gewünschte Verhalten der Regelung sichert. 6. Simulation der Regelung: Sie ist notwendig, um die endgültige Einstellung des Reglers vorzunehmen und um gegebenenfalls Modifikationen des Reglers durchzuführen. 7. Realisierung des Reglers: Entweder klassisch (elektronisch, pneumatisch, hydraulisch, etc.) oder als Algorithmus in einem Mikrorechner (digitale Regelung). Im Rahmen dieses Praktikumversuches wird die Regelung einer instabilen magnetischen Aufhängung untersucht, wobei die Punkte 4 bis 7 bearbeitet werden. 2 Systemanalyse Im folgenden sollen nur lineare zeitinvariante Systeme (LZI-Systeme) betrachtet werden, die sich als lineare Differentialgleichung mit reellen Konstanten beschreiben lassen: a n y (n) (t) + + a 1 ẏ(t) + a 0 y(t) = b m x (m) (t) + + b 1 ẋ(t) + b 0 x(t) (1) mit a n, b m 0, a i, b i IR, m n. Mit der zusätzlichen Forderung nach verschwindenden Anfangswerten y(0), ẏ(0),, y (n) (0) = 0 und x(0), ẋ(0),, x (m) (0) = 0 (2) D 4

5 läßt sich bei solchen LZI-Systemen der Zusammenhang zwischen der Ein- und Ausgangsgröße sehr einfach darstellen. Durch die Laplace-Transformation der Differentialgleichung wird diese in eine einfache algebraische Gleichung überführt: G(p) = b 0 + b 1 p + + b m p m a 0 + a 1 p + a n p n = Z(p) N(p) = k m (p n µ ) µ=1 n (p p ν ) ν=1, m n (3) wobei n µ die Nullstellen des Zählers und p ν die Nullstellen des Nenners (Pole von G(p))sind. Die komplexe Funktion G(p) heißt Übertragungsfunktion des Systems und ist nach obigen Voraussetzungen eine gebrochen rationale Funktion in p. Neben dieser sehr einfachen Darstellung der Funktionalbeziehung des Systems gibt es noch weitere Gründe, sich der komplexen Funktionentheorie zu bemühen. Diese stellt nämlich einige sehr mächtige Hilfsmittel zur Verfügung, um die Systemanalyse und die Reglersynthese relativ einfach durchführen zu können, wie z. B. das Hurwitz-Kriterium und das Wurzelortsverfahren. 2.1 Stabilitätsdefinition Für die Stabilität des Systems spielt nur die homogene Differentialgleichung eine Rolle, da die Stabilität eine Systemeigenschaft und damit unabhängig von den Eingangssignalen ist. Zum Lösen der homogenen Differentialgleichung wird deren charakteristische Gleichung a n p n + + a 1 p + a 0 = 0 (4) aufgestellt und daraus die Wurzeln (Nullstellen) p 1,..., p n bestimmt. Allgemein sind die Wurzeln von der Gestalt p = δ + jω. Für jede reelle einfache Wurzel p i = δ i lautet die Lösung der homogenen Differentialgleichung y hom, ri (t) = C i e p it, (5) während für jedes konjugiert komplexe einfache Wurzelpaar gilt: y hom, ki (t) = e δ it [C i cos (ω i t) + D i sin (ω i t)]. (6) Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination der einzelnen Lösungen. Für den Fall von mehrfachen Wurzeln kommt zu der Exponentialfunktion ein Faktor mit t hinzu. Zur Beschreibung der Stabilität eines dynamischen Systems liegen verschiedene Begriffe und Definitionen vor. Als asymptotisch stabil wird ein System bezeichnet, wenn der Einschwingvorgang abklingt. Mathematisch bedeutet dies, daß die Lösung der homogenen Differentialgleichung y hom (t) für große Zeiten gegen Null streben muß: lim y hom(t) = 0. t (7) D 5

6 Dies ist nur möglich, wenn alle Wurzeln p i einen negativen Realteil besitzen, also wenn gilt Re(p i ) = δ i < 0. (8) Da die Wurzeln p i der charakteristischen Gleichung (vgl. (4)) gleichbedeutend den Polen p ν der zugehörigen Übertragungsfunktion (vgl. (3)) sind, ist das Übertragungsglied asymptotisch stabil, wenn alle Pole von G(p) links der imaginären Achse der komplexen p-ebene liegen. Das Stabilitätsproblem ist damit prinzipiell gelöst, wobei die Bestimmung der Wurzeln der charakteristischen Gleichung bzw. der Pole der Übertragungsfunktion die Lösung einer algebraischen Gleichung verlangt. Bei Systemen höherer Ordnung ist die explizite Berechnung der Pole p i jedoch nur mit hohem Rechenaufwand möglich. Zur Stabilitätsuntersuchung müssen aber nicht die Nullstellen, sondern nur die Vorzeichen ihrer Realteile bekannt sein. Als Hilfsmittel dazu treffen Stabilitätskriterien ohne explizite Berechnung der Pole eine Aussage über die Stabilität. Sie werden in graphische und algebraische Verfahren unterschieden. Zur ersten Gruppe gehört beispielsweise das Nyquistkriterium, das an Hand des Verlaufes der Ortskurve des offenen Kreises Rückschlüsse auf die Stabilität des geschlossenen Kreises zuläßt. Es kann ebenso im Bodediagramm formuliert werden. Graphische Kriterien sind auch für transzendente Übertragungsfunktionen wie z. B. Systeme mit Totzeit geeignet. Algebraischen Kriterien hingegen gehen von der charakteristischen Gleichung der Differentialgleichung (bzw. vom Nennerpolynom der Übertragungsfunktion) aus und geben Bedingungen für die Koeffizienten a i an, unter denen alle Wurzeln negative Realteile haben. Diese Kriterien gelten allgemein nur für Differentialgleichungen in Form von (1) bzw. für rationale Übertragungsfunktionen gemäß (3) und sind daher für transzendente Übertragungsfunktionen nicht geeignet. Zu den algebraischen Verfahren zählt das im folgenden Abschnitt behandelte Hurwitz-Kriterium. 2.2 Kriterium von Hurwitz Eine beliebige Lösung einer homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten strebt für t + gegen Null, wenn die Realteile aller Wurzeln der charakteristischen Gleichung (4) bzw. alle Nullstellen des Nennerpolynoms von (3) N(p) = a n p n + + a 1 p + a 0 = 0, a i IR > 0 (9) negativ sind. Das ist wiederum nach dem Satz von Hurwitz genau dann der Fall, wenn die Determinanten H 1 = a 1, H 2 = a 1 a 0 a 3 a 2, H 3 = a 1 a 0 0 a 3 a 2 a 1 a 5 a 4 a 3 D 6,

7 H n = a 1 a a 3 a 2 a 1 0 a 5 a 4 a a 2n 1 a 2n 2 a 2n 3 a n (10) positiv sind. Das Hurwitzkriterium lautet dann: Ist (9) das Nennerpolynom einer rationalen Übertragungsfunktion, so ist das zugehörige Übertragungsglied genau dann stabil, wenn alle n Determinanten H ν, ν = 1,..., n positiv sind. Andernfalls liegt mindestens eine Nullstelle (Wurzel) des Nennerpolynoms auf oder rechts der imaginären Achse. Wenn man diese Determinanten auswertet, kann man das Hurwitzkriterium auch in folgender Form angeben: 1. Alle Koeffizienten a i müssen vorhanden sein und dasselbe Vorzeichen haben, d. h. alle a i > 0 oder alle a i < 0. Diese Bedingung ist besonders leicht nachzuprüfen. Sie stellt sicher, daß keine reellen Wurzeln positiv sind (monotone Instabilität), sagt aber noch nichts über den Realteil komplexer Wurzeln aus. Es handelt sich also um eine notwendige Bedingung; nur bei Systemen 1. und 2. Ordnung ist sie auch hinreichend. 2. Hinreichende Bedingungen lauten für Systeme bis zur 5. Ordnung (für a i > 0): n = 3 : a 0 a 3 a 1 a 2 < 0 n = 4 : a 4 a a 0 a 2 3 a 1 a 2 a 3 < 0 n = 5 : a 2 a 5 a 3 a 4 < 0 (a 1 a 4 a 0 a 5 ) 2 (a 3 a 4 a 2 a 5 )(a 1 a 2 a 0 a 3 ) < 0 Bezeichnet G 0 (p) nun die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen, d. h. des offenen Kreises, und möchte man die Stabilität des geschlossenen Kreises mit einfacher Rückführung untersuchen (G(p) = G 0(p) 1+G 0, vgl. Bild 1), so muß man das Kriterium auf die Gleichung (p) 1 + G 0 (p) = 0 (11) anwenden. Dies sei an Hand eines Beispiels erläutert. Bild 1: Geschlossener Regelkreis mit einfacher Rückführung D 7

8 2.3 Beispiel Gegeben sei die Übertragungsfunktion einer Strecke: G S (p) = 1 (1 + T 1 p)(1 T 1 p). (12) Die Strecke ist offensichtlich instabil, da einer der Pole positiv reell ist. Die Strecke soll mit einem realen PD-Regler G R = K R(1 + T D p) (1 + T 2 p) (13) stabilisiert werden. Die Übertragungsfunktion des Regelkreises lautet dann G(p) = G RG S = G 0(p) 1 + G R G S 1 + G 0 (p), (14) d. h. für die charakteristische Gleichung (des geschlossenen Kreises) gilt oder G 0 (p) + 1 = K R (1 + T D p) (1 + T 1 p)(1 T 1 p)(1 + T 2 p) + 1 = 0 (15) T 2 T 2 1 p 3 + T 2 1 p 2 + (K R T D T 2 )p + K R 1 = 0. (16) Aus der Forderung nach gleichem Vorzeichen der a i gemäß der notwendigen Bedingung des Hurwitzkriteriums folgt, da alle Zeitkonstanten positiv sind, daß K R > 1 und K R > T 2 T D (17) sein müssen. Aus (16) folgt mit dem Hurwitzkriterium für n = 3: oder (K R 1)T 2 T 2 1 (K R T D T 2 )T 2 1 < 0 (18) T 2 < T D. Wegen (19) ist K R > T 2 T D (19) in K R > 1 (vgl. (17)) enthalten; es bleiben also die Bedingungen K R > 1 und T D > T 2 (20) für stabiles Verhalten des Regelkreises. D 8

9 3 Reglersynthese und Reglerentwurf 3.1 Das Wurzelortsverfahren Eine wichtige Aufgabe der Regelungstechnik ist es, vom bekannten Verhalten des offenen Kreises auf das zunächst unbekannte Verhalten des geschlossenen Regelkreises zu schließen. Dies haben wir bezüglich der Stabilität durch die Anwendung des im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Hurwitz-Kriteriums auf die charakteristische Gleichung des geschlossenen Kreises (siehe (11)) getan. Allerdings können wir bis jetzt keinerlei Voraussagen über das dynamische Verhalten des geschlossenen Kreises machen. Gesucht sind möglichst einfach verwendbare und dabei allgemeingültige Hinweise, um von der Pol-Nullstellen- Verteilung des offenen Kreises zum dynamischen Verhalten des geschlossenen Regelkreises zu gelangen. Hierbei ist zu bedenken, daß auch der offene Kreis nicht endgültig festliegt, sondern daß durch das Einfügen des Regelgliedes Parameter- und Strukturveränderungen eintreten werden. Zweck der Reglersynthese ist schließlich das Herausfinden eines für die Problemstellung geeigneten Reglers. Eine Methode für diese Analyse und Synthese linearer Regelkreise ist das Wurzelortsverfahren (root locus method, W.R. Evans 1948 [1]). Eine Reihe von Regeln ermöglicht das überschlägige Skizzieren der Wurzelortskurve (WOK). Dies ist ausreichend, um qualitative Betrachtungen über den Entwurf und das dynamische Verhalten des Regelkreises durchzuführen. Für quantitative Aussagen ist eine genaue Konstruktion der WOK erforderlich, was mit Hilfe von kommerziellen Softwarepaketen wie MATLAB/SIMULINK relativ schnell umsetzbar ist. 3.2 Definition der Wurzelortskurve Ausgangspunkt ist die charakteristische Gleichung des Regelkreises (vgl. (11)) G 0 (p) = 1, (21) wobei die Übertragungsfunktion des offenen Kreises folgende Form aufweist: m (p n µ ) µ=1 G 0 (p) = k n (p p ν ) ν=1 = k Z 0(p) N 0 (p) mit k > 0, m < n, n µ p ν (22) Die n µ sind also die Nullstellen (Wurzeln) und die p ν die Pole des offenen Kreises. Durch Einsetzen von (56) in (21) erhält man die charakteristische Gleichung in der Form 0 = kz 0 (p) + N 0 (p). (23) Für jeden festen Wert von k ist (23) eine algebraische Gleichung n-ten Grades. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat sie genau n Wurzeln. D 9

10 Faßt man nun k als Parameter auf und variiert k von 0 bis +, so beschreiben die n Wurzeln von (23), die zugleich die Pole des geschlossenen Kreises sind, Bahnen in der p-ebene. Deren Gesamtheit bezeichnet man als die Wurzelortskurve (WOK) des Regelkreises. Da die Übertragungsfunktion G 0 (p) eine komplexe Funktion ist, d. h. G 0 (p) = G 0 (p) e j G 0 (p), kann man (21) auch durch ein Gleichungspaar für Betrag und Winkel ausdrücken: k Z 0(p) N 0 (p) = 1 (24) e j ( k Z 0 (p) N 0 (p) ) = 1 ( k Z ) 0(p) = (2i + 1)π, i = 0, ±1, ±2,... (25) N 0 (p) Mit (56) läßt sich dies auch schreiben als k m µ=1 n ν=1 p n µ p p ν = 1 (26) m µ=1 n (p n µ ) (p p ν ) = (2i + 1)π mit i = 0, ±1, ±2,... (27) ν=1 denn (k) ist Null, da k positiv ist. Somit ist zur obigen Definition der WOK gleichbedeutend, daß die WOK aus allen Punkten p besteht, die für k von 0 bis + die Betrags- (26) und Winkel- bzw. Phasengleichung (27) erfüllen. Das Auftragen der WOK wäre sehr mühsam, wenn sie nicht einige sehr prägnante geometrische Eigenschaften hätte, die man in der Literatur zu Regeln (siehe Anhang A.1) zusammengefaßt hat. Für viele Anwendungen reicht das Skizzieren der WOK mit Hilfe dieser Regeln aus; für höhere Genauigkeit kann man auf Rechner zurückgreifen. Hierzu existieren einige Programmpakete, von denen eines in diesem Versuch vorgestellt und benutzt wird. Die Regeln zum Skizzieren einer WOK werden im folgenden Kapitel anhand eines Beispieles angewandt und erläutert. 3.3 Beispiel Gegeben sei folgende Übertragungsfunktion einer Strecke: G S (p) = Z(p) N(p) = 1 (p + 6)(p + 2)(p 1) (28) D 10

11 x(t) - k G (p) S y(t) Bild 2: Blockschaltbild des geschlossenen Regelkreises Fügt man ein einfaches Proportionalglied mit der Verstärkung k, also einem P-Regler, zu der Strecke hinzu (siehe Bild 2), so lautet die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises: G(p) = Y (p) X(p) = Für das Nennerpolynom von G(p) ergibt sich k G S(p) 1 + k G S (p). (29) N(p) = 1 + k ZS(p) N S (p) (30) Zur Berechnung der Polstellen des geschlossenen Kreises wird das Nennerpolynom zu Null gesetzt: N(p) = 0 = 0 = k Z S (p) + N S (p) (31) Aus dem Vergleich (31) mit (23) ist die Übereinstimmung mit der charakteristischen Gleichung, die Grundlage für die Konstruktion der WOK ist, einsichtig. Mit (31) wird auch der Ursprung des Parameters k in der charakteristischen Gleichung des Regelkreises deutlich. Im folgenden wird die WOK dieses Regelkreises (mit dem Parameter Verstärkung k) skizziert. Anhand dieses Beispieles werden einige grundlegende Zusammenhänge zwischen der WOK und dem Verhalten des Regelkreises in Zeitbereich erarbeitet. Mit den Regeln für die Konstruktion von Wurzelortskurven aus dem Anhang A.1 ergeben sich folgende tabellarisch zusammengefasste Konstruktionshilfen für das Skizzieren der WOK (ausführlich gerechnete Beispiele zur Konstruktion von WOKs finden Sie in [2] : 1 Symmetrie Die WOK ist symmetrisch zur reellen Achse. 2 Nullstellen, Pole Die 3 Äste der WOK beginnen für k = 0 in den Polen des offenen Kreises (p 1 = 1, p 2 = 2, p 3 = 6) und enden für k = in den Nullstellen des offenen Kreises (keine vorhanden). Die 3 Äste der WOK streben also ins Unendliche. 3 Ein- und Austritts- Die WOK verläßt die Pole unter den Winkeln winkel 4 Lage auf der reellen Achse β 1 = π, β 2 = 0, β 3 = π. Folgende Abschnitte auf der reellen Achse gehören zur WOK: δ < 6 2 δ 1 D 11

12 5 Asymptoten Die Asymptoten der ins Unendliche strebenden Wurzelortsäste schneiden sich sämtlich im Wurzelschwerpunkt δ W = 7. Die 3 Anstiegswinkel der Asymptoten zur reellen Achse der WOK sind: ϕ 1 = 1π, ϕ 3 2 = π, ϕ 3 = 5π 3 6 Verzweigung auf Der Verzweigungspunkt der WOK hat den Wert der reellen Achse p V = , Summe der Realteile Die Summe der Realteile aller Wurzelorte p(k) ist konstant. 8 Potential-Analogie Die Wurzeläste von p 1 und p 2 verlaufen in der Nähe der reellen 9 Schnittpunkte mit der imaginären Achse Achse konvex zu dem benachbarten Pol p 3. Die Schnittpunkte der WOK mit der imaginären Achse und die zu ihnen gehörigen Parameterwerte k sind: ω 1 = 0, k 1 = 12 ω 2 = 2, k 2 = 40 In Bild 3 ist die Wurzelortskurve des geschlossenen Regelkreises dargestellt. Die Pole werden üblicherweise durch und die Nullstellen durch gekennzeichnet. Im 10 8 Asymptoten A i A A W 2 p V p 3 p 2 p A Bild 3: WOK des geschlossenen Regelkreises Re Links neben dem Pol p 2 befindet sich der Wurzelschwerpunkt δ W, in dem die drei Asymptoten der ins Unendliche strebenden Wurzelortsäste zusammenlaufen. Die WOK beginnt für k = 0 in den eingezeichneten Polen des offenen Regelkreises. Für größer werdende k bewegen sich die Pole p 1 und p 2 längs der WOK aufeinander zu. Der Pol p 3 wandert für steigende k nach links. Zunächst ist das System instabil, da der Pol p 1 rechts der imaginären Achse längs der WOK läuft. Nach Überschreiten von k = 12 wird das System stabil, da sich D 12

13 nun alle Pole links der imaginären Achse befinden. Im Verzweigungspunkt p V sind die Pole p 1 und p 2 identisch, d. h. sie bilden eine zweifache Polstelle. Bei weiterer Erhöhung von k werden die Pole p 1 und p 2 komplex. Mit dem Erreichen bzw. Überschreiten von k = 40 wird das System wieder instabil, da die komplexen Pole p 1 und p 2 dann auf bzw. rechts der imaginären Achse liegen. Der stabile Bereich für 12 < k < 40 soll etwas genauer betrachtet werden. Dabei wird zunächst vorausgesetzt, daß alle drei Pole reell sind. Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung wird die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises umgeformt: G 0 (p) = 1 (p α)(p β)(p γ) = A (p α) + B (p β) + C (p γ). (32) Durch die Rücktransformation ergibt sich die Impulsantwort zu g(t) = A e α t + B e β t + C e γ t (33) und die Sprungantwort erhält man durch Integration der Impulsantwort h(t) = A α eα t + B β eβ t + C γ eγ t = c + Ã eα t + B e β t + C e γ t (34) mit c als Integrationskonstante. Die Sprungantwort h(t) ist somit eine Linearkombination (additive Überlagerung) dreier Exponentialfunktionen. Im stabilen Fall müssen alle drei Pole einen negativen Realteil haben, d. h. α, β und γ sind negativ, so daß die Exponentialfunktionen abklingen. Die Exponentialfunktion mit dem größten Parameter α, β oder γ beeinflußt das Systemverhalten für große Zeiten am nachhaltigsten, d.h. diese Exponentialfunktion ist dominant. Da die Parameter der Exponentialfunktionen den Polen der Übertragungsfunktion entsprechen, ist damit der Pol, der am nächsten zur imaginären Achse gelegen ist, der dominante Pol. Für den Fall, daß der Pol p 3 reell ist und die Pole p 1 und p 2 komplex sind, ergibt sich nach der Partialbruchzerlegung für die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises G 0 (p) = = 1 (p δ 1 ) (p (δ 2 ± j ω)) 2 = 1 (p δ 1 ) [ (p δ 2 ) 2 ] (35) + ω 2 A (p δ 1 ) + Bp + C (p δ 2 ) 2 + ω. (36) 2 Die Rücktransformation liefert die Impulsantwort zu g(t) = A e δ 1 t + B sin (ωt + ϕ), (37) D 13

14 und die Sprungantwort lautet schließlich h(t) = c + Ã eδ 1 t + e δ 2 t C sin (ωt + ϕ) (38) mit c als Integrationskonstante. Die Sprungantwort h(t) ist somit eine Linearkombination einer abklingenden Exponentialfunktion und einer Schwingung mit abklingender Amplitude. Der Imaginärteil ω des konjugiert komplexen Polpaares bewirkt, daß in der Systemantwort eine Schwingung auftritt. Je größer der Imaginärteil ω ist, desto größer ist die Schwingungsfrequenz in der Systemantwort. Die Dämpfung der Schwingungsamplitude ist im wesentlichen durch den Realteil des Polpaares δ 2 festgelegt. Ebenso wie im zuvor betrachteten Fall, beeinflußt für große Zeiten der Pol mit dem größten Realteil das System am nachhaltigsten, siehe hierzu auch den Abschnitt 3.4. Bild 4: Sprungantworten bei drei verschiedenen Verstärkungen In Bild 4 sind Sprungantworten für drei Verstärkungen aus dem stabilen Bereich (12 < k < 40) dargestellt. Die Regeldifferenz, also die Abweichung von dem vorgegebenen Sprung, wird mit zunehmender Verstärkung k kleiner. Gegenläufig zu diesem gewünschten Effekt tritt jedoch eine überlagerte Schwingung auf. Je größer k wird (innerhalb des stabilen Bereichs), desto näher rückt das konjugiert komplexe Polpaar an die imaginäre Achse, d. h. der Realteil wird kleiner, womit die Dämpfung der Schwingungsamplitude kleiner wird. Das System braucht also mit zunehmender Verstärkung länger, bis es den stationären Endwert erreicht. 3.4 Dominante Pole Da für die Dynamik des Regelkreises die Pole erheblich wichtiger als die Nullstellen sind und für das Stabilitätsverhalten sogar allein entscheidend, kann die Betrachtung vereinfacht D 14

15 werden. Zudem sind nicht alle Pole gleich wichtig, sondern einige, die dominanten Pole (große Zeitkonstanten), sind ausschlaggebend für das Zeitverhalten. Somit kann man sich bei vielen Untersuchungen auf die dominanten Pole beschränken. In der Praxis kann für Eingrößensysteme (Regelkreis mit einer Ein- und einer Ausgangsgröße) folgende Faustregel [1] formuliert werden: Sofern unter den Polen des geschlossenen Kreises keine zu dicht beieinander gelegenen Paare ( Fast-Mehrfach-Pole ) auftreten, kann man die nahe beim Ursprung der komplexen Ebene gelegene Pol-Nullstellen-Konfiguration als maßgebend für die Dynamik des Regelkreises ansehen. Liegen darin ein Pol und eine Nullstelle dicht zusammen (fast kompensierbar), ist also ihr Abstand klein im Vergleich zu den Abständen von den anderen Polen und Nullstellen, so kann man dieses Pol-Nullstellen-Paar streichen. 4 Regelung einer magnetischen Aufhängung 4.1 Überblick Magnetische Aufhängungen werden in verschiedenen Bereichen eingesetzt. Es ist z.b. sinnvoll bei höchsten Drehzahlen oder bei extremen Ansprüchen an geringe Lagerreibung, magnetische Lager zu benutzen. Auch das Trag- und Führsystem einer Magnetschwebebahn arbeitet nach dem elektromagnetischen Schwebeprinzip. Die Wirkungsweise ist vergleichbar mit einem konventionell geregeltem Elektromagneten. Wird der Strom eingeschaltet, ziehen magnetische Kräfte das Fahrzeug von unten an den Fahrweg heran. Bevor das Fahrzeug die Schienen berührt, wird der Strom abgeschaltet, das Fahrzeug beginnt zu sinken. Ein erneutes Anschalten des Stroms lässt es wieder steigen. Da sich die Magnetkraft mit wechselndem Abstand zwischen Magnet und Schiene verändert, stellt ein Regelsystem die Magnetkraft über den Strom des Magneten so ein, dass das Fahrzeug stets ruhig in einem konstanten Abstand von ca. 10mm zu seinem Fahrweg schwebt. 4.2 Beschreibung des Versuchsaufbaus Die Blechkugel schattet durch ihre Querschnittsfläche, je nach Lage, einen kleineren oder größeren Bereich des CCD-Zeilensensors ab. Ein Mikrocontroller wertet diesen schwankenden Bereich aus und wandelt ihn in ein elektrisches Signal um, welches als Lageinformation der Kugel dient. Ein Regler steuert den Strom des Elektromagneten, der durch sein elektrisches Feld die Blechkugel im Schwebezustand hält. Der Rahmen des Versuchsaufbaus besteht aus Aluprofilschienen. Diese ermöglichen die einfache und flexible Befestigung des Elektromagneten, des Zeilensensors und der Beleuchtungseinheit. Die Konstruktion der Sensorhalterung gewährt die genaue Justierung der optischen Achse in der horizontalen Ebene. Im 19 Gehäuse sind die Spannungsversorgung, ein D 15

16 Magnet Zeilensensor Beleuchtung Kugel Analoger PID-Regler P I D +24 Ready Error Sollwert Bild 5: Skizze des Versuchsaufbaus Servoverstärker und eine Platine zur Auswertung der elektischen Signale untergebracht. Für die digitale Regelung über einen echtzeitfähigen Regler verfügt die Platine über einen externen Reglereingang. Auf der Platine befindet sich zusätzlich ein analoger PID-Regler, dessen Parameter sich auf der Frontplatte des Gehäuses über Potentiometer einstellen lassen. 4.3 Beschreibung der Einzelkomponenten des Versuchsaufbaus Der Zeilensensor ist ein optischer Sensor zum berührungslosen Messen bewegter Teile. Befindet sich ein Objekt zwischen Lichtquelle und Sensor, so schattet dieses ein Teil der CCD- Zeile ab und erscheint für den Sensor dunkel vor hellem Hintergrund. Ein intergrierter Mikrocontroller sucht im Zeilenbild des CCD-Chips nach Hell/Dunkel-Übergängen und wertet diese als Kanten des Objektes aus. Das Meßergebnis steht am analogen Stromausgang für weitere Auswertung zur Verfügung. Als Lichtquelle wird eine diffuse infrarot Zeilenbeleuchtung verwendet in der mehrere LEDs räumlich gleichvertreilt angerordnet sind. Beim Magneten handelt es sich um einen M-förmigen Eisenkern, um dessen Steg die Spule gewickelt ist. Die Spule besteht aus 1 mm Kupferdraht und hat ca. 225 Windungen. Der Magnet wird im Betrieb mit einem Strom von ca. 1.3 A angesteuert. Die Kugel ist aus Blech gefertigt D 16

17 und innen hohl. Sie hat einen Durchmesser von 120mm und ein Gewicht von 102g. Zur Kopplung der elektrischen Signale wird eine Platine eingesetzt. Die folgende Skizze zeigt den schematischen Aufbau der Platine: Bild 6: Platine PID-Regler Die Platine ist mit einem Schalter versehen, der sich auf der Frontplatte des 19 Gehäuses befindet, mit dem man zwischen der analogen internen Regelung und der digitalen externen Regelung umschalten kann. Das Stromsignal der Kamera wird über eine Kompensationsschaltung und eine Operationsverstärkerschaltung in ein Spannungssignal im Bereich von Volt gewandelt. Dieses Spannungssignal wird invertiert und dient als Lageinformation der Kugel für die externe Regelung. Der Bereich wurde so gewählt, um den Ansteuerbereich des Signalprozessors von ± 10 Volt völlig auszunutzen. Bei der internen Regelung wird dem Spannungssignal ein Sollwert (Führungsgröße) überlagert, der über einen Potentiometer eingestellt werden kann. Ein weiterer Operationsverstärker bildet aus der Lageinformation der Kugel und dem Sollwert, die Regeldifferenz e, die an den analogen PID-Regler weitergeleitet wird. Die Parameter des Reglers lassen sich ebenfalls über Potentiometer einstellen. Die Reglerausgangsgröße ist mit dem Servoverstärker verbunden, wenn der Schalter auf intern gestellt ist. Andernfalls wird der Servo extern über den Reglereingang angesprochen. Der Servoverstärker dient zur Ansteuerung des Magneten. Dieser arbeitet als spannungsgesteuerte Stromquelle. Bei der digitalen Regelung ist an seinem Eingang die Ausgangspannung des Signalprozessors, welche im Bereich von 0...±10V liegt, angeschlossen. Um das Magnetfeld beeinflussen zu können, muss die Spannung in einen entsprechenden Strom gewandelt werden. Für die exakte Umwandlung der Steuerspannung verfügt der Servo über einen unterlagerten Stromregelkreis. Der Servoverstärker stellt für Überwachungszwecke einen Strommonitor zur Verfügung. Das Signal wird über das dspace Controller Board an den PC weitergeleitet und visuallisiert, so dass dieser jederzeit über den aktuellen Strom-Istwert informiert wird. D 17

18 Bild 7: Steuerung des Magneten Abbildung 8 zeigt den allgemeinen Wirkungsplan für einschleifige Regelkreise. Anhand eines technischen Prozesses wird der Aufbau und die Wirkungsweise eines einschleifigen Regelkreises näher beschrieben. Bild 8: Wirkungsplan für einschleifige Regelkreise w: Führungsgröße e: Regeldifferenz u: Reglerausgangsgröße y: Stellgröße x: Regelgröße r: Rückführgröße Der durch die Regelung zu beeinflussende Teil eines technischen Systems oder technischen Prozesses wird als Strecke bezeichnet. Seine Ausgangsgröße ist die Regelgröße x, die von der Messeinrichtung erfasst und in die Rückführgröße r umgeformt wird. D 18

19 Die Rückführgröße r wird mit der Führungsgröße w im Vergleichsglied verglichen, das die Regeldifferenz e liefert. Für prinzipielle Überlegungen wird für den Vergleich, ohne Berücksichtigung der Messeinrichtung, in der Regel e = w x angesetzt. Bei analogen Regelungen wird das Vergleichsglied zusammen mit dem Regelglied in einem elektronischen Operationsverstärker verwirklicht. Vergleichsglied und Regelglied bilden zusammen den eigentlichen Regler. Die Reglerausgangsgröße u ist zugleich die Eingangsgröße der Stelleinrichtung. Diese ist in den Steller und das Stellglied unterteilt. Das Stellglied ist die Funktionseinheit am Eingang der Strecke. Bei verfahrenstechnischen Prozessen sind die Stellglieder meistens Stellventile und bei energietechnischen Prozessen sind es Stelltransformatoren oder Halbleiter-Stellglieder. Der Steller stellt die zur Ansteuerung des Stellgliedes erforderliche Leistung zur Verfügung und sorgt ausserdem für die Anpassung der unterschiedlichen physikalischen Dimensionen von Reglerausgangsgröße (z.b. elektrische Spannung) und Stellgröße (z.b. mechanischer Ventilhub). Bei Halbleiter Stellgliedern ist meistens kein Steller erforderlich. Das Stellglied wird zur Strecke gerechnet, wie es auch in Abbildung 9 dargestellt ist. Seine Eingangsgröße ist die Stellgröße y, mit der die Regelgröße beeinflusst wird. Mit der Rückführung der Regelgröße über die Messeinrichtung ist der Regelkreis geschlossen. Betrachtet man nun den Wirkungsplan der einzelnen Komponenten des Versuchsaufbaus ergibt sich folgende Abbildung: Bild 9: Wirkungsplan für den Versuchsaufbau D 19

20 w: Führungsgröße Wird bei analoger Regelung durch einen Sollwertpotentiometer am 19 Gehäuse eingestellt. Bei digitaler Regelung erfolg die Vorgabe durch den Benutzer und wird mit dem Signalprozessorsystem erzeugt. e: Regeldifferenz Wird vom Signalprozessorsystem geliefert. u: Reglerausgangsgröße Wird vom Signalprozessor berechnet und am dspace Controller- Board als Spannungssignal ausgegeben. y: Stellgröße Spannungssignal vom Controller-Board wird vom Servoverstärker in einen Steuerstrom umgewandelt, mit dem der Magnet gespeist wird. x: Regelgröße aktuelle Position der Kugel. r: Rückführgröße Strom des Zeilensensors. Bei interner Regelung wird das Regelglied durch den analogen PID-Regler realisiert. Bei der Auswahl externer Regelung stellt das Signalprozessorsystem das Regelglied dar. Die Stelleinrichtung dient zur Steuerung des Magneten und wird vom Servoverstärker dargestellt. Dieser ist eine spannungsgesteuerte Stromquelle. Für die exakte Umwandlung der Steuerspannung, in diesem Fall der Reglerausgangsgröße u, verfügt der Servo über einen unterlagerten Stromregelkreis. Bei dem unterlagerten Stromregelkreis wird aus der Reglerausgangsgröße u und der gemessen Strominformation i die Regeldifferenz e i gebildet. Die Regeleinrichtung des Servos erzeugt aus der Regeldifferenz e i = u i die Stellgröße u i des Verstärkers, welcher das Leistungsniveau erhöht und die Steuerspannung in einen entsprechenden Strom wandelt. Als unterlagerter Stromregler wird ein P-Regler verwendet. Die Strecke ist das Magnet-Kugel-System. Die Messeinrichtung wird durch den Zeilensensor und die Beleuchtungseinheit dargestellt. Durch den Zeilensensor wird je nach Position der Kugel ein bestimmter Ausgangswert geliefert. Das Folgende ergibt einen geschlossenen Regelkreis: Die Regelgröße x (aktuelle Postition der Kugel) wird von dem Zeilensensor erfasst und in die Rückführgröße r (Spannung) umgeformt. Die Regeldifferenz e wird durch den Vergleich zwischen Rückführgröße r und der Führungsgröße w gebildet. Bei externer Regelung wird das Vergleichsglied durch den Signalprozessor dargestellt. Bei interner Regelung wird das Vergleichsglied durch eine Operationsverstärkerschaltung realisiert. Die Reglerausgangsgröße u (entweder das Spannungssignal vom Signalprozessorsystem oder die Ausgangspannung vom analogen PID-Regler) wird auf die Stelleinrichtung gegeben. Diese beeinflusst das Magnetfeld und damit die aktuelle Position der Kugel. 4.4 Differentialgleichung und Übertragungsfunktion des Magnet- Kugel-Systems Bild 10 zeigt das Modell einer magnetischen Aufhängung in vertikaler Richtung. Für die Herleitung der Differentialgleichung sollen zunächst die an der Kugel angreifenden Kräfte betrachtet werden. Die Stärke des Magnetfeldes hängt vom Spulenstrom ab und die durch das Magnetfeld auf die Kugel wirkende Kraft F m verändert sich mit dem Abstand der Kugel zum Magnet. Hieraus folgt eine Beziehung zwischen der Position der Kugel und dem D 20

21 Bild 10: Kräfte an der Kugel Spulenstrom. Die Bewegungsgleichung lautet: F a = F m + F g = ma = mẍ (39) Um die Magnetkraft zu berechen wird die Maxwellsche Zugkraftformel angewendet. Sie gilt wenn das Magnetfeld über der Grenzfläche A homogen ist und senkrecht zu ihr steht. Dies ist in unserem Fall näherungsweise gegeben. F m = B2 A = (µh)2 A = µ 0µ 2 rh 2 A 2µ 0 2µ 0 2 (40) Die Feldstärke in der Luft berechnet sich durch: H L = wi l E µ r + 2x (41) D 21

22 w: Windungszahl der Spule l L : Feldlinienlänge in der Luft l E : Feldlinienlänge im Eisen eingesetzt in die Maxwellsche Zugkraftformel Gl.40 ist eine Beziehung zwischen der Magnetkraft, dem Spulenstrom, und dem Abstand von der Kugel zum Magneten hergestellt: F m = µ 0A(wI) 2 8( l E 2µr + x) 2 (42) Die Differentialgleichung ergibt sich daher zu: a = ẍ = g µ 0Aw 2 I 2 8m( l E 2µr + x) 2 (43) Die Beschleunigung ist in unserem Fall abhängig vom Spulenstrom I und vom Abstand der Kugel zur Spule x. = das Magnet-Kugel System ist nichtlinear. Um einen linearen Regler entwerfen zu können, muss das System linearisiert werden. Als stationären Arbeitspunkt betrachten wir die Sollage x 0 der Kugel. Die Differentialgleichung wird in eine Taylorreihe entwickelt, welche nach dem Polynom ersten Grades abgebrochen wird. Die linearisierte Differentialgleichung hat folgende Form: ẍ = 2µ 0Aw 2 I 0 8m( l E 2µr + x 0 ) I + 2µ 0Aw2I m( l x (44) E 2µr + x 0 ) 3 Zur Vereinfachung werden die Konstanten A und B eingeführt: A = B = µ 0 Aw 2 I 0 4m( l E 2µr + x 0 ) 2 (45) µ 0 Aw 2 I0 2 4m( l E 2µr + x 0 ) 3 (46) Daraus folgt für die linearisierte Bewegungsgleichung: ẍ = AI + Bx (47) Aus Gl.(47) ergibt sich nach der Laplace-Transformation die Übertragungsfunktion des Magnet-Kugel Systems zu: G MK (s) = X(s) I(s) = A s 2 B (48) D 22

23 Das System ist genau dann stabil, wenn alle Pole der Übertragungsfunktion negative Realteile haben. Die Untersuchung der Polstellengleichung s 2 B = 0 führt zu den Polen: s 1,2 = ± B = ± µ 0Aw 2 I0 2 4m( l E 2µr + x) 3 = Das Magnet-Kugel System ist instabil 4.5 Berechnung der Systemparameter Nun müssen noch die Konstanten A und B ermittelt werden, dafür werden die verwendeten Konstanten in die Gleichungen 45 und 46 eingesetzt: x 0 = 0.01m: Solllage der Kugel I 0 = 1.3A: Stromstärke in Solllage µ 0 = : Magnetische Feldkonstante µ r 4000: Permeabilität des Eisens l E = 0.185m: Feldlinienlänge im Eisen w = 225: Windungszahl m = 102g: Masse der Kugel A = m 2 Durchflutete Fläche somit ergibt sich für die Konstante A im Arbeitspunkt: A = N A m A kg ( 0.185m m)2 = V s kg m (49) desweiteren gilt für die Konstante B im Arbeitspunkt: B = N A m (1.3A) kg ( 0.185m m)3 = s 2 (50) Durch Einsetzen der Systemparameter in die Übertragungsfunktion 48 ergibt sich: G Mk (s) = = V sec ( kg m V sec A kg m s sec 2 ) m A sec 2 s 2 (51) = m A ( sec s)( sec s) (52) D 23

24 4.6 Modell des Servoverstärkers Der Servoverstärker wandelt die Steuerspannung des Reglers in einen Strom um und beeinflusst somit das Magnetfeld in der Spule. Da der Servoverstärker eine interne Regelung hat, also kein lineares Verhalten aufweist, wurde sein Verhalten experimentell bestimmt. Dabei wurde klar, dass er mittels eines weiteren P T 2 -Gliedes modelliert werden kann. Für die Übertragungsfunktion gilt: G Servo (s) = 1 w 2 0 k s s 2 + 2d w 0 s + 1 = 0.2 A V sec 2 s sec s + 1 (53) 5 Versuchsvorbereitung Hinweis: Aufgabe 1 und 2 sind schriftlich vorzubereiten! Zur Regelung der instabilen Strecke wird ein PD-Regler gewählt, der in realisierbarer Form folgende Übertragungsfunktion hat: G R (s) = K R(1 + T D s) 1 + T 2 s. (54) 5.1 Aufgabe 1 a) Berechnen Sie mit Hilfe der im Anhang A.1 gegebenen Regeln für die Konstruktion von Wurzelortskurven die erforderlichen Konstruktionsmerkmale der Übertragungsfunktion der Strecke G MK (s) (52) mit dem PD-Regler G R (s) (54), und skizzieren Sie anschließend die WOK dieses Regelkreises. Hinweis: Kompensieren Sie den dominanten Pol der Strecke durch die Nullstelle des Reglers. Beachten Sie dabei die Regel, daß Pole, die auf bzw. rechts der imaginären Achse liegen, nicht durch Nullstellen kompensiert werden dürfen. Für die Nennerzeitkonstante des Reglers wird ein kleiner Wert gewählt: T 2 = 0, 1 T 1. b) Wie würde sich eine Verschiebung der Nullstelle um ±30% (z.b. durch Parameterabweichungen) gegenüber dem dominanten Pol auf den Verlauf der WOK auswirken? Verändert sich die WOK stark? Wird der Regler unbrauchbar? 5.2 Aufgabe 2 Nun wird der Einfluss des Servoverstärkers berücksichtigt, d.h. die Strecke enthält ein zusätzliches P T 2 -Glied. D 24

25 a) Berechnen Sie mittels des Hurwitz-Kriteriums ein Werteintervall für K R so, daß der geschlossene Kreis stabil wird (Kompensation wie in Aufgabe 1a). 6 Versuchsdurchführung Die nächsten Aufgaben sind nicht vorzubereiten, sie werden gemeinsam während des Praktikumversuches bearbeitet! 6.1 Aufgabe 3 Machen sie sich mit der Bedienung der einfachsten Funktionen von MATLAB / SIMULINK vertraut, indem Sie die Kurzanleitung aus dem Anhang A.2 durcharbeiten. Öffnen sie außerdem die Datei init.m und machen sie sich mit ihrem Aufbau vertraut. a) Überprüfen Sie Ihre per Hand gezeichnete Wurzelortskurve aus Aufgabe 1a) mit dem vordefinierten Befehl rlocus der CONTROL Toolbox. Bestimmen Sie anschliessend drei geeignet erscheinende Werte der Kreisverstärkung k mit dem interaktiven Unterprogramm rlocfind. b) Starten Sie nun die Simulationssoftware SIMULINK durch Eingabe des Befehls simulink im Command-Window. Öffnen Sie das Simulationsmodell Simulation1a.mdl und bauen Sie den Regelkreis aus Aufgabe 1a) auf. Führen Sie Simulationen durch, und nehmen Sie Sprungantworten für verschiedene Werte k auf. Visualisieren Sie das Ergebnis mit Hilfe von plot. c) Um die Bearbeitung der Aufgaben zu erleichtern und die Durchführung komfortabler zu gestalten, sind die wiederkehrenden Befehle und Eingaben in M-Files zusammengefaßt. Öffnen Sie mit dem MATLAB-Editor das M-File Aufgabe3c, und machen Sie sich mit dessen Funktion vertraut. Führen Sie nacheinander die Dateien Aufgabe3c.m und plot3ks1.m aus. d) Bearbeiten Sie Aufgaben 1b) mit Hilfe des M-Files Aufgabe3d.m. 6.2 Aufgabe 4 a) Überprüfen Sie das Ergebnis Ihrer Berechnung des Werteintervalls für K R mit Hilfe von Aufgabe4a.m. b) Zeichnen Sie die WOK mit Aufgabe4b.m. D 25

26 6.3 Aufgabe 5 Um eine bleibende Regelabweichung zu vermeiden, wählt man nun einen PID-Regler. Dieser hat in der idealen Form folgende Übertragungsfunktion: G R2 (p) = K R2 (1 + T R1 p)(1 + T R2 p) p. (55) a) Um die Reglerparameter zu bestimmen, zeichnen Sie zunächst alle Pole des Regelkreises in die komplexe Ebene ein. Überlegen Sie nun, insbesondere mit Hilfe der Regeln 4, 5 und 8, wo die Nullstellen des Reglers plaziert werden müssen, um eine Stabilisierung der Strecke zu erreichen. b) Kompensieren Sie mit einer Reglernullstelle den dominanten Pol der Strecke. Platzieren Sie die andere Nullstelle des Reglers so, daß die Überschwingweite der Sprungantwort minimal wird. Wählen Sie dabei die Kreisverstärkung k geschickt. c) Warum ist die Stabilisierung durch einen PID-Regler schwieriger als mit einem PD- Regler? D 26

27 A Anhang A.1 Regeln für die Konstruktion von Wurzelortskurven (WOK) Ausgangspunkt ist die Übertragungsfunktion des offenen Kreises mit folgender Form: m (p n µ ) µ=1 G 0 (p) = k n (p p ν ) ν=1 = k Z 0(p) N 0 (p) mit k > 0, m < n, n µ p ν (56) Die Übertragungsfunktion hat also m Nullstellen (Wurzeln) n µ und n Pole p ν. 1 Symmetrie Die WOK ist symmetrisch zur reellen Achse. 2 Nullstellen, Pole Die n Äste der WOK beginnen für k = 0 in den Polen des offenen Kreises. Sie enden für k = in den Nullstellen des offenen Kreises, wobei p = als (n m)-fache Nullstelle von G 0 (p) aufzufassen ist. n m Äste der WOK streben also ins Unendliche. 3 Ein- und Austrittswinkel 4 Lage auf der reellen Achse Verbindet man den betrachteten Pol p ν bzw. die betrachtete Nullstelle n µ mit den anderen Polen (Nullstellen) über eine Gerade, so schließen diese Geraden den Winkel β j (α i ) mit der reellen Achse ein. Damit verläßt die WOK einen Pol p ν unter dem Winkel m β ν = π + α i i=1 n β j j=1 j ν zur reellen Achse. Die WOK mündet in eine Nullstelle n ν unter dem Winkel α ν = π m n α i + β j. j=1 i=1 i ν Jeder Teil der reellen Achse, auf dessen rechter Seite die Summe der Pole und Nullstellen, die auf dieser Achse liegen, ungerade ist, stellt einen Wurzelort dar. Jeder Pol bzw. jede Nullstelle wird dabei so oft gezählt, wie seine bzw. ihre Ordnung beträgt. 5 Asymptoten Die Asymptoten der ins Unendliche strebenden Wurzelortsäste schneiden sich sämtlich in einem Punkt der reellen Achse, dem Wurzelschwerpunkt. Seine Abszisse ist: δ W = mµ=1 Re(n µ ) n ν=1 Re(p ν ) m n Die Anstiegswinkel der Asymptoten zur reellen Achse der WOK sind: π ϕ i = (2i + 1) mit i = 0, 1, 2..., n m 1 n m D 27

28 6 Verzweigung auf der reellen Achse Die (von den Nullstellen und Polen des offenen Kreises verschiedenen) Verzweigungspunkte p V der WOK erhält man aus der Gleichung: m µ=1 1 p V n µ n ν=1 1 p V p ν = 0 7 Summe der Realteile Für n m 2 ist die Summe der Realteile aller Wurzelorte p(k) konstant. Dadurch wird die Skalierung mit k besonders einfach. 8 Potential-Analogie Die WOK verläuft in der Nähe der reellen Achse konkav zu benachbarten Nullstellen und konvex zu benachbarten Polen von G 0 (p). 9 Schnittpunkte mit Die Schnittpunkte der WOK mit der imaginären Achse und die der imaginären zu ihnen gehörigen Parameterwerte k erhält man aus der komplexen Achse Gleichung kz 0 (jω) + N 0 (jω) = 0 durch Auflösen nach k und ω. A.2 Hinweise zur Bedienung des Programmpakets MATLAB und der Toolbox SIMULINK und CONTROL A.2.1 Was ist MATLAB? Der Name MATLAB steht für matrix laboratory. Es ist ein komplexes Werkzeug für numerische Berechnungen und Visualisierungen. Im universitären Bereich hat es sich in den letzten Jahren zu einem Standard entwickelt. Ursprünglich wurde MATLAB geschaffen, um den Zugang zu Programmbibliotheken wie LINPACK oder EISPACK zu erleichtern. Durch sein interaktives Konzept ermöglicht MATLAB viele Matrizenberechnungen, die früher nur durch Programmierung in C, FORTRAN usw. möglich waren. Bei dem jahrelangen Einsatz in Forschungslaboratorien und in der Industrie haben mittlerweile viele Anwender auf die weitere Entwicklung Einfluß genommen. Eine Toolbox stellt eine Sammlung von MATLAB-Routinen dar, die dem Anwender zusätzliche, speziell auf seine Bedürfnisse abgestimmte Befehle bereitstellen. Mittlerweile werden Signalverarbeitung, Systemidentifikation, neuronale Netze, Reglersynthese und die Simulation dynamischer Systeme unterstützt. Im Rahmen dieses Praktikums lernen Sie einige wenige Möglichkeiten der beiden letztgenannten Programmbibliotheken kennen. Es folgt eine Kurzbeschreibung der Befehle, die Sie für den Versuch brauchen. Das Aufbauen einer Strecke und die Durchführung einer Simulation mit der SIMULINK-Toolbox werden erklärt. D 28

29 A.2.2 Allgemeines Befehle Sequenz von Befehlen Variablen Vektoren geben Sie im MATLAB Command Fenster ein. Jede Anweisung wird mit dem Betätigen der Eingabetaste umgehend ausgeführt. Soll die auf einen Befehl folgende Ausgabe unterdrückt werden, so wird am Zeilenende ein Semikolon angefügt. Soll durch den Aufruf eines Befehls eine Folge von Befehlen ausgeführt werden, so erstellt man ein M-File. Mit dem Namen dieses M-Files wird dieses im Command Window aufgerufen und abgearbeitet. müssen initialisiert werden. Dies kann entweder durch eine Zuweisung im Befehlsfenster, oder durch Einbau eines To Workspace-Blocks mit dem entsprechenden Variablennamen in das Blockschaltbild geschehen. Großschreibung und Kleinschreibung werden dabei unterschieden. werden initialisiert wie einfache Variablen. Zur Unterscheidung wird der Vektor in eckigen Klammern übergeben. vek = [ ] definiert einen dreispaltigen Zeilenvektor vek mit den Komponenten 1, 2 und 3, die auch durch Kommata getrennt werden können. A.2.3 Einige wichtige Befehle A berechnet die transponierte Matrix von A. abs(x) berechnet den Betrag von x. conv(a,b) exist(a) figure help<befehl> Multipliziert zwei Polynome, dessen Koeffizienten durch den Vektor a bzw. b repräsentiert werden. überprüft, ob eine Variable A oder Datei A existiert. öffnet ein neues Bild (Graphik-Fenster) und liefert die nächste verfügbare Bildnummer, den Bildtitel, zurück. Der Bildtitel erscheint in der oberen Begrenzung des Graphik-Fensters. Durch Eingabe von figure(h) wird das Bild mit dem Titel h für nachfolgende plot-befehle zum aktuellen Bild. Falls ein Bild mit diesem Titel noch nicht existiert, wird es generiert. zeigt die online-hilfe zu dem angegebenen Befehl. D 29

30 Hold on Hold off sorgt dafür, daß der momentane Plot und alle Achseneigenschaften erhalten bleiben, so daß nachfolgende Graphik-Befehle zum existierenden Graph hinzugefügt werden. kehrt zu den Standardeinstellungen zurück, wobei plot-befehle frühere Plots löschen und alle Achseneigenschaften zurücksetzen, bevor neue Plots gezeichnet werden. isempty(a) liefert eine 1 zurück, wenn die Matrix A leer ist, sonst eine 0. length(h) plot(x,y) poly(r) real(z) roots(c) rlocus(z,n) rlocfind(z,n) sgrid [m,n]=size(a) liefert die Länge eines Vektors a zurück. trägt den Vektor y über dem Vektor x auf. Ist r ein Spaltenvektor, der die Wurzeln eines Polynoms beinhaltet, so liefert poly(r) einen Zeilenvektor, dessen Elemente die Koeffizienten des Polynoms sind. liefert den Realteil des Elements z zurück. Ist c ein Zeilenvektor, der die Koeffizienten eines Polynoms beinhaltet, so ist roots(c) ein Spaltenvektor, dessen Elemente die Wurzeln des Polynoms sind. berechnet und visualisiert die Wurzelortskurve. Z und N sind als Vektoren definiert und enthalten die Koeffizienten des Zähler- und Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion des offenen Kreises in absteigenden Potenzen von p. Z und N müssen die gleiche Dimension haben. berechnet die Kreisverstärkung k. Der Befehl funktioniert interaktiv. Man wählt mit dem Fadenkreuz den Punkt, dessen Kreisverstärkung man berechnen möchten. Anschließend werden alle zu diesem k gehörigen Pole markiert und mit [k, pole]=rlocfind(z,n) in pole zurückgegeben. Die Kreisverstärkung k in diesem Punkt wird in k zurückgegeben. legt über die p-ebene ein Raster mit konstanten Dämpfungen und Frequenzen. liefert die Dimension einer m n -Matrix zurück. sort(a) sortiert die Elemente des Vektors a. sqrt(x) berechnet die Quadratwurzel von x. D 30