Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5

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1 Grundegriffe der Informtik Aufgenltt 5 Mtr.nr.: Nchnme: Vornme: Tutorium: Nr. Nme des Tutors: Ausge: 20. Novemer 2013 Age: 29. Novemer 2013, 12:30 Uhr im GBI-Briefksten im Untergeschoss von Geäude Lösungen werden nur korrigiert, wenn sie rechtzeitig, in Ihrer eigenen Hndschrift, mit dieser Seite ls Deckltt und in der oeren linken Ecke zusmmengeheftet gegeen werden. Vom Tutor uszufüllen: erreichte Punkte Bltt 5: / 20 Blätter 1 5: / 92

2 Aufge 5.1 (2 Punkte) Der Aufu eines Aufgenlttes für GBI knn wie folgt skizziert werden: Ein Aufgenltt esteht us einem Deckltt und drn nschließend einer Aufge oder mehreren. Jede Aufge eginnt mit einer Einleitung gefolgt von entweder einer Aufgenstellung oder mindestens zwei Teilufgenstellung. Am Ende einer Aufgenstellung oder einer Teilufgenstellung wird mnchml ein Hinweis für die Lösung gegeen. Üersetzen Sie die oige Beschreiung der Grostruktur in Produktionen einer kontextfreien Grmmtik. Geen Sie itte uch Strtsymol und verwendete Nichtterminlsymole n. Hinweis: Sie müssen nicht mehr uszudrücken ls oen sizziert. Verwenden Sie der Einfchheit hler nur ein Terminlsymol üerll dort, wo Sie nicht weiter spezifizieren. Lösung 5.1 Als Grmmtik nehmen wir G = (N, {}, Aufgenltt, P). Dei ist N = { Aufgenltt, Deckltt, Aufgen, Aufge, Einleitung, Aufgentext, Aufgenstellung, Teilufgenstellung, Hinweis }. Die Produktionenmenge P = P 1 P 2 esteht us zwei Teilen: P 1 ={ Aufgenltt Deckltt Aufgen } Aufgen Aufge Aufgen Aufge Aufge Einleitung Aufgentext Aufgentext Aufgenstellung Hinweis Teilufgenstellung Hinweis MehrTeile MehrTeile Teilufgenstellung Hinweis Hinweis Hinweis Teilufgenstellung Hinweis MehrTeile P 2 enthlte genu die Produktionen X für jedes Nichtterminlsymol X, ds in P 1 nicht uf der linken Seite vorkommen.

3 Aufge 5.2 ( =9 Punkte) Beschreien Sie präzise, welche formlen Sprchen die folgenden Grmmtiken G 1, G 2 und G 3 erzeugen. ) G 1 = ({S, A, B}, {, }, S, {S A B, A S, B S}) ) G 2 = ({S}, {, }, S, {S SS S S }) c) G 3 = ({S}, {, }, S, {S S S }) d) Geen Sie ein Wort w der Länge 6, ds zwr nicht von G 3 erzeugt wird er von G 2, und geen Sie eine Aleitung mit G 2 des Wortes n. e) Erklären Sie für die Grmmtik us Teilufge ), wie mn zu einem elieigen Wort w L(G 2 ) eine Aleitung von w gemäß G 2 konstruieren knn. Lösung 5.2 ) L(G 1 ) = {} ) L(G 2 ) = {w N (w) = N (w)}. Ds ist die Sprche ller Wörter mit gleich vielen und. c) Die Grmmtik G 3 erzeugt die Sprche ller Wörter w, die folgende Eigenschft hen: Für lle i N 0 mit 0 i < w /2 ist w(i) = w(n 1 i), lso sozusgen ds i-te Symol von vorne und ds i-te Symol von hinten sind verschieden. d) S SS SS S S S e) (i) Mn geht ds zu erzeugende Wort von links nch rechts durch und zerteilt es in möglichst kurze er nichtleere Teilwörter, die gleich viele und enthlten. Beispiel: wird ufgeteilt in. Für jedes solche Teilwort gilt: erstes und letztes Symol sind verschieden. (ii) Wenn mn in Schritt (i) w in insgesmt k Teilwörter w 1,... w k ufgesplten ht, dnn ergit sich eine Aleitung gemäß G 2 wie folgt: Als erstes wendet mn k 1 ml die Produktion S SS n und erhält so S S k Aus dem i-ten Symol S leitet mn nun Teilwort w i. Als erstes wendet mn diejenige der Produktionen S S zw. S S, die erstes und letztes Symol von w i richtig erzeugen. Ds Infix von w i ohne erstes und letztes Symol ist wieder ein Wort mit gleichen vielen und, ds mn nlog nch dem een in (i) und (ii) eschrieenen Verfhren leitet. Aufge 5.3 (1+2+1=4 Punkte) ) Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik n, die die formle Sprche L = { k k+m m k, m N 0 } erzeugt.

4 ) Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik n, die die formle Sprche L = { k x c y m k, m, x, y N 0 k + m = x + y} erzeugt. c) Zeichnen Sie die Aleitungsäume der Wörter cc und c gemäß Ihrer Grmmtik us Teilufge ). Lösung 5.3 ) G 1 = ({S, A, B}, {, }, S, P) mit P = {S AB, A A, B B } ) G 2 = ({S, A, B, C, A, B, C }, {,, c}, S, P) mit P = {S AB, A A, B B C, C cc } {S A C, A A c B, B B, C cc } Die erste Teilmenge von Produktionen ist für Wörter mit k x. Die zweite Teilmenge für Wörter mit k > x; in dem Fll ist dnn y > m. c) Zeichnen Sie die Aleitungsäume der Wörter cc und c gemäß Ihrer Grmmtik us Teilufge ). S S A C A B A c c C A B B C B c C Aufge 5.4 (1+2+2=5 Punkte) Es seien A, B und C drei Mengen. ) Definieren Sie eine ijektive Aildung S : C A B ( C B) A. Hinweis: Definieren Sie zunächst für jede Aildung f : A B C und jedes A eine Aildung f : B C. ) Beweisen Sie, dss Ihre Aildung S us Teilufge ) injektiv ist. c) Beweisen Sie, dss Ihre Aildung S us Teilufge ) surjektiv ist. Lösung 5.4 ) Für jede Aildung f : A B C und jedes A sei f die Aildung f : B C : f (, ); lso f () = f (, ). Dnn ist S : C A B ( C B) A so definiert, dss S( f ) die Aildung f ist. Also S( f )() = f. ) Es seien f, g : A B C zwei Aildungen mit f = g. Dnn git es (, ) A B mit f (, ) = g(, ). Es ist lso f () = g (). Es seien f, g : A B C zwei Aildungen mit S( f ) = S(g). Dnn ist lso für lle A uch S( f )() = S(g)(), lso für lle uch f = g. Für lle A und lle B ist dher f () = g (), lso f (, ) = g(, ). Also ist f = g.

5 c) Es sei h (C B ) A. Mn muss zeigen, dss es ein f C A B git mit S( f ) = h. Mn definiere f so: A B : f (, ) = h()(). Zeige: S( f ) = h: Nch Definition von f ist für lle A gerde f die Aildung mit f () = h()(), lso f = h(), lso S( f )() = h(). Also ist S( f ) = h.

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