Einführung in die Integralrechnung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in die Integralrechnung"

Transkript

1 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung In der Differentilrechung estnd die ufge u drin, zu einer gegeenen Funktion f deren leitungsfunktion f zu ermitteln Diese leitung wurde dnn ls Steigung eines Funktionsgrphen interpretiert In diesem schnitt soll die ufgenstellung umgekehrt werden, d h wir wollen üerlegen, o ds Prolem Zu einer gegeenen Funktion f ist eine Funktion F zu estimmen, deren leitungsfunktion F gleich f ist gelöst werden knn Ds ufsuchen solcher Funktionen ezeichnen wir in der Mthemtik ls Bilden einer Stmmfunktion Mit Hilfe dieser Stmmfunktion führen wir dnn ds unestimmte und estimmte Integrl ein Dem estimmten Integrl kommt eine esondere geometrische Bedeutung zu: Mit ihm lssen sich Flächen mit nicht grdliniger Begrenzung estimmen Stmmfunktion und Integrl Beispiel (Bestimmung einer Stmmfunktion Gegeen ist die Funktion f mit f ( Es ist eine Funktion F zu ermitteln, für die gilt: F '( f ( Wir suchen in der Vielzhl von Funktionen, die wir in der Differentilrechnung geleitet hen, nch einer Funktion, deren leitung ist Die Funktion F ( ht diese Eigenschft, denn es ist Definition (Stmmfunktion F '( f ( Besitzen die Funktionen f und F einen gemeinsmen Definitionsereich gilt so heißt F Stmmfunktion von f (in F '( f ( für lle IDf, ID f ID f und nmerkung Jede gnzrtionle Funktion esitzt eine Stmmfunktion er: Nicht jede Funktion esitzt eine Stmmfunktion Der Vorgng des ufsuchens einer Stmmfunktion zu einer gegeenen Funktion wird ls Integrtion ezeichnet T: Zusmmenhng Differentition und Integrtion gegeen gesucht Funktion f differenzi eren leitungsfunktion f ' Funktion f integrieren Stmmfunktion F mit F ' f Eine Stmmfunktion F zu einer Funktion f können wir oft us unseren Erfhrungen eim Differenzieren gewinnen, wenn wir in der gegeenen Funktion f die leitung einer uns eknnten Funktion F erkennen Wir kontrollieren ds Ergenis, indem wir F differenzieren und mit f vergleichen T7: Gegenüerstellung einiger Funktionen und ihrer Stmmfunktionen Funktion f f ( f ( f ( Stmmfunktion F F ( F ( F ( f ( F ( f ( F ( f ( + F ( + Integrtio (lt Wiederherstellen eines Gnzen; integrre (lt - wiederherstellen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 9 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

2 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Nchdem wir den Zugng zum Bilden einer Stmmfunktion üer ds Differenzieren gefunden hen, stellen wir Ihnen n dieser Stelle einige Regeln zum Bilden einer Stmmfunktion vor Diese Regeln ergeen sich unmittelr us den Regeln zum Differenzieren Bildet mn lso jeweils die leitung der Funktion F, so erhält mn die ursprüngliche Funktion f Dher werden wir uf die Nottion der einzelnen Beweise verzichten Stz (Bestimmung einer Stmmfunktion einer konstnten Funktion Ist f eine konstnte Funktion mit f ( c und c IR, dnn ist F mit eine Stmmfunktion von f F( c Stz (Bestimmung einer Stmmfunktion ei Potenzfunktionen Ist f eine Potenzfunktion mit dnn ist F mit eine Stmmfunktion von f n f ( und n IN, F ( n+ n+ Wir estimmen lso eine Stmmfunktion einer Potenzfunktion durch erhöhen des Eponenten um : n+ dividieren durch diesen um erhöhten Eponenten: n+ n+ Beispiel (konstnte Fktoren ei Stmmfunktionen F ( ist Stmmfunktion von f ( G( ist Stmmfunktion von g ( Stz (Stmmfunktionen von Summen und Differenzen Ist F Stmmfunktion einer Funktion f und F Stmmfunktion einer Funktion f, so ist die Funktion F mit eine Stmmfunktion zu F ( F ( + F ( f f ( + f ( ( Ist F Stmmfunktion einer Funktion f und F Stmmfunktion einer Funktion f, so ist die Funktion F mit eine Stmmfunktion zu F( F ( F ( f f ( f ( ( Beispiel (Stmmfunktion einer Summe f ( ht F ( ls eine Stmmfunktion, f ( ht F ( ls eine Stmmfunktion Für g ( + ist somit G ( + eine Stmmfunktion Stz (konstnte Fktoren ei Stmmfunktionen Ist F eine Stmmfunktion zu f und c IR, so ist die Funktion G mit eine Stmmfunktion der Funktion g mit G( c F( g( c f ( Stz (Stmmfunktion der ntürlichen Eponentilfunktion Eine Stmmfunktion der ntürlichen Eponentilfunktion f mit ist F mit f ( e F ( e reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

3 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Beispiel (Stmmfunktion der ntürlichen Eponentilfunktion f ( e ht F( e ls eine Stmmfunktion Beim Bilden der Umkehropertion ist stets die Frge der Eindeutigkeit interessnt In unserem Flle lso die Frge: Lssen sich für die Funktion f ( neen F ( noch weitere Stmmfunktionen ngeen? Dei ezeichnen wir f ( ls Integrndenfunktion oder kurz Integrnd, ls Integrtionsvrile, c ls Integrtionskonstnte und d ls Differentil des unestimmten Integrls f ( d - gelesen ls: Integrl üer f von d Dies trifft zu; denn eispielsweise sind uch F ( + oder F ( Stmmfunktionen zu f (, d die konstnten Summnden eim Differenzieren wegfllen Fzit: Wenn es zu einer Funktion f eine Stmmfunktion F git, so eistieren unendlich viele weitere Stmmfunktionen, die sich nur um eine dditive Konstnte unterscheiden Stz (Eindeutigkeit von Stmmfunktionen Es sei F eine Stmmfunktion von f in ID f ; dnn ist F genu dnn eine Stmmfunktion von f, wenn es eine Zhl c ( c IR git, so dss gilt: Ds unestimmte Integrl F F ( + c ( Wir hen festgestellt, dss eine gegeene Funktion f eine gnze Schr von Stmmfunktionen esitzt Für die Menge ller Stmmfunktionen einer gegeenen Funktion f führen wir einen neuen Begriff ein Definition (unestimmtes Integrl Die Menge ller Stmmfunktionen einer Funktion f heißt unestimmtes Integrl von f Wir schreien: { F( F'( f ( } f ( d Wollen wir die Mengenschreiweise vermeiden, so können wir uch nur mit einem Repräsentnten reiten: nmerkung Ds neu eingeführte Zeichen wird ls Integrlzeichen ezeichnet Es knn nie lleine mit einer Funktion stehen Zu jedem Integrlzeichen gehört immer die nge des Differentils, ds festlegt, nch welcher Vrilen integriert werden soll Beispiel: (Bestimmung eines unestimmten Integrls Wir ermitteln ds unestimmte Integrl d Dei ist f ( der Integrnd und die Integrtionsvrile, d h es soll nch integriert werden Wir wissen ereits, dss die Funktion eine Stmmfunktion von F ( f ( ist Somit ergit sich ls Lösung unserer ufge: d + c mit c IR Proe: F ( + c F' ( f ( Hinweis Für die Bestimmung der unestimmten Integrle gelten die gleichen Rechenregeln wie für die Bestimmung der Stmmfunktionen f ( d F( + c mit F '( f ( und c IR reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

4 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Stz (Regeln für die Bestimmung von Stmmfunktionen Beim Integrieren leien konstnte Fktoren erhlten: f ( d f ( d Für Funktionen f mit f ( und n IN gilt: n n d n + n + + c Für die Summe zw Differenz zweier gnzrtionler Funktionen f und g mit den Stmmfunktionen F und G gilt: ( f ( + g( d f ( d + g( d F( + G( + c ( f ( d f ( d g( d F( G( + c Ds estimmte Integrl Ds estimmte Integrl wird durch die nge der sogennnten Integrtionsgrenzen festgelegt Diese werden in die Stmmfunktion eingesetzt, und die so entstndenen Funktionswerte sutrhiert, so dss ds Ergenis ds estimmte Integrl schließlich eine Zhl ist (een die Differenz zweier Funktionswerte der Stmmfunktion Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (Definition des estimmten Integrls Ist f eine im Intervll [ ; ] stetige Funktion und F eine zu f zugehörige Stmmfunktion, so gilt Dei ezeichnen wir f f ( d ls estimmtes Integrl, ( d F( F( und ls Integrtionsgrenzen und [ ; ] ls Integrtionsintervll Beispiele (Bestimmung unestimmter Integrle Es gilt stets: c IR d + c, Ds estimmte Integrl f ( d d + c, ( + d + + c ( u + du u + u + c ( u + d u + + c ( u + du u + u + c,,, ist eine eindeutig festgelegte Zhl, die von der Funktion f und den Integrtionsgrenzen hängt Berechnung des estimmten Integrls in Kurzform usgehend von der Definition des estimmten Integrls, empfehlen wir folgende Vorgehensweise ei der Berechnung des estimmten Integrls ( d I eine Stmmfunktion F von f estimmen, II den Funktionswert F ( n der oeren Grenze erechnen, III den Funktionswert F ( n der unteren Grenze erechnen und IV die Differenz F( F( estimmen f reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

5 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Wie die leitungsfunktion f ' einer Funktion f, so ht uch ds estimmte Integrl eine geometrische Bedeutung für die Funktion f, die wir im nächsten Kpitel erläutern werden Bevor wir uns mit dieser efssen, wollen wir zunächst einige Regeln zur Berechnung von estimmten Integrlen zusmmenstellen Die hier ufgeführten Regeln ergeen sich unmittelr us den isher ehndelten Regeln für unestimmte Integrle zw für die Bildung von Stmmfunktionen Stz (Regeln für ds Ermitteln von estimmten Integrlen Stimmen oere und untere Grenze üerein, so ist ds Integrl Null: Intervlldditivität: Fktorregel: f Summenregel / Differenzregel: ( d c f ( d + f ( d f ( d k f ( d k f ( d [ f ( ± g( ] d f ( d ± g( d Um eim Berechnen eines estimmten Integrls die Bestimmung der Stmmfunktion und die Berechnung des Integrls in einer Rechnung durchführen zw ufschreien zu können, wird die folgende Schreiweise eingeführt: c Beispiele (Berechnung estimmter Integrle Beispiel : ( Beispiel : ( Beispiel : ( d [ ] ( ( ( [ + ] ( ( + ( ( + ( + d Beispiel : + ( + ( + d ( d + ( + d ( + d [ + ] Beispiel : ( + ( + ( d + ( + d ( d [ + ] ( ( ( + ( ( + ( ( + ( d [ F( ] F( F( f ( d reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 7 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

6 Integrl- und Flächenerechnung Einführung in die Integrlrechnung Eine nwendung der Integrlrechnung ist die Interprettion des estimmten Integrls ls Mßzhl der Fläche unterhl eines Funktionsgrphen Wir erhlten so die Möglichkeit, unregelmäßige Flächen reltiv einfch estimmen zu können Hierei wird unterschieden, o eine Fläche von dem Grph einer Funktion und der -chse eingeschlossen wird oder von zwei Funktionsgrphen D die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen nur eine wndlung der Berechnungen der Fläche zwischen Grph und -chse ist, werden wir zuerst diese Flächen ehndeln Bestimmung der Fläche zwischen einem Funktionsgrphen und der -chse Wie ereits in der Einführung zu diesem Kpitel ngekündigt wurde, können estimmte Integrle zur Berechnung von Flächen unterhl eines Funktionsgrphen von f( genutzt werden Dieser Zusmmenhng wird nhnd einiger einfcher Funktionen verdeutlicht ( T is T: Geometrische Flächenerechnung und Integrlrechnung ei ( f ( 9: Fläche zwischen dem Grphen von f mit ( f und der -chse üer I [ ;] geometrische Flächenerechnung 9 f üer I [ ;] estimmtes Integrl f ( d d [ ] 9 Einführung in die Integrlrechnung T9: Geometrische Flächenerechnung und Integrlrechnung ei f f ( 7: Fläche zwischen dem Grphen von f mit f ( + und der -chse I ; üer [ ] geometrische Flächenerechnung 9 7,7 ( üer I [ ;] T: Geometrische Flächenerechnung und Integrlrechnung ei ( + f ( + 7: Fläche zwischen dem Grphen von f (mit f ( + und der -chse T: Geometrische Flächenerechnung und Integrlrechnung ei f - üer I [ ; ] f ( geometrische Flächenerechnung +, f üer I [ ; ] estimmtes Integrl d ( 9 [ ] ( üer I [ ;] ( 7,7 estimmtes Integrl ( + d [ ] + ( + geometrische Flächenerechnung 9 7,7 ( +, estimmtes Integrl ( d 7 ( 9 [ ],7 7: Fläche zwischen dem Grphen von f (mit f ( und der -chse üer I [ ;] reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 9 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

7 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung T: Geometrische Flächenerechnung und Integrlrechnung ei f geometrische Flächenerechnung ( üer I [ ;] estimmtes Integrl Beispiele, und ( - Wir wissen ereits von den vorherigen Beispielen einiges üer die Funktion f mit f ( : Es ergeen sich üer dem Intervll [ ;] I ei der geometrischen Berechnung der Fläche zwischen dem Funktionsgrphen und der -chse und dem Integrl üer [ ;] Üer dem Intervll [ ;] f ( 7: Fläche zwischen dem Grphen von f (mit f ( und der -chse üer I [ ;] I dieselen Werte 9 7,7 I unterscheiden sich die Ergenisse lediglich durch ds negtive Vorzeichen eim Integrl Dher erscheint es sinnvoll, ei einem Funktionsgrphen, der zum Teil oerhl der -chse und zum nderen Teil unterhl der -chse verläuft, die Teilflächen, die oerhl zw unterhl der -chse liegen, getrennt zu erechnen ( 7 Nun muss lediglich ds negtive Vorzeichen eim Integrl der Teilfläche unterhl der -chse eseitigt werden, dnn ergit die Summe der eiden Teilflächen (Teilintegrle die Gesmtfläche zw deren Flächenmßzhl Zu diesem Zweck wird die sogennnte Betrgsfunktion enutzt: Definition (Betrg Der Betrg einer reellen Zhl ist definiert durch die Bedingung für für < [ d ] ( 9 ( 9 Der Betrg einer reellen Zhl ist lso stets der positive Zhlenwert dieser Zhl Somit gilt für die Flächenestimmung us T: d +,7 +,7,7 d Hinweis Genu genommen wird stets die Mßzhl der jeweiligen Teilfläche erechnet Die in den isher etrchteten Beispielen drgestellten Zusmmenhänge zwischen der geometrischen Flächenerechnung und der Integrlrechnung finden ihren usdruck in der nun folgenden Definition: Definitionen (Flächenmßzhl und Integrl Ist f eine üer dem Intervll [ ] ; definierte integrierre Funktion mit f ( für lle us dem Intervll [ ; ] (d h es liegt keine Nullstelle von f in dem Intervll, so verstehen wir unter der Flächenmßzhl der üer dem Intervll [ ; ] durch die -chse und dem Funktionsgrphen egrenzten Fläche den Betrg des estimmten Integrls mit den Integrtionsgrenzen und : f ( d Durch die oige Definition werden die folgenden eiden Spezilfälle erfsst: Ist f eine üer dem Intervll [ ; ] definierte integrierre Funktion und gilt f ( für lle [ ; ] (d h der Grph von f verläuft in dem Intervll vollständig oerhl der -chse, so versteht mn unter der Flächenmßzhl der üer dem Intervll [ ; ] durch die -chse und dem Funktionsgrphen egrenzten Fläche ds estimmte Integrl mit den Integrtionsgrenzen und : f ( d reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

8 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Ist f eine üer dem Intervll [ ; ] definierte integrierre Funktion und gilt f ( für lle [ ; ] (d h der Grph von f verläuft in dem Intervll vollständig unterhl der -chse, so versteht mn unter der Flächenmßzhl der üer dem Intervll [ ; ] durch die -chse und dem Funktionsgrphen egrenzten Fläche, den negtiven Wert des estimmten Integrls mit den Integrtionsgrenzen und : f ( d 7 zeigt, dss die zu erechnende Fläche vollständig unterhl der -chse liegt Dher knn die zugehörige Flächenmßzhl wie folgt erechnet werden: [ + ] ( ( ( + ( ( ( + ( ( ( + d ( + + ( Zur Verdeutlichung der Vorgehensweise erfolgen nun zwei Beispielrechnungen: Beispiel (Flächenerechnung ei einer Fläche, die vollständig unterhl der -chse liegt Gegeen ist: f ( + Bestimmen Sie die Mßzhl der Fläche, die zwischen dem Grphen von f und der -chse üer dem Intervll I [ ; ] eingeschlossen ist Die Flächenmßzhl der Fläche, die zwischen dem Grphen von f und der - chse im Intervll I [ ; ] eingeschlossen wird (mrkierte Fläche in 7, eträgt Flächeneinheiten (FE Beispiel (Flächenerechnung ei einer Fläche, die unterhl und oerhl der -chse liegt Gegeen ist: f ( + Bestimmen Sie die Mßzhl der Fläche, die zwischen dem Grphen von f und der -chse üer dem Intervll [ ;] I eingeschlossen ist 7: Fläche zwischen ( + f und -chse im Intervll I [ ; ] 7: Fläche zwischen ( + f und -chse im Intervll I [ ;] reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

9 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung In 7 wird deutlich, dss ei eine Nullstelle vorliegt Die zu erechnende Fläche liegt für ds Teilintervll zwischen und unterhl der -chse und für ds Teilintervll zwischen und oerhl der -chse Diese eiden Teilflächen sind getrennt zu erechnen ( + d [ + ] ( ( + ( ( ( ( + ( ( ( + ( [ + ] ( ( + ( ( ( ( + ( ( ( + d ( ( + ( 9 Beispiel (Flächenerechnung ei der ntürlichen Eponentilfunktion Gegeen ist: f ( e + Bestimmen Sie die Mßzhl der Fläche, die zwischen dem Grphen von f und der -chse üer dem Intervll [ ;] I eingeschlossen ist Wir wissen ereits, dss der Grph der ntürlichen Eponentilfunktion vollständig oerhl der -chse verläuft Die ddition der Konstnten entspricht einer Verschieung des Funktionsgrphen um zwei Einheiten nch oen, so dss uch die hier etrchtete Funktion f mit f ( e + vollständig oerhl der -chse verläuft Somit ist lediglich eine Teilfläche zu erechnen (e [ e + ] ( ( ( e + ( e + ( + d ( (,9 + ( +,, Die Mßzhl der Fläche, die zwischen dem Grphen von f und der -chse im Intervll [ ;] I eingeschlossen wird, eträgt demnch, FE Dmit erhlten wir die Gesmtfläche + + ges Die Mßzhl der Gesmtfläche, die zwischen dem Grphen von f und der -chse im Intervll [ ;] demnch I eingeschlossen wird (mrkierte Fläche in 7, eträgt FE Generell gilt: Liegt keine Skizze des Funktionsgrphen vor, muss stets rechnerisch üerprüft werden, o in dem zu etrchtenden Intervll I [ ; ] eine Nullstelle der untersuchten Funktion liegt Liegt eine oder liegen mehrere Nullstellen in dem Intervll, so muss zunächst die Teilfläche, die von der linken (unteren Intervllgrenze is zur ersten Nullstelle reicht, erechnet werden ( 7 nschließend erechnen wir flls erforderlich die Teilfläche von der ersten Nullstelle is zur nächsten Nullstelle Gegeenenflls wird dies is zur letzten Nullstelle im etrchteten Intervll fortgeführt Schließlich muss noch die Teilfläche von der letzten Nullstelle im Intervll I [ ; ] is zur rechten (oeren Intervllgrenze erechnet werden reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

10 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung y Dmit esitzt der Grph von f N ( / und N ( / ls Schnittpunkte mit -chse Keine der Nullstellen liegt in dem Intervll I [ ;], lso gilt Fehler! Es ist nicht möglich, durch die Bereitung von Feldfunktionen Ojekte zu erstellen Die im Intervll I [ ;] vom Grph der Funktion f und der -chse eingeschlossene Fläche eträgt FE 7: Funktion mit mehreren Teilflächen üer einem Intervll I [ ; ] D wir hier dvon usgehen, dss der Verluf des Grphen nicht eknnt ist, weiß mn zunächst nicht, o die etrchtete Teilfläche oerhl oder unterhl der - chse verläuft Um weitere Untersuchungen des Kurvenverlufs zu vermeiden, knn mn stets die Beträge der zu erechnenden Integrle estimmen uf diese Weise ist sichergestellt, dss ds Ergenis stets eine positive Flächenmßzhl ist Dieses Berechnungsprinzip soll in den folgenden Beispielen verdeutlicht werden Beispiel (Fläche üer einem Intervll Bestimmen Sie für die Funktion f mit f ( die Mßzhl der Fläche, die vom Grphen von f und der -chse üer dem Intervll [ ;] I eingeschlossen wird Zunächst muss üerprüft werden, o der Grph von f in dem Intervll I vollständig oerhl oder unterhl der -chse verläuft Dzu werden zuerst die Nullstellen von f estimmt Beispiel (Fläche üer einem Intervll Bestimmen Sie für die Funktion h mit h ( + die Mßzhl der Fläche, die vom Grphen von h und der -chse üer dem Intervll I [ ;] eingeschlossen wird Zunächst muss uch hier üerprüft werden, o der Grph von h in dem Intervll I vollständig oerhl oder unterhl der -chse verläuft Dzu werden die Nullstellen von h estimmt h( ( + + Dmit esitzt der Grph von f ls Schnittpunkte mit -chse ( p q Formel N( /, N(/ und N ( / Fehler! Es ist nicht möglich, durch die Bereitung von Feldfunktionen Ojekte zu erstellen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 7 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

11 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Die Nullstellen liegen im Intervll I [ ; ] und, lso gilt h d + h( d + ges + + ( h( d Für ergit sich folgende Rechnung: ( + d [ + ] ( + ( ( ( + ( ( ( (, Somit gilt für die Gesmtfläche ges + +, +, +, lso ist die Gesmtfläche FE groß Ein Sonderfll liegt vor, flls wir den Flächeninhlt derjenigen Fläche, die der Funktionsgrph mit der -chse einschließt erechnen sollen (77 Bei dieser ufgenstellung wird stets die Mßzhl derjenigen Fläche erechnet, die vom Funktionsgrphen und der -chse vollständig eingeschlossen wird Jede zu erechnende Teilfläche wird von zwei Nullstellen egrenzt Eine solche Fläche knn somit nur estehen, flls die etrchtete Funktion mindestens zwei Nullstellen esitzt y Für errechnen wir: [ + ] ( + d ( + ( ( ( + ( ( +, erechnet sich wie folgt: [ + ] ( + d ( + ( + ( (,, : Flächen, die vom Funktionsgrphen und der -chse eingeschlossen werden Die Flächenmßzhl der Fläche *, die der Funktionsgrph in 77 mit der -chse einschließt, eträgt demnch: * f ( d + f ( d ( 7,9 (,, reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 9 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

12 Einführung in die Integrlrechnung Ds edeutet Folgendes für ds llgemeine Vorgehen: Soll der Flächeninhlt (d h die Flächenmßzhl der Fläche, die der Funktionsgrph einer Funktion f mit der -chse einschließt, erechnet werden, so müssen wir zunächst die Nullstellen dieser Funktion erechnen Für die Flächenmßzhl estimmen wir dnn unhängig von eventuell in nderen ufgenteilen erücksichtigten Intervllen ds Integrl I üer f, dessen Grenzen die kleinste und die zweitkleinste Nullstelle ilden, und ds Integrl I üer f, dessen Grenzen die zweitkleinste und die drittkleinste Nullstelle von f ilden Dieses führt mn is zur letzten Nullstelle fort Beispiel (Bestimmung der vom Funktionsgrphen und der -chse eingeschlossenen Fläche Gegeen sei die Funktion f mit f ( + Einführung in die Integrlrechnung [ + ] + [ + ] ( F( F( ( 7 ( F( F( 7 Demnch esitzt die vom Funktionsgrphen von f ( + und der -chse eingeschlossene Fläche einen Flächeninhlt von FE Für die Nullstellen der Funktion f gilt: Skizze: f ( ( + ( f ( + Polynomdivision Bestimmung der Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen Wir wollen uns hier zunächst mit denjenigen Flächen eschäftigen, die von zwei Funktionsgrphen vollständig eingeschlossen werden Um zu verdeutlichen, welche Flächen in diesem Kpitel ehndelt werden, und wie mn diese erechnet, stellen wir drei ildungen vorn, in denen verdeutlicht wird, wie die Mßzhl der zwischen zwei Funktionsgrphen eingeschlossenen Fläche mit Hilfe der isher ehndelten Flächen zwischen Funktionsgrphen und -chse erechnet werden knn Die Funktionsterme der Beispielsfunktionen luten: lso gilt: 7: Fläche, die von f ( + und der -chse eingeschlossen wird f ( + und g ( + 7, ls Integrtionsgrenzen wurden die eiden Schnittstellen der Funktionsgrphen f ( d + ( + f ( d d + ( + d gewählt und reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

13 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung T: Zusmmenhng von Flächen zwischen Grphen und -chse und der von zwei Funktionsgrphen eingeschlossenen Fläche Fläche zwischen g und -chse I ; : im Intervll [ ] g( d Fläche zwischen f und -chse I ; : im Intervll [ ] f ( d Fläche zwischen f und g f ( d d Schnittpunkte hinweg integriert werden Sie müssen lso vor Beginn der eigentlichen Flächenerechnung zunächst estimmt werden Die Schnittpunkte der eiden Funktionsgrphen lssen sich uch ls Nullstellen der Differenzfunktion uffssen Ds edeutet für die Berechnung, dss wir zuerst die Differenzfunktion ilden, von dieser die Nullstellen estimmen und dnn die im vorherigen Kpitel eschrieenen Berechnungen durchführen Besitzen die eiden Funktionsgrphen mehr ls zwei Schnittstellen, so werden dementsprechend mehr Teilflächen eingeschlossen, die nch den oen eschrieenen Verfhren erechnet werden können 79: g( d : f ( d : Wir sehen, dss die von zwei Funktionsgrphen eingeschlossen Fläche nichts Weiteres ls die Differenz von den zwei zwischen den jeweiligen Funktionsgrphen und der -chse eingeschlossenen Flächen ist ls gemeinsme Integrtionsgrenzen dienen die -Koordinten der Schnittpunkte der eiden Funktionsgrphen Stz (Bestimmung der zwischen zwei Funktionsgrphen eingeschlossenen Fläche Gegeen seien zwei stetige Funktionen f und g und seien ferner zwei Schnittstellen der eiden Funktionsgrphen Dnn gilt für die Fläche, die zwischen den eiden Schnittstellen und von den eiden Funktionsgrphen eingeschlossen ist reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen ( f ( f ( d d d Ähnlich wie ei der Fläche zwischen Funktionsgrphen und -chse die Nullstellen echtet werden müssen, müssen wir uch ei der Berechnung der Fläche, die von zwei Grphen eingeschlossen wird, die Schnittstellen echten: Eine Teilfläche wird nur dnn von den eiden Grphen vollständig eingeschlossen, wenn mindestens zwei Schnittstellen vorhnden sind uch hier drf nicht üer die Beispiel (Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen Bestimmen Sie die Mßzhl der Fläche, die von Grphen der Funktionen f mit f ( und g mit g ( eingeschlossen wird Zunächst muss festgestellt werden, wo sich die Grphen von f und g schneiden Somit gilt f ( g( ( + + ( ± reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen ( f ( d + ( f ( ( ( d + ( ( d d

14 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung ( d + ( [ ] [ ] + d y f ( lso ( + ( + Die von den Funktionsgrphen von f und g eingeschlossene Fläche esitzt einen Flächeninhlt von FE Hinweis: Die Bestimmung der Schnittstellen erfolgt stets durch Gleichsetzen der Funktionsterme nschließend wird die Gleichung so umgeformt, dss uf einer Seite der Gleichung Null steht Diese Gleichung wird dnn gelöst Folgen wir diesem nstz, so hen wir, sold uf einer Seite der Gleichung die Null erreicht wird, eine Differenzfunktion der eiden zu etrchtenden Funktionen geildet Diese Differenzfunktion knn dnn uch ls Integrndenfunktion enutzt werden Dies knn uch eim oigen Beispiel eochtet werden: f ( g( f ( g ( : Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen in einem Intervll I [, ] Wir hlten fest: Für jede Teilfläche wird die untere von der oeren Funktion sutrhiert und die Differenzfunktion integriert lle Teilintegrle werden summiert lle Flächen hen solute Beträge ls Mßzhlen Es drf nicht üer die Schnittpunkte hinweg integriert werden Bei Funktionen, deren Grphen sich schneiden, und ei denen ein Intervll [ ] Grphen im Intervll I [ ; ] I ; zur Flächenestimmung vorgeen ist, wird die Fläche zwischen den folgendermßen erechnet:, dnn entsprechend den 79 is ( f ( d + ( f ( d + ( f ( d reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

15 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Beispiel (Mßzhl der zwischen zwei Grphen eingeschlossenen Fläche üer einem Intervll I Bestimmen Sie die Mßzhl der Fläche, die von den Grphen der Funktionen f mit f ( und h mit h( eingeschlossen wird üer dem Intervll I [ ; ] Zunächst müssen die Schnittstellen der eiden Funktionsgrphen estimmt werden f ( h( ( + + :, +,,7 + +, 9, h( usklmmern p q Formel (, + 9,,, Die Schnittstelle, liegt innerhl des Intervlls I und die Schnittstelle ildet die rechte Intervllgrenze Somit müssen folgende Teilflächen erechnet werden:, ( f ( h( + d ( f ( h(, + d, (, (,, + d (, (9 9, + d ( (,, Für die gesuchte Mßzhl der vorgegeenen Fläche gilt dnn + 9, +, 9,7 Bei den isher durchgeführten Berechnungen spielten die Nullstellen der etrchteten Funktionen keine Rolle Lediglich die Schnittstellen werden für die Flächenerechnung enötigt Die folgenden eiden ildungen ( und zeigen, dss es ei der Bestimmung der Flächenmßzhl der zwischen zwei Funktionsgrphen eingeschlossenen Fläche ttsächlich keine Rolle spielt, o Teile der Fläche oerhl oder unterhl der -chse verlufen Dies können wir leicht erkennen, wenn wir eide Funktionsgrphen um die Länge c in Richtung der y-chse verschieen: Der Verluf der Grphen und dmit uch die Größe der eingeschlossenen Fläche werden ddurch nicht verändert X y X X f( g( : Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen (unverschoen y - - c - f ( g ( : Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen (unverschoen um c reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 7 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

16 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Die Funktionsterme ändern sich durch die ddition des konstnten Fktors c ( c IR zu f ( f ( + c und g ( g( + c Für die Berechnung der zwischen den eiden Grphen eingeschlossenen Fläche gilt dei ( f( ( g( d + ( f( ( g( ( f( + c ( g( + c d + ( f( + c ( g( + c ( f( + c c d + ( f( + c c ( f ( d + ( f ( d Die Verschieung um den Fktor c ht lso keinen rechnerischen Einfluss In eigener Sche: Die Bestimmung von Flächen ist eenflls eine Pflichtüung im Rhmen der schlussprüfung Die Üungsufgen sollten Sie er druf sehr gut vorereiten Bereiten Sie diese dher möglichst intensiv chten Sie dei uch uf die Zeit, die Sie dfür enötigen insesondere: Wie lnge enötigen Sie, um eine Fläche zwischen zwei Grphen zw zwischen einem Grphen und der -chse zu estimmen? Möglicherweise müssen Sie hier, um Schnittstellen zu estimmen, uf die Polynomdivision zurückgreifen Hlten Sie lle Dinge, die Ihnen noch unklr sind schriftlich fest Versuchen Sie dnn, durch Rückschu uf dieses Kpitel selst ntworten zu finden Welche Frgen konnten Sie nicht klären? Bitte geen Sie Ihrem/r Lehrer/in eine detillierte und egründete Rückmeldung d d d Üungsufgen zur Integrlrechnung Geen Sie für die folgenden Funktionen f eine Stmmfunktion F n f ( +, f ( c f ( + d f ( + + e f ( e + f f ( e g Geen Sie für die Funktion f fünf verschiedene Stmmfunktionen n f ( + Geen Sie die folgenden unestimmten Integrle n ( + d ( d c ( + d + 7 d ( + d e ( u + u u du f ( + d g ( + d h ( + 7 d i ( e + d Berechnen Sie die folgenden estimmten Integrle Vereinfchen Sie, wenn möglich ( + + d ( z + zdz c ( e d + d ( + + d + ( + d e ( + d ( + d reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen 9 reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

17 Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Mßzhl der Fläche, die vom Grphen von f und der -chse üer dem Intervll I eingeschlossen wird + I [ ; ] f ( f I [ ; ] ( + Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Mßzhl der Fläche, die von den Grphen von f und g eingeschlossen wird f ( g ( + f ( g ( + + f I [ ; ] c ( e c + f ( g( d f ( ( ( + I [ ; ] 7 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Mßzhl der Fläche, die von den Grphen von f und g üer dem Intervll [ ;] I eingeschlossen wird f ( + g ( Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Mßzhl der Fläche, die vom Grphen von f und der -chse eingeschlossen wird + f (, + + g ( + f ( + f ( + c f ( ( ( d f ( + reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen reitsuch Mthemtik für die Fchoerschule für Sozil- und Gesundheitswesen

Flächenberechnung. Aufgabe 1:

Flächenberechnung. Aufgabe 1: Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE

ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-CHSE Wie wir die Fläche zwischen einer Funktion und der -chse erechnen, hen wir rechentechnische ereits geklärt.

Mehr

5.5. Integralrechnung

5.5. Integralrechnung .. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds

Mehr

10 Anwendungen der Integralrechnung

10 Anwendungen der Integralrechnung 9 nwendungen der Integrlrechnung Der Inhlt von 9 wren die verschiedenen Verfhren zur Berechnung eines Integrls Der Inhlt von sind die verschiedenen Bedeutungen, die ein Integrl hen knn Die Integrlrechnung

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt

Mehr

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können

Mehr

Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen

Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine

Mehr

Integralrechnung. 1. Stammfunktionen

Integralrechnung. 1. Stammfunktionen Integrlrechnung. Stmmfunktionen In der Differentilrechnung hen wir gelernt, durch Aleiten einer Funktion f eine neue Funktion f zu finden, die uns hilft, Eigenschften von f zu estimmen (z.b. Hoch- oder

Mehr

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( ) 4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion

Mehr

Die Geschwindigkeit v ist die lokale Änderungsrate des Ortes x d.h. v = lim. Zeit 3s 7s Entfernung vom Bezugspunkt. 3s 2 m = 6 m 6 m + 1 Bezugspunkt s

Die Geschwindigkeit v ist die lokale Änderungsrate des Ortes x d.h. v = lim. Zeit 3s 7s Entfernung vom Bezugspunkt. 3s 2 m = 6 m 6 m + 1 Bezugspunkt s 6 Integrlrechnung ================================================================== 6.1 Lokle Änderungsrte und Gesmtänderung ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Berechnung von Flächen unter Kurven

Berechnung von Flächen unter Kurven Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert

Mehr

Die Keplersche Fassregel

Die Keplersche Fassregel Die Keplersche Fssregel K. Gerer Bei vielen Aufgen, z.b. ei der Lösung von Differentilgleichungen, tucht die Schwierigkeit uf, dss Integrtionen nicht durchgeführt werden können. So können z.b. die folgenden

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT DS VEKTORPRODUKT Definition: Ds vektorielle Produkt (oder Kreuprodukt) weier Vektoren und ist ein Vektor mit

Mehr

1 Folgen von Funktionen

1 Folgen von Funktionen Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen

Mehr

Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung

Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung Anltische Geometrie Anltischen Geometrie in vektorieller Drstellung Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form () Mit Hilfe von Vektoren lssen sich geometrische Ojekte wie Gerden und Eenen eschreien

Mehr

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis 4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 22.02.2010 Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der

Mehr

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2) . Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom

Mehr

Der Begriff der Stammfunktion

Der Begriff der Stammfunktion Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung

Mehr

6. Grundbegriffe der Analysis (II)

6. Grundbegriffe der Analysis (II) 7 Mthemtik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker 6 Grundegriffe der Anlsis (II) 6 Integrle: Flächeninhlte Seien < reelle Zhlen, sei I = [, ] = { R } ds Intervll der Zhlen zwischen und Wir etrchten

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester

Mehr

Wir wollen den Inhalt A der Fläche bestimmen, den der Graph von f mit der x-achse und den zu a und b gehörendenden Ordinaten einschließt.

Wir wollen den Inhalt A der Fläche bestimmen, den der Graph von f mit der x-achse und den zu a und b gehörendenden Ordinaten einschließt. I. Integrlrechnung 1 ================================================================= 1.1 Oer- und Untersumme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Grundlagen der Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe

Mehr

f(x) = x F(x) = f(x) dx b n x dx = x a b ( ) n 1 b a +

f(x) = x F(x) = f(x) dx b n x dx = x a b ( ) n 1 b a + Mthemtik 7 Integrlrechnung Prolemstellung: Lösungsidee: Die Berechnung einer Fläche unter einer Funktion zwischen zwei äußeren Grenzen. Zerlegung der Gesmtfläche in rechteckige Bänder (Ausschöpfungsmethode),

Mehr

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1

Mehr

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse.

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse. 1. Welche Idee steckt hinter dem Integrl? 2. Welche geometrische Bedeutung ht ds Integrl? 3. Wie erechnet mn ein Integrl? Aufsummieren unendlich vieler infinitesiml kleiner Beiträge, die lle die Form eines

Mehr

Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b

Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b 6 Vektoren 66 Ds Vektorprodukt Definition des Vektorprodukts Wir etrchten im dreidimensionlen Rum zwei nicht kollinere Vektoren R, \{0} Gesucht ist ein Vektor x R, der uf jedem der eiden Vektoren und senkrecht

Mehr

Mathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk. SoSe16 Arbeitsheft Blatt 3

Mathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk. SoSe16 Arbeitsheft Blatt 3 Mthemtik fu r Ingenieure (Mschinenu und Sicherheitstechnik). Semester Apl. Prof. Dr. G. Herort Dr. T. Pwlschyk SoSe6 Areitsheft Bltt Hinweis: Besuchen Sie die Vorlesung und vervollst ndigen Sie Areitsheft.

Mehr

9.5. Uneigentliche Integrale

9.5. Uneigentliche Integrale 9.5. Uneigentliche Integrle Bestimmte und unestimmte Integrle hängen zwr eng zusmmen, er die Existenz des einen grntiert nicht immer die des nderen: Eine integrierre Funktion muß keine Stmmfunktion esitzen,

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik Analysis. Copyright 2013 Ralph Werner

Abiturvorbereitung Mathematik Analysis. Copyright 2013 Ralph Werner Aiturvorereitung Mthemtik Anlysis Copyright 2013 Rlph Werner 1 Aleitung einer Funktion Geometrische Entsprechung: Aleitung Die Aleitung einer Funktion f (2) = 4 y = 4 x - 4 n der Stelle x 0 f (x 0 ) git

Mehr

6.4 näherungen für bestimmte Integrale

6.4 näherungen für bestimmte Integrale 6.4 näherungen für estimmte Integrle 6.4 näherungen für estimmte Integrle 6.4. Diekepler schefssregel Ingenieuren und Nturwissenschftlern pssiert es immer wieder, dss sie es mit Funktionenzu tunhen,dieso

Mehr

Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z

Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z Reltionen, 11 Reltionen Reltion ist einfch gesgt eine Beziehung zwischen Elementen von Mengen. In der Geometrie sind z.b. die Reltionen "ist gleich", "ist senkrecht zu", "ist prllel zu" eknnt. Die letzten

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Crashkurs - Integration

Crashkurs - Integration Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

Kapitel 1. Anschauliche Vektorrechnung

Kapitel 1. Anschauliche Vektorrechnung Kpitel 1 nschuliche Vektorrechnung 1 2 Kpitel I: nschuliche Vektorrechnung Montg, 13. Oktoer 03 Einordnung Dieses erste Kpitel ht motivierenden Chrkter. Es führt n die geometrische nschuung nknüpfend die

Mehr

18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus

18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus 18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus Autor Friedrich Eisenrnd, Universität Dortmund Heute ehndeln wir den ältesten ereits us Aufzeichnungen us der Antike eknnten Algorithmus. Er wurde

Mehr

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH /LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene

Mehr

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien 5 Ds Pumping Lemm Schufchprinzip (Folie 144) Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Im Block Ds Schufchprinzip für endliche Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl

Mehr

Grenzwerte von Funktionen

Grenzwerte von Funktionen Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von

Mehr

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35 Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion

Mehr

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.

Mehr

3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) Brüche sind Teile von gnzen Zhlen. Zwischen zwei unterschiedlichen gnzen Zhlen ht es immer unendlich viele Brüche. Brüche entstehen us einer Division; eine gnze Zhl

Mehr

Orientierungstest Mathematische Grundlagen

Orientierungstest Mathematische Grundlagen Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls

Mehr

Mathematik für das Ingenieurstudium

Mathematik für das Ingenieurstudium Mthemtik für ds Ingenieurstudium von Mrtin Stämpfle, Jürgen Koch., ktul. Aufl. Hnser München 0 Verlg C.H. Beck im Internet: www.eck.de ISBN 978 3 446 433 Zu Inhltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich

Mehr

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten Lernkrten Anlysis Seiten Zum Ausdrucken muss mn jeweils eine Vorderseite drucken, dnn ds Bltt wenden, nochmls einlegen und die Rückseite drucken. Am esten druckt mn die Krten uf festem Ppier oder uf Visitenkrten-

Mehr

Bruchterme I. Definitionsmenge eines Bruchterms

Bruchterme I. Definitionsmenge eines Bruchterms Bruchterme I Definitionsmenge eines Bruchterms Alle zulässigen Einsetzungen in einen Bruchterm ilden die Definitionsmenge D. Einsetzungen, für die der Nenner Null wird, gehören nicht zur Definitionsmenge.

Mehr

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr

v P Vektorrechnung k 1

v P Vektorrechnung k 1 Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische

Mehr

3.3 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade

3.3 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade 3 3 ANALYSIS 3.3 Extrem I: Winkel Eene/Gerde In diesem Aschnitt gehen wir von einer Gerde g und einer g nicht enthltenden Eene ε us und wollen unter llen möglichen spitzen Schnittwinkeln zwischen g und

Mehr

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes

Mehr

Orientierungstest Mathematische Grundlagen

Orientierungstest Mathematische Grundlagen Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls

Mehr

Ober- und Untersummen, Riemann Integrale

Ober- und Untersummen, Riemann Integrale Oer- und Untersummen, Riemnn Integrle 1. Ds Prolem des Fläheninhlts Ausgngspunkt für die Entwiklung des Integrlegriffs wren vershiedene Frgestellungen, u.. ds Prolem der Messung des Fläheninhltes eines

Mehr

Simulation von Störungen mit zeitlichen Schranken

Simulation von Störungen mit zeitlichen Schranken Simultion von Störungen mit zeitlichen Schrnken Die geräuchlichen sttistischen Verteilungen können elieig große Werte hervorringen, ws ei der Simultion von Störungen oft nicht erwünscht ist. Verwendet

Mehr

a q 0 q 1 a M q 1 q 3 q 2

a q 0 q 1 a M q 1 q 3 q 2 Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt = Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.

Mehr

Grundbegriffe der Mengenlehre

Grundbegriffe der Mengenlehre Reiner Winter Grundegriffe der Mengenlehre 1. Der Mengenegriff Die Mengenlehre wurde von Georg Cntor (1845-1918) egründet. Im Jhre 1895 g er die folgende, erühmt gewordene Begriffsestimmung der Menge n:

Mehr

Nullstellen quadratischer Gleichungen

Nullstellen quadratischer Gleichungen Nullstellen qudrtischer Gleichungen Rolnd Heynkes 5.11.005, Achen Nch y ufgelöst hen qudrtische Gleichungen die Form y = x +x+c. Zeichnet mn für jedes x uf der rechten Seite und ds drus resultierende y

Mehr

Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 2 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder

Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 2 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem

Mehr

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele Grundwissen Klsse 9 Die Menge der reellen Zhlen Die Umkehrung des Qudrierens wird für nicht negtive Zhlen ls Ziehen der Wurzel oder Rdizieren ezeichnet. Die Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ) ist dei die

Mehr

KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion

KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Aufgbenstellungen Aufgbe.. Wir untersuchen den Flächeninhlt unter der lineren Funktion f(t) = t + im Intervll [; x]. Kurz: F (x) = x f(t) dt Erkläre elementr, insbesondere

Mehr

G2.3 Produkte von Vektoren

G2.3 Produkte von Vektoren G Grundlgen der Vektorrechnung G. Produkte von Vektoren Ds Sklrprodukt Beispiel: Ein Schienenfhrzeug soll von einem Triler ein Stück s gezogen werden, der neen den Schienen fährt (vgl. Skizze). Wir wollen

Mehr

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1 Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große

Mehr

Aufgabe 30: Periheldrehung

Aufgabe 30: Periheldrehung Aufge 30: Periheldrehung Auf einen Plneten soll zusätzlich zum Grvittionspotentil ds folgende Potentil einwirken U z = η r. (1 Im Folgenden sollen eene Polrkoordinten verwendet werden. Ds können wir mchen,

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral

8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral 8 Integrlrechnung Der Integrlbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physiklische Beschreibung von Bewegungsbläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.. uch von Bedeutung bei

Mehr

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,

Mehr

4 Die rationalen Zahlen

4 Die rationalen Zahlen 4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper

Mehr

Mündliche Prüfung LK. Fragen zur differentialrechnung

Mündliche Prüfung LK. Fragen zur differentialrechnung Mündliche Prüfung LK Diese Seite enthält Frgen zu : Differentilrechnung Integrlrechnung Exponentil und Logrithmusfunktionen Linere Alger Prozessmtrizen Frgen zur differentilrechnung Ws sind Nullstellen?

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,

Mehr

8.4 Integrationsmethoden

8.4 Integrationsmethoden 8.4 Integrtionsmethoden 33 8.4 Integrtionsmethoden Die Integrtion von Funktionen erweist sich in prktischen Fällen oftmls schwieriger ls die Differenzition. Während sich ds Differenzieren durch Anwendung

Mehr

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: ) 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 ) Eenso, denn

Mehr

Integralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C

Integralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C Integrlrechnung 9 5 Integrlrechnung 5. Ds unbestimmte Integrl Wird eine Funktion f bgeleitet, so erhält mn die Ableitungsfunktion f. Nun knn mn sich frgen, ob es einen Weg zurück gibt, d.h. ob mn us der

Mehr

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mthemtisches Institut pl. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Krin Hlupczok Üungen zur Vorlesung Elementre Geometrie Sommersemester 010 Musterlösung zu ltt 4 vom 3. Mi 010

Mehr

Mathematik 1, Teil B

Mathematik 1, Teil B FH Oldenurg/Ostfrieslnd/Wilhelmshven Fch. Technik, At. Elektrotechnik u. Informtik Prof. Dr. J. Wiee www.et-inf.fho-emden.de/~wiee Mthemtik, Teil B Inhlt:.) Grundegriffe der Mengenlehre.) Mtrizen, Determinnten

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

2.4 Elementare Substitution

2.4 Elementare Substitution .4 Elementre Substitution 7.4 Elementre Substitution Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Abschnitt behndelten Themen: Linere Substitution (LSub): Aufgbe 4.5 (S.4) und Aufgbe

Mehr

Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer

Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer Integrlrechnung 20.05.09 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Integrl ls Umkehrung der Ableitung Idee: kehre den Prozess des Dierenzierens um. f sei eine reelle Funktion

Mehr

Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt = Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.

Mehr

Monte-Carlo-Integration

Monte-Carlo-Integration Monte-Crlo-Integrtion von Dietmr Herrmnn, Anzing Kurzfssung: An Hnd eines einfchen Beispiels wird gezeigt, dß jedes Integrl ls Erwrtungswert einer reellen Zufllsgröße ufgefßt werden knn. een einer symptotischen

Mehr

Die Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1.

Die Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1. Modul : Grundlgen der Wirtschftsmthemtik und Sttistik Kurs 46, Einheit, Einsendeufge Die Regelungen zu den Einsendeufgen (Einsendeschluss, Klusurzulssung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformtionen

Mehr

a) Potenzieren ausgesprochen als Beispiel a b = c a = Basis a hoch b = c 4 3 = 64 b = Exponent c = Potenzwert

a) Potenzieren ausgesprochen als Beispiel a b = c a = Basis a hoch b = c 4 3 = 64 b = Exponent c = Potenzwert 8. Potenzen 8. Einführung in Potenzen / Wurzeln / Logrithmen Neen den klssischen Grundrechenopertionen git es weitere Opertionen, welche Beziehungen zwischen Zhlen schffen: Potenzieren Rdizieren Wurzelziehen)

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)

Mehr

9 Das Riemannsche Integral

9 Das Riemannsche Integral 1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 24

Beispiellösungen zu Blatt 24 µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufge Beispiellösungen zu Bltt Mn eweise, dss mn ein Qudrt für jede Zhl n 6 in genu n kleinere Qudrte zerlegen

Mehr

Wirtschaftsmathematik 00053: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I Kurseinheit 2: Lineare Algebra II. Autor: Univ.-Prof. Dr.

Wirtschaftsmathematik 00053: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I Kurseinheit 2: Lineare Algebra II. Autor: Univ.-Prof. Dr. Wirtschftsmthemtik 0005: Mthemtik für Wirtschftswissenschftler I Kurseinheit : Linere Alger II Leseproe Autor: Univ.-Prof. Dr. Wilhelm Rödder 5. Linere Gleichungssysteme und Mtrixgleichungen So verwundert

Mehr

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m. Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Definition: Eine Funktion mit der Gleichung y = c (,, c R; 0) heißt qudrtische Funktion oder Funktion. Grdes. qudrtisches Glied;...lineres Glied; c...solutes Glied Der Grph einer

Mehr

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende

Mehr

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG)

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG) Sript für die Oerstufe und ds Aitur Bden-Württemerg erufl. Gymnsium (AG, BTG, EG, SG, WG) Mtrizenrechnung, wirtschftliche Anwendungen (Leontief, Mterilverflechtung) und Linere Optimierung Dipl.-Mth. Alexnder

Mehr

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010 R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl

Mehr

, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung

, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung . INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich

Mehr

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I Mthemtik mcht Freu(n)de KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I 1. Aufgenstellungen Aufge 1.1. Erkläre, wrum die eiden drgestellten Dreiecke ähnlich zueinnder sind und erechne die fehlenden Seitenlängen x und

Mehr