Differential- und Integralrechnung: eine kurze Wiederholung

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1 Differentil- und Integrlrechnung: eine urze Wiederholung Dvid Wozbl 8. September 8 Zusmmenfssung Die folgenden Seiten sind ls urze Wiederholung bzw Einführung in die Differenzil- und Integrlrechnung zu verstehen. Es wird folgerichtig ein Anspruch uf vollständige oder besonders exte Behndlung gelegt. Ausgelssen werden insbesondere technische Detils wie Beweise und Existenzussgen für Integrle bzw Ableitungen. Vorussetzung für ds Verständnis des vorliegenden Textes ist die Kenntnis von Limiten. Differentilrechnung Die Differentilrechung beschäftigt sich mit infinitesimlen Änderungen (Differenzen in Funtionswerten. Differenziert mn eine Funtion f : R R in einem Punt x R, so ermittelt mn die Steigung der Funtion in dem Punt x. Eine ntürliche Approximtion der Steigung einer Funtion f im Punt x, ist der sogennnte Differenzenquotient (siehe Abbildung f h (x = f(x f(x h. h Es ist nschulich lr, dss der Differenzenquotient die Steigung mit leiner werdenden h immer besser pproximiert, flls die Funtion hinreichend gltt ist (d.h. eine Sprungstellen oder ähnliche unerfreuliche Phänomene ufweist. Die Ableitung f einer Funtion f im Punt x ist nun ls definiert. lim f h(x h Beispiel. Die Ableitung der Funtion f(x = x nn diret durch Auswerten des Limes der Differenzenquotienten gefunden werden. Der Differenzenquotient ist x (x h h = h. Aus obiger Rechnung folgt, dss f (x =. Dies stimmt mit der Anschuung überein, dss die Steigung der Indentitätsfuntion überll ist. Beispiel. Der Differenzenquotient der Funtion f(x = x n ( R ht folgende Gestlt x n (x h n x n ( n n = ( x n h ( n n = h h = = ( x n h h = ( n = ( n ( x n h = ( nx n n = ( n ( x n h.

2 Abbildung : Approximtion der Ableitung der Funtion f(z = z 3 + 5z im Punt x=3 mittels des Differenzenquotienten mit h =,.5,. Lässt mn in obigen Ausdruc h gegen gehen, erhält mn ( n ( lim nx n n ( x n h = nx n h und somit f (x = nx n. = Bermerung 3. Bei der obigen Rechnung wurde der sogennnte Binomische Lehrstz zur Berechnung von (x + h n verwendet. Der Stz besgt, dss für zwei reele Zhlen und b wobei ( n = ( + b n = n! (n!! n = ( n Aus dem Lehrstz folgen zum Beispiel die bennten Formeln n b und n! = n(n.. ( + b = + b + b bzw ( + b 3 = b + 3b + b 3.. Ableitungen von häufig verwendeten Funtionen Die folgende Tbelle enthält die Ableitungen von gebräulichen Funtionen.

3 Funtion f Ableitung f e x. Rechenregeln e x ln(x x sin x cos x cos x sin x tn x cos (x n x n + n x n + + x + n n x n + (n n x n + + Beim Differenzieren gelten die folgenden Rechenregeln Nme Linerität Produtregel Quotientenregel Anwenung (f(x + b = f (x (f(xg(x ( = f (xg(x + f(xg (x f g = f (xg(x f(xg (x g (x Kettenregel f(g(x = f (g(xg (x Inverse Funtion (f (x = f (f (x Beispiel 4 (Linerität. Für Polynome f(x = n x n + n x n + + x + folgt us der Linrität der Ableitung f (x = ( n x n + ( n x n + + ( x + = n n x n + (n n x n + +. Beispiel 5 (Produtregel. f(x = sin(xcos(x f (x = cos(x sin(x. Beispiel 6 (Quotientenregel. f(x = tn(x = sin(x cos(x f (x = cos(x +sin(x cos(x = cos(x Beispiel 7 (Kettenregel. f(x = sin(x f (x = sin(xcos(x Beispiel 8 (Kettenregel. f(x = log(cos(x f (x = sin(x cos(x = tn(x Beispiel 9 (Inverse Funtion. Sei f(x = cos(x, f (x = rccos(x, dnn folgt us sin(x +cos(x =, x R und cos(rccos(x = x (f (x = sin(rccos(x = = =. sin(rccos(x cos(rccos(x x 3

4 Integrlrechnung. Ds Riemnn Integrl Es gibt zhlreiche Arten Intgerlbegriffe für Funtionen f : [, b] R zu definieren. Wir behndeln hier ds sogennnte Riemnn Integrl. Die Grundidee ist, die Fläche, die der Funtionsgrph mit der x-achse einschließt, zu bestimmen indem mn die Funtion f durch einfchere Funtionen pproximiert und die Fläche für diese einfcheren Funtionen bestimmt. Wählt mn die Approximtion feiner, so näheren sich für schöne Funtionen die Flächen unter den einfchen Funtionen der Fläche unter der ursprünglichen Funtion n. Beim Riemnn-Integrl unterteilt mn den Wertebereich [, b] R in leine Subintervlle [r i, r i+ mit = r r r n r n = b. Mn definiert nun die sogennnten Riemnn-Summen n n s(n = fi (r i+ r i, und S(n = f i + (r i+ r i, i= wobei f + i = sup x [ri,r i+ ] f(x und f i = inf x [ri,r i+ ] f(x. Mn nennt die S(n uch die Obersummen und die s(n die Untersummen. Die Riemnn-Summen sind die Flächen unter den Treppenfuntionen wobei n n f s (x = [ri,r i+ ](xfi und f S (x = [ri,r i+ ](xf i +, i= A (x = {, x A, x A für beliebige Mengen A R. Es ist leicht einzusehen (siehe Abbildung, dss je feiner die Einteilung des Definitionsbereichs [, b] durch die r i, desto geringer der Unterschied zwischen der Fläche unter der Funtion f und der Fläche unter den Treppenfuntionen f S und f s ist. Weiters ist lr, dss die Obersummen immer größer sind ls die Untersummen und bei feiner werdenden Prtitionen die Obersummen leiner und die Untersummen größer werden (d die Approximtion der Funtion f besser wird. Die Fläche unter der Funtion f liegt zwischen Ober- und Untersumme. Ist so ist gilt nch dem vorher gesgten, dss lim s(n = lim S(n, n n lim s(n = lim S(n = n n i= i= f(xdx, wobei der letzte Ausdruc die Fläche unter dem Funtionsgrphen von f zwischen den Punten und b bezeichnet. Mn bezeichnet f(xdx ls ds Integrl von f zwischen und b. Tbelle vernschulicht wie sich Ober- und Untersummen mit steigendem n neinnder nnähern.. Verbindungen zwischen Differentil- und Integrlrechnung Es stellt sich herus, dss ds Integrl in gewisser Weise die Umehrung des Differenzierens ist. Definiert mn die sogennnte Stmmfuntion F von f ls F (x = x 4 f(tdt

5 Abbildung : Approximtion der Funtion f(z = z 3 + 5z durch Stufenfuntionen von oben und von unten. Stützpunte:, 3,, 5. dnn gilt F = f. Hierus und us der Ttsche, dss ds Integrl die Fläche unter der Kurve f drstellt folgt nun für x <, dss f(tdt = x f(tdt x f(tdt = F (b F (. Dieser Zusmmenhng ist unter dem Nmen Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung bennt und ist - wie der Nme vermuten lässt - einer der wichtigsten Erenntnisse in diesem Gebiet. Die prtische Bedeutung des Stzes liegt drin, dss er es ermöglicht Integrle numerisch uszuwerten, ohne diret uf Approximtionen durch Stufenfuntionen zurüczugreifen. Um ds Integrl f(xdx zu berechnen, findet mn zunächst die Stmmfuntion F, die durch F = f definiert ist, und berechnet dnn F (b F (. Beispiel. Die für die Erstellung der Grphien in Abbildung verwendete Funtion f(x = z 3 + 5z ht die Stmmfuntion F (x = z z3 Dies ist uch plusibel, d die infinitesimle Änderung der Fläche unter der Kurve mit dem hinzugeommen Funtionswert übereinstimmen sollte. 5

6 Stützpunte Obersumme Untersumme Differenz Tbelle : Ober- und Untersummen für die Funtion f(z = z 3 + 5z. wie sich leicht durch Differenzieren nchprüfen lässt. Ds Integrl von f in den Grenzen und 5 nn dher folgendermßen berechnet werden 5 f(xdx = F (5 F ( = Ds finden von Stmmfuntionen ist im Gegenstz zum Differenzieren, ds vergleichsweise mechnisch bläuft, oft mit erheblichen Schwierigeiten verbunden. Im nächsten Abschnitt sind die Stmmfuntionen einiger gebräuchlicher Funtionen ufgelistet..3 Integrle von häufig verwendeten Funtionen Funtion f e x ln(x x.4 Rechenregeln sin x cos x tn x n x n + n x n + + x + Stmmfuntion F e x xlog(x x ln(x cos x sin x log(cos(x n n+ xn+ + n n xn + + x + x Im folgenden sind, b, c R, f, g : R R und F, G : R R die Stmmfuntionen von f und g. Nme Linerität Prtielle Integrtion Substitutionsregel Anwendung (cf(x + g(xdx = c f(xdx + g(xdx, c R b f(xg(xdx = F (xg(x f(xg(xdx b f(ϕ(xϕ (xdx = ϕ(b ϕ( f(xdx Beispiel (Prtielle Integrtion. Sei f(x = sin(xcos(x, dnn und hierus folgt durch Umformen f(xdx = sin(x b sin(xcos(xdx sin(xcos(xdx = (sin( sin(b. 6

7 Beispiel (Prtielle Integrtion. Sei f(x = e x x, dnn berechnet sich ds Integrl folgendermßen xe x dx = e x x b b e x dx = e x x b b ex = ex (x b = eb (b e (. Beispiel 3 (Substitutionsregel. Sei h(x = sin(x. Um f zu integrieren, versuchen wir in dem Integrl α sin(xdx einen Ausdruc der Form f(ϕ(xϕ (xdx zu erennen und die Integrtion in Folge durch Anwendung der Substitutionsregel zu vereinfchen. Dies ist in diesem Fll leicht möglich, wenn mn f(y = sin(y und ϕ(x = x definiert. Es gilt dnn α sin(xdx = α sin(ϕ(xϕ (xdx = ϕ(α ϕ( sin(ydy = α sin(ydy = ( cos( + cos(α. Beispiel 4 (Substitutionsregel. Sei h(x = xcos( + x. Mn geht nch der selben Prinzip vor wie im letzten Beispiel, indem mn f(y = cos(y und ϕ(x = + x definiert. Es ergibt sich x.cos( x dx = f(ϕ(xϕ (xdx = 5 cos(ydy = (sin(5 sin(..5 Uneigentliche Integrle In der Sttisti und Whrscheinlicheitstheorie begegnet mn oft uneigentlichen Integrlen. Diese Integrle zeichnen sich ddurch us, dss Ihre Integrlgrenzen entweder, oder ein Wert x sind, sodss f(x {, }. Letzteren Fll werden wir hier nicht explizit behndeln, obwohl die Vorgehensweise nlog ist. Wir wenden uns lso der Berechnung von Integrlen der Form f(xdy, f(xdx und f(xf(xdx zu, wobei R. Obwohl lr ist ws mit diesen Ausdrücen gemeint ist (nämlich die gesmte Fläche unter f ohne bzw nur mit hlbseitigen Beschränungen, ist von vorne herein nicht lr, wie die jeweiligen Integrle zu berechnen sind. Die Lösung liegt in der Approximtion der Integrle durch Integrle mit endlichen Grenzen und druffolgender Grenzwertbildung. Um lso zum Beispiel ds Integrl zu berechnen, berechnet mn zunächst den Ausdruc und definiert die Lösung von ( ls C f(xdx ( f(xdx C lim f(xdx. C 7

8 Beispiel 5. Gegeben sei die Funtion f(x = xe x. Wir wollen ds Integrl f(xdx = xe x dx uflösen. Hierzu überlegen wir uns zunächst, dss C C f(xdx = xe x dx = e x x C C + e x dx = e C C e C + und gehen dnn zum Grenzwert über xe x dx = lim C e C C e C + =. Dies folgt, d lim x e x = und mittels der Regel von l Hôpitl lim x e x x = lim x x e x = lim x e x =. Bei den nderen oben ngeführten Typen von unbestimmten Integrlen geht mn nlog vor. Es gilt lso und f(xdx = lim C C f(xdy C f(xdx = lim f(xdy. C C.6 Integieren mehrdimensionler Funtionen Diese letzte Setion der Einleitung beschäftigt sich mit dem Them der Integrtion von Funtionen f : B R mit B R n. Ansttt über ein Intervll [, b] wie im -dimensionlen Fll wird hierbei über ein mehrdimensionles Gebiet B integriert. Die Funtion f ht lso folgerichtig mehr ls ein Argument. Wir werden solche mehrdimensionle Integrle berechnen indem wir sie uf -dimensionle Integrle zurücführen. Beispiel 6. Sei f(x, y = x + y eine Funtion f : R R und B = [, ] [, ] (lso ein Rechtec in R, siehe Abbildung 3. Um ds Integrl f(x, yd(x, y B zu berechnen müssen wollen wir die Inegrtion in -dimensionle Integrle ufsplten. Hierbei muss druf gechtet werden, dss ttsächlich über lle Punte in B integriert wird. Die ist in diesem Beispiel leicht möglich. Wir schreiben ( f(x, yd(x, y = x + y dx dy. B Um ds Integrl zu berechnen, löst mn zunächst ds innere Integrl x + y dx = (x + y x = + y setzt dnn ds Ergebnis ein und berechnet ds äußere Integrl ( x + y dx dy = + y dy = (y + y3 3 = + 3 =

9 Abbildung 3: Integrtionsbereiche: Beispiel 6 (lins, Beispiel 7 (rechts Beispiel 7. Sei f(x, y = cos(xy und B sei ds Dreiec in R, ds von den Punten (,, (, und ( x (, ufgespnnt wird (siehe Abbildung 3. Ds Integrl berechnet sich nch dem gleichen Prinzip wie ds Integrl us dem letzten Beispiel. Es gilt lso f(x, yd(x, y = B ( x cos(xy ( x dy dx. Mn bechte die Whl der Integrtionsgrenzen. Wählt mn ein x im äußeren Integrl, ist die Menge der y über die mn im inneren Integrl integriert von dieser Whl bhängig, wie in Abbildung 3 drgestellt: gegeben einem x [, ] vriiert ds y in dem Bereich [, x]. Auf diese Weise wird über jeden Punt (x, y B integriert. Mn berechnet nun ds innere Integrl (bhängig von x x cos(xy ( x dy = cos(x x y ( x = cos(x. Nun setzt mn ds Resultt der letzten Berechnung in die ursprüngliche Formel ein und erhält ( x cos(xy ( x dy dx = cos(xdx = sin(x = sin(. Beispiel 8. Sei f(x, y = und B der Kreis mit Rdius um den Punt (,. D f onstnt ist und B ein Kreis mit Rdius ist, würde mn erwrten, dss ds Integrl dem Flächeninhlt des Kreises entspricht, lso f(x, yd(x, y = π gilt. Ds Integrl lässt sich folgendermßen uflösen f(x, yd(x, y = Ds innere Integrl ergibt (bhängig von x x B B ( x x dy x dy = x 9 dx.

10 und somit erhält mn ttsächlich ( x x dy dx = x dx = (cos(xsin(x + x Der vorletzte Schritt lässt sich durch Anwendung der Substitutionsregel und prtieller Integrtion berechnen (siehe Übungsufgben. π π = π.