Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Sprung aus 39 km Höhe eine Einführung in die Integralrechnung. Melanie Ruß, Gießen VORANSICHT.

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1 Reihe 17 S 1 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Sprung aus 39 km Höhe eine Einführung in die Integralrechnung Melanie Ruß, Gießen Felix Baumgartner springt aus 39 km Höhe. Klasse: 12 Dauer: Inhalt: 3 4 Stunden Einführung in die Integralrechnung: eine reale Situation durch einen funktionalen Zusammenhang beschreiben den Weg schätzen den von Fearless Felix zurückgelegten Weg aus einem Geschwindigkeits-Zeit- Diagramm rekonstruieren Ihr Plus: zwei Videos 1 für die Einstiegsphase picture alliance/ap Photo Anliegen dieses Beitrags ist es, das Integral einzuführen. Aus der Kenntnis der Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit kann der Weg, den Felix zurückgelegt hat, berechnet werden. Die Auseinandersetzung mit diesem Anwendungsbeispiel bildet deshalb einen idealen Ausgangspunkt für die Entwicklung des Integralbegriffs

2 Reihe 17 S 2 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Didaktisch-methodische Hinweise Ziel Ziel ist es, anhand eines Anwendungsbeispiels den Integralbegriff einzuführen. Aus der Kenntnis der Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit 2 kann der Weg rekonstruiert werden, den Fearless Felix zurückgelegt hat. Deshalb bildet die Auseinandersetzung mit diesem Problem einen idealen Ausgangspunkt für die Entwicklung des Integralbegriffs. Vorbereitung Kopieren Sie die Materialien M 1 M 4 in Klassenstärke. Halten Sie für jede der geplanten Gruppen eine Folie (M 4) und Folienstifte bereit. Hängen Sie außerdem ein Poster im Klassenraum auf, auf dem Ihre Schüler sukzessive die angewandten Problemlösestrategien festhalten. Zeigen Sie zu Beginn der Einheit die Videos 3. Laminieren Sie die Tipp- und Zusatzkarten (M 5) und legen Sie diese dem Verlauf der Einheit entsprechend auf dem Pult aus. Ablauf Als motivierenden Einstieg zeigen Sie ein Bild von Fearless Felix. Eine Folienvorlage dafür inden Sie auf CD-ROM 53. Erfragen Sie das Vorwissen Ihrer Schüler über dieses Event. Im Oktober 2012 wurde vor allem auch unter Jugendlichen viel darüber gesprochen. Sie können davon ausgehen, dass die meisten Schüler wissen, wer Felix Baumgartner ist. Ist dies nicht der Fall, so zeigen Sie zunächst die Videos. Ihre Schüler sollen sich darüber austauschen. Leiten Sie dann zur Problemstellung über: Wie lange bewegte sich Felix Baumgartner mit Überschallgeschwindigkeit und welchen Weg legte er dabei zurück? Ihre Schüler bearbeiten sukzessive die Materialien M 1 M 4. Schätzen und argumentieren Teilen Sie das Material M 1 aus und lassen Sie es nach der Methode Think-Pair-Share ( Ich-Du-Wir ; Dialogisches Lernen nach Ruf/Gallin 2005) bearbeiten. Sind Ihre Schüler mit dieser Methode noch nicht vertraut, so erklären Sie ihnen, wie Sie vorgehen möchten. Indem die Schüler den zurückgelegten Weg zunächst in Einzelarbeit schätzen, dann ihre Schätzungen in Partnerarbeit vergleichen und diskutieren, stellen Sie sicher, dass jeder Schüler die Problemstellung versteht und die Lernenden automatisch relevante Informationen von irrelevanten Informationen trennen. Fördern Sie die Problemlösekompetenz Ihrer Schüler! Zur Lösung dieses Problems werden verschiedene Problemlösestrategien angewandt, die die Schüler möglichst selbst nennen sollen (z. B. auf Bekanntes zurückgreifen, Informationen sammeln und ordnen, Darstellung wechseln, Problem umformulieren, 2 Siehe Rhett 2012 und Graham

3 Reihe 17 S 4 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz Allg. mathematische Kompetenz Leitidee Inhaltsbezogene Kompetenzen Die Schüler... K 2, K 3, K 4 L 4... entnehmen relevante Informationen aus dem Text oder zwei Videos und stellen diese durch einen funktionalen Zusammenhang dar (M 1 M 3), K 2 L 4, L 2... lösen unter Anleitung ein komplexes Problem und machen sich dabei Problemlösestrategien bewusst (M 1 M 3), K 1 L 4... begründen, inwieweit die Fläche unter einem Geschwindigkeits-Zeit- Graphen den zurückgelegten Weg darstellt (M 1 M 3), K 5 L 3... wenden Flächeninhaltsberechnungen sicher an (M 1 M 3), K 1, K 4, K 6 L 4, L 2... arbeiten konstruktiv in Partner- und Gruppenarbeit und präsentieren ihre Lösungswege (M 1 M 3), Anforderungsbereich Abkürzungen Kompetenzen K 3 L 4... modellieren eine Realsituation (M 1 M 3), K 3 L 4 zeichnen eine Fläche in ein Diagramm ein (M 3, M 4), K 3 L 4 arbeiten selbstständig mit Lernhilfen (M 5). K 1 (Mathematisch argumentieren); K 2 (Probleme mathematisch lösen); K 3 (Mathematisch modellieren); K 4 (Mathematische Darstellungen verwenden); K 5 (Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen); K 6 (Kommunizieren) Leitideen L 1 (Zahl und Zahlbereich); L 2 (Messen und Größen); L 3 (Raum und Form); L 4 (Funktionaler Zusammenhang); L 5 (Daten und Zufall) Anforderungsbereiche II II I II I Reproduzieren; II Zusammenhänge herstellen; III Verallgemeinern und Relektieren

4 Reihe 17 S 5 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Auf einen Blick Einstieg Material Thema Stunde M 1 Den Weg schätzen und relevante Informationen sammeln Unterrichtseinstieg nach der Methode Think-Pair-Share: Zur Problemstellung: Wie lange log Felix Baumgartner schneller als der Schall? Welche Strecke legte er dabei zurück? zwei Videos ansehen, relevante Informationen sammeln und Schätzungen abgeben Motivation des Integralbegriffs Material Thema Stunde M 2 Langsam zurück auf den Boden der Tatsachen! Einen Spezialfall betrachten: Flug mit geöffnetem Fallschirm und konstanter Geschwindigkeit Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zeichnen Das Ergebnis geometrisch interpretieren M 3 M 4 (SW-Fo) M 5 Hinführung zum Integralbegriff als Fläche unter dem Graphen anhand eines Threads Felix durchbricht die Schallmauer! Unterricht nach der Methode Think-Pair-Share: Den Flächeninhalt unter einem krummlinigen Graphen bestimmen Einführung des Integrals: Die Fläche zwischen dem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen und der x-achse ist der zurückgelegte Weg. Der Flug von Felix als Geschwindigkeits-Zeit-Graph Diagramm zum Material M 3 Tipp-Karten Karten, die leistungsschwächere Schüler unterstützen /4. Minimalplan Bei Zeitnot lassen Sie die Schüler die Phase der Einzelarbeit jeweils als Hausaufgabe leisten. Sie kürzen die Partnerarbeit ab, diskutieren aber alle Fragen ausführlich im Plenum. Lassen Sie Ihre Schüler die Ergebnisse der Arbeitsphasen jeweils im Heft sichern. SW-Fo Schwarz-Weiß-Folienvorlage

5 Reihe 17 Verlauf Material S 1 LEK Glossar Lösungen M 1 Den Weg schätzen und relevante Informationen sammeln Am 14. Oktober 2012 vollzog Felix Baumgartner seinen Rekordsprung aus 39 km Höhe. Dabei brach er mehrere Rekorde, unter anderem war er der erste Mensch, der Überschallgeschwindigkeit (> 900 km/h bei der Temperatur in solcher Höhe) erreichte. Beantworten Sie folgende Fragen: Wie lange flog er schneller als der Schall? Welchen Weg legte er dabei zurück? Aufgabe: Schätzen und relevante Informationen sammeln Think! Sehen Sie sich zunächst die Videos und an. Notieren Sie wichtige Informationen, die für die Lösung des Problems hilfreich sein könnten. Geben Sie eine Schätzung ab, wie lange Felix mit Überschallgeschwindigkeit log und welche Strecke er dabei zurücklegte. Pair! Felix Baumgartner springt aus 39 km Höhe. Vergleichen Sie Ihre Schätzung sowie die gefundenen Informationen mit Ihrem Partner. Ergänzen Sie sie gegebenenfalls. picture alliance/ap Photo Share! Diskutieren Sie im Plenum, welche Informationen für die Lösung des Problems hilfreich sind. Halten Sie sie für später in Ihrem Heft fest. Für Experten Recherchieren Sie im Internet zum Sprung von F. Baumgartner, dem Fearless Felix.

6 Reihe 17 Verlauf Material S 2 LEK Glossar Lösungen M 2 Langsam zurück auf den Boden der Tatsachen! Die Problemstellung: Welchen Weg legte Felix mit geöffnetem Fallschirm zurück? Wir betrachten zunächst einen Spezialfall! Nach circa 4 Minuten und 20 Sekunden öffnet Felix den Fallschirm und gleitet in 298 Sekunden zur Erde hinab. Dabei liegt er mit einer konstanten Geschwindigkeit von ca. 5 m/s. Aufgabe 1 a) Zeichnen Sie ein Geschwindigkeits-Zeit- Diagramm für seinen Flug mit geöffnetem Fallschirm. b) Überlegen Sie sich zusammen mit einem Partner, welchen Weg Felix mit geöffnetem Fallschirm zurückgelegt hat. s v= s= v t t In den letzten 8 Sekunden bremst Felix ab. c) Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. d) Inwieweit hilft Ihnen die in Aufgabenteil c) gewonnene Erkenntnis herauszuinden, welchen Weg Felix mit Überschallgeschwindigkeit zurückgelegt hat? Wie kann eine Fläche einer Strecke entsprechen? Im Internet 4 hat jemand Folgendes gepostet: Fearless Felix mit geöffnetem Fallschirm picture-alliance/ dpa/dpaweb; epa Olivier Jobard Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist deiniert als A = a b. Die SI-Einheit für den Flächeninhalt ist der Quadratmeter (m 2 ). Wenn ich jetzt einen Geschwindigkeits-Zeit-Graphen habe und zwischen zwei Stellen inte grieren will, dann stellt das Ergebnis des Integrationsprozesses ja den Flächeninhalt zwischen diesen beiden Stellen dar (nehmen wir an, dass die zu integrierende Fläche ein Rechteck ist to keep it simple!). Mein Problem ist jetzt, dass der Flächeninhalt unter dem Graphen überhaupt rein gar nichts mit dem Quadratmeter zu tun hat: m 10 2 s 20 m s =. Wir erhalten eine Fläche von 20 m! Das macht gar keinen Sinn! 20 m ist die Länge einer Strecke, aber ganz sicher keine Fläche! Aufgabe 2 Schreiben Sie eine Antwort zu diesem Beitrag. 4

7 Reihe 17 Verlauf Material S 5 LEK Glossar Lösungen M 5 Tipp-Karten Tipp zu M 2 Anderes Beispiel: Sie fahren mit einer konstanten Geschwindigkeit von 100km/h von Bielefeld nach Berlin. Sie benötigen 4 Stunden. Wie viele km haben Sie zurückgelegt? Tipp zu M 2 Zur geometrischen Interpretation: Machen Sie sich die Rechenoperation bewusst, die Sie durchgeführt haben, um den zurückgelegten Weg zu ermitteln. Übertragen Sie dies auf den Graphen: Welchen geometrischen Objekten entspricht Ihr Ergebnis? Tipp zu M 3 Ist die zu bestimmende Fläche ähnlich zu einer Fläche, deren Inhalt Sie bereits bestimmen können? Können Sie sie in kleinere Flächen zerlegen? Tipp zu M 2 und M 3 kleine Formelhilfe Den Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten a und b berechnet man mit der Formel A = a b. Den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Grundseite g und der Höhe h auf g berechnet man mit der Formel A = ½ g h. Den Flächeninhalt eines Trapezes mit den Seiten a, b, c und d (a c, h Höhe auf a) berechnet man mit der Formel A = ½ (a + c) h. Zusatzaufgabe zu M 4 Überlegen Sie sich, wieso der Zusammenhang Die Fläche zwischen einem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen und der x-achse in einem Intervall gibt den in dem Intervall zurückgelegten Weg an auch für krummlinige Flächen gilt.

8 Reihe 17 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen S 1 Lösungen und M 1 Tipps zum Einsatz Den Weg schätzen und relevante Informationen sammeln Selbst wenn Ihre Schüler die Zeitdauer ungefähr richtig tippen, vermuten sie meist einen weit geringeren zurückgelegten Weg, als tatsächlich der Fall ist. Es lohnt sich, die Schätzungen auf Folie festzuhalten und diese mit der Berechnung des tatsächlichen Wertes zu vergleichen. Relevante Informationen: Zeitpunkt, zu dem Fearless Felix die Schallmauer durchbricht (nach ca. 34 Sekunden) Zeitpunkt, zu dem er die Schallmauer wieder verlässt (nach ca. 64 Sekunden) vgl. Alternativ: Geschwindigkeitsgrenze, ab der Überschallgeschwindigkeit erreicht ist eine Wertetabelle mit Felix Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit M 2 Die Expertenaufgabe geben Sie schnellen Schülern zur Differenzierung oder allen als Hausaufgabe. Welchen Weg legte Felix mit geöffnetem Fallschirm zurück? a) Der Geschwindigkeits-Zeit-Graph seines Flugs mit geöffnetem Fallschirm: Geschwindigkeit [in m s ] Zeit [in s] b) Für den Flug mit konstanter Geschwindigkeit bis zum Zeitpunkt t = 290 s gilt: s= v t = 5 m/s 290 s = 1450 m (Flächeninhalt des Rechtecks). Man kann annehmen, dass Felix kurz vor der Landung etwas abbremst. 1/2 ( ) s 5 m/s = 20 m (Flächeninhalt des Dreiecks). Dieser Wert sollte addiert werden. Insgesamt sind es also etwa 1470 Meter. c) Man berechnet das Produkt Zeit Geschwindigkeit. Dies entspricht der Fläche, die der Geschwindigkeits-Zeit-Graph mit der x-achse einschließt.