11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

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1 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und im Verluf der Vorlesung MAT 182 vollständig durchrbeiten. Für Ihre eigenen Bedürfnisse in dieser Vorlesung MAT 182 dürfen Sie dieses PDF-Dokument bspeichern und beliebig ändern. Für eine weitergehende Verwendung usserhlb der Vorlesung MAT 182 kontktiere mn bitte vorgängig den Dozenten Christoph Luchsinger, Universität Zürich. Ds Copyright ist bei Birkhäuser! 11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (11.2) Ds bestimmte Integrl ls Funktion der oberen Grenze Hier und im folgenden bezeichnet I ein beliebiges (offenes, bgeschlossenes etc.) Intervll. Wir betrchten eine stetige Funktion f : I R und wählen ein festes I. Für jedes x I ist dnn ds bestimmte Integrl f(t) dt im Sinne von (10.2) definiert. Auf diese Weise erhlten wir eine neue Funktion Φ : I R, f(t) dt. Wenn f(x) 0 ist, so ht Φ(x) eine einfche geometrische Bedeutung ls Inhlt des schrffierten Flächenstücks: Dies gilt jedenflls für x > ; gemäss (10.8) ist Φ() = 0 ( geschrumpfter Flächeninhlt), und für x < ist Φ(x) der negtive Flächeninhlt.

2 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung In (10.7) hben wir gesehen, dss gilt: 0 x 2 dx = b3 3. Nch einer Umbezeichnung erhlten wir in diesem speziellen Fll eine Formel für die Funktion Φ, nämlich 0 t 2 dt = x3 3. Für die so definierte Funktion Φ gilt nun die folgende äusserst wichtige Ttsche: Ttsche (I): Φ ist uf I differenzierbr und es ist Φ (x) = f(x) für lle x I. Ds bisher einzige Beispiel eines Integrls, für welches wir einen formelmässigen Ausdruck kennen, ist oben erwähnt. Hier ist f(x) = x 2, x 3 /3, und in der Tt ist hier Φ (x) = f(x). Dies bestätigt die Ttsche (I). Wir geben jetzt eine nschuliche Begründung für die Ttsche (I):

3 11.3 Stmmfunktionen 93 (11.3) Stmmfunktionen Wir knüpfen n die Ttsche (I) von (11.2) n und führen einen neuen wichtigen Begriff ein: Es sei f : I R eine Funktion. Unter einer Stmmfunktion von f versteht mn eine Funktion F, für die gilt: F (x) = f(x) für lle x I. Die Ttsche (I) knn nun uch so formuliert werden: Wenn f stetig ist, so ist die durch f(t)dt gegebene Funktion Φ eine Stmmfunktion von f. Somit ht jede stetige Funktion f (mindestens) eine Stmmfunktion, nämlich Φ. D ber die direkte Berechnung eines bestimmten Integrls i.. grosse Mühe mcht, ist dies zunächst nur von theoretischem Interesse. Der entscheidende Punkt ist nun ber der, dss mn ds Problem uch umgekehrt betrchten knn. In vielen Fällen knn mn nämlich gnz direkt eine Stmmfunktion ngeben, indem mn einfch die Ableitungsregeln umkehrt. So ist z.b. F (x) = sin x eine Stmmfunktion von f(x) = cos x (denn F (x) = (sin x) = cos x = f(x)), G(x) = x 2 eine Stmmfunktion von g(x) = 2x (denn G (x) = (x 2 ) = 2x = g(x)). Wir üben dies gleich ml zusmmen:

4 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Diesen Schverhlt knn mn jetzt verwenden, um bestimmte Integrle unter Verwendung von uf irgendeine Weise direkt gefundenen Stmmfunktionen zu berechnen. Wir werden die Überlegungen nhnd des ersten Beispiels weiterführen. Aus der llgemeinen Theorie wissen wir, dss cos t dt eine Stmmfunktion von f(x) = cos x ist. Anderseits hben wir direkt eingesehen, dss F (x) = sin x ebenflls eine Stmmfunktion von cos x ist. Wenn wir nun schliessen dürften, dss diese beiden Stmmfunktionen Φ und F gleich wären, dss lso cos t dt = sin x oder speziell cos t dt = sin b wäre, dnn hätten wir ein bisher so unzugängliches Integrl uf einfchste Weise berechnet. Leider ist diese Überlegung nicht gnz richtig (doch trösten Sie sich: Es ist noch nicht lles verloren!). Der Grund dfür, dss die eben durchgeführte Betrchtung nicht korrekt ist, liegt drin, dss eine stetige Funktion stets unendlich viele Stmmfunktionen ht. Es gilt nämlich: Ttsche (II): Wenn F (x) eine Stmmfunktion von f(x) ist, dnn ist uch F (x) + C für jede reelle Zhl C eine Stmmfunktion von f(x). Dies folgt einfch drus, dss jede konstnte Funktion die Ableitung 0 ht. Deshlb ist in der Tt (F (x) + C) = F (x) = f(x). Von dieser Feststellung gilt ber uch die Umkehrung: Ttsche (III): Es seien F 1 (x) und F 2 (x) Stmmfunktionen von f(x). Dnn gilt F 1 (x) F 2 (x) = C (für lle x) für eine geeignete Konstnte C, oder, nders geschrieben: F 1 (x) = F 2 (x) + C. Beweis:

5 11.3 Stmmfunktionen 95 Nun betrchten wir unser Beispiel von vorher nochmls mit neuem Mut. Wir dürfen zwr nicht schliessen, dss die beiden Stmmfunktionen Φ(x) und sin x von f(x) = cos x gleich sind. Wohl ber gilt, dss sie sich bloss um eine Konstnte unterscheiden. Es gibt lso eine Zhl C mit cos t dt = sin x + C. Wie lässt sich dieses C nun bestimmen? Setzen wir x =, so wird Φ() = cos t dt = 0 = sin + C und wir finden C = sin. Für lle x gilt lso und speziell (mit x = b) cos t dt = sin x sin cos t dt = sin b sin. Noch spezieller hben wir zum Beispiel ds Resultt π/2 0 cos t dt = sin π 2 sin 0 = 1. Dies ist nun wirklich ein Erfolg! Wir hben ein bestimmtes Integrl, dessen Definition (mit Riemnnschen Summen) so kompliziert wr, uf gnz einfche Weise berechnen können. Interpretieren wir die letzte Formel geometrisch, so sehen wir, dss der Inhlt der schrffierten Fläche unter der Cosinus-Kurve = 1 ist! Probieren wir ds Verfhren gleich nochmls us: Zu berechnen sei x 3 dx.

6 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (11.4) Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Ds folgende Resultt ist für die Berechnung von Integrlen äusserst wichtig. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung: Die Funktion f sei uf dem Intervll I definiert und stetig. Ferner sei F eine beliebige Stmmfunktion von f. Dnn gilt für lle, b I: f(x) dx = F (b) F (). Der Beweis dieses Stzes folgt den bereits ngestellten Überlegungen: Nch der Ttsche (I) von (11.2) ist f(t) dt eine Stmmfunktion von f(x). Wegen der Ttsche (III) von (11.3) unterscheiden sich lso Φ und F nur um eine Konstnte C: f(t) dt = F (x) + C für lle x I. D Φ() = 0 ist, gilt F () + C = 0, d.h. C = F (). Für x = b erhält mn f(t) dt = F (b) F (). Abgesehen von der (unwesentlichen) Bezeichnung der Integrtionsvriblen ist dies gerde die Behuptung des Stzes. Es sei noch betont, dss die Formel des Huptstzes sowohl für < b ls uch für > b (und trivilerweise für = b) gilt. Bechten Sie, dss der Huptstz eine enge Beziehung zwischen der Ableitung und dem Integrl herstellt, eine Beziehung, die priori nicht uf der Hnd liegt. Für die oft vorkommende Differenz F (b) F () gebrucht mn oft die Abkürzung F (b) F () = F (x) b [F oder uch (x) ] b. Beispielsweise ist x 2 b = b 2 2.

7 11.4 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung 97 Im nächsten Kpitel werden wir den Huptstz systemtisch nwenden. Zum Schluss geben wir noch ein gnz einfches Beispiel, in welchem zudem eine Bezeichnung erläutert wird. Wir betrchten die konstnte Funktion f(x) = 1. Sttt 1 dx schreibt mn einfch dx. Weil F (x) = x offensichtlich eine Stmmfunktion von f(x) ist, erhlten wir dx = x b = b. Geometrisch ist dies der Flächeninhlt des Rechtecks mit Höhe 1 über dem Intervll mit den Grenzen und b (flls < b ist; ndernflls ist b < 0, und wir bekommen den negtiven Flächeninhlt). Dmit ist Kpitel 11 us Storrer I fertig besprochen. Lesen Sie jetzt Kpitel 11 im Storrer I selber durch; dnch lösen Sie die Aufgben us (11, ) Aufgben, vergleichen mit den Lösungen m Schluss des Buches und dnn lösen Sie ds Übungsbltt dzu und gehen in die Übungsstunde.