Pensions- und Hinterbliebenenversicherung. Natascha Pleschiutschnig 8.Jänner 2008
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- Hermann Winkler
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1 Pensions- und Hinterbliebenenversicherung Natascha Pleschiutschnig 8.Jänner
2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Pensionsversicherung Modell von Schärtlin Übergangswahrscheinlichkeiten Barwerte und Anwartschaften Leistungsbarwerte Barwerte von Aktivitätsrenten Anwartschaften eines Aktiven
3 1 Einleitung Diese Arbeit geht auf das Thea Pensionsversicherung ein und gibt einen kleinen Einblick in die Berechnung der Barwerte und Anwartschaften von Pensionen. Dait jeder Mensch seine ih zustehende Pension erhält, üssen viele Zustände berückstichtigt werden,wie zu Beispiel, in welcher Personengesatheit sich der zu Versichernde befindet und it welche Alter er eine Pensionsvorsorge abgeschlossen hat, was eist it de Eintritt in die Arbeitswelt beginnt. Eine Personengesatheit beschreibt eine Menge von Menschen, die alle indestens eine Eigenschaft erfüllen, dait sie zu dieser Menge gehören, wobei es aber verschiedene Personengesatheiten und soit Eigenschaften, gibt. Zu Beispiel die Personengesatheit der Aktiven(Arbeiter). Diese Menge besitzt die Eigenschaft, dass alle sich in ihr befindlichen Personen die Eigenschaft des Arbeitens aufweisen. Doch ehr dazu später. 2 Pensionsversicherung Eine Pension ist ein koplexes Leistungsversprechen, dass den Versicherten in Fällen von Lebensrisiken absichern soll. Die Dauer der Einzahlungen, deren Höhe und die Zeitspanne, in welcher der zu Versichernde die Beiträge einzahlen uss und wie oft i Jahr eine Zahlung zu erfolgen hat, werden unter andere i Pensionsversicherungsvertrag festgelegt. Es gibt verschiedene Renten, wie zu Beispiel: Aktivitätsrenten Invalidenrenten Witwenrenten Waisenrenten In dieser Arbeit werden die Aktivitäts- und Invalidenrenten näher besprochen, das sind die Renten für arbeitende und invalide Personen. Das österreichische Pensionsodell sieht vor, dass jeder Aktive it Eintritt in einen Beruf auch autoatisch eine Pensionsversicherung abschließt und ein Austritt aus dieser Versicherung it der Kündigung des Berufes einhergeht (Pflichtversicherung). Da ein Aktiver aber auch in eine andere Personengesatheit übergehen kann, benötigen wir die Übergangswahrscheinlichkeit. Hierfür verwenden wir das Modell von Schärtlin. 3
4 2.1 Modell von Schärtlin Dieses Modell berechnet die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Gesatheiten für jedes (x+1)- te Jahr, doch kann eine Person pro Jahr nur einal von einer Personengesatheit in eine andere wechseln. Es wird die geschlossene Personengesatheit P verwendet, welche die Gesatpersonenanzahl aller Mitglieder der untergeordneten Personengesatheiten beinhaltet, wobei keine neuen Mitglieder dazukoen dürfen, das Ausscheiden aus einer der Teilengen jedoch sehr wohl öglich ist, wenn dieses Ausscheiden aus der einen Gesatheit den Eintritt in eine andere beinhaltet, sodass die Gesatpersonenzahl ier konstant ist. Zu Beispiel können Mitglieder der Personengesatheit der Aktiven, durch z. B. Tod ausscheiden, doch es können nicht neue hinzukoen. Die Personengesatheit P ist die Gesatheit aller Personengesatheiten und sie lässt sich in diese Modell in die fünf Personengesatheiten a: Aktiven A: Altersrentner (gingen als AKTIVE in Pension) i: Invalide (berufsunfähig) A : Altersrentner (gingen als INVALIDE in Pension) TOT: Verstorbene aufspalten. Dieses Modell geht von einer geschlossen Personengesatheit aus, d.h. es können keine neuen Personen zu der Personengesatheit P dazukoen, oder diese Gruppe verlassen. Allerdings sind Übergänge zwischen den Personengesaheiten erlaubt. Ein Aktiver kann also jedes Jahr in alle anderen Gesatheiten wechseln, doch bleibt ein Verstorbener in der Gruppe der Toten, die Invaliden sollen nicht reaktiviert werden und die Pensionisten können nur in die Gesatheit der Toten übergehen. Nun betrachten wir die Übergangswahrscheinlichkeiten für dieses Modell. 2.2 Übergangswahrscheinlichkeiten Übergangswahrscheinlichkeiten für Aktive: Diese Wahrscheinlichkeiten üssen innerhalb jeder Personengesatheit suiert 1 ergeben. Wir gehen davon aus, dass jeder Arbeiter eine Rente abschließen uss, dadurch wird die Mögichkeit der Stornierung nicht berücksichtigt. Weiters wird davon ausgegangen, dass alle Personen erst it de Pensionsalter ω in Pension gehen. Dieses Pensionsalter ω wird auf 60 Jahre für Frauen und 65 Jahre für Männer festgelegt. q a x Wahrscheinlichkeit für einen x- jährigen Aktiven, i nächsten Jahr zu sterben 4
5 i x Wahrscheinlichkeit für einen x- jährigen Aktiven, i nächsten Jahr invalide zu werden p a x p a ω Wahrscheinlichkeit für einen x- jährigen Aktiven, i nächsten Jahr arbeitsfähig zu bleiben Wahrscheinlichkeit für einen ω- Jährigen Aktiven als Aktiver in den Ruhestand zu gehen Übergangswahrscheinlichkeiten für Altersrentner ALTA: q A x p A x Wahrscheinlichkeit für einen x- jährigen Altersrentner, i nächsten Jahr zu sterben Wahrscheinlichkeit für einen x- jährigen Altersrentner zu überleben p i x p i ω Übergangswahrscheinlichkeiten für Invalide: Wahrscheinlichkeit für einen x- jährigen Invaliden, das nächste Jahr invalide zu überleben Wahrscheinlichkeit für einen ω- Jährigen it diese Alter invalide in den Ruhestand zu gehen q i x Wahrscheinlichkeit eines Inavliden i nächsten Jahr zu sterben p A x Übergangswahrscheinlichkeiten eines invaliden Altersrentners: Wahrscheinlichkeit für einen x- jährigen invaliden Altersrentner, i nächsten Jahr invalide weiterzuleben q A x Wahrscheinlichkeit für einen x- jährigen invaliden Altersrentner zu sterben In diese Modell wird die partielle Ausscheidewahrscheinlichkeit, auch bekannt als unabhängige Wahrscheinlichkeit, verwendet, d.h. es werden nur die Ausscheidegründe Tod oder Invalide berücksichtigt und eine Person kann nur einal i Jahr aus eine Ausscheidegrund von einer Personengesatheit zur nächsten wechseln. Geht an davon aus, dass z.b. ein Aktiver nur einen Ausscheidegrund hat, so wäre die Forel für die Ausscheidewahrscheinlichkeit eines Aktiven für das nächste Jahr: #L a x+1 = #L a x (1 q a x i x ) Da aber eine Person in Wirklichkeit aus beiden Gründen ausscheiden kann, entsteht ein Fehler, da diese Person soit doppelt gezählt wird. Daher uss die obrige Forel erweitert werden. Soit lautet die Forel für die zu erwartende Personenanzahl der Aktiven für das nächste Jahr: #L a x+1 = #L a x (1 q a x i x + q a x i x ) Wobei q a x i x die Wahrscheinlichkeit angibt, dass eine Person aus beiden Gründen ausscheidet und #L a x die Mitgliederanzahl der Personengesatheit der x- jährigen Aktiven angibt. 5
6 2.3 Barwerte und Anwartschaften Leistungsbarwerte U die Leistungsbarwerte zu berechnen, uss zuerst die Entwicklung der Personengesatheiten beobachtet werden. Entwicklung der Personengesatheiten Das Beginnalter wird it x 0 bezeichnet, welches zwischen 15 und 20 Jahren angenoen wird (15 x 0 20) wohingegen ω das Eintrittsalter in die Pension angibt. Weiters stellt 1 alle Personen einer Gesatheit dar, jedoch werden Storno und Reaktivierungen nicht berücksichtigt. Anzahl von zu erwartenden (x+1)-jährigen Aktiven i nächsten Jahr: #L a x+1=#l a x (1 q a x i x ) Anzahl von zu erwartenden (x+1)-jährigen Invaliden i nächsten Jahr: #L (i) x+1 =#L(i) x (1 qx) i + #L a x i x Wenn wir aber davon ausgehen, dass keine neuen Personen zu der Gesatheit der Invaliden dazukoen dürfen und nur durch den Tod ausscheiden, dann lautet die Forel für die Anzahl der zu erwartenden (x+1)-jährigen Invaliden i nächsten Jahr wie folgt: #L i x+1=#l i x (1 q i x) Die Indizes (i) und i sollen den Unterschied kennzeichnen. Bei der Berechnung der Anzahl der Altersrentner gibt ω das Eintrittsalter in die Pension und den Anfang der Pensionsauszahlungen an, wohingegen ω das Endalter dieser Auszahlungen angibt. Daraus folgt, dass ω x ω gelten uss, wobei x das derzeitige Alter des Pensionisten angibt. Anzahl von (x+1)- jährigen Altersrentnern i nächsten Jahr: #L A x+1=#l A x (1 q A x ) Barwerte von Aktivitätsrenten Unter de Begriff Aktivitätsrenten versteht an, dass nur Aktive Beträge an die Verischerung zahlen üssen. Diese Beträge sind Renten, die it der Arbeitsfähigkeit und - ausübung zusaenhängen und in regeläßigen Abständen an die Versicherung bezahlt werden üssen, jedoch nur bis zu Eintritt in die Pension. Für die Berechnung dieser Renten benötigt an den Barwert. Barwert Ein Barwert ist die Sue aller zu Beginn der Laufzeit abgezinsten Zahlungen. Wir wollen zwischen den Erwartungswerten der Barwerte a a x und ä a x unterscheiden, als 6
7 np a x = #La x+n #L a x bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit eines x- Jährigen Aktiven, die nächsten n Jahre zu überleben und das Kapital wird ier als 1 angenoen. Soit können wir die Barwerte der Aktivitätsrenten schreiben als: Erwartungswert des Barwerts einer Aktivitätsrente für einen x-jährigen, der jährlich nachschüssig zu bezahlen ist, bis das Endalter ω erreicht wird: a a x = ω x νp a x z ν Nachschüssig bedeutet, dass die Rentenzahlung erst a Ende des Jahres bezahlt werden uss, wohingegen bei vorschüssigen Renten die Zahlung a Anfang des Jahres fällig ist, wobei z der Abzinsungsfaktor z = 1 ist und 1 i it i bezecihnet an den effektiven Zinssatz, wobei der Rechnungszins in den eisten Fällen 3,5% beträgt. ν=1 Erwartungswert des Barwerts einer Aktivitätsrente für einen x-jährigen, der jährlich vorschüssig zu bezahlen ist, bis das Endalter ω erreicht wird: Die Einführung der Koutationswerte und ä a x = ω x 1 νp a x z ν ν=0 D a x := #L a x z x Nx a := ω x 1 ν=0 D a x+ν liefert dann diese Schreibweise für den Barwert einer vorschüssigen Aktivitätsrente ä a x: Unterjährliche Renten ä a x = N a x D a x Des weiteren gibt es auch unterjährliche Renten, da eine Aktivitätsrente der Höhe 1 nicht nur jährlich, sondern auch öfters i Jahr zu bezahlen sein kann. Da die Beträge nun nicht ehr a Anfang oder a Ende eines Jahres eingezahlt werden, werden beide Erwartungswerte der Barwerte zur Berechnung benötigt. Der Erwartungswert des Barwertes einer nachschüssigen -tel jährlichen n Jahre zahlbaren Rente it de Zahlbetrag 1 wird für einen x- Jährigen bezeichnet it 7
8 x, n = 1 n k/p x z k/ a () k=1 und der Erwartungswert des Barwertes einer vorschüssigen -tel jährlichen n Jahre zahlbaren Rente it Zahlbetrag 1 für einen x- Jährigen wird it bezeichnet. ä () x, n = 1 n 1 k/p x z k/ k=0 Für ein besseres Verständnis der koenden Foreln für die Erwartungswerte der Barwerte von unterjährlichen Renten für Aktive wird kurz die verwendete Notation erklärt: Erklärung der Notation Das zu betrachtende Zeitintervall ist [ n + k, n k ], wobei folgende Bezeichnugen gelten: n gibt die Anzahl der Jahre an k bezeichnet den k- ten - tel Teil eines Jahres, k=0,1,...,-1 weiters ist k der Zeitpunkt, in de der Rentenversicherungsvertrag abgeschlossen wird k/ p x ist die Wahrscheinlichkeit eines x- Jährigen den Zeitpunkt x + k zu überleben. Man kann die obrigen Erwartungswerte für die Barwerte auf verschiedene Arten interpolieren, doch wir gehen davon aus, dass, wenn eine Person zu jede Zeitpunkt k einen Rentenversicherungsvertrag abschließen würde,der nuerische Fehler durch die verwendeten Sterbetafeln in der Praxis sehr gering wäre und daher wird hier die lineare Näherung verwendet. Daher soll gelten, dass: und 0 ä x := ä x 0 Daraus ergibt sich: k/ ä x := ä x k 8
9 ä () x = 1 k/ ä 1 k=0 k=0 ä x k = ä x 1 Soit ergibt sich folgende Approxiation für die Erwartungswerte der Barwerte von unterjährlichen Renten: Barwerte von Invalidenrenten ä a() x ä a x 1 2 ( 1) 2 Die Wahrscheinlichkeit für einen x- jährigen Invaliden, die nächsten n Jahre invalide zu überleben wird dargestellt als: np i x = #Li x+n #L i x Der Erwartungswert des Barwertes ä i x einer vorschüssigen Invalidenrente der Höhe 1 für einen x-jährigen lautet: ä i x = ω x 1 νp i x z ν ν=0 Auch hier können unterjährliche Zahlungen vereinbart werden, die folgende Approxiation zu Grunde liegen: ä i() x ä i x Anwartschaften eines Aktiven Da die Versicherung i Laufe der Zeit Zahlungen nicht nur erhält, sondern auch leisten uss, üssen die zu erwartenden Barwerte ausgerechnet werden, u zu gewährleisten,dass bei Eintritt des Versicherungsfalles das Kapital auszahlbar ist. Die Zusicherung auf Anspruch der lebenslänglichen Leibrente nennt an eine Anwartschaft, welche it de Eintritt des Versicherungsfalles in Kraft tritt. Ein Aktiver kann das Recht auf zwei Anwartschaften haben: Anwartschaft auf Invalidenrente Anwartschaft auf Altersrente Anwartschaft auf Invalidenrente: Die Wahrscheinlichkeit für einen x- jährigen Aktiven, i n- ten Jahr invalide zu werden, wird it Hilfe der Wahrscheinlichkeit, dass er (n-1)- Jahre als Aktiver überlebet und dann i n- ten Jahr invalide wird, berechnet: (n 1)p a x i x+n 1 und da die Versicherung den Erwartungswert des Leistungsbarwertes 9
10 (n 1)p a x i x+n 1 ä i x+n 0,5 benötigt, die Zahlungen aber nicht ier erst a Ende des Versicherungsjahres eintreten können, verwendet an das arithetische Mittel der Erwartungswerte der Barwerte des (n-1)- ten Jahres und des n- ten Jahres, da wir annehen, dass die Invalidisierungsfälle jeden Monat die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, einzutreten. Es wird ä i x+n 0,5 benötigt, da wenn an annit, dass alle Invalidisierungsfälle nur a Anfang und a Ende von jede Monat eintreten, so ist der Durchschnitt davon die Mitte des Monats. Weiters gilt die Approxiation der unterjährlichen Rentenbarwerte: ä i x+n 0,5 (ä i x+n 1+ä i x+n) 1 2 Soit ergibt sich für die Anwartschaft eines x- jährigen Aktiven auf eine Invalidenrente der Höhe 1: ä ai x ν 1p a x i x+ν 1 ä x+ν 0,5 z ν 0,5 = ω x ν=0 Anwartschaft eines Aktiven auf Altersrente Diese Rente ist zu bezahlen, wenn eine Person als Aktiver in den Ruhestand geht. Die Anwartschaft erhält an, inde an den Rentenbarwert it der Überlebenswahrscheinlichkeit für Aktive ultipliziert und abzinst. Soit ist die Anwartschaft eines Aktiven auf Altersrente ä aa x = ω x p a x ä ω z (ω x), falls die Person als Aktiver in den Ruhestand geht. Jedoch üssen auch die Personen berücksichtigt werden, die von einer Invalidenrente in eine Altersrente übergehen. Hier wird davon ausgegangen, dass der Übergang von der Invalidenrente in eine Altersrente nahtlos ist. Wenn gilt, dass n 0,5p x = n 1 p x + n p x, 2 dann ist die Anwartschaft eines Aktiven auf Altersrente, für den Fall, dass er als Invalider in den Altersruhestand eintritt ä aiia x ν 0,5p a x i x+ν 1 ω (x+ν) p i x+ν 0,5 ä ω z ω (x+ν) 0,5 = ω x ν=1 10
11 Literatur [1] Wolfsdorf K., Versicherungsatheatik- Teil 1 Pensionenversicherung, Teubner Studienbücher, Stuttgart, 1997 [2] Klaus D. Schidt, Versicherungsatheaik, Springer Verlag, Berlin, 2002 [3] Karl- Heinz Wolff, Versicherungsatheatik,Springer Verlag, Wien,
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