Geometrieunterricht in der Sek I

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1 Geometrieunterricht in der Sek I Inhalte, Ziele, Standards 13. Oktober 2009 Vertr. Prof. Dr. Katja Krüger Universität Paderborn Didaktik der Geometrie II (Klasse 7-10) 1

2 Inhalt Inhalte des Geometrieunterrichts in Klasse 7-10 Aspekte von Geometrie Kompetenzen und Bildungsstandards Kommentierte Aufgabenbeispiele 2

3 Mathematikdidaktik befasst sich u.a. mit den folgenden Fragestellungen: Was kann/soll ein Schüler (warum) im Mathematikunterricht lernen? Welche Schüler sollen was lernen? Wie lernen Schüler am besten? Fachmethodik: Wie kann / soll ein Thema entwickelt werden? Unterrichtsmethodik: Welche Unterrichtsmethoden sind geeignet? 3

4 Inhalte des Geometrieunterrichts in Klasse

5 Kernlehrpläne NRW 5

6 Anforderungen am Ende der Sek I Ergänzung mittlerer Schulabschluss und Gymnasium

7 Tätigkeiten im Geometrieunterricht Objektstudien: Figuren und Körper Symmetrien und Abbildungen Messen Berechnen Konstruieren Herstellen Beweisen Anwendennd n

8 Inhalte des Geometrieunterrichts Klasse 7-8 Klasse Figurenlehre 1. Ähnlichkeitsgeometrie Dreiecke, Schnittpunktsätze Spezielle Vierecke Kreis und Kreistangente Winkelsätze Prismen Ähnliche Figuren Strahlensätze Zentrische Streckung Ähnlichkeitssätze Ähnlichkeitsabbildungen 2. Kongruenzgeometrie Kongruente Figuren Kongruenzsätze für Dreiecke Beweisen mit Kongruenzsätzen Kongruenzabbildungen nach Holland: Geometrie in der Sekundarstufe 2007, S. 26) Gymnasium 2. Satzgruppe des Pythagoras 3. Darstellende Geometrie Schrägbild und Mehrtafelprojektionen 4. Messen und Berechnen Kreisumfang und -fläche Oberfläche und Volumen von Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel 5. Trigonometrie

9 Es gibt nur geringe Unterschiede in den Inhalten und Anforderungen zwischen verschiedenen Schulformen, Warum ist das eigentlich so? Folge der Unterrichtsreformen in den 1970er Jahren ( Neue Mathematik ) o Einheitliches Bild von Mathematik sollte vermittelt werden. o Horizontale Durchlässigkeit sollte ermöglicht werden.

10 Additive Additive Unterschiede bei den Schularten Heute wird auch in der Hauptschule Geometrie unterrichtet. Sie hat die traditionelle Raumlehre der Volksschule abgelöst. Mit der Reform des Mathematikunterrichts war intendiert, in allen Schularten ein einheitliches Bild von Mathematik zu vermitteln. Das führte für den Geometrieunterricht in der Hauptschule zu einer Anlehnung an das gymnasiale Muster. Die KMK-Richtlinien von 1968 verwischten diese Unterschiede [zwischen Geometrie und Raumlehre] völlig. Nun sollten Hauptschul- und Gymnasialunterricht in Geometrie sich wesentlich dadurch unterscheiden, daß in der Hauptschule gegenüber dem Gymnasium einiges weggelassen wird, z.b. Verketten von Kongruenzabbildungen, Kongruenzsätze, Vektoren. Vollrath, H.J. (Hrsg.): Geometrie. Didaktische Materialien für die Hauptschule. Stuttgart: Klett 1982, S. 5)

11 Durchlässigkeit mangelhaft Quelle: Tippelt, R.: Handbuch Bildungsforschung. VS-Verlag 2004, S. 308.

12 Aspekte von Geometrie (nach Holland 2007, S. 19) 12

13 Welche Aspekte sind für Haupt-, Real- und Gymnasialschüler von Bedeutung? Geometrie als Lehre vom Anschauungsraum ist für alle Schüler allgemeinbildender Schulen von Bedeutung: Es geht hier um den Aufbau und die Ausformung einer kognitiven Struktur, den Anschauungsraum, der die Orientierung im Raum und die Anwendung geometrischer Begriffe und Verfahren in realen Situationen ermöglicht. Geometrie als Übungsfeld für Problemlösen sollte in allen drei Schulformen so weit wie möglich Berücksichtigung finden. Die Förderung von Problemlösefähigkeiten l i ist eines der wesentlichen Ziele eines allgemeinbildenden Mathematikunterrichts. Leider wird dieser Aspekt bisher noch wenig im Geometrieunterricht der Sek I berücksichtigt.

14 Welche Aspekte sind speziell für Gymnasialschüler von Bedeutung? Geometrie als deduktive d Theorie ist in erster Linie i für das Gymnasium relevant: Es geht hier um das logische Gefüge von Begriffen und Sätzen, die den Anschauungsraum beschreiben und in diesem Zusammenhang um Aktivitäten wie das Formalisieren, Definieren i und Beweisen. Voraussetzung ist, dass die Schüler die Fähigkeiten zu einem formal-abstrakten, deduktiv-hypothetischen Denken (nach Piaget die Stufe der formalen Operationen) erreicht haben. Daher sollte dieser Aspekt frühestens ab Klasse 7 eine Rolle spielen. Geometrie als Vorrat mathematischer Strukturen spielt im heutigen Schulunterricht kaum eine Rolle.

15 Mathematikunterricht und Allgemeinbildung g (Heinrich Winter) Der Mathematikunterricht h sollte anstreben, die folgenden drei Grunderfahrungen, die vielfältig miteinander verknüpft sind, zu ermöglichen: (1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen, (2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen, (3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinaus gehen, (heuristische Fähigkeiten) zu erwerben. Das Wort Erfahrung soll zum Ausdruck bringen, dass das Lernen von Mathematik weit mehr sein muss als eine Entgegennahme und Abspeicherung von Information, dass Mathematik erlebt (möglicherweise auch erlitten) werden muss.

16 Verkürzte Fassung im Kerncurriculum NRW

17 Vergleich mit den Bildungsstandards

18 Zwischenfazit In den Kernlehrplänen l und Bildungsstandards d d findet man keine expliziten Begründungen für die Auswahl von Bildungsinhalten aus der Geometrie. Es werden lediglich Kompetenzlisten aufgeführt. Es bleibt das Problem der Rechtfertigung: Weshalb soll der Schüler sich beschäftigen mit besonderen Linien und Punkten im Dreieck, Konstruktionsaufgaben mit Lineal und Zirkel, Beweisen geometrischer Sätze...?

19 Kompetenzen im Geometrieunterricht 19

20 Klassifikation in Inhaltsziele und Prozessziele veraltet? Inhaltsziele l betreffen Prozessziele beziehen sich auf Kenntnisse von Begriffen, Fähigkeiten in Bezug auf Sätzen, Formeln, Verfahren, mathematische Aktivitäten wie Definitionen und Beweisen Problemlösen, Mathematisieren, sowie Fertigkeiten bei deren Entdecken mathematischer Anwendung. Zusammenhänge, Beweisen nach Holland 2007, S. 16 Beispiele für Inhalts-Ziele zum Satz von Pythagoras Wissen, was man unter des Hypotenuse und den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks versteht (Begriffe kennen). Den Satz des Pythagoras sowie einen Beweis kennen. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck eine dritte Seite zu zwei gegebenen berechnen (Anwendung).

21 KMK-Bildungsstandards (2003) für den mittleren Bildungsabschluss allgemeine und inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Zahl Leitideen Raum und Form Messen Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall 21

22

23 1. Hausaufgabe: Vergleich mit Hauptschulabschluss

24 Kommentierte Aufgabenbeispiele aus den Bildungsstandards 24

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27

28

29 Kompetenzorientierung?

30 1. Hausaufgabe: Analyse einer geometrischen Denkaufgabe Aufgabenanalyse Einbettung: Welche Lernvoraussetzungen sind zur Bearbeitung dieser Aufgabe notwendig? Lösungsalternativen: Wie können Schülerinnen und Schüler an die Lösung dieser Aufgabe herangehen? Gibt es verschiedene Lösungsstrategien? Mögliche Schwierigkeiten: Welche Schwierigkeiten könnte die Aufgabe für Schülerinnen und Schüler beinhalten? Ziele: Was soll mit der Aufgabe geübt oder vertieft werden? Was können die Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung der Aufgabe lernen?

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