Das Skalarprodukt zweier Vektoren

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Alma Waltz
vor 7 Jahren
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1 Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden die Vektoren so multipliziert, dass sich ein Skalar eine Zahl ergibt. Die Berechnung des Skalarproduktes ist ziemlich einfach, aber die weiteren Eigenschaften machen das Skalarprodukt erst interessant. Berechnung des Skalarproduktes:,. Anders als beim Vektorprodukt ergibt sich hier eine Zahl. Bei der Anwendung des Skalarproduktes muss das Ergebnis und auch jede Zwischenrechnung gleich als Zeile oder Zahl notiert werden. Alles andere ist falsch! Zwei Beispiele zur Berechnung: In in 2D: In in 3D: Das Rechenzeichen für das Skalarprodukt kann ein Stern *, ein etwas dickerer Malpunkt oder ein normaler Malpunkt sein. Ich benutze den normalen Malpunkt, da man ihn gut vom Kreuz x des Vektorproduktes unterscheiden kann. Die Definition des Skalarproduktes: Die Definition zur Berechnung des Skalarproduktes ist eine etwas andere als die Methode der eigentlichen Berechnung. Unter bestimmten Umständen kann man auch mit der Definition das Skalarprodukt berechnen, für gewöhnlich dient die Definition aber zur Bestimmung von Winkeln und dem Nachweis der Orthogonalität. Doch zunächst die Definition:, wobei α der Winkel zwischen den Vektoren ist. Anwendungen der Definition: Winkel zwischen Vektoren berechnen Winkel zwischen Geraden berechnen Winkel zwischen Ebenen berechnen Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene berechnen Orthogonalitätsbedingung Überprüfung bzw. Nachweis ob zwei Vektoren einen rechten Winkel besitzen Normalenvektor, also einen zu zwei gegebenen Vektoren senkrechten Vektor, bestimmen Senkrechte Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor Zu jeder Anwendung Erklärungen, wenn nötig Herleitungen und komplett gelöste Beispiele: Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen: Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, muss die Definition des Skalarproduktes einfach nur als Gleichung betrachtet und umgestellt werden: Es ergibt sich als Formel zur Winkelberechnung:. By Don Seite 1

2 Hinweise zur Nutzung: arccos ist auf dem Taschenrechner für gewöhnlich als shift und dann cos einzugeben. Der Taschenrechner muss auf Deg D gestellt sein, da ein Winkel berechnet werden soll. Zwei Beispiele der Berechnung: In in 2D: In in 3D: Bestimme den Winkel zwischen. und Bestimme den Winkel zwischen und. Wichtige Anmerkung zu Winkelsummen von Flächen in : Als Anwendung werden zum Beispiel die Innenwinkel von Dreiecken, Vierecken oder anderen Figuren berechnet. Dreiecke haben auch in immer eine Winkelsumme von, Vierecke oder Figuren mit noch mehr Ecken besitzen nicht unbedingt die aus der Geometrie der Mittelstufe bekannten Winkelsummen. Nur wenn alle Punkte der Figur in einer Ebene liegen, ist die Winkelsumme bei Vierecken dann auch. Winkel zwischen zwei Geraden berechnen: Da die Richtungsvektoren eben genau für die Richtung der Geraden verantwortlich sind, wird der Winkel wie im obigen Abschnitt beschrieben zwischen den beiden Richtungsvektoren berechnet. Es gibt hier nur einen kleinen Unterschied: Da es zwischen Geraden immer zwei Winkel gibt, die addiert immer ergeben, hat man sich darauf geeinigt, dass man nur den kleineren der beiden Winkel berechnet es sei denn, die Aufgabe verlangt anderes. Das erreicht man, indem man den Zähler positiv macht, also Betragsstriche setzt. Nur wenn die Geraden sich auch schneiden, handelt es sich bei dem berechneten Winkel um einen Schnittwinkel. Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden sich schneidenden Geraden und. Den Schnittwinkel der Geraden erhält man, indem man den Winkel zwischen den Richtungsvektoren berechnet, wobei der Zähler positiv sein muss. By Don Seite 2

3 Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen: Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen wird berechnet, indem der Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen berechnet wird. Auch hier wird durch den Betrag des Zählers immer der kleinere der beiden Schnittwinkel berechnet. Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen Querschnittsansicht: [ ] und. Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnen: Um den Schnittwinkel zwischen einer Gerade und einer Ebene zu berechnen, wird der Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden berechnet. Auch hier wird mit dem Betrag des Zählers gerechnet. Als Besonderheit muss hier das Winkelverhältnis genutzt werden, da mit cos der falsche Winkel β berechnet wird. Für den Schnittwinkel α ergibt sich somit: Querschnittsansicht: Auch hier eine Beispielaufgabe: Bestimme den Schnittwinkel α zwischen der Ebene E und der Geraden g mit und. By Don Seite 3

4 Orthogonalitätsbedingung: Da gilt, ergibt sich für das Überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht liegen eine einfache Bedingung: Diese Bedingung wird in sehr vielen Beweisen benutzt, da in vielen Formeln gefordert wird, dass Strecken senkrecht zueinander stehen. Soll zum Beispiel gezeigt werden, dass ein Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel besitzt, so muss gelten. Normalenvektor bestimmen: Normalenvektor ist die Bezeichnung für einen Vektor, der gleichzeitig senkrecht zu zwei anderen Vektoren liegt. Es soll der Vektor berechnet werden, der zu den Vektoren und senkrecht verläuft. und und. Ein Zahlenbeispiel: Einsetzen in die Orthogonalitätsbedingung: und Es ergibt sich das unterbesetzte lineare Gleichungssystem: Da das LGS unterbestimmt ist, kann eine Variable in diesem Fall frei gewählt werden. Setze:. in II einsetzen liefert: Für den Normalenvektor ergibt sich somit:. Der Normalenvektor wird unter anderem für die Umwandlung von Ebenen benötigt. By Don Seite 4

5 Senkrechte Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor: Mit Hilfe des Skalarproduktes kann ein Vektor senkrecht auf einen anderen Vektor projiziert werden. Soll zum Beispiel der Vektor auf den Vektor projiziert werden, so ergibt sich der Vektor. Die Formel zur Berechnung lautet: Bestimme die Projektion des Vektors. auf den Vektor Alle Vektoren beginnen im selben Punkt Herleitung der Formel der senkrechten Projektion:, wobei α der Winkel zwischen und ist. Mit ergibt sich: Somit ergibt sich für :, da nur den Anteil von besitzt. By Don Seite 5

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