Vorlesung Berechnung elektrischer Energienetze (BEE)

Transkript

1 Vorlesung Berechnung elektrischer Energienetze (BEE) 1. Das Drehstromsystem 2. Berechnung von Energieübertragungsnetzen und -systemen 3. Der 3-polige Kurzschluss 4. Unsymmetrische Fehler in Netzen 5. Hochspannungstechnik Skript kann von der IEH Homepage geladen werden: Benutzername: bee Passwort: 4BEE2use! 1

2 Das Dreiphasensystem Mathematische Darstellung des Dreiphasensystems U U 12 U V W U V o j( t ) jt U U U e U e 2 o j t j( t 12 ) 3 V U U e U e 4 2 o j t j t j( t 24 ) 3 3 W W W U U e U e U e U W 12 U v j e Drehung gegen den Uhrzeigersinn für > Drehung in ichtung des Uhrzeigersinns für <. Phasenfolge U, V und W ist in ichtung des Uhrzeigersystems orientiert Ausgehend von U U folgt um 12 versetzt U V in ichtung des Uhrzeigersinns und wiederum um 12 versetzt zu U V folgt U W. 2

3 Berechnung des Dreiphasensystems E E S E T S T Z N L L SS L TT L S L ST I C C T C S I L S T C S C ST IT T C T U T S U S U Netzwerk: elektrisch und magnetisch gekoppelt Verbraucher und C s kann man sich zu Admittanzen Y zusammengefasst denken I N = I + I S + I T Anwendung der Maschenregel und des Knotenpotenzialverfahrens U E jl I jl I jl I I Z I und S S T T N N U E jl I jl I jl I I Z I S S S SS S ST T S S N N U E jl I jl I jl I I Z I T T T TS S TT T T T N N I I I I N S T I Y Y Y U Y U Y U S T S S T T I Y U Y Y Y U Y U S S SS S ST S ST T I Y U Y U Y Y Y U T T TS S TT TS T T 3

4 Grundgleichungen des Dreiphasensystems Allgemeines Dreiphasensystem U E jl I jl I jl I I Z I S T und S S T T N N U E jl I jl I jl I I Z I S S SS S ST T S S N N U E jl I jl I jl I I Z I T T TS S TT T T T N N I I I I N S T In der Praxis: Symmetrie LL L L SS TT S T M L L L L L L S S T T ST TS Y Y Y Y E SS TT Y Y Y Y Y Y Y K S S T T ST TS I Y Y Y U Y U Y U S T S S T T I Y U Y Y Y U Y U S S SS S ST S ST T I Y U Y U Y Y Y U T T TS S TT TS T T U E L M M I I I US ES j M L M IS IS ZN IS U T E T M M L I T I T I T gekoppeltes gekoppeltes System System I YE 2YK YK YK U IS YK YE 2YK YK US I T YK YK YE 2YK U T gekoppeltes System U E jz I I Z I und I =Y U ST ST ST ST ST N ST ST ST ST 4

5 Diagonalisierung von Matrizen: aus der Mathematik ist bekannt Sei T eine symmetrische nn-matrix, dann gibt es eine Matrix C, so dass gilt: C TC D.... n Darin sind die i die Eigenwerte der Matrix T, die gemäß bestimmt werden können. det( T E) Bei einer symmetrischen Matrix T existieren n reelle Eigenwerte i und n zugehörige linear unabhängige Eigenvektoren i. Die zu den Eigenwerten i gehörigen Eigenvektoren gehorchen der Gleichung T EΨ miti 1,2,..., n T Ψ Ψ oder i i Die Matrix C besteht aus den Eigenvektoren als Spaltenvektoren. Bei einer symmetrischen Matrix T sind die Eigenvektoren i orthogonal, d. h. das Skalarprodukt von 2 Eigenvektoren von verschiedenen Eigenwerten verschwindet: Ψi Ψk für i k 5

6 Entkopplung des ST-Systems: Eigenwerte und Eigenvektoren (I) Die Systemmatrizen Z ST, Y ST, Z N und sind symmetrisch für ein symmetrisches dreiphasiges Netzwerk. A B B Für die Systemmatrizen gilt allgemein T B A B B B A Berechnung der Eigenwerte: A B B det( T E) det B A B B B A Berechnung der Eigenvektoren: T EΨ miti 1,2,..., n T Ψ Ψ oder i i führt auf die charakteristische Gleichung: ( A) ( A) B B B( A) B B B B( A) Eigenwerte als Lösungen der char. Gleichung: A2B AB AB B B B B B B B B B B 2B B Ψ1 B B BΨ2 B B BΨ3 B B 2B B B B B B B 6

7 Entkopplung des ST-Systems: Eigenwerte und Eigenvektoren (II) Eigenwerte: Eigenwerte als Lösungen der char. Gleichung: A2B AB AB Eigenvektoren: 2B B B B B B B B B B 2B B Ψ1 B B BΨ2 B B BΨ3 B B 2B B B B B B B C Ψ1 Ψ2 Ψ für Transformation Anwendungsgebiet Symmetrische Komponenten (12-Komponenten) -Komponenten (Diagonal-Komponenten) dq-komponenten (Park-Komponenten) Berechnung unsymmetrischer Fehler (1- und 2- polige Kurzschlüsse) Analyse unsymmetrischer Dreiphasensysteme Basis für die dq-transformation Analyse von Drehfeldmaschinen und für für

8 Auswirkung der Diagonalisierung: Entkopplung des Systems Grundgleichungen des ST-Systems: U E jz I I Z I und I =Y U!! ST XYZ XYZ ST Transformation in ein XYZ-System mit: U CU und U C U führt auf CU CE jz CI CI Z CI und und ST XYZ XYZ ST XYZ XYZ N XYZ CI =Y CU XYZ ST XYZ j U XYZ E C Z C I C C I C Z C I XYZ ST XYZ XYZ N XYZ I XYZ = C Y ST C U ST ST ST ST N ST ST ST Multiplikation mit C : Y D Z Z D XYZ D ND ST Diagonalmatrix L 2M ZD C ZST C LM L M D C C 3 ZND C ZN CZN YE YD C YST C YE 3YK YE 3Y K 8

9 Symmetrische Komponenten: Transformationsgleichungen Grundgleichungen des ST-Systems: Transformationsmatrizen: j j C Ψ1 Ψ2 Ψ3 1 e e 1 j j j j 1 e 3 e j j Physikalische Interpretation: Aufteilung des unsymm. Dreiphasensystems in Mitsystem Gegensystem Nullsystem a 12 a 2 Im 12 a 3 =1 e C 1 a a 2 1 a a C 1 2 mit a a a a 2 4 j 3 2 j ae j a e j a 1 1aa!! ST ST U CU und U C U 9

10 Symmetrische Komponenten: Eigenschaften (I) Transformation einer symmetrischen Drehspannungsquelle: 12 ST E E E E1 1 a a ES 1 a a a E E E 2 1 a a E T 1 a a ae E C E In symmetrischen Komponenten hat nur das Mitsystem (Index 1) eine anregende Quelle! In symmetrischen Komponenten reduziert sich die Berechnung eines vollständig symmetrischen Drehstromsystems auf die Berechnung einer 1-phasigen Wechselstromschaltung j und U E 12 C Z ST C I 12 C C I 12 C Z N C I 12 I 12 = C Y ST C U Z Z Y D D ND D U L 2M I I 3 I I Y U U E j LM I I Z I I Y 3Y U E N 1 1 E K 1 U 2 LMI 2 I 2 I 2 I 2 YE 3Y K U 2 1

11 Symmetrische Komponenten: Eigenschaften (II) U L 2M I I 3 I I Y U U E j LM I I Z I I Y 3Y U E N 1 1 E K 1 U 2 LMI 2 I 2 I 2 I 2 YE 3Y K U 2 In symmetrischen Komponenten reduziert sich die Berechnung eines vollständig symmetrischen Drehstromsystems auf die Berechnung einer 1-phasigen Wechselstromschaltung I Basis dieser Transformation: Diagonalisierung der Systemmatrizen 3Z N E = L+2M YE U I 1 Wichtige Eigenschaft der symmetrischen Komponenten Die Transformation ist physikalisch interpretierbar als 2 gegeneinander laufende symmetrische Drehspannungssysteme und ein sog. Nullsystem Für passive Systeme ohne rotierende Magnetfelder ist die Ersatzschaltung im Mit- und Gegensystem identisch Unsymmetrische Quellen: Netzwerk durch 3 1-phasige Schaltungen berechenbar E 1 =E E 2 = L-M Y E + 3Y K I 2 L-M Y E + 3Y K U 1 U 2 11

12 -Komponenten: Transformationsgleichungen und Eigenschaften!! ST αβ αβ ST U CU und U C U Wichtigster Unterschied zu symm. Komponenten: C und C besitzen nur reele Koeffizienten war bis vor ca. 2 Jahren von Bedeutung, als Netznachbildungen in Hardware aufgebaut wurden -Komponenten sind die theoretische Basis der dq-komponenten C C Transformation einer symmetrischen Drehspannungsquelle: E E Eαβ C EST E a E Ej 3 E a E In -Komponenten hat das - und das -System eine anregende Spannung höherer echenaufwand als bei den symm. Komponenten, da bei -Komponenten 2 Schaltungen berechnet werden müssen 12

13 dq-komponenten oder Park-Transformation: Prinzip Grundgedanke der Park-Transformation: Überführung des ruhenden ST-Systems einer Drehfeldmaschine in das rotierende Systems des Läufers Dazu 2 Schritte: 1. Transformation des ST-Systems in das ruhende und orthogonale -System 2. Transformation des -Systems in das ebenfalls orthogonale, aber rotierende dq-system U αβ GU dq d U cos sin Ud U sin cos Uq U 1 U T S q U G U dq αβ Ud cos sin U U q sin cos U U 1 U 13

14 dq-komponenten: Transformationsgleichungen U αβ U cos sin Ud GU U sin cos U dq q U 1 U Ud cos sin U U U q sin cos U dq G U αβ U 1 U Berechnung der dq-komponenten aus den Komponenten des ST-Systems führt auf: Ud cos sin U 1 U U q sin cos 3 3 U dq C U ST S 3 U U T 2cos cos 3sin cos 3sin U 1 2sin 3 cos sin 3 cos sin U S U T U ST und!! CU U C U dq dq ST mit 2 2 cos cos( ) cos( ) cos sin cos( ) sin( ) 1 C und C sin sin( ) sin( ) cos( ) sin( )