1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

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1 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ cos(ϕ) sin(ϕ) Sinus und Cosinus Winkel messen wir hier im Bogenmß, in mthemtisch positiver Richtung mit positivem, in entgegengesetzter Richtung mit negtivem Vorzeichen. 7.2 Ds innere Produkt, (oder uch ) der Vektoren, ist die durch erklärte reelle Zhl., = cos( (, )) Dei wählen wir hier den Winkel ϕ = (, ) zwischen und stets im Intervllereich 0 ϕ π. Flls und nicht Null sind, ist ϕ in diesem Intervllereich eindeutig estimmt. Flls oder der Nullvektor ist, lssen wir für ϕ jeden der Werte 0 ϕ π zu. Für ds innere Produkt gelten die folgenden Gesetzmäßigkeiten: (S 1), =,. (S 2), =,. (S 3) +, c =, c +, c. (S 4), = 2.

2 18 Kpitel I: Anschuliche Vektorrechnung Beweis. Zu (S 1):, = cos( (, )) = cos( (, )) =,. Zu (S 2): Für = 0 ist lles klr. Sei nunmehr > 0, so folgt, = cos( (, )) = cos( (, )) =,. Es folgt ferner (immer noch > 0 vorussetzend), = cos( (, )) = cos(π (, )) = ( ) cos( (, )) = ( ),. Zu (S 3): Mit Hilfe von (S 2) können wir uns uf den Fll c = 1 eschränken. In diesem Fll ist, c die Länge der Projektion von uf die Gerde mit Richtung c: c, c Berechnung von, c für c = 1. Betrchte nun: + c, c, c +, c

3 Inneres Produkt (Sklrprodukt) 19 Die Formel +, c =, c +, c. Zu (S 4): Wir echten (, ) = 0 und cos 0 = Mit Hilfe des Sklrprodukts können wir erkennen, o zwei Vektoren ufeinnder senkrecht stehen oder einen spitzen zw. stumpfen Winkel ilden:, > 0, = 0, < 0 Spitze, rechte zw. stumpfe Winkel. Flls, = 0 sgen wir, dss und zueinnder orthogonl sind. Der Nullvektor ist nch dieser Erklärung zu jedem Vektor orthogonl. 7.4 Ein System 1, 2,..., n von prweise orthogonlen (d.h. i, j = 0 für i j) Vektoren ungleich o nennen wir ein Orthogonlsystem. Flls die i zusätzlich Einheitsvektoren sind, sprechen wir von einem Orthonormlsystem. Stz 7.4 Jedes Orthogonlsystem ist liner unhängig. Beweis. Sei 1, 2,..., n ein Orthogonlsystem und i i + + n n = o. Durch Multipliktion mit i folgt 1 1, i + + i i, i + + n n, i = 0, somit unter Bechtung der Orthogonlität i i 2 = i i, i = 0. D i o, folgt hierus i = 0. Donnerstg 30. Okt Hessesche Normlform einer Eene Gegeen seien ein Punkt p der Eene E und ein uf E senkrecht stehender Einheitsvektor e. (Es git deren zwei, nämlich e und e. Die Auszeichnung einer der eiden Möglichkeiten ermöglicht die Eene zu orientieren. Wir wollen diesen Gednkengng hier jedoch nicht weiterverfolgen.)

4 20 Kpitel I: Anschuliche Vektorrechnung e E p x Eene, gegeen durch Punkt und Stellungsvektor. Die in der Eene liegenden Vektoren wie x p sind ddurch gekennzeichnet, dss sie zum Stellungsvektor e orthogonl sind. Also ist e = 1 und (1) x p, e = 0 eine Gleichung, der genu die Punkte x von E genügen. D.h. E = {x x p, e = 0}. Wir können Gleichung (1) umformen zu (2) x, e = p, e oder indem wir die Größe d = p, e einführen zu (3) x, e = d. Für e = 1 sind (1) zw. (3) Drstellungen der Eene E in Hessescher Normlform. Wir emerken, dss in (3) der Punkt p nicht mehr erscheint. Die Bedeutung der Zhl d ergit sich us der folgenden Skizze: e E d = p, e e p Der Astnd des Nullpunkts von der Eene.

5 Inneres Produkt (Sklrprodukt) 21 Die Größe d = p, e ist somit der orientierte Astnd des Nullpunkts N von der Eene E. (Im skizzierten Fll ist d = p, e > 0. Wir echten hier, dss Ersetzen von e durch e die Eene E nicht, wohl er ds Vorzeichen des Astnds ändert. Achtung: Für diese Interprettion ist wichtig, dss e ein Einheitsvektor ist. 7.6 Astnd Punkt-Eene. Die Eene E sei in Hessescher Normlform x p, e = 0 mit e = 1 gegeen. p e p, e p Astnd eines Punktes von einer Eene. Somit ist p, e der Astnd und entsprechend p, e der orientierte Astnd des Punktes von der Eene E. Die Punkte des durch E estimmten Hlrumes, in welchen der Stellungsvektor e weist, hen positiven Astnd, die des nderen Hlrumes hen negtiven Astnd von E. Hlten wir fest: Den orientierten Astnd eines Punktes zu einer in Hessescher Normlform x p, e = 0, eziehungsweise x, e d = 0, gegeenen Eene E erhlten wir durch Einsetzen von in die linke Seite der Eenengleichung. Wrum ist hier uf die Normierung des Stellungsvektors e zu chten?

6 22 Kpitel I: Anschuliche Vektorrechnung 1.8 Äußeres Produkt (Vektorprodukt) 8.1 Ds äußere Produkt (oder uch [, ]) von zwei Vektoren, ist wieder ein Vektor und wird estimmt durch die folgenden Eigenschften: (1) steht senkrecht uf und uf. (1) = sin( (, )) 6. (1), und ilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Mn prüft nch, dss die Regeln (V1) =, (V2) () = ( ), (V3) ( + ) c = c + c 3-Fingerregel oder Schruenregel gelten. sin (, ) Hinweis: ist die Fläche des von, ufgespnnten Prllelogrmms. Insesondere ist = o genu dnn, wenn und prllel sind. Somit: Die folgenden drei Bedingungen sind äquivlent: (1), sind liner hängig. (2), sind prllel. (3) = o. 6 Wir erinnern n die Vereinrung, den Winkel zwischen und im Intervll von 0 is π zu wählen. Dher ist sin( (, )) 0.

7 Äußeres Produkt (Vektorprodukt) 23 Wie ds Sklrprodukt ist dher uch ds Vektorprodukt in jedem Argument liner Von Prmeter- zur Hesseschen Normlform. Die Eene E sei in Prmeterform x = + s 1 + t 2 mit 1 2 o gegeen. Offensichtlich steht der Vektor e = sowohl uf 1 wie uf 2 senkrecht und ht die Länge 1. Dmit ist x, e =, e die zugehörige Eenengleichung in Hessescher Normlform. 8.3 Schnitt zweier Eenen. Seien x, e 1 = d 1, e 1 = 1 x, e 2 = d 2, e 2 = 1 die Gleichungen für zwei Eenen E 1, E 2. Wir nehmen n, dss E 1 und E 2 nicht prllel sind und somit e 1 e 2 o gilt. Ferner nehmen wir n, dss wir einen Punkt kennen, der eiden Eenen gemeinsm ist, für den lso, e 1 = d 1, e 2 = d 2 gilt 8. Der Vektor e 1 e 2 steht senkrecht uf e 1 und e 2. Alle Punkte der Form x = + t e 1 e 2 liegen dher sowohl in E 1 ls uch in E 2. Die resultierende Schnittgerde erhlten wir somit ls die Menge ller G = E 1 E 2 = {x x E 1 und x E 2 } x = + t e 1 e 2, mit t R. 7 Summen und Sklre lssen sich somit us jedem Fktor herusziehen. 8 Wie mn einen solchen Schnittpunkt estimmt, werden wir später sehen.

8 24 Kpitel I: Anschuliche Vektorrechnung 1.9 Ds Sptprodukt 9.1 Unter dem Sptprodukt der Vektoren,, c verstehen wir die Zhl (,, c) =, c = c,. Somit ist (,, c) = c cos α, woei α = (, c) ist. c c cos α α Volumen eines Spts Im skizzierten Fll ist die Grundfläche F des von, ufgespnnten Spts. Weiter ist h = c cos α (für 0 α π/2) die Höhe des Spts, somit V = F h = c cos(α) sein Volumen. Sollte π/2 α π sein, so ist V = (,, c). Ds Sptprodukt (,, c) interpretieren wir geometrisch ls ds orientierte Volumen des von,, c ufgespnnten Spts. Dei ist (,, c) 0, flls,, c ein Rechtssystem ilden. Ds Sptprodukt ändert sich folglich nicht ei zyklischer Vertuschung der Fktoren (Sp 1) Aer (Sp 2) (,, c) = (, c, ) = (c,, ). (,, c) = (, c, ) = (c,, ) = (,, c). Ferner folgt us den Rechenregeln für inneres und äußeres Produkt: (Sp 3) (Sp 4) ( +,, c) = (,, c) + (,, c). (,, c) = (,, c). Insesondere ist ds Sptprodukt in jedem Fktor liner.

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