Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor)

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1 Kurvenintegrle Christin Mosch, Theoretische Chemie, Universität Ulm, 7. Juli 26 (Korrigierte 2. Version Kurvenintegrle. Art (d.h. f ist Zhl, kein Vektor Bei Kurvenintegrlen. Art ist die Funktion f eine einfche Zhl und kein Vektor. Ntürlich knn f trotzdem von vielen Vriblen r x, r 2,..., r n ( r bhängig sein. Definition: Kurvenintegrl. Art Ds Wegintegrl einer Funktion f( r : R n R r f( r entlng eines stückweise stetig differenzierbren Weges ist definiert ls (t : [, b] R n f ds : b t (t f( (t (t dt. ( Oder verbl: Die Funktionswerte von f( r werden für lle Punkte des Wegs (t ufsummiert (integriert, wobei die Geschwindigkeit, mit der in Abhängigkeit von t fortschreitet, bzw. die Länge der jeweiligen Teilstücke von berücksichtigt werden müssen. Integriert mn zum Beispiel über eine konstnte Funktion f( r const, so muss mn bei einem doppelt so lngem Weg ntürlich uch den doppelten Integrlwert erhlten, sofern ds Intervll von t gleich bleibt. Beispiel : Wegintegrl einer konstnten Funktion längs der x-achse (t ( t r ( x f( r const t... ( (t Somit ergibt sich für ds Wegintegrl: f ds b f( (t (t dt (Allgemeiner Ortsvektor (Konstnte Funktion (Weg entlng der x-achse von x bis x (t (Ableitung von t const dt [const t] const

2 Ds Ergebnis für den doppelt so lngen Weg (x bis x2 ergibt sich in diesem einfchen Fll entweder durch erhöhen der Obergrenze t bei der Integrtion ( bleibt hierbei unverändert: f ds : 2 t const dt [const t] 2 2 const oder durch Neudefinition von : ( 2 t (t t... (t ( 2 (t 2 und somit f ds : const 2 dt [const 2 t] 2 const. Beispiel 2: Wegintegrl einer Funktion zweier Vriblen x und r ( x f( r x + Vergleiche dieses f mit Aufgbe uf Bltt 4. Es sieht zwr ähnlich us, ber es ht rein gr nichts mit dieser Aufgbe zu tun, d in der Aufgbe ein Vektor gegeben ist (uch wenn mn dies nicht direkt sieht und hier ds f ein Sklr ist. Es wir jedoch über den gleichen Weg integriert: 2 3 (t (t 2 (t x.5 f( 3 (t.5.2 f( (t.4.6 x.8 f( 2 (t (t ( t 2 (t ( t t 3 (t ( t (t ( 2 (t ( 3 (t ( (t t... 2 (t 2 t... 3 (t t... Aufteilen des Wegintegrls in drei stetig differenzierbre Teilintegrle und einsetzen in f liefert: f ds f ds + f ds + f ds 2 3 2

3 f( (t (t dt + {t + } dt + f( 2 (t 2 (t dt + {( t + t} 2 dt + [ t 2 /2 ] + [t] 2 + [ t t 2 /2 ] f( 3 (t 3 (t dt { + ( t} dt {/2 } + { } 2 + { /2 } + 2 Dies ist gnz offensichtlich nicht Null. Mn knn ds obige Wegintegrl, bzw. die obige 3D-Grfik uch einfch entlng des Weges Bügeln und erhält so eine zweidimensionle Höhendrstellung des eben berechneten Integrls: f f( (t f( 2 (t 2 f( 3 (t s Aus der Grfik ist nun wirklich offensichtlich, wrum ds Ergebnis des Integrls + 2 sein muss. Mn vergleiche bitte die 2D-Grfik des Wegintegrls und die 3D-Grfik und mche sich klr, dss diese den gleichen Höhenverluf wiedergeben. Mn bechte hierbei, dss die -Achse der 2D-Grfik den Funktionswert von f und die x-achse die Länge s des Wegs drstellt. D 2 digonl verläuft, ist die Länge dieses Teilbschnitts 2 und nicht. 2 Kurvenintegrle 2. Art (nun ist f eine Vektorfeld Nun wird nicht mehr eine einfche Funktion f( r von mehreren Veränderlichen betrchtet, sondern ein Vektorfeld f( r mit n Komponenten. Jede der Vektorkomponenten f i ( r (i... n hängt wieder von von n Vriblen r x, r 2,... ( r b. Definition: Kurvenintegrl 2. Art Ds Wegintegrl einer Vektorfunktion f( r : R n R n r f( r entlng eines stückweise stetig differenzierbren Weges ist definiert ls (t : [, b] R n f d x : t (t b f( (t (t dt. (2 Hierbei muss ds Sklrprodukt von f( (t und (t gebildet werden. Ein Sklrprodukt knn ls Projektion des einen Vektors uf den nderen Vektor verstnden werden (unter Berücksichtigung der Längen beider Vektoren. Also findet zu jedem Prmeterpunkt t die 3

4 Projektion des Vektorfeldes f uf diejenige Richtung, in der fortschreitet, sttt. Oder mit nderen Worten: Mn bestimmt ds Integrl des Teils von f der längs des Weges zeigt. Ein tpisches Beispiel für ein solches Integrl ist die Bestimmung der Arbeit, die längs eines Weges verrichtet wird. Etw fährt ein sehr lngsmes Motorschiff durch einen ruhenden See und muss gegen die Reibung des ruhenden Wssers ls uch gegen Wind kämpfen. Die Reibung des ruhenden Wssers wirkt immer direkt gegen die Fhrtrichtung des Schiffes, egl wohin es fährt. Beim Wind jedoch kommt es druf n, us welcher Richtung er bläst. Weht er von Vorne, dnn muss ds Schiff Arbeit verrichten. Weht er jedoch von hinten, dnn bekommt ds Schiff sogr Arbeit geschenkt (unter der Annhme, dss die Geschwindigkeit des Schiffes vernchlässigbr gering gegenüber der des Windes ist. Weht er von der Seite, muss ds Schiff weder gegen den Wind rbeiten, noch wird es vom Wind ngeschoben. In Wirklichkeit kommt es ntürlich uf die Reltivgeschwindigkeit zwischen Schiff und Wind n. Und die wirklich mßgebende Größe ist die Krft, die uf ds Schiff wirkt. Dher hinkt ds Beispiel mit dem Wind ein wenig. Es ist ber trotzdem sehr nschulich. Beispiel 3: Schiff mit konstntem Seitenwind (konstnte gerichtete Krft, kein Reibung f( r ( (Konstnte Krft in digonler Richtung. Keine r-abhängigkeit. Der Weg sei mit dem Weg us Beispiel 2 identisch. Ds Integrl ergibt sich wieder durch einfches Einsetzen (hier wird jetzt ntürlich ohne Betrgszeichen verwendet: f d x f( (t (t dt + f( 2 (t 2 (t dt + f( 3 (t 3 (t dt ( ( dt + ( ( dt + ( ( dt Der blue Anteil ( 2 ist ntürlich sofort Null, d dort Seitenwind herrscht. dt + dt + dt Und der rote ( und grüne ( 3 Anteil heben sich exkt gegenseitig hinweg, weil hier im ersten Fll ds Schiff schräg mit dem Wind fährt (lso geschoben wird und im zweiten Fll schräg gegen den Wind fährt (lso gegen den Wind rbeiten muss. x f/ (.,. f( 2 (t Die Vektorpfeile des Feldes f sind verkürzt gezeichnet, dmit mn die Beziehung zwischen dem Feld f und dem Weg besser erkennen knn. f( 3 (t f( (t 4

5 3 Wegunbhängigkeit von Wegintegrlen, Grdientenfelder, totle Differentile und Zusmmenhng mit Kurvenintegrlen 2. Art Stz: Wegunbhängigkeit Ist ein Vektorfeld F (uch Grdientenfeld gennnt drstellbr ls Grdient eines sklren Feldes V, lso F ( r V ( r grd(v ( r, und ist der Weg (t gegeben, so gilt für die Ableitung nch t (Kettenregel: d dt V ( (t V ( (t (t F ( (t (t. Dies entspricht gerde dem Integrnden des Kurvenintegrls über ein Vektorfeld (siehe uch Gleichung 2 in Kpitel 2: F d x V d x b F ( (t (t dt b d V ( (t dt V ( (b V ( (. (3 dt Somit ist ds Ergebnis des Integrls über ein Grdientenfeld usschließlich von dem Anfngspunkt ( und dem Endpunkt (b bhängig, jedoch nicht vom Weg zwischen diesen beiden Punkten. Liegt V nun in Form eins totlen Differentils vor, z.b. dv V V dx + x d V d x F d x mit den entsprechenden Bedingungen, die für totle Differentile erfüllt sein müssen, z.b. V x F x V x x F, so ist ds Integrl über dieses totle Differentil gerde durch Gleichung 3 gegeben: b F d x V d x F ( (t (t b d dt V ( (t dt V ( (b V ( (. dt Ist ds Feld, über ds Integriert wird, kein totles Differentil, so knn mn ds Wegintegrl über immer noch usführen, jedoch drf mn dnn nicht mehr den Schritt hin zu V ( (b V ( ( vollführen, d keine Wegunbhängigkeit mehr besteht. Beispiel 4: Integrl us Aufgbe ( uf Bltt 4 Der Integrtionsweg wurde bereits usführlich in Beispiel 2 besprochen und nlsiert. Zu berechnen ist folgendes Integrl (xdx + d. D es sich hier um ein totles Differentil hndelt F x ( r x x F ( r x, und d ein geschlossener Weg ist, folgt us V ( (b V ( ( in Gleichung 3, dss ds Integrl sein muss. 5

6 Beispiel 4 (Vrinte : Integrl us Aufgbe ( uf Bltt 4 Ds Wegintegrl knn mn uch explizit berechnen (und dies muss mn uch mchen, wenn kein totles Differentil vorliegt: (Der Weg stmmt wieder us Beispiel 2. ( x F F d x F ( (t (t dt + Nun wird in F eingesetzt ( ( t dt + die Sklrprodukte usmultipliziert und die Integrle usgeführt t dt + Wie erwrtet erhält mn ls Ergebnis. F ( 2 (t 2 (t dt + ( ( t dt + t 2t dt + F ( 3 (t 3 (t dt ( ( dt, t t dt, [ t 2 /2 ] + [ t 2 t ] + [ t 2 /2 t ] /2 + + /2 Die Berechnung mittels Weges ist vollkommen llgemein und für kompliziertere Wege die einzig mögliche und übersichtliche Methode. In unserem Fll knn mn jedoch rgumenttiv sehr viel schneller vorgehen: Beispiel 4 (Vrinte 2: Integrl us Aufgbe ( uf Bltt 4 Im Bereich von bzw. 3 vereinfchen sich die Integrle (xdx + d (xdx bzw. 3 (xdx + d 3 (d, d jeweils und d, bzw. x und dx Null sind, wenn mn entlng der x- bzw. entlng der -Achse integriert. Zusätzlich heben sich (xdx xdx [x2 /2] /2 und 3 (d d d /2 gegenseitig weg. Somit bleibt nur noch ds Integrl 2 (xdx + d zu integrieren, welches durch Verwenden von x, d/dx und d dx zu (xdx + ( x( dx wird. Integriert mn nun (2x dx, erhält mn [2x 2 /2 x], ws wiederum Null ist. Beide Vrinten sind möglich und führen immer zum gleichen Ergebnis, wenn sie richtig durchgeführt werden. Die erste Vrinte durch Einsetzen des Wegs in die Funktion und Integrtion über ds resultierende Sklrprodukt erscheint sehr viel sstemtischer ls die zweite Vrinte durch direktes Trnsformieren der Integrtionskoordinten. Jedoch benötigt die erste Vrinte in der Regel mehr Schreibrbeit, wohingegen in der zweiten Vrinte mehr rgumentiert werden muss. 6

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