Teil 2. Metrik mit Skalarprodukt. Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium. und für Realschulen in Bayern! (Prüfungsstoff!)

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1 Vektor-Geometrie für die Sekundarstufe 1 Teil 2 Metrik mit Skalarprodukt Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium und für Realschulen in Bayern! (Prüfungsstoff!) Dieser Text setzt Kenntnisse der Trigonometrie voraus! Auch in der berstufe zur Ergänzung einzusetzen, hier wird nur zweidimensional gerechnet! Dafür wird vieles anschaulicher! Datei Nr Friedrich W. Buckel Stand 13. Juli 2008 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Vorwort Dieser Text enthält vor allem viel Lesestoff. Wer Vektorrechnung betreiben will, muss sie verstanden haben. Daher habe ich versucht, mit vielen Erklärungen und Beispielen anschaulich zu machen, was hinter dem Begriff Vektor, hinter der Addition und Subtraktion von Vektoren steckt usw. Rechen- und Konstruktionsbeispiele gibt es daneben genügend. Ein Problem könnte auftreten, nämlich dass der Stoff im Unterricht ganz anders dargeboten worden ist. Dann empfehle ich dennoch sich die Mühe zu machen, und diese Vektorgeschichte zu lesen. Ein anderer Gesichtspunkt hilft vielleicht, manche Verständnisprobleme zu beseitigen. Es gibt für die Vektorrechnung auch unterschiedliche Schreibweisen. Beispielsweise wird in Bayern die Vektoraddition so geschrieben u v, was durchaus sinnvoll ist, denn eine Vektoraddition ist doch etwas anderes als eine Zahlenaddition, auch wenn diese dazu verwendet wird. In den meisten Bundesländern und Büchern ist man da etwas großzügiger und verwendet nachdem geklärt ist, dass die Vektoraddition etwas Neues ist dennoch die Schreibweise der Zahlenaddition: u + v. Ich werde dies auch so machen, der Mehrheit folgend. Dies sollte keinem Schüler Verständnisprobleme bereiten. Ich werde später in Musteraufgaben für die bayerische Realschulabschlussprüfung ausnahmsweise doch die Notation u v verwenden, aber nur dort, weil diese Aufgaben und Lösungen in erster Linie für diese Zielgruppe geschrieben werden. Ein Problem ist es, wie viel der dreidimensionalen Vektorgeometrie (siehe Band 6 der INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK) auf die Mittelstufe zu übertragen ist. Ich biete hier eine sinnvolle Auswahl an. Sollte eine Klasse irgendwo ein wenig mehr behandeln, sollte man eben in Band 6 nachlesen. Hier also das Wichtigste für zweidimensionale Vektorgeometrie. Am Ende des Textes, also nach den Lösungen findet man das Wichtigste kurz zusammengefasst als Lernblätter!

3 Inhalt 6 Skalarprodukt Motivation 1 Vektoren aus der Physik 1 Begriff der Arbeit Polarkoordinaten von Vektoren Die erste Grundformel für das Skalarprodukt Die Länge eines Pfeils der Betrag eines Vektors Die zweite Grundformel für das Skalarprodukt Rechengesetze für das Skalarprodukt Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz Binomische Formeln 19 7 Metrik Anwendungen in der Geometrie Seiten- und Winkelberechnung in Dreiecken Richtungsvektoren von Geraden Schnittwinkel von Geraden Bestimmung von besonderen Punkten 33 Rechtwinkelbedingung Lot fällen perative Methode Punkte an Geraden spiegeln Drehung von Pfeilen um Allerlei Ergänzungen Determinante aus zwei Vektoren 43 Flächeninhalt eines Parallelogramms / Dreiecks 44 Interessante Beweise zur Determinantenformel! Trägerkurven oder rtskurven 49 Lösung aller Aufgaben Lernblatt / Zusammenfassungen 81-82

4 11812 Vektorgeometrie Metrik Anwendungen in der Geometrie 7.1 Seiten- und Winkelberechnung in Dreiecken Beispiel 1 Gegeben ist das Dreieck ABC durch A 32 ;B3 4 ;C16 ( ) ( ) ( ) a) Vektorielle Berechnung der Seitenlängen Dazu berechnen wir zuerst drei Vektoren. Wissen: Der Vektor AB kann durch die rtsvektoren der Punkte A und B so berechnet werden: AB = b a, wobei die rtsvektoren die Pfeile sind, die vom Ursprung zum Punkt zeigen. Sie haben daher dieselben Koordinaten wie die Endpunkte: A( ) a = ( 2 ) und B3 ( 4) b= ( 3 4 ). AB = b a = 3 3 = Also gilt: ( ) ( ) ( ) Analog folgt: AC c a = = ( 6) ( 2) = ( 4) und BC = c b = ( 6) ( 4) = ( 10 ) Bemerkung: Dies kann man in der Zeichnung überprüfen. Beispielsweise zeigt der Pfeil BC von B aus 2 nach links und 10 nach oben. So hat man eine Kontrolle, ob man richtig gerechnet hat. Die Seitenlängen sind die Längen der Pfeile, also die Beträge der Vektoren: 6 2 ( ) ( ) 2 6 AB = AB = = = = 2 36 = 6 2 (LE) 4 2 ( 4) 2 AC= AC = = = = 2 16 = 4 2 (LE) 2 ( ) ( ) BC = BC = = = = 104 = 2 26 (LE) Ich habe teilweise die Wurzel gezogen, das ist nicht unbedingt nötig. Man kann auch die Näherungswerte für die Streckenlängen angeben: AB 72 8,46(LE) =, AC= 32 5,66( LE) und BC ,20 ( LE) A C B =. Friedrich Buckel

5 11812 Vektorgeometrie 2 23 b) Vektorielle Berechnung der Innenwinkel Erklärung der Methode Der Winkel α wird von den Vektoren AB eingeschlossen. und AC Wir verwenden die erste Formel für das Skalarprodukt dieser Vektoren: AB AC= AB AC cosα und stellen sie nach cosα um: Mit AB = ( 6 6 ) AB AC cosα= AB AC Also erhalten wir hier und AC = 4 ( 4 ) ABAC= 6 4 = = folgt ( ) ( ) ( ) 0 cosα= = Es liegt also ein rechtwinkliges Dreieck vor. Merke: Berechnung von β : Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 wird, sind die Vektoren orthogonal, d.h. sie bilden den Winkel 90 bzw In einem Dreieck gibt es jedoch keine Innenwinkel, die größer als 180 sind, daher folgt aus AB AC = 0 sofort Vektoren (im Nenner des Bruches) ist dazu völlig unerheblich. BA BC cosβ= BA BC α= 90. Die Länge der Wir kennen AB = ( ), also ist BA = AB = ( 6) 2 Ferner kennen wir bereits BC = ( 10) 6 2 ( ) 6 ( 10) mit BC = 104 Dies führt zu b α= 90! Beide haben denselben Betrag AB = 72. Also folgt: cosβ= = =. Der Taschenrechner liefert Es erhebt sich die Frage, was passiert, wenn man mit AB statt mit BA β 33,69. rechnet. Ja, dann haben wir im Zähler und folglich für den Kosinus das umgekehrte Vorzeichen: Er wird negativ und somit erhalten wir einen Winkel zwischen 90 und 180, was nicht richtig ist! Also sollte man Vektoren immer vom Scheitel des Winkels weg zeichnen! A α γ C β B a Friedrich Buckel

6 11812 Vektorgeometrie 2 24 Berechnung von γ : cos γ= CA CB CA CB 4 4 Wir kennen AC = ( 4), also ist CA = AC = ( 4) 2 2 Ferner kennen wir bereits BC = ( 10), also ist CB = BC = ( 10 ) 4 2 ( ) 4 ( 10) Also folgt: cos γ= = = ACHTUNG: Beide haben denselben Betrag AC = 32 mit CB = BC = 104. mit γ 56,31 Wir haben nun des Guten zuviel getan, denn wenn man zwei Winkel im Dreieck kennt, kann man den dritten aus der Winkelsumme 180 berechnen. Kürzer ist demnach: γ= 180 α β ,69 = 56,31 90 Zusammenfassung Man kann die Innenwinkel eines Dreiecks über die Skalarproduktformel der beiden Vektoren berechnen, die den Winkel einschließen. Dabei ist es wichtig, dass die Pfeile vom Scheitel des Winkels weg zeigen. AB AC Wir verwenden also cosα= AB AC BA BC cosβ= BA BC CA CB cosγ= CA CB Kennt man zwei Winkel, berechnet man den dritten über die Winkelsumme, die im Dreieck 180 beträgt. Friedrich Buckel