Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren

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1 Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier Punkte A B (2) mathematisch: Ein Vektor ist ein geordnetes Tupel. x 1 x x 2 = y x 3 z Addition zweier Vektoren: + = Kommutativgesetz: Für alle Vektoren und gilt: + + Assoziativgesetz: Für alle Vektoren, und gilt : ( ) + = + ( + ) Nullvektor: 0 nennt man denjenigen Vektor, der durch die identische Abbildung in der Menge der Verschiebung beschrieben wird. Für jeden Vektor gilt: + 0 = 0 + = Entgegengesetzter Vektor: - eines Vektors ist derjenige Vektor, dessen Pfeile im Vergleich zu denen von gleich lang, parallel, aber entgegengesetzt orientiert sind. Subtraktion zweier Vektoren: - = + (-) Vervielfachung r eines Vektors: mit einer reelen Zahl r multipliziert, r > 0: gleich gerichtet, r-fache Länge r < 0: entgegengesetzt gerichtet, r -fache Länge r = 0: 0 = 0 (Für r = 1 erhält man 1 = ) Rechnen mit Vervielfachungen: Für alle reelen Zahlen r und s sowie für alle Vektoren und gilt: r(s) = (rs) (r + s) = r + s r( + ) = r + r Rechnen mit Beträgen von Vektoren: 0 r = r + = + 2.Parallelität, Kollinearität und Komplanarität von Vektoren Parallelität: Ein Vektor ist genau dann zu einem Vektor parallel ( ), wenn es eine reelle Zahl r oder eine reelle Zahl s gibt, sodass = r oder = s gilt kollineare Vektoren: Vektoren, deren Pfeile (Repräsentanten) auf einer Geraden liegen können. Solche Vektoren sind somit paarweise parallel komplanare Vektoren: Vektoren, die durch Pfeile ein und derselben Ebene beschrieben werden.

2 3. Betrag und Länge eines Vektors 4. Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit 5. Skalarprodukt Orthogonalität: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann 0, wenn die beiden Vektoren aufeinander stehen.

3 6. Geraden in der Ebene und im Raum Punktrichtungsgleichung einer Geraden (Vektorform) : Die Gerade g, die durch den Punkt P 0 mit dem Ortsvektor = 0P und den Richtungsvektor ( 0) bestimmt ist, kann durch die Gleichung = + t (t ) beschrieben werden. 7. Lagebeziehung zweier Geraden im Raum echt parallel: Die Geraden verlaufen so, dass sie einander nie schneiden würden, egal wie weit man sie verlängert. abhängig voneinander. Punktprobe ergibt keine Lösung. identisch: Die Geraden verlaufen praktisch übereinander und schneiden sich an jeder Stelle. abhängig von einander. Punktprobe ergibt eine Lösung. Schnittpunkt: Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt S unabhängig von einander. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt zu einer eindeutigen Lösung. S orthogonal: Die beiden Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel (90 ) unabhängig von einander. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt zu einer eindeutigen Lösung. Skalarprodukt der Richtungsvektoren ergibt 0. windschief: Die beiden Geraden verlaufen nicht parallel und haben kein Schnittpunkt, sie laufen hinter einander im Raum. Brechnung: Richtungsvektoren sind unabhängig von einander. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt zu keiner Lösung.

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5 8. Ebenen im Raum Punktrichtungsgleichung einer Ebene (Vektorform): Ist P 0 ein Punkt des Raumes mit dem zugehörigen Ortsvektor und sind und zwei nicht parallele Vektoren, so wird die dadurch eindeutig bestimmte Ebene ε durch die Gleichung: = + r + s (r, s ) beschrieben. 9. Lagebeziehungen Ebene und Ebene echt parallel: Die zwei Ebenen liegen so, dass sie einander niemals schneiden würden, egal wie weit man sie verlängert. abhängig voneinander. Punktprobe ergibt keine Lösung. identisch: Die Ebenen verlaufen praktisch übereinander und schneiden sich an jeder Stelle. abhängig von einander. Punktprobe ergibt eine Lösung. Schnitgerade: Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden. unabhängig von einander. Gleichsetzen der Ebenengleichungen führt zu einer Geradengleichung, die Schnittgeraden. Spezialfälle:

6 10. Lagebeziehungen Gerade und Ebene echt parallel: Die Gerade und Ebene liegen so, dass sie sich niemals schneiden würden, egal wie weit man sie verlängert. abhängig voneinander. Punktprobe ergibt keine Lösung. identisch: Die Gerade verläuft praktisch auf der Ebene und schneidet sie an jeder Stelle. abhängig von einander. Punktprobe ergibt eine Lösung. Schnittpunkt: Die Gerade schneidet die Ebene einem Schnittpunkt S. unabhängig von einander. Gleichsetzen der Gleichungen ergibt eine eindeutige Lösung. S 11. Schnittwinkelberechnung Schnittwinkel zweier Geraden: Der Schnittwinkel zweier Geraden kann mit Hilfe des Skalarprodukts ermittelt werden, hierfür benötigt werden die Richtungsvektoren der Geraden, und : cos =

7 12. Matrizen Matrix: Eine rechteckige Anordnung von m n Zahlen a ik in m Zeilen und n Spalten wird Matrix vom Typ (m; n) bzw. (m; n)-matrix genannt. Man schreibt: Die Zahlen a ik heißen Elemente (oder Komponenten) von A. Matrizen vom Typ (1; n) heißen Zeilenvektoren und )m; 1)-Matrizen Spaltenvektoren. Stimmt die Anzahl der Zeilen und Spalten überein, so nennt man diese Matrix quadratisch, also ist m = n, eine quadratische Matrix vom Typ (n; n) oder n-reihige Matrix. Nullmatrix: Bei einer Nullmatrix sind alle Elemente 0, d.h. a ik = 0 für jedes i und k. Transponierte Matrix: Schreibt man die Zeilen einer Matrix A vom Typ (m; n) als Spalten einer Matrix A T, so nennt man A T die zu A transponierte Matrix. A A Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn sie mit ihrer Transponierten übereinstimmt; sie heißt schiefsymmetrisch, wenn die Elemente ihrer Transponierten entgegengesetzte Vorzeichen haben. 13. Rechnen mit Matrizen Addition von Matrizen gleichen Typs: A = (a ik ) und B = (b ik ) seien (m n)-matrizen. dann versteht man unter ihrer Summe A + B eine Matrix C A(m n) + B(m n) = C(m n) = c ik a ik + b ik = c ik Skalare Vervielfachung einer Matrix (Multiplikation mit einer reellen Zahl): A = (a ik ) sei eine (m n)-matrix und r eine reelle Zahl. Dann versteht man unter dem Vielfachen r A von Matrix A eine Matrix C vom selben Typ wie A. r A(m n) = C(m n) = c ik r A

8 Multiplikation von Matrizen: Verknüpfungsbedingungen für A B: Anzahl der Spalten von A ist gleich der Anzahl von Zeilen von B Bilden Inverser Matrizen: Sind A und A -1 quadratische Matrizen und gilt A A -1 = A -1 A = E, so heißt A -1 die zu A inverse Matrix. Rang einer Matrix: Unter dem Rang r einer Matrix A versteht man die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen- bzw. Spaltenvektoren. Man schreibt auch: r = rg(a) 14. lineare Abbildungen Eine Abbildung f vom Vektorraum in den Vektorraum heißt genau dann linear, wenn für alle, und r gilt: (1) f( + ) = f() + f(), d.h., f ist additiv, (2) F(r) = r f(), d.h., f ist homogen. Ist f eine lineare Abbildung vom Vektorraum in den Vektorraum, dann gibt es eine (m n)-matrix A so, dass gilt: f() = A Die Matrix A heißt Abbildungsmatrix der linearen Abbildung.

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