Kurzskript. Niklas Polk
|
|
- Rainer Abel
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kurzskript Niklas Polk Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme 4 11 Schreibweisen 4 12 Vorgehen 4 13 Mögliche Lösungen 5 14 Homogene LGS: Ax = b, b = Geometrische Interpretation 5 16 LR-Zerlegung 5 2 Matrizen 6 21 Schreibweise 6 22 Addition (m n + m n = m n) 7 23 Multiplikation (m n n p = m p) 7 24 Transponierte ((m n) T = n m) 7 25 Inverse ((n n) 1 = n n) 7 26 Rechenregeln 8 27 Orthogonale Matrizen (n n) 8 3 Determinante (det(n n) = α) 8 31 Berechnung 8 32 Eigenschaften bzgl Berechnung 9 33 Rechenregeln 9 34 Determinante, Fläche und Volumen 9 4 Zusammenhang LGS, Invertierbarkeit, Determinante (n n) 10 5 Vektorräume Unterräume lineare Unabhängigkeit Erzeugendensystem 11 6 Koordinaten 11 1
2 7 Lineare Abbildungen (V n W m ) Lineare Abbildungen und Matrizen Bild und Kern einer Matrix Lineare Abbildungen und Skalarprodukt Lineare Selbstabbildungen Zusammensetzung von Lin Abb 13 8 Normierte Vektorräume Norm (vgl: Länge) (a a ) Wichtige Normen Konvergenz Skalarprodukt (vgl: Winkel) (x, y (x, y)) Wichtige Skalarprodukte Skalarprodukt komplexer VR 15 9 Orthogonalisieren Koordinatentransformation (Basiswechsel) Eigenwertproblem Berechnung Diagonalisieren Einfachheit Eigenbasen Diagonalisieren von Matrizen Eigenwertproblem symmetrischer Matrizen Folgerungen aus dem EW-Problem Berechnung von y = A k x Matrixexponentialfunktion Matrixnormen Norm A Matrixnorm der Inversen Anwendungen zum EW-Problem Quadratische Form Hauptachsentransformation Kegelschnitte Lokale Extrema Systeme homogener Differentialgleichungen mit Konstanten Koeffizienten Systeme 1 Ordnung Allgemeine Lösung 21 2
3 1512 Anfangswertproblem Systeme 2 Ordnung Allgemeine Lösung Anfangsbedingungen Rückführung in ein System 1 Ordnung Inhomogene lineare Systeme Komplexe Lösungen Disclaimer 23 3
4 1 Lineare Gleichungssysteme 11 Schreibweisen Ausgeschrieben Erweiterte Matrix A = a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Matrixschreibweise Ax = b, mit, x = x 1 x 2 x n, b = b 1 b 2 b n x 1 x 2 x n a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m 12 Vorgehen Gauss Algorithmus: 1 Gleichungssystem als erweiterte Matrix schreiben 2 Tabelle durch Äquivalenzumformung in Dreiecksform/Zeilenstufenform bringen Zeilen vertauschen Vielfaches einer Zeile zu einer anderen hinzufügen/abziehen Zeile multiplizieren mit einer Zahl 0 3 Lösung(smenge) durch Rückwärtseinsetzen bestimmen Definition: Rang(A) = r: Anzahl Pivots/von Null verschiedener Zeilen nach vollständigem Gaussen maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A 4
5 13 Mögliche Lösungen eine oder unendlich viele Lösungen (r = m oder wenn r < m alle Verträglichkeitsbedingungen erfüllt) genau eine Lösung wenn r = n n r freie Parameter wenn r < n (unendlich viele Lösungen) keine Lösung niemals zb genau 4 Lösungen 14 Homogene LGS: Ax = b, b = 0 immer triviale Lösung x = 0 nichttriviale Lösung genau wenn r < n 15 Geometrische Interpretation a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b stellt geometrisch dar: n = 2: Gerade in der Ebene n = 3: Ebene im Raum n beliebig: Hyperebene im Allgemeinen Lösungsmenge eines LGS stellt Schnittmenge der Hyperebenen dar 16 LR-Zerlegung Alternative zum Gaussen (lösen von Ax = b) Schritt 1: Schreibe Matrix A und die Einheitsmatrix nebeneinander (wie beim Berechnen der Inversen) Gausse bis zur Zeilenstufenform (Pivots müssen nicht 1 sein!) Bei der Einheitsmatrix werden nur Vertauschungen mitgemacht Dort wo bei der Zeilenstufenform Nullen stehen würden, schreibt man die erforderliche Rechenoperation hinein um die jeweilige Null zu erzeugen (siehe Beispiel aus Übung) Alles rechts der Diagonale (inkl Diagonale) des Endschemas ist R (Rest mit Nullen auffüllen) 5
6 Alles links der Diagonale (exkl Diagonale) des Endschemas ist L (Diagonale mit Einsen auffüllen, Rest mit Nullen) Die vertauschte Einheitsmatrix ist P Es gilt: LR = P A und wir definieren Rx = c, also P Ax = LRx = Lc = P b Schritt 2: Löse Lc = P b durch vorwärtseinsetzen Schritt 3: Löse Rx = c durch rückwärtseinsetzen Determinante mit LR: det(a) = det(p ) det(r) = 1 AnzahlZeilenvertauschungen det(r) R Diagonal! 2 Matrizen 21 Schreibweise m n-matrix (m Zeilen (zuerst), n Spalten (später)) A = Zeilenstruktur: A wird geschrieben als A = a [1] a [2] a [n], a [i] sind die Zeilen von A ya = y 1 a [1] + + y n a [n] (Linearkombination, y: Zeilenvektor) Spaltenstruktur: A wird geschrieben als A = (a (1), a (2),, a (n) ), a (i) sind die Spalten von A Ax = x 1 a (1) + + x n a (n) (Linearkombination, x: Spaltenvektor) Diagonalmatrix: D = diag(d 11, d 22,, d nn ) = Einheits/Identitätsmatrix I = diag(1, 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn d d d nn 6
7 22 Addition (m n + m n = m n) Jeweils gleiche Elemente addieren (Bsp: A+B = C: Element c ij = a ij +b ij ) ( ) ( ) ( ) a11 a A = 12 b11 b, B = 12 a11 + b C = A + B = 11 a 12 + b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 + b 21 a 22 + b Multiplikation (m n n p = m p) Bsp: Produkt von A und B ist AB, Element AB ij ist das Produkt der Zeile i von Matrix A und der Spalte j von Matrix B ( ) ( a11 a A = 12 b11 b, B = 12 a 21 a 22 b 21 b 22 ) AB = 24 Transponierte ((m n) T = n m) ( a11 b 11 + a 12 b 21 ) Zeilen und Spalten vertauschen (Bsp: A Transponieren: Element A T ij = A ji) a 11 a 12 a 13 a 11 a 21 a 31 A = a 21 a 22 a 23, A T = a 12 a 22 a 32 a 31 a 32 a 33 a 13 a 23 a 33 A ist symmetrisch A T = A A ist anti-/schiefsymmetrisch A T = A 25 Inverse ((n n) 1 = n n) Definition: A 1 A = I Berechnen mit Gauss-Jordan (Am Beispiel merken!) 1 erweiterte Matrix (mit I links) aufschreiben 2 bis Zeilenstufenform gaussen 3 in jeder Zeile durch Pivots teilen, sodass danach alle Pivots= 1 4 Zeilen voneinander abziehen (mit der untersten angefangen) sodass am Ende links I steht 5 die Matrix die danach rechts steht ist die Inverse 7
8 26 Rechenregeln Addition und Multiplikation Transponierte Inverse A + B = B + A (A T ) T = A A 1 A = I n A + B + C = A + (B + C) (A + B) T = A T + B T (A 1 ) 1 = A (AB)C = A(BC) (AB) T = B T A T (AB) 1 = B 1 A 1 (A + B)C = AC + BC In T = I n I n invertierbar, In 1 = I n A(C + D) = AC + AD α(a + B) = αa + αb (A T ) 1 = (A 1 ) T α(βa) = (αβ)a Achtung: AB BA 27 Orthogonale Matrizen (n n) Definition: A T A = I A T = A 1 Seien A und B orthogonal: A beschreibt eine längentreue Abbildung Spalten- und Zeilenvektoren von A sind normiert (Betrag = 1) und senkrecht aufeinander (Skalarprodukt = 0) A 1 ist orthogonal AB ist orthogonal I n ist orthogonal 3 Determinante (det(n n) = α) 31 Berechnung ( a11 a 1 1 : A = (a) det(a) = a 2 2 : A = 12 a 21 a 22 ) det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21 Bei grösseren Matrizen nach Zeile oder Spalte entwickeln: weise jedem Element der Matrix wie folgt ein Vorzeichen zu suche (wenn vorhanden) die Spalte oder Zeile mit den meisten Nullen aus, fange mit dem ersten Element an, streiche dessen Zeile und Spalte + a 11 a 12 + a 13 a 21 + a 22 a 23 + a 31 a 32 + a 33 8
9 berechne die Determinante der so entstandenen Untermatrix (falls diese immernoch zu gross ist, beginne wieder mit Schritt 1) multipliziere die Determinante der Untermatrix mit dem Element nach dem sie entwickelt wurde und dem Vorzeichen das diesem Element zugewiesen wurde addiere alle Ergebnisse für die Elemente um die Determinante für die gesamte Matrix zu erhalten 32 Eigenschaften bzgl Berechnung wenn man bei A zwei Zeilen vertauscht ändert die Determinante ihr Vorzeichen wird in A ein vielfaches einer Zeile zu einer anderen addiert, bleibt die Determinante unverändert wird in A eine Zeile mit einer Konstanten multipliziert, dann vervielfacht sich die Determinante um diesen Faktor die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente sind zwei Zeilen linear abhängig, ist die Determinante Null gibt es eine Nullzeile ist die Determinante Null Alles was hier über Zeilen geschrieben wurde gilt ebenfalls für Spalten! 33 Rechenregeln det(a T ) = det(a) ( ) A B für eine Matrix M = 0 C det(ab) = det(a) det(b) ist det(m) = det(a) det(c) det(a 1 ) = 1 det(a) 34 Determinante, Fläche und Volumen 2 2: det(a) =Fläche des Parallelogramms das die Vektoren von A aufspannen 1 2det(A) = Dreiecksfläche 3 3: det(a) =Volumen des Parallelepipeds das die Vektoren von A aufspannen 1 6det(A) = Pyramidenvolumen 9
10 4 Zusammenhang LGS, Invertierbarkeit, Determinante (n n) alle Aussagen auf einer Seite der Tabelle sind äquivalent, man kann von einer auf alle anderen schliessen! det(a) 0 det(a) = 0 A invertierbar/regulär A nicht invertierbar/singulär Rang(A) = n (Matrix hat vollen Rang) min 2 Zeilen oder Spalten lin abh Ax = b für jedes b lösbar Ax = b entweder keine oder Ax = b eindeutig bestimmt unendlich viele Lösungen Ax = 0 nur triviale Lösung x = 0 Ax = 0 unendlich viele Lösungen 5 Vektorräume Ein reeller Vektorraum V ist eine Menge von Objekten (Vektoren), für die gilt (a, b, c beliebige Vektoren aus V und α, β beliebige reelle Zahlen): Addition ist definiert und es gilt: 1 a + b = b + a 2 (a + b) + c = a + (b + c) 3 Es gibt einen Nullvektor 0 (nur Name) für den gilt ( ) 0 a + 0 = a (muss nicht sein) 0 4 zu jedem Vektor a gibt es einen entgegengesetzten Vektor a, mit a + ( a) = 0 Multiplikation mit reellen Zahlen ist definiert und es gilt: 1 α(βa) = (αβ)a 2 (α + β)a = αa + βa, α(a + b) = αa + αb 3 1a = a 51 Unterräume Eine nichtleere Teilmenge U von V heisst Unterraum von V, falls: a, b U a + b U a U, α eine Zahl αa U 10
11 Ausserdem sind - V selbst - {0} (Menge nur mit Nullvektor, nicht leere Menge) - U 1 U 2 - U 1 + U 2 Unterräume von V 52 lineare Unabhängigkeit Vektoren v 1, v 2,, v n sind linear unabhängig: n x i v i = 0 hat nur triviale Lösung x = 0 i=1 sonst linear abhängig 53 Erzeugendensystem Jeder Vektor von V kann als Linearkombination der Vektoren a (1), a (2),, a (k) von V dargestellt werden (V = span { a (1), a (2),, a (k)} ) { a (1), a (2),, a (k)} heisst Erzeugendensystem von V Hat V n Dimensionen (dim(v ) = n): mehr als n Vektoren sind lin abh weniger als n Vektoren sind nicht erzeugend n Vektoren sind lin unabh genau dann wenn sie erzeugend sind: man nennt sie dann Basis von V (verschiedene Basen von V bestehen aus gleich vielen Vektoren) 6 Koordinaten Hat V die Basis B = { b (1),, b (n)}, kann jeder Vektor x V eindeutig dargestellt werden als x = n x i b (i) die Koeffizienten x i heissen Koordinaten von x bez der i=1 Basis B Koordinaten hängen also von der gewählten Basis ab!! 7 Lineare Abbildungen (V n W m ) Eine Abbildung F : x V y = F(x) W heisst lineare Abbildung vom endlichdimensionalen Vektorraum V in den endlichdimensionalen Vektorraum W, falls 11
12 1 F(x + y) = F(x) + F(y) für alle x, y V 2 F(αx) = αf(x) für alle Zahlen α und alle x V gilt (Als erster Test eignet sich F(0 x) = 0 F(x) = F(0 V ) = 0 W, wobei 0 V und 0 W die entsprechenden Nullvektoren sind) - affin lineare Abbildung: x Ax + a - Kontraktion: F(x) F(y) c x y, c < 1 71 Lineare Abbildungen und Matrizen Jede m x n-matrix A beschreibt eine lineare Abbildung von einem n-dimensionalen in einen m-dimensionalen Vektorraum (und umgekehrt!) (Finde die Matrix die die Abbildung beschreibt, und du hast gezeigt dass sie linear ist!) Hierbei gilt: F(b (j) ) = a (i) wobei b (1), b (2), b (n) eine Basis von V ist A = (a (1), a (2),, a (n) ); y = Ax 72 Bild und Kern einer Matrix Kern(A) = {x V n Ax = 0} (einfach LGS lösen!) Bild(A) = {y W m Es gibt ein x V n, so dass y = Ax} (= n dim(kern(a)) Spalten aus der Ursprungsmatrix die linunabh sind) Es gilt: 1 b Bild(A) Ax = b lösbar 2 Bild(A) = span { a (1),, a (n)} 3 x Kern(A) x ist Lösung von Ax = 0 4 Kern(A) ist Unterraum von V n 5 Bild(A) ist Unterraum von W m 6 dim(bild(a)) + dim(kern(a)) = n (Spaltenanzahl der Matrix) 7 dim(bild(a)) = dim(bild(a T )) = r (Rang der Matrix) 12
13 73 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt Bild(A) und Kern(A T ) spannen W m auf Bild(A) steht senkrecht auf Kern(A T ) dim(bild(a)) + dim(kern(a T )) = dim(w m ) = m Ax = b genau dann lösbar, wenn b senkrecht auf allen Lösungen des adjungierten LGS A T y = 0 steht 74 Lineare Selbstabbildungen i eine lineare Abbildung F : x V n x = Ax V n ist genau dann umkehrbar, wenn A regulär ist ii Ist F : x x = Ax umkehrbar, so ist F 1 linear und F 1 wird durch die Matrix A 1 beschrieben F 1 : x x = A 1 x iii Ist F umkehrbar, so gilt F 1 F = F F 1 = I Dabei ist I die Identität dh I : x V n x V n 75 Zusammensetzung von Lin Abb ist auch linear F : x V n Ax V m, G : y V m By V p G F : x BAx 8 Normierte Vektorräume 81 Norm (vgl: Länge) (a a ) Weist jedem Vektor a aus V eine reelle Zahl a zu 1 (a) Für jeden Vektor a V gilt a 0, (b) aus a = 0 folgt a = 0 2 Für jeden Vektor a V und für jede Zahl α gilt: αa = α a 3 Für alle Vektoren a, b V gilt: a + b a + b (Dreiecksungleichung) 13
14 82 Wichtige Normen 1 L p -Normen: x p := p n i=1 x i p : L 1 -Norm: x 1 := x 1 + x x n L 2 -Norm (oder euklidische Norm): x 2 := x x x n L -Norm (oder Maximumnorm): x := max( x 1, x 2, x n ) 2 Normen auf C([a, b]) (Auswahl) Maximumsnorm: f L := max { f(x) : a x b} p-norm (1 p ): f L p := ( b a f(x) p dx) 1 p 83 Konvergenz x y ist ein Mass für den Abstand zwischen x und y Daraus leiten wir ab: Seien v und die Folge (v n ) beide im normierten VR V (v n ) konvergiert gegen v, falls: lim v n v = 0, man schreibt lim v n = v n n 84 Skalarprodukt (vgl: Winkel) (x, y (x, y)) Weist jedem Paar von Vektoren x, y eine reelle Zahl (x, y) zu 1 linear im zweiten Faktor: (a) (x, y (1) + y (2) ) = (x, y (1) ) + (x, y (2) ) (b) (x, αy) = α(x, y), für α R 2 symmetrisch: (x, y) = (y, x) 3 positiv definit: (a) (x, x) 0 (b) aus (x, x) = 0 folgt x = 0 x und y sind orthogonal (oder senkrecht aufeinander), falls (x, y) = 0 Orthogonale Vektoren sind linear unabhängig! Weitere Eigenschaften des Skalarprodukts: Projektion von x auf y ist der Vektor (y,x) (y,y) y (x, y) 2 (x, x)(y, y) (Schwarzsche Ungleichung) 14
15 x := (x, x) ist die vom Skalarprodukt induzierte Norm Polarisationsidentität: (x, y) = 1 4 ( x 2 + y 2 x 2 y 2 ) sind x und y senkrecht aufeinander: x + y 2 = x y 2 = x 2 + y 2 (Satz von Pythagoras) 85 Wichtige Skalarprodukte 1 Auf C([a, b]): f, g := b a f(t)g(t)dt 2 Für zwei Vektoren x, y R n : x, y := x T y 86 Skalarprodukt komplexer VR Alles gleich, nur dass Symmetrie (x, y) = (y, x) (der Strich bedeutet komplex konjugiert,a + bi = a bi) 9 Orthogonalisieren In einem reellen k-dimensionalen Vektorraum bilden k paarweise orthogonale Einheitsvektoren eine Basis (eine sog orthonormale Basis) Um aus einer gegebenen Basis b 1, b 2,, b k eine orthonormale Basis e 1, e 2,, e k zu konstruieren (die den selben Vektorraum aufspannt) benutzt man das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren: 1 e 1 := b 1 b 1 (ersten Vektor b 1 auf Länge 1 normieren) 2 e n (n > 1) ausgehend von vorherigen konstruieren: (a) e n = b n n 1 i=1 (b n, e i )e i (Vektor e n senkrecht auf allen anderen) (b) e n = e n e n (e n normieren) 10 Koordinatentransformation (Basiswechsel) Gegeben: zwei verschiedene Basen B = (b 1,, b n ) und B = (b 1,, b 2 ) zum selben Vektorraum V n der Vektor v, bzw [v] B und [v] B, dargestellt in diesen jeweiligen Basen die lineare Abbildung F, bzw [F] B und [F] B, dargestellt in diesen jeweiligen Basen Dann gilt: 15
16 i [v] B = T [v] B ; T = ([b 1 ] B,, [b n ] B ) und wird Übergangsmatrix genannt ii [v] B = S[v] B ; S = ([b 1 ] B,, [b n] B ) und S 1 = T iii [F] B = T [F] B T 1 11 Eigenwertproblem Sei A eine n n-matrix, die die Abbildung F : x C n beschreibt: Ax C n i) Eine Zahl λ C heisst Eigenwert der Matrix A, falls es einen Vektor x C n gibt, x 0, so dass Ax = λx gilt ii) Ist λ C Eigenwert der Matrix A, so heisst jeder Vektor x C n, x 0, für den Ax = λx gilt, Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ Konkret: Ax = λx Der Eigenvektor x wird durch Multiplikation mit der Matrix A einfach mit seinem Eigenwert λ multipliziert, also gestreckt bzw gestaucht aber nicht gedreht! 111 Berechnung Um die Eigenwerte von A zu berechnen, löse det(a λi n ) = 0 (man nennt diese Gleichung charakteristisches Polynom von A; P A (λ)) nach λ auf Algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ gibt an wie oft der Faktor λ λ in der Linearfaktorzerlegung des charakteristischen Polynoms enthalten ist Jede quadratische n n-matrix hat mindestens einen und höchstens n Eigenwerte Jede quadratische n n-matrix hat genau n Eigenwerte, gewichtet mit ihren algebraischen Vielfachheiten Für jede reelle Matrix sind die Koeffitzienten von P (λ) reell, und die Eigenwerte entweder reell oder in konjugiert komplexen Paaren Um die Eigenvektoren zu berechnen, löse (A λi n )x = 0 nach x auf (man sollte also zuerst den Eigenwert haben um den zugehörigen Eigenvektor berechnen zu können!) Die Menge der Lösungen heisst Eigenraum von A zum Eigenwert λ (E λ ) Die Dimension von E λ heisst geometrische Vielfachheit von λ 16
17 Eigenvektoren verschiedener EW einer Matrix sind immer linear unabhängig Es gilt: 1 geometrische Vielfachheit von λ algebraische Vielfachheit von λ 12 Diagonalisieren 121 Einfachheit Eine quadratische Matrix heisst i) einfach, wenn jeder Eigenwert die algebraische (und daher geometrische) Vfh 1 hat ii) halbeinfach, wenn für jeden Eigenwert gilt algebraische Vfh=geometrische Vfh Man erkennt leicht, dass jede einfache Matrix auch halbeinfach ist 122 Eigenbasen Eine Basis von Eigenvektoren einer Matrix A nennt man Eigenbasis zur Matrix A 123 Diagonalisieren von Matrizen Eine quadratische Matrix A heisst diagonalisierbar, falls es eine reguläre Matrix T gibt, so dass die Matrix D := T 1 AT eine Diagonalmatrix ist Bilden die Vektoren u (1), u (2),, u (n) eine Eigenbasis zu A, dann ist ein T = (u (1), u (2),, u (n) ) In der Diagonalen von D stehen die Eigenwerte von A (die Reihenfolge ist die der zugeh Eigenvektoren in T) Folgende Aussagen sind äquivalent: Matrix A ist diagonalisierbar Matrix A ist halbeinfach Matrix A besitzt eine Eigenbasis 17
18 124 Eigenwertproblem symmetrischer Matrizen Wenn A eine reelle, symmetrische Matrix ist, dann sind alle Eigenwerte von A reell stehen Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte senkrecht aufeinander ist A halbeinfach (somit diagonalisierbar) gibt es eine orthonormale (Spalten paarweise senkrecht aufeinander und normiert) Eigenbasis zu A (bei EV mit gleichem EW Schmidt sches Orthog) gibt es eine orthogonale Matrix T, die A diagonalisiert mit D = T T AT = diag {EW (A)} (T orthogonal: T 1 = T T ) 13 Folgerungen aus dem EW-Problem 131 Berechnung von y = A k x 1 EW und EV von A bestimmen T und D, sodass T 1 AT = D (diagonalisieren) 2 Lineares Gleichungssystem T z = x nach z auflösen (zb Gaussen) 3 D k berechnen, dann w := D k z 4 Berechne y = T w Bemerkung: Wenn A symmetrisch; wähle T orthogonal T 1 = T T A k = T D k T T (schneller, Schritt 2 entfällt) 132 Matrixexponentialfunktion Wenn A halbeinfach (diagonalisierbar): e A = T e D T 1, mit e D = diag(e λ 1, e λn ) 133 Matrixnormen Norm A 2 1 A quadratisch: A 2 = µ max, wobei µ max der grösste Eigenwert von A T A ist 2 Q orthogonal: Q 2 = 1 3 A symmetrisch: A 2 = max i λ i, wobei λ max der betragsmässig grösste EW von A ist 18
19 1332 Matrixnorm der Inversen 1 A invertierbar: A 1 2 = 1 µ min,, wobei µ min der kleinste Eigenwert von A T A ist 2 A symmetrisch: A 1 2 = 1 min i λ i, wobei λ min der betragsmässig kleinste EW von A ist 14 Anwendungen zum EW-Problem Sei A R n n symmetrisch 141 Quadratische Form q A (x) = x T Ax = n i,j=1 a ij x i x j heisst quadratische Form Beispiel R 2 : q(x) = ax ( bx ) 1x 2 + cx 2 2 ist eine quadratische Form, denn a q(x) = x T b Ax mit A = 2 b 2 c 142 Hauptachsentransformation 1 A diagonalisieren T, D 2 T orthogonalisieren T T AT = D 3 y = T T x definieren x = T y, weil T orthogonal 4 in quadratische Form einsetzen q A (x) = x T Ax = y T Dy = n d i yi 2 In q D gibt es keine gemischten Terme mehr, dies heisst Normalform 143 Kegelschnitte Die Menge Q = { x R n x T Ax + a T x + b = 0 }, (a R n, b R) heisst Kegelschnitt/Quadrik Ziel: Herausfinden um welche Art Kegelschnitt es sich bei Q handelt, indem wir x T Ax + a T x + b durch Hauptachsentransformation und Translation in Normalform bringen i=1 19
20 x 2 + y2 a 2 x 2 y2 a 2 x 2 + y2 a 2 Rang(A) = 2 Rang(A) = 1 b 2 1 = 0 Ellipse/Kreis x 2 cy = 0 Parabel 1 = 0 Hyperbel x 2 a 2 = 0 paralleles Geradenpaar b = 0 leere Menge x 2 + a 2 = 0 leere Menge b 2 x 2 + b 2 y 2 = 0 Punkt x 2 = 0 Gerade x 2 b 2 y 2 = 0 sich schneidendes Geradenpaar 144 Lokale Extrema A positiv definit alle EW von A > 0 q A (x) > 0 x 0 A negativ definit alle EW von A < 0 q A (x) < 0 x 0 A indefinit positive und negative EW q A (x) nimmt positive und negative Werte an Hurwitz Kriterium: a 11 a 1i Sei A = (a ij ), dann gilt: A positiv definit det > 0 i a i1 a ii Sei f : R n R eine Funktion a R n heisst kritischer Punkt von f, falls grad f(a) = 0 Die Hessesche Matrix von f in a ist ( 2 ) f(a) H f (a) = x i x j 1 H f (a) positiv definit a lokales Minimum 2 H f (a) negativ definit a lokales Maximum 3 H f (a) indefinit a Sattelpunkt 15 Systeme homogener Differentialgleichungen mit Konstanten Koeffizienten 151 Systeme 1 Ordnung y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + a 13 y a 1n y n y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + a 23 y a 2n y n y n = a n1 y 1 + a n2 y 2 + a n3 y a nn y n i,j 20
21 1511 Allgemeine Lösung y 1 1 y = Ay, mit y y 2 =,y = y n y 1 y 2 y n und A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 2 Eigenwertproblem lösen: Eigenwerte λ 1, λ 2,, λ k und zugehörige Eigenvektoren u (1), u (2),, u (n) (A sollte halbeinfach sein! (alg = geom Vfh)) 3 T = (u (1), u (2),, u (n) ) und D = diag(λ 1, λ 2,, λ k ) aufstellen (wenn Anfangswertproblem und A symmetrisch: T orthogonal wählen!) D = T 1 AT 4 setze y = T z y = T z in y = Ay ein: z = Dz, da D diagonal ist hat das System jetzt die Form z i = λ iz i es wurde entkoppelt 5 z i = λ i z i hat die bekannte Lösung z i = c i e λ ix, wobei c i ein freier Parameter ist 6 Setze z zurück in y = T z ein: y = c 1 e λ 1x u (1) + c 2 e λ 2x u (2) + + c n e λnx u (n) (allgemeine Lösung) 1512 Anfangswertproblem Oft hat man noch eine Anfangsbedingung y(0) = y 0 (Vektor) gegeben, mit der man die Koeffizienten c i bestimmen kann: 1 y(0) = T z(0) = y 0 2 x = 0 in die allgemeine Lösung für z eingesetzt: z i (0) = c i bzw z(0) = c (als Vektoren) 3 Lineares Gleichungssystem T c = y 0 (2 in 1 eingesetzt) lösen (entweder Gaussen oder wenn T orthogonal: c = T T y 0 ) 152 Systeme 2 Ordnung y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + a 13 y a 1n y n y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + a 23 y a 2n y n y n = a n1 y 1 + a n2 y 2 + a n3 y a nn y n 21
22 1521 Allgemeine Lösung y 1 1 y = Ay, mit y y 2 =,y = y n y 1 y 2 y n und A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 2 Eigenwertproblem lösen: Eigenwerte λ 1, λ 2,, λ k und zugehörige Eigenvektoren u (1), u (2),, u (n) (A sollte halbeinfach sein! (alg = geom Vfh)) 3 setze y = T z y = T z in y = Ay ein: z = Dz, da D diagonal ist hat das System jetzt die Form z i = λ iz i es wurde entkoppelt 4 setze ω i := λ i z + ωi 2 z = 0 (harmonischer Oszillator) 5 z + ω 2 i z = 0 hat die bekannte Lösung z i = a i cos(ω i x) + b i sin(ω i x), wobei a i und b i freie Parameter sind (harmonische Schwingung mit Frequenz ω i ) 6 Setze z zurück in y = T z ein: y = [a 1 cos(ω 1 x) + b 1 sin(ω 1 x)]u (1) + [a 2 cos(ω 2 x) + b 2 sin(ω 2 x)]u (2) + + [a n cos(ω n x) + b n sin(ω n x)]u (n) (allgemeine Lösung) 1522 Anfangsbedingungen Oft hat man die Anfangsbedingungen y(0) = y 0 und y (0) = y 0 (Vektoren) mit denen man die freien Parameter a i und b i bestimmen kann (meist in Anwendungen: Anfangsgeschwindigkeit= 0 y (0) = 0) 1 y(0) = T z(0) = y 0 und y (0) = T z (0) = y 0 2 x = 0 in die allgemeine Lösung für z eingesetzt: z i (0) = a i bzw z(0) = a (als Vektoren) z i (0) = ω ib i bzw z (0) = b mit b i = ω i b i (als Vektoren) 3 Lineare Gleichungssysteme T a = y 0 und T b = y (0) (2 in 1 eingesetzt) lösen (entweder Gaussen oder wenn T orthogonal: a = T T y 0 und b = T T y 0 ) 4 b i = ω i b i nach b i auflösen 153 Rückführung in ein System 1 Ordnung Man benutzt eine Substitution um eine LDG höherer Ordnung in ein System 1 Ordnung Rückzuführen (funktioniert auch analog bei Systemen höherer Ordnung und mit variablen Koeffizienten): 22
23 1 lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten oder variablen Koeffizienten a i (konstant) oder a i (x) (variabel) y (n) = a 0 y + a 1 y + a 2 y + + a n 1 y (n 1) 2 Substitution: y 0 = y y 1 = y y 2 = y y n 1 = y (n 1) 3 Lösen wie System 1 Ordnung = y 0 y 1 y n 2 y n 1 4 Lösung für y 0 ist die gesuchte Funktion y 154 Inhomogene lineare Systeme = Y = AY + B (I) (Inhomogenes System wegen B!) Y = AY (II) (zugehöriges homogenes System) 1 Lösung des homogenen Systems (II) bestimmen: S h = {Y : Y löst (II)} ist ein n-dimensionaler VR allgemeine homogene Lösung a 0 a 1 a 2 a 3 a n 1 2 eine beliebige Lösung des inhomogenen Systems (I) bestimmen: S p = {Y : Y löst (I)} partikuläre Lösung 3 Gesamtlösung S I = S h + S p (allgemeine homogene + partikuläre Lösung) 155 Komplexe Lösungen Man kann jedes Paar komplex konjugierter Lösungen φ(x), φ(x) durch ein reelles Paar Re(φ(x)) und Im(φ(x)) ersetzen (Nur wenn A reell!!) Hinweis: e ix = cos(x) + isin(x) und e ix = cos(x) isin(x) 16 Ausgleichsrechnung Ax c = r, A R m n (Fehlergleichungen), r, c R m nach x auflösen, sodass r 2 = Ax c 2 minimal wird Meistens ist Ax = c ein überbestimmtes System, man interpretiert dann r als Messfehler-Vektor y 0 y 1 y n 2 y n 1 23
24 161 Methode der kleinsten Quadrate Ansatz: r 2 = Ax c 2 ist minimal, wenn er auf den von den Spalten von A aufgespannten Raum (Bild(A)) senkrecht steht und Null, wenn c Bild(A) Lösung: Löse das System A T Ax = A T c (Normalengleichungen) nach x auf 162 QR-Zerlegung Da die Normalengleichungen zu numerisch ungenauen Lösungen führen können, kann man alternativ die QR-Zerlegung benutzen Anstatz: Man zerlegt A R m n, m n: A = QR Q R m m und orthogonal (längentreu) ( ) R0 R =, wobei R 0 0 R n n eine obere Dreiecksmatrix ist Wenn Rang(A) = n R 0 regulär! Lösung: Man erhält R = Q T A und definiert d := Q T c Seien R 0 und d 0 die oberen n Zeilen von R bzw d: R 0 x = d 0 durch Rückwärtseinsetzen nach x lösen r 2 = d 1 2, wobei d 1 die unteren m n Zeilen von d sind Bestimmung der QR-Zerlegung (Givens-Rotation): Q T setzt sich aus dem Produkt von Givens-Matrizen G(i, j, φ) zusammen G(i, j, φ) beschreibt eine Drehung in der Ebene, die durch die Achsen i, j aufgespannt wird G(i, j, φ) hat folgende Elemente: j, j: cos(φ) j, i: sin(φ) i, j: sin(φ) i, i: cos(φ) Rest der Diagonalen: 1 Rest der Matrix: 0 24
25 multipliziere A mit G(i, j, φ) um das Element der Zeile i und Spalte j von A zu eliminieren wähle φ so, dass in der Matrix G(i, j, φ)a das Element i, j verschwindet Multipliziere A so lange mit Givens-Matrizen, bis man die gewünschte Form von R erreicht ist! 17 Disclaimer Hab mir das natürlich nicht alles selbst ausgedacht, kommt fast alles von den Vorlesungsfolien oder Lineare Algebra von Nipp und Stoffer Da könnt ihr auch nachschauen wenn etwas unklar ist, oder ihr einen Fehler gefunden habt (ja, auch ich bin nicht perfekt ;) ) Ansonsten viel Erfolg, Niklas 25
Vektorräume und Lineare Abbildungen
Vektorräume und Lineare Abbildungen Patricia Doll, Selmar Binder, Lukas Bischoff, Claude Denier ETHZ D-MATL SS 07 11.04.2007 1 Vektorräume 1.1 Definition des Vektorraumes (VR) 1.1.1 Grundoperationen Um
Mehr8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Mehr12 Lineare Algebra - Übersicht. Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen
12 Lineare Algebra - Übersicht Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen Unterräume Sei X ein Vektorraum über Ã. Eine Teilmenge M X heißt Unterraum von X, wenn
MehrLineare Algebra - Zusammenfassung
Lineare Algebra - Zusammenfassung Xiaojing George Zhang 15. Februar 2008 Zusammenfassung Eine Zusammenfassung basierend auf dem Skript Lineare Algebra für Ingenieure von Prof. H. Knörer und Lineare Algebra
MehrLösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Winter 6 Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in das entsprechende
MehrLineare Algebra Zusammenfassung
Lineare Algebra Zusammenfassung Andreas Biri, D-ITET 2013 31.07.13 Lineares Gleichungssystem Gauss- Zerlegung Lösungsmenge: Menge aller Lösungen eines linearen Gleichungssystems (GS) Äquivalentes GS: 1)
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 215 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 12 Aufgabe 121 Matrixpotenzen und Eigenwerte Diese Aufgabe ist
MehrEigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)
Eigenwerte Teschl/Teschl 4. Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x 0, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x =
MehrBC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2
Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra 1 Vektoralgebra 1 Der dreidimensionale Vektorraum R 3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel (x 1, x 2, x 3 ) reeller Zahlen Jedes geordnete
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Winter 2013 Prof. H.-R. Künsch. , a R. det(a) = 0 a = 1.
b Musterlösung Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Multiple Choice) Gegeben sei die folgende Matrix Winter 3 Prof. H.-R. Künsch A = a a) deta) = genau dann wenn gilt x a =. a =. ), a R. x
MehrLineare Algebra für Ingenieure
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 4 Fakultät II - Mathematik J Liesen/F Lutz/R Seiler Lineare Algebra für Ingenieure Lösungen zur Juli-Klausur Stand: 4 September 4 Rechenteil Aufgabe (8 Punkte Berechnen
MehrSinguläre Matrix: nicht invertierbar Det(A)=0
Lineare Algebra Zusammenfassung Fabian Zwimpfer Lineare Gleichungssysteme Ax=b m= # Zeilen n= # Spalten r=rang (# nicht-0-zeilen)= # Pivots= # lin.unabh. Zeilen/Spalten= dim des aufgespannten Raums Pivotvariable:
Mehr5.4 Basis, Lineare Abhängigkeit
die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Wieder ist 2 0 L i = L h + 0 1 Wir fassen noch einmal zusammen: Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbekannten hat n Rang(A)
MehrLineare Algebra II 11. Übungsblatt
Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross 9 / Juni Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Minitest (Bearbeitung innerhalb von Minuten und ohne Benutzung des
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Mehr3 Lineare Algebra Vektorräume
3 Lineare Algebra Vektorräume (31) Sei K ein Körper Eine kommutative Gruppe V bzgl der Operation + ist ein Vektorraum über K, wenn eine Operation : K V V (λ, v) λv existiert mit i) v,w V λ,µ K: λ (v +
MehrProf. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung A =
Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung 7..7 Aufgabe ( Punkte) (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix A mit 3 3 A = 3 Ist die Matrix A diagonalisierbar? (b) Die Matrix A
Mehr9 Eigenwerte und Eigenvektoren
92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl
Mehr9 Eigenwerte und Eigenvektoren
92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl
Mehr3 Matrizenrechnung. 3. November
3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige
MehrInhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
MehrMatrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 11. Übung: Woche vom
Übungsaufgaben 11. Übung: Woche vom 9. 1.-13. 1. 2017 (Numerik): Heft Ü 1: 12.28.a,b; 12.29.b,c (jeweils mit Fehlerabschätzung); 6.26; 6.27.a (auch mit Lagrange-Interpolationspolynom); 6.25; 6.28 (auch
MehrProseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt
Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2
Mehr1 Matrizenrechnung zweiter Teil
MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten
Mehr10.2 Linearkombinationen
147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2012/2013
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrAussagenlogik. 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl. C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7. F: 3 ist Teiler von 9
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrA w w f f B w f w f A B w f w w A B A B A B. z = a 2 + b 2 =: r. c+id = ac+bd. 2 c 2 +d 2. z 2. z n = z. z = r cos(x) + ir sin(x) = reix
Formelsammlung Aussagenlogik Für beliebige Aussagen A, B gilt: Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz A B w f f f A B w w w f A B w f w w A B w f f w Mengenlehre Für beliebige Mengen A, B gilt:
MehrA w w f f B w f w f A B w f w w A B A B A B. z = a 2 + b 2 =: r. c+id = ac+bd. 2 c 2 +d 2. z 2. z n = z. z = r cos(x) + ir sin(x) = reix
Formelsammlung Aussagenlogik Für beliebige Aussagen A, B gilt: Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz A B w f f f A B w w w f A B w f w w A B w f f w Mengenlehre Für beliebige Mengen A, B gilt:
MehrLineare Algebra I/II. Gioele Zardini 2. Juni 2017
Lineare Algebra I/II Gioele Zardini gzardini@student.ethz.ch. Juni 7 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Vorwort Dieses Skript wurde unter Verwendung meiner Notizen aus der Vorlesung von Professor Hungerbühler
MehrLineare Algebra I/II. Gioele Zardini July 13, 2016
Lineare Algebra I/II Gioele Zardini gzardini@student.ethz.ch July 3, 6 Gioele Zardini Lineare Algebra I/II FS 6 Vorwort Dieses Skript wurde unter Verwendung meiner Notizen aus der Vorlesung von Professor
MehrAUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW
AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW Lineare Gleichungssysteme Lösen Sie folgende Gleichungssysteme über R: a) x + x + x = 6x + x + x = 4 x x x = x 7x x = 7 x x = b) x + x 4x + x 4 = 9 x + 9x x x
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrLösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Sommer 4 Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. [ Punkte] Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in
MehrBerechnung der Determinante
Berechnung der Determinante Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenoperationen: Das Vertauschen zweier Zeilen/Spalten der Matrix A ändert nur das Vorzeichen der Determinante, d.h: i, j {1,...,
Mehr2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen
Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung
MehrKapitel 4. Determinante. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24
Kapitel 4 Determinante Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24 Was ist eine Determinante? Wir wollen messen, ob n Vektoren im R n linear abhängig sind bzw. wie weit sie davon entfernt
Mehr1 Lineare Unabhängigkeit Äquivalente Definition Geometrische Interpretation Vektorräume und Basen 6
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Vektorräume und Rang einer Matrix Inhaltsverzeichnis Lineare Unabhängigkeit. Äquivalente Definition.............................
MehrHilfsblätter Lineare Algebra
Hilfsblätter Lineare Algebra Sebastian Suchanek unter Mithilfe von Klaus Flittner Matthias Staab c 2002 by Sebastian Suchanek Printed with L A TEX Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 1 11 Norm 1 12 Addition,
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2018/2019
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
Mehr, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.
154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =
Mehr8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrProbeprüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Frühling 018 Probeprüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT Die Prüfung dauert 10 Minuten. Sie dient der Selbstevaluation. Die Musterlösungen folgen. Die Multiple Choice
Mehr6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,
MehrDefinitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht
Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben
Mehr43911: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Frühjahr 2015 Lösungsvorschlag
Dr. Erwin Schörner 439: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Frühjahr 5 Lösungsvorschlag I.. Für n N mit n ist das inhomogene lineare Gleichungssystem in den n Unbekannten x,..., x n mit den n Gleichungen
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2
MehrKapitel 3 Lineare Algebra
Kapitel 3 Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND
MehrLineare Algebra Zusammenfassung
Lineare Algebra Zusammenfassung Herbstsemester 2011 Giuseppe Accaputo Rechnergestützte Wissenschaften ETH Zürich 5. Sei m = n. Ax = b ist für beliebige rechte Seiten lösbar Das zugehörige System Ax = 0
MehrLineare Algebra I für Mathematiker Lösungen
Lineare Algebra I für Mathematiker Lösungen Anonymous 24. April 2016 Aufgabe 1 Beantworten Sie bitte die folgenden Fragen. Jeder Vektorraum hat mindestens ein Element. Q ist ein R-Vektorraum (mit der Multiplikation
MehrKapitel 5. Eigenwerte. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 25 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 8 Aufgabe 8 Basen für Bild und Kern Gegeben sind die beiden 2 Matrizen:
Mehr4 Lineare Abbildungen Basisdarstellungen
4 Lineare Abbildungen Basisdarstellungen (4.1) Seien V,W endlich dimensionale K-Vektorräume, und sei T : V W linear. Sei {v 1,...,v } Basis von V und {w 1,...,w M } Basis von W. Sei T (v j ) = M a kj w
Mehr8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten
Einheitsmatrix Die quadratische Einheitsmatrix I n M n,n ist definiert durch I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, außerhalb Nullen Durch Ausmultiplizieren sieht man I n A = A
MehrSkript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014
Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................
MehrSkript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 29. April 2011
Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 29. April 2011 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................
MehrLineare Algebra I/II. Gioele Zardini 10. Juni 2018
Lineare Algebra I/II Gioele Zardini gzardini@student.ethz.ch. Juni 8 Vorwort Dieses Skript wurde unter Verwendung meiner Notizen aus der Vorlesung von Professor Hungerbühler Lineare Algebra I/II und meinen
MehrMatthias Dzung. Gleichungssystem. Matrizen
e (i) = i-ter Saltenvektor von Einheitsmatrix e [i] = i-ter Zeilenvektor von Einheitsmatrix (eckige Klammern) Gleichungssystem Lin. Gleichungssystem (LGS) hat mind. eine Lösung wenn i) r = m (Rang = #Gleichungen)
Mehr18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2 2
MehrProbeklausur zu Mathematik 2 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 4/5 Probeklausur zu Mathematik für Informatik Lösungshinweise wie immer ohne Garantie auf Fehlefreiheit. Gegeben sei das Dreieck im R mit den Eckpunkten A a Berechnen Sie die
Mehrund Unterdeterminante
Zusammenfassung: Determinanten Definition: Entwicklungssätze: mit und Unterdeterminante (streiche Zeile i & Spalte j v. A, bilde dann die Determinante) Eigenschaften v. Determinanten: Multilinearität,
Mehrund Unterdeterminante
Zusammenfassung: Determinanten Definition: Entwicklungssätze: mit und Unterdeterminante (streiche Zeile i & Spalte j v. A, bilde dann die Determinante) Eigenschaften v. Determinanten: Multilinearität,
MehrAnalytische Geometrie
21 Vorlesungen über Analytische Geometrie für Lehramtstudierende der Schulformen Grund-, Mittel- und Realschule Jens Jordan Universität Würzburg, Wintersemster 2015/16 Hier kommt noch ein schönes Bildchen
MehrDeterminante und Inverse
Vorzeigeaufgaben: Determinante und Inverse Bestimmen Sie für welche a R die folgende Matrix invertierbar ist und berechnen Sie deren Inverse: A = a cos(x) sin(x) a sin(x) cos(x) Bestimmen Sie ob folgende
MehrMerke Spaltenvektoren: Bild der Basisvektoren. Matrix Sei A : R n R m linear. Die Basisvektoren e 1 =
Lineare Algebra Merke Spaltenvektoren: Bild der Basisvektoren Inhaltsverzeichnis Christian Schluchter, schluchc@eeethzch 0 Februar 008 1 Begriffe 1 Matrizen für lineare Abbildungen 1 1 Rechenregeln 1 11
MehrGrundlegende Definitionen aus HM I
Grundlegende Definitionen aus HM I Lucas Kunz. März 206 Inhaltsverzeichnis Vektorraum 2 2 Untervektorraum 2 Lineare Abhängigkeit 2 4 Lineare Hülle und Basis 5 Skalarprodukt 6 Norm 7 Lineare Abbildungen
Mehr3 Lineare Gleichungssysteme
3 Lineare Gleichungssysteme 3 Fortsetzung des Matrizenkalküls Als erstes beweisen wir einen einfachen Satz über den Rang von Matrizenprodukten Satz 3 (a) Für Matrizen A : Ã l m, B : Ã m n gilt rang AB
MehrKapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren
Kapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren 5.1 Definition und allgemeine Eigenschaften Definition 5.1 Sei A eine quadratische (n n)-matrix. λ C heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor x C n mit x 0 existiert,
MehrLineare Algebra. 12. Übungsstunde. Steven Battilana. stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching
Lineare Algebra 12. Übungsstunde Steven Battilana stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching December 14, 2017 1 Erinnerung: Determinanten, Orthogonale/unitäre Matrizen Sei A R 2 2, dann kann die Inverse
MehrLineare Algebra. 13. Übungsstunde. Steven Battilana. stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching
Lineare Algebra 3. Übungsstunde Steven Battilana stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching December 29, 27 Erinnerung Satz. Axiomatischer Zugang, Eigenschaften der Determinante. Die Abbildung det :
Mehr5 Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit
ME Lineare Algebra HT 2008 99 5 Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit 5.1 Ein Beispiel zur Motivation Als einfachstes Beispiel eines dynamischen Systems untersuchen wir folgendes Differentialgleichungssystem
Mehr1 Darstellungsmatrizen
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Darstellungsmatrizen Vereinbarungen für dieses Kapitel: K Körper V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume B = {v
MehrAusgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Dezember Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9- Übungsblatt
MehrAufgabe I.1 (4 Punkte) Gegeben seien die Matrix H := und die Menge L := {A R 4 4 A HA = H} Zeigen Sie:
Aufgabe I (4 Punkte Gegeben seien die Matrix und die Menge Zeigen Sie: H := L := {A R 4 4 A HA = H} a L ist bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe b Die Matrizen der Form ( E O, O B wobei E R
MehrTheoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra
Theoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra { Oren Halvani, Jonathan Weinberger } TU Darmstadt 25. Juni 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Determinanten................................................
MehrI) MATRIZEN. 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. j - te Variable (Spalte), j = 1,2,3,..., n
I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y1 = a11x1+ a12x2 + a13x3 y2 = a21x1+ a22x2 + a23x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung (Zeile), i
MehrKapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn.
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
Mehr1. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 8./ in den Übungsgruppen
Hannover, den 7. Februar 2002 Aufgabe. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 8./9.4.2002 in den Übungsgruppen (2, 2, 3 Punkte) Der Vektorraum V = C[, ] sei mit dem üblichen Skalarprodukt f, g = f(t)g(t)
MehrOrientierung der Vektoren b 1,..., b n. Volumen des von den Vektoren aufgespannten Parallelotops
15. DETERMINANTEN 1 Für n Vektoren b 1,..., b n im R n definiert man ihre Determinante det(b 1,..., b n ) Anschaulich gilt det(b 1,..., b n ) = Orientierung der Vektoren b 1,..., b n Volumen des von den
MehrLösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem: Ax b, A R m n, x R n, b R m L R m R n Lx Ax Bemerkung b 0 R m Das Gleichungssystem heißt homogen a A0 0 Das LGS ist stets lösbar b Wenn
MehrSerie 8: Online-Test
D-MAVT Lineare Algebra I HS 017 Prof Dr N Hungerbühler Serie 8: Online-Test Einsendeschluss: Freitag, der 4 November um 14:00 Uhr Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen
Mehra ij i - te Gleichung (Zeile), i = 1, 2,3,..., m I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen
I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x3 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
R Käppeli L Herrmann W Wu Herbstsemester Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe Beispiel einer Koordinatentransformation Gegeben seien zwei
MehrLineare Algebra II 8. Übungsblatt
Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 13. Übung: Woche vom (Lin.Alg.
Übungsaufgaben 13. Übung: Woche vom 23. 1.-27. 1. 2017 (Lin.Alg. II): Heft Ü 3: 1.1.3; 1.1.7 (a,b); 1.1.8; 1.1.11; 3.4.3 (b); 1.3.3 (c); 1.2.3 (b,d); Hinweis 1: 3. Test (Integration, analyt. Geom.) ist
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
Mehra b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2,
Aufgabe I Es sei Q die folgende Teilmenge von C 2 2 : { ( ) a b Q a, b C b a Hier bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation Zeigen Sie: (a) Mit den üblichen Verknüpfungen + und für Matrizen ist
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 6. Aufgabe 6.1. Dr. V. Gradinaru K. Imeri. Herbstsemester 2018.
Dr. V. Gradinaru K. Imeri Herbstsemester 8 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 6 Aufgabe 6. Multiple Choice: Online abzugeben. 6.a) (i) Welche der folgenden
MehrBasisprüfung. 18. August 2015
Lineare Algebra I/II D-MATH, HS 4/FS 5 Prof Richard Pink Basisprüfung 8 August 25 [6 Punkte] Betrachte den reellen Vektorraum R 3 zusammen mit dem Standardskalarprodukt, und die Vektoren 9 3 v := 6, v
Mehr