Vektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben.

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1 Vektorgeometrie 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren u 14, v 2 und w 5 gegeben a) Zeigen Sie, dass die Vektoren einen Würfel aufspannen. b) Ermitteln Sie die Größe des Winkels, der von zwei Raumdiagonalen des Würfels eingeschlossen wird. a) Definition der Vektoren Norm und Skalarprodukt o Eingabe mithilfe der Formeltaste. Mit shift+pfeiltaste neben dem U fügt man eine Komponente dazu. Man kann einen Vektor auch einfach direkt als u:=[2,-14,5] speichern. Die Darstellung als Zeile spart Platz. Die Operationen für Vektoren findet man über menu, 7: Matrix und Vektor, 7:Normen oder C:Vektor - 1 -

2 b) Definition der Vektoren der Raumdiagonalen; Berechnung des Winkels 2. Linearkombinationen Gegeben sind die Vektoren 3 a 1, b 1 c 4 undd Stellen Sie a als Linearkombination von b, c undd dar. Definition der Vektoren. Lösen des zugehörigen Gleichungssystems. Das Gleichungssystem muss nicht explizit eingegeben werden sondern kann als Vektorgleichung direkt gelöst werden

3 3. Kreuzprodukt, Spatprodukt In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte D und A, B, C, 7 1 Sk 1 k 2 k 2k mit k gegeben. 2 2 a) Weisen Sie nach, dass die Grundfläche ABCD der Pyramide ein Quadrat ist und dass die vier Seitenkanten [ AS k ], [ BS k ], [ CSk ] und[ DS k ] gleich lang sind. b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide in Abhängigkeit von k auf zwei verschiedene Arten. a) Eingabe der Ortsvektoren und der Verbindungsvektoren. Länge der Seiten und Winkel berechnen. Mögliche Zusatzaufgabe: Für welche Werte von k ist die Pyramide gleichseitig? b) Volumen mithilfe des Spatproduktes oder der Grundfläche und der Höhe berechnen

4 4. Geraden In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A 2 3 5, B 1 1 3, Q gegeben. P und a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g die durch die Punkte A und B verläuft. Prüfen Sie, ob die Punkte P und Q auf g liegen. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu g steht und durch den Punkt Q verläuft. a) Definition der Vektoren und der Geraden. Eine 3D-Darstellung ist möglich (graphs&geometrie, menu, ansicht, 3d-Darstellung, 3d-Graph- Eingabe/Bearbeitung parametrisch), ersetzt aber nicht vollständig eine 3D-Software. Die Gerade ist als Funktion definiert

5 Prüfen ob ein Punkt auf der Geraden liegt durch Lösen einer Vektorgleichung. b) Lotgerade zu g durch den Punkt Q, der nicht auf g liegt: Der Verbindungsvektor von Q mit einem Punkt der Geraden muss senkrecht auf dem Richtungsvektor stehen. Lotfußpunkt: Geradengleichung von h: - 5 -

6 5. Ebenen In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A 1 3 5, B und C gegeben. Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung der Ebene E, die durch die Punkte A, B und C P in E bestimmt wird, in Parameterform und in Normalenform. Prüfen Sie, ob der Punkt liegt. Die Parameterform der Ebene wird ähnlich wie bei den Geraden eingegeben. Darstellung in 3D Die Normalenform kann als Funktion oder auch als Gleichung gespeichert werden. Um die Ebene als Funktion in der 3D-Darstellung einzugeben, löst man die Gleichung nach x3 auf

7 6. Schnitt von Geraden und Ebenen, Abstände In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Geraden g: X 8 1 und hx : 0 3 mit, gegeben. Zeigen Sie, dass sich g und h schneiden. 4 1 Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts sowie die Größe des Schnittwinkels der beiden Geraden. Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig, also sind die Geraden windschief oder schneiden sich. Zur Entscheidung löst man ein Gleichungssystem. Schnittwinkel - 7 -

8 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Geraden g: X hx : 0 6 mit, gegeben. Zeigen Sie, dass g und h parallel sind und 8 3 bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden. Die Richtungsvektoren sind linear abhängig, also sind die Geraden parallel oder identisch. Zur Entscheidung setzt man einen Punkt von g in die Gleichung von h ein. Zur Bestimmung des Abstandes kann man wie in Aufgabe 4b von einem Punkt A auf g das Lot auf h fällen. Alternativ legt man eine Hilfsebene E fest, die A enthält und senkrecht zu g und h ist. Der Abstand lässt sich auch mithilfe der Differentialrechnung ermitteln: - 8 -

9 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Geraden Geraden g: X hx : 3 1 mit, gegeben. Zeigen Sie, dass g und h windschief sind und 2 3 bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden. Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig, also sind die Geraden windschief oder schneiden sich. Zur Entscheidung löst man ein Gleichungssystem. Zur Bestimmung des Abstands (und der Lotfußpunkte) bestimmt man zunächst einen Vektor, der auf beiden Geraden senkrecht steht. Dieser Vektor muss so gestreckt werden, dass der Anfangs- und der Endpunkt auf den Geraden liegen. Aus diesem Ansatz ergibt sich ein Gleichungssystem

10 6.4 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene E : x1 2x2 4x3 8 0 und die Geraden g: X 4 2 hx : 3 7 mit, gegeben. Zeigen Sie, dass g parallel zu E, jedoch nicht in E verläuft und dass h in E verläuft. Bestimmen Sie den Abstand von E und g. Ebenen und Geraden definieren; Koordinaten der Geradenpunkte in die Ebenengleichung einsetzen. g(l)[1,i] liefert die x i -Koordinate. Einsetzen eines Punktes von g in die Hessesche Normalenform

11 6.5 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene 0,5 0,5 0,5 2 1 E: X 2,5 1 1,5 und die Gerade g: X 13 3 mit,, 2 0, gegeben. Zeigen Sie, dass sich E und g schneiden. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts sowie die Größe des Winkels, unter dem die Gerade die Ebene schneidet. Definition von Ebene und Gerade; Gleichsetzen und Gleichungssystem lösen; Schnittpunkt bestimmen; Alternative: E in Koordinatenform umrechnen; g in E einsetzen; Lineare Gleichung lösen (natürlich ohne CAS!) Winkel bestimmen

12 6.6 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebenen 0,5 0,5 0,5 E: X 2,5 1 1,5 mit, und F : 5x1 3x2 4x gegeben. 2 0,5 0 Zeigen Sie, dass sich E und F schneiden und bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden. Ebenen definieren; Koordinaten der Ebenenpunkte von E in die Koordinatengleichung von F einsetzen. Nach einem Parameter auflösen und in E einsetzen. Gleichung der Schnittgerade ohne CAS korrekt schreiben: 13/ 4 1/8 s: X 55/ 4 7 /8 2 1/2 13/ /

13 7. CAS-Aufgabe Gold Bewegt sich ein Flugzeug in geeigneter Weise auf einer zur Erdoberfläche hin geöffneten parabelförmigen Kurve, so wird dadurch im Flugzeug ein der Schwerelosigkeit ähnlicher Zustand erzeugt. Ein solcher Parabelflug soll mit einem ferngesteuerten Modellflugzeug simuliert werden. Die Abbildung zeigt modellhaft die geplante Flugbahn des Flugzeugs (im Koordinatensystem O beginnen entspricht eine Längeneinheit 10 m). Das Flugzeug soll den Parabelflug im Punkt und sich anschließend in der vertikal verlaufenden xx 2 3- Ebene auf einer Kurve bewegen, die durch 1 die Punkte Pa 0 a a a 50 mit [0;50] 10 a beschrieben wird. Zum Starten und Landen wird jeweils eine Strecke von 50 m benötigt, die im Modell auf der x2 -Achse liegen. Die das Flugzeug mithilfe eines Senders steuernde Person befindet sich im Modell im Punkt S Der Sender besitzt eine maximale Reichweite von 800m. a) Ermitteln Sie, ob der Flug wie geplant durchgeführt werden kann. b) Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Blick der steuernden Person während des Fluges gegen die Horizontale maximal geneigt sein wird. c) Man könnte annehmen, dass der Blick der steuernden Person genau dann maximal gegen die Horizontale geneigt sein wird, wenn das Flugzeug seine maximale Höhe erreicht. Erläutern Sie, warum diese Annahme falsch ist

14 a) Punkte der Bahnkurve, Sender definieren, Differenzvektor bestimmen. Norm dieses Vektors als Funktion speichern. Absolutes Maximum dieser Funktion im Definitionsbereich bestimmen. (Die graphische Lösung ist sinnvoll, da bei dieser Anwendungsaufgabe ein Näherungswert genügt.) Der maximale Abstand beträgt 706 m und liegt somit innerhalb der Senderreichweite. (Für den Start- und Landepunkt berechnet man, dass sie ebenfalls in Senderreichweite liegen)

15 b) Berechnung des Winkels (Rechner auf GRAD stellen) Winkel als Funktion von a abspeichern und das Maximum bestimmen. Graph darstellen (in graphs&geometry muss die Winkeleinstellung ebenfalls auf GRAD umgestellt werden!)

16 c) Der maximale Winkel wird bei a =16,2 also offensichtlich vor dem höchsten Punkt bei a = 25 erreicht. Erläuterung: Man kann diesen Winkel auch mithilfe des Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck SP x P berechnen (P ist ein Punkt der Parabel und P x seine Projektion in die x 1 x 2 -Ebene) berechnen. Für den höchsten Punkt P( ,5) ist P x (0 25 0) und SP x =31,8. Der zugehörige Blickwinkel ist 63,1. Für den Punkt P(0 16,2 54,7) mit dem maximalen Winkel 66 ist P x (0 16,2 0) und SP x =24,

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