4. Vektorräume mit Skalarprodukt

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1 4. Vektorräume mit Skalarprodukt Wiederholug: V=R x, y R: x= x x i x, y= y y, :R R R Skalarprodukt Stadardskalarprodukt lieare Abbildug mit 2 Argumete 4. Eigeschafte vo Skalarprodukte Def.: Es sei V ei Vektorraum über R Eie Abbildug S:V V R heißt Skalarprodukt auf V,we für alle x, y, z V R folgede Eigeschafte erfüllt sid: (i) x, y = y, x (ii) x y, z = x, z y, z (iii) x, y = x, y (iv) x, x ; x, x = x= ud (i), (ii), (iii) = liearität bezüglich beider Elemete Beispiel: x, y :=3 x y 2 x 2 y 2 f x, y = i x i kei Skalarprodukt R : x, y := x i ei Beispiel für ei Skalarprodukt Beispiel: R 2 : x, y :=3 x y 2 x 2 y 2 f x, y := i x i ist kei Skalarprodukt (iv): x, x ; x, x = x= z.b. = 2 x x x 2 x 2 = x 2 2 =x 2 Dies gilt x =x 2 ud soll aber laut (iv) ur für x = ud x 2 = gelte. Beispiel: C[, ]={f:[, ] R stetig} f, g := f x g x dx ist ei Skalarproduktt (i diesem Vektorraum) (i) f, g = g, f f x g x dx= g x f x dx (ii) f g, h = f, h g, h

2 f g x x h dx= x (iii) f, g = f x g x dx= f, g (iv) f, f = f x 2 dx f x h x dx g x h x dx Vektorraum V mit Skalarprodukt, : V wird zum ormierte Raum durch x := x, x Abstad zwische x ud y : x y = x y, x y Wikel zwische x ud y : cos = x, y x y 2 Vektore sid orthogoal, we x, y = =9 cos9 = x, y = = cos = x, y = x y Cauchy-Schwarzsche Ugleichug: x, y x y Normierug: Ei Vektor v mit v = heißt ormiert.!skalarprodukt Uitärer Raum d.h. ei ormierter Raum wird durch x, x = x ergäzt Beispiel: v v = v C[,] f := f,f = f x 2 dx Diese Norm wird durch ei Skalarprodukt erzeugt. Uitärer Raum. Beispiel: C[,] f := max f x hier icht durch Skalarprodukt darstellbar Euklidischer Raum x [,] V=R, x y = x y, x y = x i y i Bedeutug ud Kostruktio eier orthoormierte Basis R : e,, e 2 Defiitio: Eie Basis a,,a V heißt Orthoormalebasis bezüglich des verwedete Skalarproduktes, we gilt: a i, a j = { i= j ormiert i j orthogoal} a i sei orthoormale Basis, 2,, bezeichug, A Wa gild A T A=E? A orthogoale Matrix

3 a a a a = a T 2 a = (Stadardskalarprodukt = a i a T a 2 = Atwort: A T A=E gilt ur, we, das Stadardskalarprodukt ist. Beispiel: x, y := k i x i k i Ziel: kostruktives Verfahre um aus eier beliebige Basis bezüglich eies Skalarprodukts orthoormale Basis herzustelle {Folie 6} Beispiel: R 2 Vorteile bei Verwedug eier orthogoale Basis: R 3 : x=x e x 2 e 2 x 3 e 3 Mit welche Abbildug kommt ma vo x zu x e, x 2 e 2, x 3 e 3? x e ist eie sekrechte Projektio vo x auf e (x-achse) x 2 e 2 ist eie sekrechte Projektio vo x auf e 2 (x-achse) x e ist eie sekrechte Projektio vo x auf e (x-achse) vo x auf eie Bektor u : x u = x, u u u 2 jetzt für u ormierter Vektor mit u = x u = x, u u x e = x e2 = 2, = = 2, = 2 = 2 x e x e 2 = x Die Koordiate eies Vektors bezüglich eier beliebige orthoormierte Basis köe als Läge seier Orthogoale Projektioe auf die Achse (=Richtug der Basisvektore) ermittelt werde x Wiederholug: = x, Satz: Läge Richtug orthogoale Projektio vex vo x auf eie ormierte Vektor Skalarprodukt Sei a i,, eie orthoormierte Basis (Basismatrix A). i-te Koordiate (bezüglich a i ) vo x : x i = x, a i (i =,..., ) ) mit,

4 i Koordiatevektor vo x bezüglich a i x x a (Für beliebige eue Basis (Basismatrix B) bi : x b =B x e, falls B eie orthogoale Matrix ist, d.h. bi orthoormiert bezüglich des Stadardskalarprodukts x b =BT x e ) Beweis (vo Satz): x, a i = x= x i a i x j a j, a i = x j a j, a i =x i j = j= Satz: i Liearkombiatio eisetze x= x, a i = a i Bedeutug vo orthoormierte Base für die Berechug vo Skalarprodukte x, y I eiem Euklidische Vektorraum lässt sich jedes (allgemeie) Skalarprodukt aus 2 Vektore x ud y durch x, y = x i bereche, we diese Koeffiziete x i ud y_i ihre Koordiatevektore bezüglich eier orthoormierte Basis gebildet worde sid. Beweis wie ebe. 2 x, x = x i uedlich dimesioale Vektor räume: x=lim Fourierreihe x C[, ] x i a i x, a i = (bei Kovergez) trigoometrisches System x cos si x i Kostruktio orthoormierter Base Satz: Jeder -dimesioale Vektorraum mit Skalarprodukt besitzt eie Orthoormalbasis. Beweis: kostruktives Verfahre Es sei b, b 2,, b beliebige Basis.. Kostruktio vo paarweise orthogoale Vektore a,, a 2. Normiert: a,, a (Gram-) Schmidtsches Orthogoalisierugsverfahre: Schrittweise: a = b a 2 = b 2 b 2, a a a 2 sekrechte Projektio vo b 2 auf a a 3 = b 3 b 3, a a 2 a b 3 a 2 2 a 2

5 a 4 = b 4 b 4, a b S 4 b S 4 a a 2 a a a 3 2 a 3 Orthogoalisierugsverfahre { b, b 2, b } beliebige Basis gegebe. Kostruktio paarweise orthogoaler Basisvektore: a = b a 2 = b 2 b 2, a a 2 a a 3 = b 3 b 3, a a a b 3 2 a a a = b b, a i a a i 2 i 2. Normierug der a i, 2,, : a i = a i a i, beliebiges Skalarprodukt ud x = x, x Ergäzug (vom ) Awedug des Schmidtsche Orthogoalisierugsverfahres zur Q-R-Zerlegug vo Matrize R m : Basis b i, m (Basismatrix B (m,m) ) Orthogoalisierugsverfahre mit Stadardskalarprodukt a i (i =,...,m) orthoormierte Basis (Bezeichug der Basismatrix (die a b i zu a i,, m mit Trasformatiosmatrix T B=Q T Q B=T Q T B=T Q I de Spalte vo T stehe die Koordiatevektore vo b i bezüglich der eue (orthoormierte) Basis a i. Jetzt: Koordiate des bi sid die Läge der Projektioe der bi auf a i z.b. b, a a i : Projektio vo b auf a (weil a = ) R 3 b b b T= b, a b b, a = b =, a b b, a b b laut Kostruktiosvorschrift im Orthog-.Verf. T = ethält: Q)) b = Satz: (Q-R-Zerlegug eier Matrix) Jede(m,)-Matrix mit liear uabhägige Spaltevektore (der Dimesio m) lässt sich i ei Produkt B=Q R zerlege Dabei ist Q eie (m,)-matrix mit orthogoale Spaltevektore a i ud R eie

6 (Ivertierbare) (m,m)-dreiecksmatrix R hat die beschriebee Struktur vo T ud ist für m= die Trasformatiosmatrix der Basistrasformatio = vo B ach Q. Beispiel: Q T 2 B= T=... aus de Skalarprodukte ausreche (zur Ermittlug der Koordiatevektore aus b i = bezüglich der a i ) (Kotrolle: T=Q T B Q T 2 Q-R-Zerlegug = B=Q R m B=Q T m=