Mathematik. für das Ingenieurstudium HANSER. Jürgen Koch Martin Stärrlpfle. 2., aktualisierte Auflage

Transkript

1 Jürgen Koch Martin Stärrlpfle Mathematik für das Ingenieurstudium 2., aktualisierte Auflage Mit 609 Abbildungen, 456 durchgerechneten Beispielen und 313 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen im Internet HANSER

2 7 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1.1 Logik und Mengen Aussagenlogik Mengen. 1.2 Zahlen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen Ordnung Intervalle Betrag und Signum Summe und Produkt. 1.3 Potenz und Wurzel Potenzen Potenzgesetze Wurzeln Binomischer Satz. 1.4 Trigonometrie Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Winkel im Grad- und Bogenmaß Sinus- und Kosinussatz 1.5 Gleichungen und Ungleichungen Lineare Gleichungen Potenzgleichungen Quadratische Gleichungen Wurzelgleichungen Ungleichungen. 1.6 Beweise Direkter Beweis Indirekter Beweis Konstruktiver Beweis Vollständige Induktion 1.7 Aufgaben Lineare Gleichungssysteme 2.1 Einführung.... ~ 55

3 8 In haltsverzeich nis 2.2 Gauß-Algorithmus Äquivalenzumformungen Vorwärtselimination Rückwärtseinsetzen Gaußsches Eliminationsverfahren Rechenschema. 2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen Systeme mit redundanten Gleichungen Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Homogene lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit Parametern 2.4 Numerische Verfahren Jakobi-Iteration Gauß-Seidel-Iteration. 2.5 Anwendungen Produktion l\ietzwerkanalyse in der Elektrotechnik. 2.6 Aufgaben. 3 Vektoren 3.1 Der Begriff eines Vektors. 3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten Addition und Subtraktion Skalare Multiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung 3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung Koordinatendarstellung Addition und Subtraktion Skalare Multiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung 3.4 Punkte, Geraden und Ebenen Kartesisches Koordinatensystem Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen Schnitte von Geraden und Ebenen Abstände

4 Inhaltsverzeichnis Winkel 3.5 Anwendungen Kraft Arbeit Drehmoment 3.6 Aufgaben. 4 Matrizen 4.1 Der Begriff einer Matrix. 4.2 Rechnen mit Matrizen Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation Multiplikation von Matrizen. 4.3 Determinanten Determinante einer (2,2)-Matrix Determinante einer (3,3)-Matrix Determinante einer (n,n)-matrix 4.4 Inverse Matrix Invertierbare Matrizen Inverse einer (2.2)-Matrix Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem. 4.5 Lineare Abbildungen Matrizen als Abbildungen Kern, Bild und Rang. 4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 4.7 Numerische Verfahren. 4.8 Anwendungen 4.9 Aufgaben. 5 Funktionen 5.1 Einführung Begriff der Funktion Wertetabelle Schaubild Explizite und implizite Darstellung Abschnittsweise definierte Funktionen Funktionsschar Verkettung von Funktionen. 5.2 Polynome und rationale Funktionen Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen Polynome Gebrochenrationale Funktionen 5.3 Eigenschaften Symmetrie Periode Monotonie Beschränktheit

5 10 Inhaltsverzeichn is 5.4 Sinus, Kosinus und Tangens Definition am Einheitskreis Eigenschaften Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion 5.5 Grenzwert und Stetigkeit Zahlenfolgen Grenzwert einer Funktion Stetigkeit Asymptotisches Verhalten 5.6 Exponential- und Hyperbelfunktionen Exponentialfunktionen Die e-funktion Hyperbelfunktionen Umkehrfunktionen Das Prinzip der Umkehrfunktion Wurzelfunktionen Arkusfunktionen Logarithmusfunktionen Area-Funktionen. 5.8 Numerische Verfahren Berechnung von Funktionswerten Bisektionsverfahren. 5.9 Anwendungen Messwerte Industrieroboter Aufgaben... 6 Differenzialrechnung 6.1 Steigung und Ableitungsfunktion Tangente und Differenzierbarkeit Differenzial Ableitungsfunktion Mittelwertsatz der Differenzialrechnung Höhere Ableitungen 6.2 Ableitungstechnik Ableitungsregeln Ableitung der Umkehrfunktion Logarithmisches Differenzieren Implizites Differenzieren Zusammenfassung. 6.3 Regel von Bernoulli-de I'Hospital. 6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen I\leigungswinkel und Schnittwinkel Monotonie Krümmung

6 Inhaltsverzeichnis Lokale Extrema Wendepunkte Globale Extrema 6.5 Numerische Verfahren Numerische DifFerenziation Newton-Verfahren Sekantenverfahren 6.6 Anwendungen Fehlerrechnung Extremwertaufgaben Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit 6.7 Aufgaben Integralrechnung 7.1 Flächenproblem Integralsymbol Integral als Grenzwert von Summen Bestimmtes Integral Zusammenhang von Ableitung und Integral Integralfunktion Stammfunktion Bestimmtes Integral und Stammfunktion Mittelwertsatz der Integralrechnung 7.3 Integrationstechnik Integrationsregeln Integration durch Substitution Partielle Integration Gebrochenrationale Funktionen Uneigentliche Integrale Länge, Flächeninhalt und Volumen Flächeninhalte Bogenlänge Rotationskörper. 7.5 Numerische Verfahren Trapezregel Romberg-Verfahren. 7.6 Anwendungen EfFektivwert Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen. 7.7 Aufgaben.. 8 Potenzreihen 8.1 Unendliche Reihen. 8.2 Potenzreihen und Konvergenz 8.3 Taylor-Reihen 8.4 Eigenschaften

7 12 Inhaltsverzeichnis 8.5 Numerische Verfahren. 8.6 Anwendungen 8.7 Aufgaben 9 Kurven 9.1 Parameterdarstellung 9.2 Kegelschnitte 9.3 Tangente Krümmung Bogenlänge Numerische Verfahren. 9.7 Anwendungen Mechanik Straßen bau 9.8 Aufgaben. 10 Funktionen mit mehreren Variablen 10.1 Definition und Darstellung Definition einer Funktion mit mehreren Variablen Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien Grenzwert und Stetigkeit Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen Stetigkeit DifFerenziation Partielle Ableitungen und partielle DifFerenzierbarkeit DifFerenzierbarkeit und Tangentialebene Gradient und Richtungsableitung Differenzial Höhere partielle Ableitungen Extremwerte Ausgleichsrechnung Methode der kleinsten Fehlerquadrate Ausgleichsrechnung mit Polynomen Lineare Ausgleichsrechnung 10.5 Vektorwertige Funktionen Numerische Verfahren Mehrdimensionales Newton-Verfahren Gradientenverfahren 10.7 Anwendungen 10.8 Aufgaben. 11 Komplexe Zahlen und Funktionen 11.1 Definition und Darstellung Komplexe Zahlen Gaußsche Zahlenebene

8 Inhaltsverzeichnis Polarkoordinaten Exponentialform Rechenregeln Gleichheit Addition und Subtraktion Multiplikation und Division Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl Potenzen, Wurzeln und Polynome Potenzen Wurzeln Fundamentalsatz der Algebra Komplexe Funktionen Ortskurven Harmonische Schwingungen Transformationen Anwendungen Aufgaben Gewöhnliche Differenzialgleichungen Einführung Grundbegriffe Anfangswert- und Randwertproblem Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie Differenzialgleichung und Funktionenschar Differenzialgleichungen erster Ordnung Separation der Variablen Lineare Substitution Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen Lineare Differenzialgleichungen Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung Allgemeine Eigenschaften Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Schwingungsdifferenzialgleichungen Allgemeine Form Freie Schwingung Harmonisch angeregte Schwingung Frequenzgänge Differenzialgleichungssysteme Eliminationsverfahren Zustandsvariablen Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Lineare Differenzialgleichung als System Stabilität. 518

9 14 Inhaltsverzeichnis 12.6 Numerische Verfahren Polygonzugverfahren von Euler Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme 12.7 Anwendungen Temperaturverlauf Radioaktiver Zerfall Freier Fall mit Luftwiderstand Feder-Masse-Schwinger Pendel Wechselstromkreise Aufgaben. 13 Fourier-Reihen 13.1 Fourier-Analyse Periodische Funktionen Trigonometrische Polynome Fourier-Reihe Satz von Fourier Gibbssches Phänomen 13.2 Komplexe Darstellung Komplexe Fourier-Reihe Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten Spektrum Minimaleigenschaft Eigenschaften Symmetrie Integrationsintervall Mittelwert Linearität Ähnlichkeit und Zeitumkehr Zeitverschiebung 13.4 Aufgaben. 14 Verallgemeinerte Funktionen 14.1 Heaviside-Funktion Dirac-Distribution Verallgemeinerte Ableitung Faltung Aufgaben. 15 Fourier-Transformation 15.1 Integraltransformation Definition Darstellung mit Real- und Imaginärteil Sinus- und Kosinustransformation Transformation gerader und ungerader Funktionen

10 Inhaltsverzeichnis Darstellung mit Amplitude und Phase 15.2 Eigenschaften Linearität Zeitverschiebung Amplitudenmodulation Ähnlichkeit und Zeitumkehr Inverse Fourier-Transformation Definition Vertauschungssatz Linearität DifFerenziation, Integration und Faltung DifFerenziation im Zeitbereich DifFerenziation im Frequenzbereich Multiplikationssatz Integration Faltung Periodische Funktionen Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe Koeffizienten der Fourier-Reihe Grenzwertbetrachtung Anwendungen Lineare zeitinvariante Systeme Tiefpassfilter 15.7 Aufgaben. 16 Laplace-Transformation 16.1 Bildbereich Definition Laplace- und Fourier-Transformation Eigenschaften Linearität Ähnlichkeit '" Zeitverschiebung Dämpfung DifFerenziation, Integration und Faltung DifFerenziation Integration Faltung Grenzwerte Transformation periodischer Funktionen 16.5 Rücktransformation Lösung gewöhnlicher DifFerenzialgleichungen Anwendungen 16.8 Aufgaben

11 16 17 z-transformation 17.1 Transformation diskreter Signale Definition z-transformation und Laplace-Transformation 17.2 Eigenschaften linearität Verschiebung Dämpfung VorwärtsdifFerenzen Lösung von DifFerenzengleichungen 17.4 Anwendungen 17.5 Aufgaben. Inhaltsverzeich nis A Anhang A.1 Ableitungen A.2 Ableitungsregeln. A.3 Integrale... A.4 Integralregeln A.5 Potenzreihen. A.6 Fourier-Reihen A.7 Fourier-Transformationen. A.8 Laplace-Transformationen A.9 z- Transformationen. A.lO Griechisches Alphabet. A.ll Bedeutende Mathematiker Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis