Einführung in die Physik I. Kinematik der Massenpunkte. O. von der Lühe und U. Landgraf

Transkript

1 Einfühung in die Phsik I Kinemaik de Massenpunke O. on de Lühe und U. Landgaf

2 O und Geschwindigkei Wi beachen den O eines als punkfömig angenommenen Köpes im Raum als Funkion de Zei Eindimensionale Posiion O O Veände de Köpe seinen O im Laufe de Zei, so wid eine Funkion de Zei: () Δ Die Geschwindigkei is die Ändeung des Oes mi de Zei. Δ Zei Kinemaik

3 O, Geschwindigkei und Beschleunigung Ein uhendes Objek eände den O nich mi de Zei O Seigung Ein gleichfömig beweges Objek ha eine konsane Geschwindigkei. Die Ableiung on () nach de Zei is übeall gleich goß O Seigung > Zei Seigung < Zei Ein nich gleichfömig beweges Objek unelieg eine Beschleunigung a. Die Geschwindigkei is eine Funkion de Zei () O Seigung is aiabel Zei Kinemaik 3

4 Mahemaische Fomulieung Die Geschwindigkei wid mahemaisch ausgedück duch die Ableiung des Os () nach de Zei d d Fü ein nich gleichfömig bewegen Köpe is die Geschwindigkei ebenfalls eine Funkion de Zei: () Die Beschleunigung a wid mahemaisch ausgedück duch die Ableiung de Geschwindigkei () nach de Zei. Sie enspich de weien Ableiung des Os nach de Zei ( ) d a d ( ) d ( ) d Is die Beschleunigung a konsan, so wid de Köpe gleichfömig beschleunig Kinemaik 4

5 Einheien on Geschwindigkei und Beschleunigung Die Einhei de Geschwindigkei is Ändeung eine Länge (gemessen in [m]) diidie duch Ändeung de Zei (gemessen in [s]) Einhei on is [m s - ] Die Einhei de Beschleunigung is Ändeung eine Geschwindigkei (gemessen in [m s - ]) diidie duch Ändeung de Zei (gemessen in [s]) Einhei on a is [m s - ] Mekegel: bei jede Ableiung egib sich die Einhei des Egebnisses aus de Einhei de abgeleieen Funkion diidie duch die Einhei de Göße, nach welche abgeleie wid Kinemaik 5

6 Beispiel: feie Fall Als feien Fall beeichne man die Bewegung eines Köpes une dem Einfluss eine konsanen Beschleunigung, d.h. die Bewegung eines gleichfömig beschleunigen Köpes. Bekanneses Beispiel is ein im Gaiaionsfeld de Ede fallen gelassene Köpe In de Nähe des Edbodens is die om Gaiaionsfeld bewike Beschleunigung konsan: g [ ms ] Konenionell wid de O als Höhe, mi posiie Richung nach oben gemessen; dahe muss g ein negaies Voeichen haben Kinemaik 6

7 Beechnung de Höhe beim feien Fall Zu einem Zeipunk wid de Köpe losgelassen. Fü diesen Zeipunk gil: ( ) () Nach eine Zei Δ beäg die Geschwindigkei (Δ ) -g Δ, nach de doppelen Zei is (Δ ) -g Δ, usw. Allgemein kann () duch Inegaion de Beschleunigung übe die Zei fü einen beliebigen Zeipunk > emiel weden: () ( g) d g d g [ ] g g g Kinemaik 7

8 Beechnung de Höhe beim feien Fall Die Höhe () um Zeipunk kann duch Inegaion de Geschwindigkei () emiel weden: () ( ) g ( g ) g d d g d g g Höhe [m] Feie Fall aus m Höhe 3 4 Zei [s] Kinemaik 8

9 Kinemaik 9 Feie Fall mi Anfangsgeschwindigkei Ha de Köpe u Beginn des Falls eine Anfangsgeschwindigkei (), so gil fü die Geschwindigkei Dann egib sich die Höhe als Funkion de Zei () ( ) g d g () ( ) ( ) g d g d d g d

10 Bewegungen in meheen Dimensionen In de Wel unsee Efahung weden Oe und Secken im Raum duch die Angabe on dei Längen fesgeleg Länge, Beie, Höhe Zu Angabe on Oen benöig man ein Koodinaenssem Viele phsikalische Pobleme lassen sich bequem im Caesischen Koodinaen (nach René Descaes, ) dasellen Dasellung des Oes duch einen Veko ( ) () () Kinemaik

11 Kinemaik Beechnungen mi Koodinaenekoen Addiion und Subakion skalaes Poduk Skalapoduk Beag a a a a

12 Geschwindigkei und Beschleunigung in meheen Dimensionen Die Geschwindigkei gib die Ändeung des Oes mi de Zei fü jede Richung im Koodinaenssem unabhängig an, und kann dahe auch als Veko mi dei Komponenen dagesell weden V ( ) d d d () () d d d Dasselbe gil fü die Beschleunigung. Sie gib die Ändeung de Geschwindigkei mi de Zei fü jede Richung unabhängig an. A a a a d d d d d d d d d d d d ( ) () () Kinemaik

13 Kinemaik 3 Beispiel: de schiefe Wuf In diesem Beispiel is de eiliche Velauf des Oes eines im Schweefeld de Ede gewofenen Köpes fü jede de dei Raumichungen andes Wi nehmen an, dass de Köpe um Zeipunk om Uspung des Koodinaenssems schäg in die Richung de -Achse und nach oben (Richung de -Achse) gewofen wid Die Anfangsbedingungen lauen somi Die Beschleunigung wik nu in Richung de -Achse ( ) ( ), V g A

14 Beispiel: de schiefe Wuf Gesuch is das Zeigese fü den O in den dei Raumichungen Fü jede Richung müssen Beschleunigung und Geschwindigkei inegie weden In Richung de -Achse sind die Anfangsgeschwindigkei und die Beschleunigung gleich Null. Die Lage des Köpes efäh in diese Richung keine Ändeung mi de Zei. Dami is die Posiion des Köpes in de -Richung gleich de Posiion fü, d.h., () In de Richung de -Achse ha de Köpe die Anfangsgeschwindigkei. Da die Beschleunigung in diese Richung ebenfalls Null is, gil () Das Poblem in de Richung de -Achse wude schon fü den feien Fall gelös ( ) () () () g ( ) Kinemaik 4

15 Dasellung Schiefe Wuf [m s - ] 3 [m s - ] Kinemaik 5

16 Die Keisbewegung Keisbewegung: Bewegung eines Köpes mi konsanem Absand um Mielpunk M des Keises Veändeliche Winkel ϑ() mi eine Refeenichung (.B. -Achse) Die Winkelgeschwindigkei is die Ändeung des Winkels ϑ mi de Zei ω d ϑ( ) d Y ϑ Die Einhei de Winkelgeschwindigkei is [Umdehung po Sekunde] ode [s - ] Kinemaik 6

17 Die Keisbewegung Die momenane Geschwindigkei des Köpes is angenial um Keis seh senkech auf de Vebindungslinie om Keismielpunk um Köpe Oseko ebinde Keismielpunk mi dem momenanen O des sich bewegenden Köpes ha konsane Länge Beag de momenanen Geschwindigkei ω dϑ d Y Kinemaik 7

18 Mahemaische Umweg: das Vekopoduk Mihilfe des Vekopoduks (Keupoduk) wid aus wei Vekoen ein die Veko gebilde, de u beiden andeen senkech seh 3 3 Reche-Hand-Regel besimm die Richung des Egebnisekos Das Vekopoduk is nich kommuai Sind wei Vekoen paallel ueinande, eschwinde ih Vekopoduk sin ( ) α Kinemaik 8 3 α 3 3 3

19 Die Keisbewegung Dasellung de Winkelgeschwindigkei als Veko: Seh senkech auf Oseko und Geschwindigkeiseko Lieg in Richung de Dehachse ω ω,, ω () ω cos sin ( ϑ( ) ) ( ϑ() ) Kinemaik 9

20 Die gleichfömige Keisbewegung Is die Winkelgeschwindigkei konsan, dann is die Keisbewegung gleichfömig ϑ ( ) ω ω cos sin d d ( ω) ( ω) cos sin ( ω) ( ω) ω sin ω cos ( ω) ( ω) Kinemaik

21 Beschleunigung auf de Keisbahn Da die Richung des Geschwindigkeisekos eiabhängig is, gib es eine Beschleunigung a d d d d ω cos ω sin ω sin ω cos ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ω ω a Die Beschleunigung is dem Radiuseko engegengese paallel - Zenipealbeschleunigung Kinemaik

22 Hamonische Schwingung Viele Bewegungen lassen sich als Schwingungen dasellen Gebundene Bewegung um eine Ruhelage Hamonische Bewegung Dasellung duch eine Sinusode Kosinusfunkion de Zei Begene Ampliude Eine hamonische Schwingung is eine Keisbewegung on de Seie beache O und Beschleunigung sind popoional ueinande Diffeenialgleichung fü hamonische Schwingungen (wei Scheibweisen) () sin( ω) () ω cos( ω) a( ) d d ω sin ( ) && ω ( ω) () () ω () () d d d d () Kinemaik

23 Keisfequen ω: Hamonische Schwingung Fequen und Keisfequen Winkel ϑ im Bogenmaß Eine Umdehung enspich π Einhei [s - ] Fequen ν: Inese Länge de Peiode de Schwingung in [s] Eine Umdehung enspich eine Peiode Einhei [s - ] ode He [H] ( ) sin( ω ) sin( π ν ) ω π ν Kinemaik 3

24 Hamonische Schwingung.5 Hamonische Schwingung 5 O [m] Geschwindigkei [m s^-] O Geschwindigkei Zei [s] Kinemaik 4

25 Hamonische Schwingung.5 Hamonische Schwingung 4 O [m].5.5 Beschleunigung [m s^-] O Beschleunigung Zei [s] Kinemaik 5