Kinematik des Massenpunktes

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1 Kinematik des Massenpunktes Kinematik: Beschreibt die Bewegung von Körpern, ohne die zugrunde liegenden Kräfte zu berücksichtigen. Bezugssysteme Trajektorien Zeit Raum

2 Bezugssysteme Koordinatensystem, z. B. kartesisch Kugelkoordinaten Zylinderkoordinaten Uhr

3 z z P(x,y, z) ϑ P(x, y, z) 0 r y 0 ϕ r r y x kartesisch rechtwinklig x sphärisch Kugel-...

4 Der Zusammenhang zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten r = x y z = r sinϑcos ϕ sinϑsinϕ cos ϑ = r sinϑcos ϕ sinϑsinϕ cos ϑ und umgekehrt r = x 2 + y 2 + z 2, ( z ϑ = arccos, r) ( y ϕ = arctan. x)

5 Trajektorien z r(t 1 ) r(t 2 ) y x

6 Zeit Was ist Zeit? Zeit vergeht Sie vergeht immer nur in einer Richtung Wir können sie messen! Die Sekunde ist definiert als Perioden der elektromagnetischen Strahlung des Übergangs zwischen den Hyperfeinstrukturzuständen des Grundzustandes von Cäsium 133. lange Zeiten - kurze Zeiten

7 Lange Zeiten Radioaktiver Zerfall: Zufälliger Zerfall eines instabilen Kernes. λ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Kern innerhalb einer bestimmten Zeit T, z. B. pro Sekunde, zerfällt. Dann gilt für die Anzahl Kerne Differentialgleichung! Ansatz: dn = λ N dt. N(t) = N 0 e λt.

8 Halbwertszeit Mittlere Lebensdauer τ. = 1/λ (Dimensionsanalyse!). Halbwertszeit T 1/2 : N ( T 1/2 ) = N0 /2, also 1 2 = e λt 1/2, damit T 1/2 = ln2 λ = ln 2 τ.

9 Halbwertszeiten wichtiger instabiler Isotope Isotop T 1/2 [a] 238 U 4, K 1, C 5570 Proton Anwendungen in der Planetologie, Geologie, Astrophysik, Kosmologie, Klimaforschung, Umweltphysik,...

10 Raum Länge Fläche Volumen Winkel Raumwinkel

11 Große und kleine Distanzen Lichtjahre Parsec Kerndurchmesser m kleiner: x h/2 p Übung: Rechnen Sie nach, wie groß x für verschiedene Körper sein kann!

12 Definitionen Meter: Strecke, die Licht im Vakuum in einer stel Sekunde zurücklegt Astronomische Einheit: Mittlerer Abstand Sonne-Erde, 1, m Lichtjahr: Strecke, die Licht im Vakuum in einem Jahr zurücklegt, 9, m Parsec: 3,26 Lichtjahre, 3, m Angstrøm: 1 Å= m

13 Winkel und Raumwinkel z A α. = l r l r α r y Ω. = A r 2 x

14 Geschwindigkeit v. = lim t 0 bzw. v =. ds dt = ṡ Beispiel: s = At 2 + Bt + C. Wie schnell bewegt sich das Teilchen? Tip: t t + t einsetzen! In t hat sich das Teilchen um s bewegt. s t

15 Bewegte Bezugssysteme Galilei-Transformation Lorentz-Transformation

16 Galilei-Transformation K z r z K u v = d r /dt v = d r/dt r y y y = y ut t = t x x

17 Das Michelson-Morley Experiment L λ Spiegel L u (ct 1 ) 2 = L 2 + (ut 1 ) 2 2t 1 = 2(L/c)/ 1 u 2 /c 2 x Spiegel ct 2 = L + ut 2 ct 3 = L ut 3 t 2 + t 3 = 2(L/c)/(1 u 2 /

18 Lorentz-Kontraktion Das Experiment von Michelson-Morley ergibt ein Null-Resultat, d.h. keinen Unterschied in den Gangzeiten des Lichtes zwischen den beiden senkrechten Armen. Wir wissen aber, dass sehr wohl ein Geschwindigkeitsunterschied existiert! Mögliche Erklärung: Die Länge entlang der bewegten Achse ist geschrumpft (kontrahiert) um genau den Faktor 1 u 2 /c 2 y = y ut 1 u2 /c 2.

19 Zeitdilatation Spiegel u Eine Erklärung für diese Beobachtung könnte auch sein, dass die Zeit in den beiden Bezugssystemen anders geht. L ct ct Im schneller bewegten vergeht die Zeit langsamer. Dies wird tatsächlich für energiereiche Müonen (Reaktionsprodukte ut der Wechselwirkung der galaktischen kosmischen Strahlung mit der Erdatmosphäre) c 2 t 2 = c 2 t 2 u 2 t 2 t = t/ 1 u 2 /c 2 gemessen. Diese sind in niedriger Höhe viel häufiger, als man nach ihrer Lebensdauer und Geschwindigkeit klassisch erwarten würde.

20 Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Wer gut aufgepasst hat, hat gesehen, dass in diesen Rechnungen die Lichtgeschwindigkeit nie transformiert wurde, d. h. als konstant in allen Bezugssystemen betrachtet werden musste. In der Tat folgt die spezielle Relativitätstheorie aus dieser Beobachtung: Unter Annahme einer konstanten Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen folgen die Gleichungen für die Lorentz-Transformationen. Interessanterweise sind die Gleichungen der Elektrodynamik (2. Semester) invariant gegenüber Lorentz-Transformationen. Sie sind es nicht gegenüber den intuitiv einleuchtenden Galilei Transformationen. Genaueres Betrachten zeigt aber, dass die Galilei-Transformationen für kleine Geschwindigkeiten aus den Lorentztransformationen hervorgehen, also in diesen als Spezialfall enthalten sind.

21 Gleichzeitigkeit ct ut 2 ct tanϕ = u/c ϕ Wer sich abends zum Kino verabredet, setzt stillschweigend voraus, dass alle Uhren gleich gehen. Dies gilt bei sehr hohen Geschwindigkeiten nicht mehr! Gleichzeitig in S ct 1 ct 1 x 0 ct 1 x 0 x 0 + ct 1 x 0 ct 1 x 0 + ct 1 x x Gleichzeitig in S

22 Lorentz-Transformation Aus der vorigen Skizze lassen sich die Lorentztransformationen herleiten x = x ut 1 u2 /c 2; y = y; z = z; t = t u x c 2 1 u2 /c 2. Der immer wiederkehrende Wurzelfaktor wird oft γ genannt: γ = 1 1 u2 /c 2.

23 Das Zwillingsparadoxon Das berühmteste Beispiel aus der speziellen Relativitätstheorie ist wohl das Zwillingsparadoxon ( Gegenmeinung ). Ein Astronaut und sein Zwillingsbruder verabschieden sich auf der Erde. Nach -zig Jahren kehrt der Astronaut von seiner Reise bei sehr hohen Geschwindigkeiten zurück und ist jünger als sein Bruder! Während zwar in jedem Paar von Inertialsystemen die dem anderen scheinbar bewegte Uhr langsamer geht, so muss der Astronaut kurz vor seiner Rückreise das Inertialsystem wechseln in eines das gerade in die entgegengesetzte Richtung fliegt. Deshalb sind die Messungen der beiden Brüder nicht äquivalent und das Paradoxon real. Es manifestiert sich in unserem Leben nicht, weil die dafür erforderlichen Geschwindigkeiten außerordentlich hoch sind.

24 Relativistische Addition von Geschwindigkeiten Wenn die Lichtgeschwindigkeit konstant sein muss, wie erklärt sich dann die Geschwindigkeit des Lichtes einer Taschenlampe auf einer Rakete? Die hier auftretenden Geschwindigkeiten müssen relativistisch addiert werden. Im Bezugssystem K gilt v = (v x, v y, v z ) = ( dx dt, dy dt, dz ), dt während im mit u bewegten Bezugssytem K gilt v = ( ( ) v x, v y, v z ) dx = dt, dy dz dt, dt.

25 Wir verwenden die Transformationsregel für x, x = γ(x ut) und für t, t = γ(t ux/c 2 ) und schreiben v x = dx dt = dx dt dt dt ( ), ( ) dx = γ dt u γ 1 + uv x c 2. Wir lösen nach v x auf v x v x γ 2 = γ ( ) dx dt u γ ( ) 1 + uv x c 2 ( ) = (v x u) + v x vx u c 2 u2 c 2,,

26 v x ( 1 γ 2 ( )) vx u c 2 u2 c 2 = (v x u), v x = v x u 1 v, bzw. v xu x = v x + u c v x u c 2. Ähnlich leitet man her: v y = v y γ ( 1 v xu c 2 ), bzw. v y = γ v y ( 1 + v x u c 2 ), v z = v z γ ( 1 v xu c 2 ), bzw. v z = γ v z ( 1 + v x u c 2 ).

27 Beschleunigung Wie ändert sich die Geschwindigkeit? a. = lim t 0 v t = s. = d2 s dt 2. Beispiel s = At 2 + Bt + C. Wie ändert sich die Geschwindigkeit? a = d2 s dt 2 = dv dt = 2A.

28 Der freie Fall Wie fällt eine Kugel von der Decke? Wie lange braucht sie von der Decke zum Boden; wie schnell ist sie unmittelbar vor dem Aufprall? Problem: Zeiten kurz, bei hohen Geschwindigkeiten verfälscht der Luftwiderstand das Resultat. (Wir leben nicht im Vakuum!). g sin(α) s = 1 2g sin α t2 α g α

29 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung v = ṡ = a = s = ds dt dv dt = d dt ( ) ds dt = d2 s dt 2 und umgekehrt als Integral...

30 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung II s(t) = v(t) = s(t) = t 0 t 0 t 0 dt v(t ) dt a(t ) t dt 0 dt a(t ) Für v(t) = const.: s = vt + s 0, für a(t) = const.: v = gt + v 0 und s = 1 2 gt2 + +v 0 t + s 0

31 Das Ganze in Vektorschreibweise v = d s dt = s a = d v dt = s

32 Beispiel Kreisbewegung r α s ds dt = drα dt = r dα dt Winkelgeschwindigkeit ω =. dα dt v = rω Beispiel: Erde rotiert einmal pro Tag um ihre Achse: Winkelgeschwindigkeit ω = 2π/ s Frequenz ν = ω 2π = 1 T = 1 24h = s H

33 In Vektorschreibweise r(t) = r cos ωt r sinωt 0 r = v(t) = rω sinωt rω cos ωt 0 = 0 0 ω r cos ωt r sinωt 0 = ω r ω: entlang Rotationsachse, Rechte-Hand-Regel : ω: Daumen, Finger: Richtung der Rotation

34 ω ist ein sog. axialer Vektor, d. h.er ändert seine Richtung unter einer Inversion am Nullpunkt nicht. a(t) = d dt rω sinωt rω cos ωt 0 = rω2 cos ωt rω 2 sinωt 0 = ω 2 r(t) a(t) heißt Zentripetalbeschleunigung. Für eine Kreisbewegung gilt a z = ω 2 r bzw. a z = a z = v2 r.

35 Zerlegung nach Komponenten Geschwindigkeit und Beschleunigung (wie jeder Vektor) lassen sich nach Komponenten unterteilen. Beispiele: Boot im Fluss, Flugzeug mit Seitenwind krummlinige Bewegung, schiefer Wurf

36 Schiefer Wurf y v x v 0 α v y y h x w x v x = v 0 cos α; v y = v 0 sinα gt

37 Schiefer Wurf II Jede Wurfweite kann durch zwei Winkel α erreicht werden. Betrachte dazu v x und v y und löse y(t) = 0 nach t auf. In x = v 0 cos αt einsetzen voilà! α = 45 x w

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