Friedhelm Kuypers Physik får Ingenieure und Naturwissenschaftler

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3 Fiedhelm Kuypes Physik få Ingenieue und Natuwissenschaftle

4 Beachten Sie bitte auch weitee inteessante Titel zu diesem Thema Thomsen, C. Physik få Ingenieue få Dummies 11 ISBN: Råsch, T. Mathematik de Physik få Dummies 11 ISBN: Kuypes, F. Klassische Mechanik Mit Åbe 3 Beispielen und ufgaben mit LÇsungen sowie mit DVD und Softwae Mechanicus 1 ISBN: Chistman, J. R., Deingh, E. Halliday Physik 88 LÇsungen 8 ISBN: Halliday, D., Resnick, R., Walke, J. Halliday Physik Bachelo-Edition 7 ISBN:

5 Fiedhelm Kuypes Physik få Ingenieue und Natuwissenschaftle Band : Elektizitåt, Optik und Wellen 3., Åbeabeitete und eweitete uflage

6 uto Pof. D. Fiedhelm Kuypes Hochschule Regensbug PÅfeninge Staße Regensbug Igo Fotolia.com 3., Åbeabeitete und eweitete uflage 1 lle BÅche von Wiley-VCH weden sogfåltig eabeitet. Dennoch Åbenehmen utoen, Heausgebe und Velag in keinem Fall, einschließlich des voliegenden Wekes, få die Richtigkeit von ngaben, Hinweisen und Ratschlågen sowie få eventuelle Duckfehle igendeine Haftung. Bibliogafische Infomation de Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek vezeichnet diese Publikation in de Deutschen Nationalbibliogafie; detailliete bibliogafische Daten sind im Intenet Åbe abufba. c 1 Wiley-VCH Velag & Co. KGa, Boschst. 1, Weinheim, Gemany lle Rechte, insbesondee die de Ûbesetzung in andee Spachen, vobehalten. Kein Teil dieses Buches daf ohne schiftliche Genehmigung des Velages in igendeine Fom duch Photokopie, Mikovefilmung ode igendein andees Vefahen epoduziet ode in eine von Maschinen, insbesondee von Datenveabeitungsmaschinen, vewendbae Spache Åbetagen ode Åbesetzt weden. Die Wiedegabe von Waenbezeichnungen, Handelsnamen ode sonstigen Kennzeichen in diesem Buch beechtigt nicht zu de nnahme, dass diese von jedemann fei benutzt weden dåfen. Vielmeh kann es sich auch dann um eingetagene Waenzeichen ode sonstige gesetzlich geschåtzte Kennzeichen handeln, wenn sie nicht eigens als solche makiet sind. Duck und Bindung Umschlaggestaltung betz-duck GmbH, Damstadt Bluesea Design, McLeese Lake, Canada ISBN: Pinted in the Fedeal Republic of Gemany Geduckt auf såuefeiem Papie

7 V Vowot Dieses Buch ist de zweite Band des zweibändigen Wekes Physik fü Ingenieue und Natuwissenschaftle und beschäftigt sich mit Elektizität und Magnetismus, Stahlenoptik und Wellen. uch de zweite Band beschänkt sich auf den Stoff, de fü Ingenieue und Natuwissenschaftle wichtig ist. de im Gundstudium behescht und eabeitet weden kann. Themen, die wegen ihe Schwieigkeit nicht voll vestanden und dahe auch nicht in Klausuen gepüft weden können, teten höchstens am Rande auf gewöhnlich in eine Bemekung ode Fußnote. Beispiele und 16 ufgaben weden sogfältig in den Lehstoff eingeabeitet. Sie nehmen wiede einen beiten Raum ein, emöglichen ein Selbststudium und sind von zentale Bedeutung fü das didaktische Konzept. Die Beispiele weden duch einen gauen Balken makiet. Bei jede ufgabe wid de subjektiv geschätzte Schwieigkeitsgad leicht, mittel, schwe angegeben. 143 ufgaben enthalten ausfühliche Lösungen am Ende des Buches. Zu den 17 übigen ufgaben, deen Übeschiften das echts dagestellte Maus-Icon enthalten, weden am Ende des Buches nu die Endegebnisse genannt; ihe ausfühlichen Lösungen finden Sie fei zugänglich auf de Webseite zum Buch unte Technische nwendungen kommen im zweiten Band noch häufige vo als im esten Band. Kopiee und Laseducke, Magnetspeiche, Lichtleite, CD- und DVD-Spiele, modene LCD-Bildschime, Lase weden soga in eigenen Untekapiteln dagestellt. De Lese findet ausfühliche ntwoten z. B. auf folgende Fagen: Waum laufen Schallwellen um die Ecke, Lichtwellen abe nicht? Waum können dle besse sehen als Menschen? Wie entstehen die wundevollen Stuktufaben bei Schmettelingen, Vögeln und Fischen? Im Gegensatz zu Mehzahl de utoen vezichte ich bewusst auf eine Einfühung in alle klassischen Gebiete de Physik. Eine umfassendee Bescheibung de Physik kann nach meine Einschätzung nu in wesentlich dickeen Büchen ode auf Kosten de Veständlichkeit eeicht weden. Ich halte ein gutes Veständnis ausgewählte Gebiete und ein sichees beiten mit mathematischen Hilfsmitteln fü vodingliche als einen weitläufigen Übeblick de Physik. Dahe weden Sachvehalte oft von veschiedenen Seiten beleuchtet und Endegebnisse ausfühlich gespochen und intepetiet. Typische Fallen, Fehle und Missveständnisse weden imme wiede angespochen. Untekapitel, deen Übeschift mit einem Sten * makiet sind, können beim esten Lesen übegangen weden. bschließend möchte ich wiede allen danken, die bei de Fetigstellung des Buches geholfen haben. Pof. D. P. Bickel, Pof. D. P. Dato und Fau D. Lohne haben Teile des Manuskipts kitisch gelesen und Vebesseungsvoschläge gemacht. Fü Diskussionen und ne-

8 VI Vowot gungen zu Elektotechnik danke ich Pof. D. W. Floßmann. Pof. D. W. Schaf hat maßgebliche und gundlegende Voschläge zu Inhalt und ufbau des Kapitels 33 kustik gemacht. Dipl. Ing. O. Kettenbaum hat die übesichtlichen bbildungen mit goße Zuvelässigkeit und mit Geschick estellt. Mein ganz besondee Dank gilt wiede Pof. D.. Deutz fü zahllose Gespäche und fü seine ständige Beeitschaft, übe Pobleme de Didaktik und Physik zu diskutieen. llen Lesen, die duch negungen, Bemekungen ode auch duch Fagen zu Vebesseung des Buches beitagen, bin ich auch weitehin seh dankba. Meine -desse lautet: Regensbug, im Juni 1 Fiedhelm Kuypes

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10 Inhalt VII Inhalt C Elektizität 17 Elektostatische Felde Elektische Ladung Die Coulombkaft Das elektische Feld Gaußsche Satz Kopiee und Laseducke * Noch einmal in Küze ufgaben Potential und Spannung Elektostatische beit Potential und Spannung Influenz Noch einmal in Küze ufgaben Kondensatoen Kapazität de Plattenkondensatoen Enegiedichte elektische Felde Dielektika Piezoelektizität Noch einmal in Küze ufgaben... 5 Elektische Stom De elektische Stom Ohmsches Gesetz Elektische Leistung RC-Gleichstomkeise Noch einmal in Küze ufgaben... 7

11 VIII Inhalt 1 Magnetfelde Einfühung Das Biot-Savatsche Gesetz Das Duchflutungsgesetz Loentzkaft Dehmoment auf Leiteschleifen De Halleffekt Noch einmal in Küze ufgaben Induktion Das Faadaysche Induktionsgesetz Lenzsche Regel Wibelstöme Induktivität RL-Gleichstomkeise Enegiedichte magnetische Felde Noch einmal in Küze ufgaben Magnetismus in Mateie Magnetisieung Diamagnetismus * Paamagnetismus * Feomagnetismus Magnetspeiche * bschimung von Felden * Noch einmal in Küze ufgaben Wechselstomkeise Wechselspannung an ohmschen Wideständen Wechselspannung an Spulen Wechselspannung an Kondensatoen Reelle Beechnungen Komplexe Zahlen * Komplexe Widestände

12 Inhalt IX 4.7 Leistung in Wechselstomkeisen Tansfomato Dehstom * Schutzeinichtungen * Supaleite * Noch einmal in Küze ufgaben D Optik 5 Reflexion Einfühung Reflexionsgesetz Sphäische Spiegel Noch einmal in Küze ufgaben Bechung Bechungsgesetz Totaleflexion und Lichtleite Dispesion Dünne Linsen bbildungsfehle Noch einmal in Küze ufgaben Optische Geäte Das uge Die Lupe Das Mikoskop Das Fenoh Noch einmal in Küze ufgaben... 4

13 X Inhalt E Wellen 8 Einfühung Wellenfunktionen Intensität hamonische Wellen Noch einmal in Küze ufgaben Stehende Wellen Einleitung Intefeenz bei gleiche usbeitungsichtung Stehende Wellen Schwingungen ideale Saiten Noch einmal in Küze ufgaben Intefeenz Zweistahlintefeenz Vielstahlintefeenz Intefeenz von Lichtwellen Optische Weglänge * Intefeenz an dünnen Schichten CD- und DVD-Spiele * Lase * Noch einmal in Küze ufgaben Beugung Huygenssches Pinzip Beugung am Einzelspalt Beugung und Intefeenz an Mehfachspalten Beugung an Lochblende Noch einmal in Küze ufgaben... 37

14 Inhalt XI 3 Polaisation Polaisato und nalysato Polaisationsvefahen fü Licht Optische ktivität und LCD-Bildschime * Noch einmal in Küze ufgaben kustik Schallpegel und Lautstäke Nachhall Schallschutz Dopple-Effekt Noch einmal in Küze ufgaben Lösungen Lösungen: 17 Elektostatische Felde Lösungen: 18 Potential und Spannung Lösungen: 19 Kondensatoen Lösungen: Elektische Stom Lösungen: 1 Magnetfelde Lösungen: Induktion Lösungen: 3 Magnetismus in Mateie Lösungen: 4 Wechselstomkeise Lösungen: 5 Reflexion Lösungen: 6 Bechung Lösungen: 7 Optische Geäte Lösungen: 8 Einfühung Lösungen: 9 Stehende Wellen Lösungen: 3 Intefeenz Lösungen: 31 Beugung Lösungen: 3 Polaisation Lösungen: 33 kustik Registe... 4

15 1 C Elektizität 17 Elektostatische Felde Die Elektostatik befasst sich mit uhenden (statischen) Ladungen. Die Kaftwikung zwischen Ladungen wid duch elektische Felde beschieben Elektische Ladung In de Mechanik gibt es die dei unabhängigen Gundgößen Masse, Länge und Zeit mit den Einheiten Kilogamm, Mete und Sekunde. lle andeen Gößen wie z. B. Geschwindigkeit weden aus diesen Gößen abgeleitet. In de Elektodynamik wid eine weitee, viete Gundgöße benötigt: Die elektische Stomstäke mit de Einheit mpee. Wi müssen die Einheit mpee beeits jetzt bestimmen, da sie die Einheit Coulomb de elektischen Ladungen festlegt. Die Einheit mpee wid wie folgt definiet: Wenn in zwei geadlinigen, paallelen, seh langen elektischen Leiten mit dem bstand 1 m Stöme gleiche Stäke fließen und wenn zwischen den Leiten po Einheitslänge (1 m) eine Kaft von 1 7 N/m wikt, dann ist de Stom in jedem Leite gleich 1 mpee (1 ). Didaktisch gesehen hat diese Festlegung den Nachteil, dass sie eineseits schon am nfang de Elektodynamik benötigt wid, andeeseits abe auf magnetische Käfte zuückgeift, die est viel späte behandelt weden. Von Voteil ist abe, dass duch diese Festlegung die magnetische Feldkonstante μ exakt den Wet 4π 1 7 N/ ehält und dass die Einheit mpee mit ein mechanischen Mitteln bestimmt weden kann. lledings muss de Leiteabstand bei de expeimentellen Duchfühung viel kleine als 1m sein. Bei konstante Stomstäke I besteht folgende Zusammenhang zwischen de Stomstäke und de geflossenen Ladung Q : I Q Q I t fü konstante Stomstäke t Damit ist die Einheit Coulomb (abgeküzt C ) de Ladung wie folgt festgelegt: 1 Coulomb 1 mpee Sekunde ode abgeküzt 1 C 1 s

16 17 Elektostatische Felde Expeimentell wuden folgende ussagen fü elektische Ladungen gefunden: Es gibt positive und negative elektische Ladungen. Willkülich wude das Vozeichen so festgelegt, dass die Ladung de Elektonen negativ ist. Ladungen mit gleichem bzw. veschiedenem Vozeichen stoßen sich ab bzw. ziehen sich an. Im Gegensatz zu Gavitationskaft, die nu anziehend ist, gibt es hie also anziehende und abstoßende Käfte. Es existiet eine kleinste Ladungsmenge, die sog. Elementaladung 19 e 1 1,6 C (17.1 1) Ein Elekton hat die Ladung e, ein Poton die Ladung e. lle Ladungen Q sind stets ganzzahlige Vielfache de Elementaladung: Q ne mit n, ± 1, ±,... In abgeschlossenen Systemen, d. h. in Systemen, denen wede Ladungen zugefüht noch entzogen weden, ist die Summe alle Ladungen konstant: N Q i const in abgeschlossenen Systemen i 1 Diese Ladungsehaltungssatz ist vo allem in de Elementateilchenphysik wichtig. 17. Die Coulombkaft Die elektische Ladung eines Köpes wid duch die Käfte nachgewiesen, die andee geladene Köpe auf ihn ausüben. 1 Wi betachten zwei Ladungen Q, Q1 mit den Otsvektoen, 1. Die Ladungen seien punktfömig, d. h. ihe usdehnungen seien viel kleine als ih bstand. Nach den Expeimenten, die vo allem de fanzösische Physike Coulomb gegen Ende des 18 ten Jahhundets machte, ist die sog. Coulombkaft zwischen den Ladungen popotional zum Podukt Q Q 1 de beiden Ladungen indiekt popotional zum Quadat ( 1) des bstandes paallel zu Vebindungslinie de beiden Ladungen. bb Die Coulombkaft de Ladung Q 1 auf die Ladung Q ist paallel zum Vekto 1, popotional zum Podukt Q Q 1 beide Ladungen und indiekt popotional zum Quadat de Entfenung. 1 In gleiche Weise kann die Masse m eines Köpes gemessen weden, indem man die Gavitationskaft de Ede auf ihn misst.

17 Die Coulombkaft de Ladung Q 1 auf die Ladung Q betägt dahe 17. Die Coulombkaft 3 F 1 k Q Q 1 1 ( ) 1 1 Diese Gl. heißt Coulombsches Gesetz. Fü spätee Rechnungen ist es seh voteilhaft, die Konstante k in de Fom k 1/( 4πε ) zu scheiben. Daaus folgt: Die Coulombkaft de Punktladung Q 1 auf die Punktladung Q betägt: F 1 1 πε 4 Q Q 1 1 ( ) 1 1 (17. 1) ε heißt elektische Feldkonstante ode Dielektizitätskonstante des Vakuums ode Influenzkonstante und hat nach den Expeimenten den Wet 1 ε 8, C Nm (17. ) In de Quantenmechanik bescheiben die Coulombkäfte die Bindung de Elektonen an den tomken, die Wechselwikung zwischen tomen und Molekülen und schließlich auch die zwischenatomaen Käften in Festköpen, Flüssigkeiten und Gasen. Das Coulombgesetz (17. 1) hat die gleiche Fom wie das Gavitationsgesetz, das die nziehungskaft zwischen zwei Massen bescheibt: F 1 γ m m 1 1) ( 1 1 mit de Gavitationskonstanten γ 6, m 3 kg s De einzige Unteschied besteht dain, dass es nu positive Massen und nu anziehende Gavitationskäfte gibt. Da Coulombkäfte und Gavitationskäfte beide indiekt popotional zum Quadat des bstandes sind, hängt ih Vehältnis nicht vom bstand ab. Das Vehältnis de beiden Käften ist fü Potonen mit m P 167, 1 7 kg F F C G , Nm/C ( 1, 6 1 C) , 67 1 N m / kg ( 1, 67 1 kg) 14, 1 36 tomkene sind totz de abstoßenden Coulombkäfte zwischen den Potonen stabil, weil Potonen und Neutonen duch die Stake Wechselwikung zusammengehalten weden, auf die wi nicht eingehen. Beispiel Pendel im Gleichgewicht Zwei kleine Metallkugeln mit Masse m und Ladung Q hängen an Fäden de Länge l im selben Punkt an de Decke. bb. 17. Die Coulombkaft dückt die beiden Pendel auseinande.

18 4 17 Elektostatische Felde Beechne die Entfenung d de Kugeln im Gleichgewicht fü d << l. Lösung: Ein Pendel befindet sich im Gleichgewicht, wenn sein Faden paallel ist zu esultieenden Kaft m g + F C, d. h. fü ϕ α (siehe bb ): sin α sin ϕ tan ϕ d FC 1 Q 1 l m g 4πε d m g d Q πε l mg 13 / bb Gewichtskaft m g und Coulombkaft F C. Das Coulombgesetz kann leicht auf mehee uhende Ladungen veallgemeinet weden: n Punktladungen Q i mit den Otsvektoen i üben insgesamt auf eine Punktladung q an de Stelle die Kaft F ( ) 1 πε 4 n i 1 qq i ( ) i i i (17. 3) aus. Die gesamte Coulombkaft ist also einfach die Vektosumme de n einzelnen Coulombkäfte; es gilt das Supepositionspinzip. bb Die gesamte Kaft alle Punktladungen Q i auf die Ladung q ist die Vektosumme de n Einzelkäfte F i () de i-ten Ladung auf die Ladung q Das elektische Feld Wi betachten nochmals bb : n Ladungen Q i mit festen Otsvektoen i üben auf eine Pobeladung q am Ot die Kaft F ( ) q πε 4 n i 1 Q i ( ) i i i (17.3 1)

19 17.3 Das elektische Feld 5 aus. Die Kaft F ist popotional zu Pobeladung q und kann dahe in folgende Fom geschieben weden: F ( ) q E ( ) (17.3 ) Diese Gl. definiet eine neue physikalische Göße, das elektische Feld E ( ), das die n Ladungen Q i am Ot ezeugen: F ( ) E ( ) : q 1 πε 4 n i 1 Q i ( ) i i i (17.3 3) Die Einheit des elektischen Feldes ist N/C. Mit de späte eingefühten Einheit Volt fü die Spannung lautet die Einheit V / m : N Einheit des elektischen Feldes : C V (17.3 4) m Das elektische Feld ist unabhängig von de Pobeladung q und hängt nu von de Veteilung de Ladungen Q i ab. Nach dem Supepositionspinzip übelagen sich die elektischen Felde mehee Ladungen linea. Das elektische Feld eine positiven Punktladung zeigt adial nach außen. Bemekung: Elektische Felde lassen sich duch Käfte auf Pobeladungen bestimmen. Dabei muss die Pobeladung q so klein sein, dass sie die Veteilung de Ladungen Q i, d. h. die Otsvektoen i duch ückwikende Käfte nicht (wesentlich) ändet. ndenfalls wüde sich das zu messende Feld E ( )bei de Messung änden. Beispiel Feldstäke im Fenfeld eines Dipols Ein Dipol besteht aus zwei entgegengesetzt gleichen Ladungen mit dem bstand d. Betachte einen Dipol, dessen Ladungen übeeinande liegen und beechne das elektische Feld im Punkt P, bb Dipol mit elektischen Felden im Fenpunkt P. Es gelte: q > De Begiff Feld ist ein zentale Begiff in de Physik. llgemein ist ein Feld eine physikalische Göße, die vom Ot und von de Zeit t abhängt. Es gibt zwei ten von Felden: Skalae Felde F F(, t) : Ein Beispiel ist das Tempeatufeld T(, t), das die Tempeatuveteilung z. B. eines Gases in de tmosphäe bescheibt, indem es jedem Ot zu jede Zeit t eine Tempeatu zuodnet. Vektofelde F F(, t) : Beispiele sind das elektische Feld E(, t) und das späte eingefühte Magnetfeld B (, t ).

20 6 17 Elektostatische Felde de im Fenfeld ( >> d ) auf eine hoizontalen Geade liegt, die die Vebindungslinie beide Ladungen in de Mitte senkecht schneidet. Lösung: Im Punkt P sind die Betäge de beiden elektischen Felde, die von den beiden Ladungen ezeugt weden, gleich goß und lauten E E + q q 1 πε 4 q + d Die Summe E de beiden Vektofelde E E+ q cos α πε 4 q E, ist vetikal und hat den Betag + q E q d + d + d dq 1 4 πε / ( + d ) 3 ( exakt auch im Nahfeld ) (17.3 5a) E nu fü >> d 1 4 πε dq 3 ( nu im Fenfeld) (17.3 5b) De Ladungsabstand d und die Ladung q teten nu als Podukt auf. Da dieses Egebnis fü alle Punkte im Fenfeld gilt (also auch fü Punkte, die nicht auf de gestichelten, hoizontalen chse in bb. bb liegen), können die Ladung q und de bstand d im Fenfeld nicht einzeln gemessen weden, sonden nu das sog. elektische Dipolmoment p : d q (17.3 6) De asche bfall des Feldes mit 3 ist daauf zuückzufühen, dass die beiden Ladungen mit zunehmendem bstand sozusagen imme nähe zusammenücken, so dass ihe Felde nicht nu imme schwäche weden, sonden sich auch imme meh gegeneinande aufheben. Wenn in einem Volumen V nicht einzelne Ladungen Q i, sonden eine kontinuieliche Ladungsveteilung mit de Ladungsdichte ΔQ ρ( ) : lim an de Stelle (17.3 7) ΔV ΔV voliegt, dann lautet das elektische Feld an de Stelle : E ( ) 1 πε 4 V ρ( ') ( ') ' ' dv ' (17.3 8) Beispiel 17.3 Feldstäke auf de Symmetieachse eine geladenen Scheibe a) Beechne das elektische Feld E(x) in einem Punkt P auf de Symmetieachse eines homogen geladenen, dünnen Ringes mit Radius Ring und positive Gesamtladung Q. b) Beechne das Feld E(x) auf de Symmetieachse eine geladenen Scheibe mit Radius Scheibe, positive Gesamtladung Q und konstante Flächenladungsdichte σ : Q/( π ). Scheibe

21 17.3 Das elektische Feld 7 c) Untesuche die Genzfälle x >> Scheibe und x << Scheibe. Lösung: a) us Symmetiegünden ist das elektische Feld E auf de x-chse paallel zu x-chse. Das dunkle Volumenelement in bb ezeugt auf de Symmetieachse im Punkt P ein Feld mit dem Betag de 1 dq 4 πε + Ring x Bei de Integation übe alle Volumenelemente bleibt nu die Komponente in x-richtung übig: bb Das dunkle Volumenelement dv ezeugt auf de Symmetieachse das Feld d E. de 1 dq x de cosα x 4πε Ring + x Ring + x 1 4πε xdq ( ) 3/ Ring + x Bei de Integation übe alle Volumenelemente ist x konstant, so dass nu das Integal dq Q zu beechnen ist. Wi ehalten E 1 xq ( x) πε + ( Ring x ) Ring 4 3/ (17.3 9) Fü x >> folgt das plausible Egebnis: E ( x) Q/(4 πε x) Ring Ring b) Wi nehmen an, dass die Scheibe aus vielen konzentischen Ringen besteht jeweils mit Radius, infinitesimale Ringdicke d und infinitesimale Fläche d π d. Nach Gl. (17.3 9) ezeugen diese Ringe auf de Symmetieachse Felde de Stäke de 1 xdq σ x d ( + x ε ) dqσ π d ( + x ) Ring 4πε 3/ 3/ Integation übe alle Ringe egibt das gesamte elektische Feld Scheibe σ x d σ x 1/ Scheibe EScheibe( x) 3/ ( + x ) ε ε ( + x ) σ 1 1 ε 1 ( + Scheibe / x ) (17.3 1)

22 8 17 Elektostatische Felde 1 / c) Fü x >> Scheibe ehalten wi mit de Tayloentwicklung ( 1+ ε) 1 E σ Scheibe 1 Q Scheibe( x) 4 4 x ε x πε x >> Scheibe σ Q /( π Scheibe ) 1 ε das Feld Wie ewatet ehalten wi in goße Entfenung das Feld eine Punktladung Q. Fü x<< hingegen ehalten wi das elektische Feld eine homogen geladenen, unendlich goßen Platte: Scheibe σ E Scheibe( x) fü homogen geladene, unendlich ausgedehnte Platten ( ) ε x << Scheibe (Siehe auch Beispiel ( ) Das Vektofeld E ( ) kann auf zwei ten gaphisch dagestellt weden: Man zeichnet an einigen ausgewählten Stellen i den Vekto E ( i ) auf (siehe bb a). Die Länge de gezeichneten Pfeile ist popotional zu Feldstäke. Man zeichnet die sog. Feldlinien, die wie folgt definiet sind: Die Tangenten de Feldlinien haben übeall die Richtung de elektischen Feldstäke. Hie ist die Dichte de Feldlinien popotional zu Feldstäke. Die elektischen Feldlinien beginnen bei eine positiven Ladung und enden bei eine negativen Ladung. Sie schneiden sich nie. In gleiche Weise weden in Untekapitel 8.1 Gundlagen de Stömungslehe die Stomlinien definiet: Die Tangenten de Stomlinien haben die augenblickliche Richtung de Stömungsgeschwindigkeit. Nach de Kontinuitätsgl. wächst die Dichte de Stomlinien mit zunehmende Stömungsgeschwindigkeit. Feldlinien egeben übesichtlichee Bilde und weden dahe meistens bevozugt. bb a zeigt die Feldlinien eines Dipols, also von zwei entgegengesetzt gleich goßen Ladungen. Die Dichte de Feldlinien zeigt, dass die Feldstäke zwischen den Ladungen am gößten ist. bb b zeigt die Feldlinien von zwei gleich goßen Ladungen. In de Mitte zwischen beiden Ladungen ist die Feldstäke exakt Null. Wenn keine negativen Ladungen vohanden sind, enden die Feldlinien im Unendlichen. bb a De Vekto de elektischen Feldstäke wid an einigen Stellen eingezeichnet. Das Feld läuft von eine positiven Ladung weg. bb b Die Tangenten an die Feldlinien haben übeall die Richtung de Feldstäke. Die Feldlinien laufen bei eine positiven Ladung nach außen.

23 17.4 Gaußsche Satz 9 bb a Feldlinien eines Dipols. bb b Feldlinien von zwei gleich goßen Ladungen. bb zeigt die Feldlinien von zwei veschieden goßen Ladungen. In goße Entfenung zu den Ladungen sehen die Feldlinien ähnlich aus wie die Feldlinien eine Ladung + Q Gaußsche Satz Die Beechnung elektische Felde mit Gl. (17.3 3) ode mit Gl. (17.3 8) ist zwa imme möglich, kann abe mühsam sein. Wi weden nun mit dem Gaußschen Satz eine Beechnungsmethode kennen lenen, die zwa viel einfache und vo allem elegante ist, die dafü abe nu in wenigen symmetischen Fällen angewendet weden kann. De Gaußsche Satz emöglicht abe nicht nu die Beechnung elektische Felde, sonden gibt vo allem auch tiefee Einsichten in die Elektostatik. Vo de Einfühung in den Gaußschen Satz müssen wi den Fluss Φ eines beliebigen Vektofeldes F ( ) duch eine Fläche definieen. Wi beginnen mit dem einfachsten Fall: Das Vektofeld ist konstant und die Fläche ist eben. Eine ebene Fläche wid duch ihen Nomalenvekto beschieben, de laut Definition senkecht auf de Fläche steht (bei einem Köpe zeigt e imme nach außen) und dessen Länge gleich dem Flächeninhalt ist. De Fluss duch die ebene Fläche wid als Skalapodukt definiet: Φ : bb Feldlinien von zwei veschieden goßen Punktladungen. F fü konstante Vektofelde und ebene Flächen (17.4 1) Beachte, dass de Fluss ein Skala ist und dahe keine Richtung hat. Das folgende Beispiel aus de Stömungslehe macht deutlich, waum das Skalapodukt aus einem Vektofeld und eine Fläche Fluss heißt selbst dann, wenn (wie in de Elektostatik) Nichts stömt.

24 1 17 Elektostatische Felde Beispiel De Fluss des Geschwindigkeitsfeldes eine stömenden Flüssigkeit Eine Flüssigkeit ode ein Gas stömt in hoizontale Richtung stationä und homogen, d. h. die Stömungsgeschwindigkeit v hängt wede vom Ot noch von de Zeit ab. Beechne den Fluss duch eine ebene Fläche und intepetiee die Bedeutung des Flusses in de Stömungslehe. Lösung: Das Skalapodukt v vcos ϑ ist das Podukt aus de Stecke, die das Fluid po Sekunde zuücklegt, und de Fläche ˆ cosϑ, die senkecht duchstömt wid. De Fluss v ist dahe de Volumenstom in m 3 / s, d. h. das Volumen, das po Sekunde duch die Fläche stömt. bb De Fluss eines Fluids duch eine Fläche ist gleich v mal die dunkle, pojiziete Fläche. Wi betachten nun den allgemeinen Fall: Das Vektofeld F ( ) ist nicht konstant ode die Fläche ist nicht eben. In diesem Fall wid die Fläche in n kleine Teilflächen mit Nomalenvektoen d i zelegt (siehe bb ). Die Teilflächen sind so klein, dass sie näheungsweise eben sind und das Vektofeld auf jede Teilfläche ungefäh konstant ist. Nach Gl. (17.4 1) betägt de Fluss n Φ F i 1 i d i bb Eine gekümmte Fläche ist aus vielen kleinen, näheungsweise ebenen Flächenelementen zusammengesetzt. Wenn die Teilflächen imme kleine weden, dann geht die Summe in ein Integal übe und wi ehalten die allgemeine Definition eines Flusses: De Fluss eines beliebigen Vektofeldes F ( ) duch eine Fläche ist definiet als Flächenintegal Φ : F ( ) d (17.4 ) Demnach ist de Fluss des elektischen Feldes Φ E E ( ) d (17.4 3)

25 17.4 Gaußsche Satz 11 Beispiel 17.4 Fluss des elektischen Feldes eine Punktladung Eine positive Punktladung Q uht im Koodinatenuspung. Beechne den Fluss duch eine Kugel mit Radius und Kugelmittelpunkt im Koodinatenuspung. Lösung: Q Φ E () d d E 4πε 3 Kugel Kugel Q d 4 πε 3 Kugel ist bei de Integation konstant paallel zu d Q 1 4 π 4 πε Kugel Q ε (17.4 4) De Fluss des elektischen Feldes ist die von de Kugel eingeschlossene Ladung Q dividiet duch die elektische Feldkonstante ε. Dieses Egebnis ist aus zwei Günden bemekenswet: De Fluss hängt nicht vom Kugeladius ab, da mit zunehmendem Radius das elektische Feld mit 1/ fällt und die Kugelfläche mit wächst. Bei de Coulombkaft wude in Untekapitel 17.1 die Popotionalitätskonstante k duch 1/( 4πε ) esetzt, um das Egebnis in Gl. (17.4 4) so einfach zu machen. Man kann mathematisch beweisen, dass die Gl. (17.4 4) auf beliebige Ladungsveteilungen und beliebige Flächen veallgemeinet weden kann; man ehält so den Gaußschen Satz: Gaußsche Satz De Fluss des elektischen Feldes duch eine beliebige, geschlossene Fläche ist gleich de Summe de eingeschlossenen Ladungen Q i dividiet duch ε : 1 E d Qi (17.4 5) ε i Ladungen außehalb de geschlossenen Fläche, übe die integiet wid, tagen nicht zum Fluss bei. De Gaußsche Satz liefet einen Zusammenhang zwischen dem elektischen Fluss duch eine geschlossene Fläche 3 und de eingeschlossenen Ladung. In vielen ufgaben mit symmetische Ladungsveteilung kann das Feld E ( ) mit einfachen Flächenintegalen beechnet weden. Dabei hat die Integationsfläche die gleiche Symmetie wie die Ladungsveteilung, so dass das Feld E ( ) entwede paallel ode senkecht zu den Flächennomalen d i ist. 3 Eine Fläche heißt geschlossen, wenn sie ein Volumen vollständig einschließt. Die Obeflächen alle Köpe sind geschlossen; ebene Flächen sind nie geschlossen.

26 1 17 Elektostatische Felde De Gaußsche Satz ist eine de vie Maxwell-Gln., die eine fundamentale Bedeutung fü die Elektodynamik haben vegleichba mit de Wichtigkeit de Newtonschen xiome fü die Mechanik. Oben wude gesagt, dass de Gaußsche Satz mathematisch aus dem Coulombschen Gesetz (17. 1) abgeleitet weden kann. Umgekeht kann auch das Coulombsche Gesetz aus dem Gaußschen Satz und einfachen Symmetieübelegungen hegeleitet weden (siehe das folgende Beispiel ). De Gaußsche Satz (17.4 5) ist dahe äquivalent zum Coulombschen Gesetz (17. 1). Wi beantwoten nun zwei wichtige Fagen: Wie sehen elektostatische Felde im Innen und im ußenaum von leitenden Köpen aus? 1) Felde und Ladungen im Leiteinneen: Weden Ladungen auf ode in einen beliebig gefomten, leitenden Köpe gebacht, dann teten seh kuzzeitig elektische Felde im Köpeinnen auf. Sie veschieben die Ladungen solange, bis die elektischen Felde im Köpeinneen veschwinden. (Den schwieigen mathematischen Beweis diese ussage können wi hie leide nicht ebingen.) Dahe gilt: Leitende Köpe sind in de Elektostatik im Innen feldfei: E innen Diese ussage gilt nu fü statische elektische Felde, also nu, wenn keine Stöme fließen. Wi beechnen nun den elektische Fluss Φ E fü eine geschlossene Integationsfläche, die dicht unte de Obefläche des Leites liegt (siehe bb ). us E innen folgt Φ E, so dass die Integationsfläche keine Ladungen umschließt. Dahe gilt: In de Elektostatik ist das Innee eines leitenden Köpes nicht nu feldfei, sonden auch ladungsfei: Q innen bb Das Innen eines leitenden Köpes ist in de Elektostatik feld- und ladungsfei. Im ußenaum stehen elektostatische Felde senkecht auf de Obefläche. bb De elektische Fluss wid fü eine kleine Dose beechnet, deen Stinflächen paallel zum elektischen ußenfeld sind. De Gaußsche Satz liefet E σ/ ε.

27 17.4 Gaußsche Satz 13 uch Hohläume mit eine geschlossenen, leitenden Obefläche sind feldfei. Dahe schimt eine Metallhülle einen Raum siche gegen äußee elektostatische Felde ab. be auch ein engmaschiges Metallnetz ode -gitte, ein sog. Faaday-Käfig liefet in de Paxis meist eine auseichende bschimung. ) Felde auf Leiteobeflächen: Statische elektische Felde stehen im ußenaum senkecht auf den Leiteobeflächen. Hätten die Felde eine Komponente paallel zu Leiteobefläche, so wüden sich die Ladungen unte de Obefläche solange veschieben, bis die elektischen Felde übeall senkecht auf den Leiteobeflächen stehen. De Betag de elektischen Felde kann mit dem Gaußschen Satz emittelt weden. Um die Flächenintegation möglichst einfach zu machen, sollte die Integationsfläche de Richtung des elektischen Feldes im ußenaum angepasst und dahe so gewählt weden, dass die Nomalenvektoen de Integationsfläche entwede paallel ode senkecht zum elektischen Feld im ußenaum sind. Das ist de Fall, wenn man (in Gedanken) eine seh kleine Dose so weit in die Obefläche hinein schiebt, dass eine Stinfläche innehalb und die andee außehalb de Leitefläche ist (siehe bb ). Die Dose ist so klein, dass die elektische Feldstäke auf de äußeen Stinfläche und die ötliche Flächenladungsdichte σ : lim Δ ΔQ Δ mit ΔQ Ladung unte de Obefläche Δ (17.4 6) auf de eingeschlossenen Leiteobefläche fast konstant sind. De Fluss duch die Dose ist Φ E d E d E Daaus folgt Dose dq Ed ε Gaußsche Satz Einnen äußee Stinfläche E paallel d E const außen Mantelfläche E σ d ε E σ ε an de Obefläche eines Leites (17.4 7) Die elektostatische Feldstäke an de Obefläche eines Leites ist popotional zu ötlichen Flächenladungsdichte σ unte de Leiteobefläche. 4 Die folgenden dei Beispiele beechnen elektische Felde wichtige Ladungsveteilungen. Beispiel Elektische Felde von geladenen Kugeln Eine leitende Kugel mit Radius Kugel wid mit de Ladung Q aufgeladen. Die Elementaladungen sammeln sich dicht unte de Kugelobefläche, so dass das Innee de Kugel ladungsfei ist. 4 Die elektischen Felde in Gl. ( ) und (17.4 7) untescheiden sich um einen Fakto,5. De Gund dafü wid in ufgabe 17 7 genannt.

28 14 17 Elektostatische Felde Beechne das elektische Feld E ( ) mit dem Gaußschen Satz a) außehalb de leitenden Kugel ( Kugel ) b) innehalb de leitenden Kugel ( < Kugel ). c) Jetzt wid eine nichtleitende, massive Kugel mit de Ladung Q homogen aufgeladen. Die Ladungstäge sind jetzt mit konstante Ladungsdichte ρ im ganzen Kugelvolumen veteilt. Beechne auch hie das elektische Feld außehalb und innehalb de nichtleitenden Kugel. Lösung: a) Die Ladungen de leitenden Kugel vesammeln sich diekt unte de Kugelobefläche. Ihe Veteilung muss kugelsymmetisch sein, da andenfalls eine Richtung im Raum ausgezeichnet wäe. Dahe muss auch das elektische Feld kugelsymmetisch sein: E ( ) E ( ) e mit e Einheitsvekto in adiale Richtung. Im Pinzip kann die Integationsfläche zu Beechnung des Flusses Φ E beliebig gewählt weden. Die Integation ist abe nu dann einfach duchzufühen, wenn die Integationsfläche die Symmetie des elektischen Feldes wiedegibt. Dahe muss eine konzentische Kugel als Integationsfläche gewählt weden. Int E d Int Int E( ) e d Q E () 4π ε Kugelfömige Integationsfläche E const auf de Integationsfläche bb Um die negativ geladene Metallkugel wid eine konzentische, kugelfömige Integationsfläche gelegt. E( ) 1 Q im ußenaum eine leitenden Kugel (17.4 8) 4 π ε Wichtig ist die Feststellung, dass das elektische Feld außehalb de leitenden Kugel genauso goß ist wie das elektische Feld eine Punktladung Q im Kugelmittelpunkt. Diese ussage kann sofot veallgemeinet weden: lle kugelsymmetischen Ladungsveteilungen haben im ußenaum das elektische Feld nach Gl. (17.4 8), wobei Q die Gesamtladung ist. De Beweis diese ussage sieht wegen E ( ) E ( ) e genauso aus wie de Beweis von Gl. (17.4 8). b) ls Integationsfläche wählen wi eneut eine konzentische Kugel; de Radius ist jetzt abe kleine als Kugel. Int E d Int E( ) e d E const auf de Integationsfläche E( ) 4 π Die Integationsfläche enthält keine Ladung. E ( ) im Innen eine leitenden Kugel (17.4 9) Das Innee eine leitenden Kugel ist also nicht nu ladungsfei, sonden auch stets feldfei in Übeeinstimmung mit allgemeinen, füheen Übelegungen.

29 17.4 Gaußsche Satz 15 bb Elektisches Feld eine leitenden Kugel im bstand vom Kugelmittelpunkt. bb Elektisches Feld eine homogen geladenen, nichtleitenden Kugel. c) Das ußenfeld de homogen geladenen, nicht leitenden Kugel wid ebenfalls duch Gl. (17.4 8) beschieben. Das Innenfeld wid ebenfalls mit eine konzentischen Kugel beechnet: Int E d Int E( ) e d E const auf de Integationsfläche E( ) 4 π Q ε 3 3 Kugel ( ) Q E 4 πε im Innen eine homogen geladenen Kugel 3 Kugel (17.4 1) Im Innen eine homogen geladenen Kugel steigt das elektische Feld linea an. Nu die Ladungen, deen bstand zum Kugelmittelpunkt kleine als ist, tagen zum Feld E ( ) bei. Bemekung: Coulombkaft und Gavitationskaft haben die gleiche Fom. Dahe nimmt die Edanziehungskaft linea mit de Entfenung zum Edmittelpunkt ab, wenn man in Gedanken einen Tunnel zum Edmittelpunkt gäbt. (Dabei wid eine homogene Massendichte im Edinnen voausgesetzt.) Diese ussage haben wi in de Mechanik in ufgabe 7 1 Schwingung nach ustalien und zuück benötigt. Beispiel Elektisches Feld eines langen, geladenen Leites Beechne das elektische Feld eines langen, geaden Leites, de homogen mit konstante Längenladungsdichte λ : Q/ l geladen ist. Hinweis: De Leite soll seh lang sein, damit die Inhomogenitäten des elektischen Feldes an den Leiteenden venachlässigt weden können. Lösung: us Symmetiegünden muss das elektische Feld otationssymmetisch um den Leite sein: bb Lange, homogen geladene Leite und zylindische Integationsfläche mit Länge l und Radius. E ( ) E ( ) e mit e Einheitsvekto in adiale Richtung. Dahe ist es sinnvoll, die Obefläche eines Zylindes mit Radius und Länge l, dessen Symmetieachse auf dem Leite liegt, als Integationsfläche zu wählen. Zylinde E d Zylinde E( ) e d E steht senkecht auf den Nomalen- vektoen de Gundflächen Mantel E( ) e d

30 16 17 Elektostatische Felde Q E () d E () π l ε Mantel Mantelfläche λ l ε E( ) λ 1 im ußenaum eines langen, homogen geladenen Zylindes ( ) π ε Beispiel Feld eine homogen geladenen, goßen, ebenen, dünnen Platte Eine ebene, seh goßflächige, dünne Platte ist homogen mit konstante Flächenladungsdichte σ : Q/ geladen. Beechne das elektische Feld mit dem Gaußschen Satz. Hinweis: Die Platte soll seh goßflächig sein bzw. das Feld soll in eine Entfenung von de Platte beechnet weden, die wesentlich kleine ist als Beite und Höhe de Platte. Dann können die Inhomogenitäten des elektischen Feldes an den Plattenänden venachlässigt weden. Lösung: Nach füheen Übelegungen in diesem Untekapitel 17.4 muss das elektische Feld senkecht zu Platte stehen. Wegen de homogenen Flächenladung und de (theoetisch) unendlichen usdehnung de Platte ist kein Punkt auf de Platte ausgezeichnet. Dahe daf sich das elektische Feld nicht änden, wenn wi uns vo de Platte bewegen mit konstantem bstand zu Platte. Das Feld kann also nu von de Entfenung zu Platte abhängen. Wi wählen als Integationsfläche die Obefläche eines Quades mit den Maßen a, b,. Die beiden Stinflächen de Göße ab haben denselben bstand von de geladenen Platte, damit de Betag E ( ) auf beiden Flächen mit Sicheheit gleich goß ist. Ein Fluss titt nu in den beiden Stinflächen ab auf. Quade E( ) d E steht senkecht auf den Seitenflächen Stinflächen E( ) d bb Homogen geladene, goße, ebene Platte E ist paallel zu den Flächennomalen de Stinflächen Stinflächen E( ) d E vone E hinten E( ) a b Q ε σ a b ε σ E ( ) fü eine dünne, homogen geladene Platte (17.4 1) ε Bemekung: In ufgabe 17 7 wid anschaulich eklät, waum die Feldstäke hie nu halb so goß ist wie in Gl. (17.4 7).