Übungsblatt 08. Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik

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1 Übungsblatt 08 Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik Aufgaben. Das folgende Diagramm zeigt die Kollektor-Kennlinien eines Transistors bei 3 verschiedenen Basisströmen. Bestimme aus ihnen die Stromverstärkung (I C /I B ) und die Spannungsverstärkung (U CE /I B ) bei Verwendung eines Kollektorwiderstandes von kω und den (Batterie-)Spannungen 0 V und 20 V. Diskutiere in beiden Fällen die Verluste im Widerstand und im Transistor bei einem Kollektor-Strom von jeweils 6 ma. 2. Durch zwei sehr lange Leiter, die in Luft im Abstand 0 cm parallel zueinander verlaufen, fliessen in gleicher Richtung Ströme von je 57 A. Welche Arbeit muss verrichtet werden, um beide Leiter entlang 0 m Länge bis auf einen Abstand von 20 cm auseinander zu rücken? 3. Zwischen den übereinander liegenden Polen eines Hufeisenmagneten (Magnetfeld mit B = 0, 08T) befindet sich, an dünnen Stromzuführungen waagerecht aufgehängt, ein Draht aus Aluminium (Dichte ρ = 2, kg/m 3 ), welcher im vertikalen Magnetfeld frei schwingen kann. Durch den Draht fliesst ein Strom der Stromdichte j = 0 5 A/m 2. Um welchen Winkel gegenüber der Vertikalen wird die Pendelaufhängung ausgelenkt? 4. Von einem Punkt eines homogenen Magnetfeldes mit B = 0, 0T geht ein divergentes Bündel von Elektronenstrahlen aus, deren Geschwindigkeitsvektoren alle den gleichen Betrag von υ = m/s haben und mit der Magnetfeldrichtung einen Winkel von 0 einschliessen. Welche Art von Bahnen durchlaufen die Elektronen? Wo treffen sie sich wieder alle? 5. Ein anfänglich ruhendes 63 Cu Ion (Ladung: +e, Molmasse: m 63 = 63g/mol, Dichte: 8, 6g/cm 3 ) wird in einem Elektrischen Feld, das durch eine Spannung mit 2, 5 kv erzeugt wurde, beschleunigt und anschliessend in einem senkrecht zur Flugbahn des Ions verlaufenden homogenen B-Feld der Stärke B = 0, 8T abgelenkt. Welchen Weg nimmt das Ion?

2 Was ändert sich, wenn sich ein 65 Cu Ion (Molmasse m 65 = 65g/mol) unter die ursprünglichen 63 Cu Ionen verirrt? Parallel zur Flugbahn der Ionen (vor Eintritt in das Magnetfeld) befindet sich eine Platte im Abstand von 32 cm. Wie muss die Platte relativ zum Magnetfeld angeordnet sein, dass die Ionen sie ungefähr senkrecht treffen? Wie gross sind dann die Auftreffstellen von einander entfernt? 6. Ein geladenes Teilchen bewegt sich in einem Raum, in dem ein elektrisches und ein magnetisches Feld herrschen. Ein Beobachter erkennt aus vielen Versuchen, dass die Bewegung des Teilchens unter bestimmten Voraussetzungen gleichförmig und unabhängig von der Masse und der Ladung des Teilchens ist. Was sind die Bedingungen hierfür? Wozu könnte so eine Apparatur benutzt werden? 7. In einem Koaxialkabel, das aus dem Innenleiter (Radius R ) und dem Aussenleiter (Innenradius R 2 > R, Aussenradius R 3 > R 2 ) besteht, fliesst im Innenleiter der Strom I i = I und im Aussenleiter derselbe Strom, aber in die entgegengesetzte Richtung: I a = I. Berechne das Magnetfeld im Abstand r von der Symmetrieachse im Inneren des Innenleiters r < R, im Raum zwischen Innen- und Aussenleiter (R < r < R 2 ), im Aussenleiter (R 2 < r < R 3 ) und ausserhalb des Aussenleiters (R 3 < r). (für diese Aufgabe gibt es einen Bonuspunkt) 2

3 Lösungen. Das Diagramm zeigt die Arbeitskennlinie des Transistors für die zwei Fälle U 0 = 0 V und U 0 = 20V. Daraus ist das Diagramm für die beiden Verstärkungen entnehmbar über die Schnittpunkte der entsprechenden Kurven Die Stromverstärkungen sind 5,mA 25µA 204 (bei U 6mA 0 = 0 V) bzw. 25µA = 240 (bei U 0 = 20 V). Bei einem Kollektorstrom von 6 ma betragen die Kollektor-Spannungen 4 V (bei U 0 = 0 V) bzw. 4,5 V (bei U 0 = 20 V), entnommen dem Diagramm. Rechnerisch ergeben sich, über den Spannungsabfall U = I R = 6mA kω = 6 V am Widerstand ermittelt, U 0 U = 4V (bei U 0 = 0 V) bzw. 4 V (bei U 0 = 20 V). Die Verluste am Widerstand sind in beiden Fällen gleich, nämlich W R = U I = 36mW. Am Transistor hingegen ergeben sich W T = U C I C = 24mA (bei U 0 = 0 V) bzw. 84 mw (bei U 0 = 20 V). Letzteres (bei U 0 = 20 V) ist um den Faktor 3,3 ungünstiger als im Fall der niedrigeren Versorgungsspannung. 3

4 2. Ein langer gerader stromdurchflossener Leiter bewirkt ein Magnetfeld im Abstand r zum Leiter von B (r) = 2π I r. Die Kraft auf einen zweiten mit dem Strom I 2 durchflossenen Leiter der Länge l ist (siehe Manuskript) F = I 2 B (r) l = 2lI I 2 4π r Beim differentiellen Auseinanderziehen der Leiter muss nun die differentielle Arbeit dw = F dr geleistet werden, also ergibt sich für die Gesamtarbeit 2 dw = 2 F dr = 2π I2 l 3. Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld ist r 2 r r dr = I 2 l 2π ln r 2 r = 4, J d F = Id l B Hier sind die Leiterstücke d l und das Magnetfeld B senkrecht aufeinander, also: df = I B dl Mit der Stromdichte j und dem Drahtquerschnitt A ergibt sich df = j A B dl oder, für den L langen Draht mit Volumen V = A L df = F = jv B Bei einer Auslenkung eines Pendels der Masse M um den Winkel ϕ ist die rücktreibende Kraft F r = M g sin ϕ Die Kraft im Magnetfeld ist gleich dieser mechanischen Kraft, also (mit M = ρv, ρ = Dichte) M g sin ϕ = ρ V g sin ϕ = jv B ϕ = arcsin jb ρg = 7, 2 4. Die Geschwindigkeit eines Elektrons hat bezüglich dem Magnetfeld zwei Anteile, deren Grösse von dem eingeschlossenen Winkel α abhängen. parallel zum Feld: v p = v cos α senkrecht zum Feld: v s = v sin α Das Magnetfeld wirkt über die Lorenzkraft F = q v B auf die Flugbahn des Elektrons. Der parallele Anteil wird durch das Feld nicht verändert, es liegt also eine unbeschleunigte gleichförmige Bewegung parallel zum Feld vor. Der senkrechte Anteil erfährt über die Kraft F s = qb v sin ϕ = qb v s eine stetige Richtungsänderung, die zu einer Kreisbahn senkrecht zum Magnetfeld führt. Die Zentrifugalkraft m v2 s r = m ω v s ist nun gleich der Lorenzkraft: mωv s = qb v s woraus die Kreisfrequenz ω = q mb und die Periodendauer eines Umlaufs T = 2π ω = 2πm qb 4

5 sich ergibt. Die Elektronen bewegen sich parallel zum Magnetfeld mit einer konstanten Geschwindigkeit und führen senkrecht dazu eine kreisförmige Bewegung aus, also insgesamt eine schraubenförmige. Nach der Zeit T treffen sie sich wieder alle in einem Punkt, der s = v p T = v cos α 2πm qb 0, 05m entfernt ist. Ein Magnetfeld fokussiert also divergent sich bewegende Ladungen, sofern sie alle die gleiche Geschwindigkeit haben und das gleiche Verhältnis q m. 5. Die Fluggeschwindigkeit der Ionen mit Ladung e berechnet sich aus der Energie W = eu, die die Ionen im Elektrischen Feld, das mit der Spannungsdifferenz U erzeugt wurde, erhalten, die gleichzeitig die kinetische Energie W = 2 mv2 ist, zu v = 2eU/m Die Masse eines Ions ist die Molmasse dividiert durch die Avogadro-Zahl (Die Dichteangabe wird nicht benötigt). m = m 63 /NA In einem Magnetfeld wirkt auf ein geladenes Teilchen, das sich bewegt, die Lorenzkraft F = q v B. Da v senkrecht zu B ist, kann hier mit den Beträgen gerechnet werden und die Flugbahn ist ab Eintritt ins Magnetfeld eine Kreisbahn, deren Radius r sich aus der Gleichheit der mechanischen Zentrifugalkraft und Lorenzkraft ergibt: ev B = m v2 r r = mv eb = 2U m e B = für die etwas schwereren 65 Cu Ionen ergibt sich r 65 = 0, 323m 2U m 63 en A B = 0, 38m Die Ionen werden senkrecht zur Flugrichtung und senkrecht zum Feld abgelenkt. Die Auffangplatte muss deshalb parallel zum Feld orientiert sein, damit die Ionen senkrecht auftreffen. Der Abstand (32 cm) ist für diesen Fall richtig gewählt. Der Abstand der Auftreffstellen ist die Differenz der Kreisbahnradien, also 2U = en A B ( m 65 m 63 ) = 5mm 6. Die Kraft auf ein bewegtes geladenes Teilchen im kombinierten elektrischen und magnetischen Feld ist: F = q E + q v B Wenn das Teilchen sich gleichförmig bewegen soll, muss diese Kraft Null sein, also qe = q v B oder E = B v unabhängig von der Masse des Teilchens und der Ladung, aber abhängig von dessen Geschwindigkeit. Die Felder müssen also senkrecht zueinander sein und das Teilchen muss sich senkrecht zu beiden bewegen. Bei einem bestimmten E B Wert werden sich nur die Teilchen mit v = E B geradlinig bewegen. So eine Anordnung ist also ein Geschwindigkeitsfilter für geladene Teilchen. 5

6 7. (freiwillig) Das Ampère sche Durchflutungsgesetz s Bds = A(s) ida verbindet das Magnetfeld B mit den Stromdichten i. Bei einer zylindersymmetrischen Anordnung der Stromdichten muss das Ergebnis ebenfalls Zylindersymmetrie aufweisen, das Magnetfeld muss also kreisförmig sein und dessen Stärke darf nur vom Radius abhängen und nicht vom Ort entlang des Leiters. Damit vereinfacht sich das Wegintegral, wenn als Weg ein konzentrischer Kreis (zur Leiteranordnung) mit Radius r gewählt wird, zu Bds = B (r) 2πr Das Flächenintegral (mit obigen Kreis als Umrandung) ergibt für s (a) Innenleiter: r < R mit i = I R 2 π A i da = I r2 R 2 B (r) = Ir 2πR 2 (b) Zwischenraum: R < v < R 2 Strom nur im Innenleiter, A i da = I B (r) = I 2πr (c) Aussenleiter: R 2 < r < R 3 Strom im Innenleiter und im Teil des Aussenleiters (mit anderer Richtung) A I i da = [I R3 2 R2 2 = I R2 3 r2 R 2 3 R2 2 (r 2 R2 2 ) ] B (r) = I R3 2 R2 2 ( ) R 2 3 r r (d) Aussenraum: r > R 3 Gesamtstrom im Inneren des Kreises ist I I = 0 B (r) = 0 Das Feld steigt also linear an bis zum Radius R, fällt dann hyperbelförmig ab bis zum Radius R 2 und von da an stärker bis zu R 3, wo es Null wird. Ausserhalb des Koaxialkabels ist kein Magnetfeld, das von den Strömen im Kabel herrührt. 6