Modellieren im Mathematik- Unterricht. Dr. rer. nat. Frank Morherr Christian Lego

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1 Modellieren im Mathematik- Unterricht Dr. rer. nat. Frank Morherr Christian Lego

2 Gliederung Was ist ein Modell? Mathematisches Modell Aufgabe entwerfen Aufgabenstellung, Ziele, Probleme Modellierungskreislauf und Lehrbücher Beispiele von Modellierungsaufgaben Fermi-Aufgaben mit Beispielen

3 Gibt es einen Unterschied zwischen Problemlösen und Modellieren? Problemlösen Orientierung an einem Mathematischen Problem oder Rechenverfahren Heuristik Begrenztes Wissen wenig Zeit Werkzeug Modellieren Orientierung an einer Fragestellung mit komplexem Inhalt (außermathematisch) Mathematisierung dieses Problems (Prozessorientierung) Recherche und Datensammlung

4 Echte und unechte Anwendungen Unechte Anwendung eingekleidete Aufgaben Kein Bezug zu dem Schüler Sämtliche Überlegungen zur Mathematisierung bereits gegeben Echte Anwendung Relevanz für Schüler ( authentisch ), aber auch von allgemeinem Interesse Motivierend und Interesse weckend Offene Fragestellungen veranlassen selbstständiges Modellieren Reales Problem

5 Was ist ein Modell? lat.: modulus : Maßstab in der Architektur Reale Situation wird mithilfe von Mathematik verstanden, strukturiert oder gedeutet, im allerweitesten Sinne gelöst Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Modelle in diesem Sinne gehen über Anschauungsmodelle (Würfelmodell, Tetraedermodell, Galtonbrett als Modell der Binomialverteilung hinaus

6 DESKRIPTIV Beschreibt schon bestehendes Phänomen aus Natur und Gesellschaft Vorhersagend: Wetterbericht Erklärend: Planetenbewegung, warum Bumerang zurückkommt Beschreibend: Landkarten, Kettenlinie Modellvarianten NORMATIV Verwirklichen bestimmte Absichten in einer tatsächlichen Situation Vorschreibend: Kochrezepte, Schnittmuster für Schneiderei, Anwendung bestimmter Wahlverfahren, Festlegen von Preisen, Berechnung von Zinsen

7 Mathematisches Modell Verwendet mathematische Sprache zur Beschreibung eines Systems Erfassen wesentlicher Parameter meist natürlicher Phänomene und diese in einem berechenbaren Rahmen, z.b. eines Gleichungssystem Differentialgleichungssystem, Algorithmus o.ä. zur Vorhersage des beobachteten Systems zu nutzen Kann berechnet und wissenschaftlich beschrieben werden (analytisch, numerisch) Kann verschiedenste Dinge behandeln, z.b. sich auf physikalischer Gesetzmäßigkeiten stützen oder in den Wirtschaftswissenschaften die Natur sondern von ökonomischen / sozialen Systemen abstrahieren.

8 Modellierungskreislauf ( nach Blum) Reales Modell Mathematisches Modell Reale Situation Mathematische Resultate Realität Mathematik

9 Konstruieren / Verstehen Gegebene Situation bzw. Aufgabe verstehen Nötige Informationen aus dem Text entnehmen Vorstellungen von der Situation der Aufgabe entwickeln, z.b. im Fall der Konservendose muss verstanden und geklärt werden, was ein optimaler Metallbedarf ist. Situationsmodell betrachten, um die Aufgabe zu veranschaulichen, im Fall der Konservendose eine reale Konservendose bzw. Abbildung Probleme: Zu anspruchsvolle und verschachtelte Aufgabenstellung Signalwörter werden falsch verstanden oder suggerieren falsche Rechenoperation Begriffe, mit denen die Schüler unzureichend vertraut sind: Wer keine Zinsen kennt, hat es mit Geldanlagenmodell schwer

10 Vereinfachen / Strukturieren Ziel: Situationsmodell mathematisieren Konkrete Leitfrage trennt wichtige von unwichtigen Informationen, Struktur vereinfachen Mathematisches Wissen, Ideen, Analogien sammeln Welche Mathematik kenne ich in diesem Zusammenhang Welche Ideen habe ich Welche Analogien/Beziehungen sehe ich Wie viel Motivation habe ich/wie viel Zeit möchte ich investieren? Datenerfassung, Recherche, Messungen, eventuell auch außerhalb des Klassenraums Probleme: Schüler trauen sich nicht zu idealisieren und abzuschätzen Können wichtiges nicht von nebensächlichem trennen nicht gewohnt, auf länger Zurückliegendes zurückzugreifen

11 Das Realmodell muss mathematisiert werden Einführen mathematisch idealisierter Objekte Funktionen, Gleichungen, Bildungsvorschriften, Graphen, Formeln aufstellen Nebenbedingungen, Daten beachten Lösungsvielfalt Mathematisieren Auftretende Fehler und Probleme: Verwendung falscher bzw. unpassender Formeln Verwendung von unangemessenen Modellen, z.b. statt für die Gravitationskraft, oder Anwendung von Dreisatz, wo keiner besteht Fehler bei der Übersetzung in mathematische Operationen

12 Mathematisch arbeiten Lösung des Problems führt zu mathematischem Resultat Mathematische Werkzeuge anwenden: analytisch, geometrisch, numerisch (Computer), Je nach Vorkenntnisse der Schüler unterschiedliche Möglichkeiten der Auswertung. Beispiel. Extremum einer quadratischen Funktion über Differentialrechnung oder Scheitelpunktsform. Je nach Technologie mit Taschenrechner, grafikfähigem Taschenrechner, Excel, CAS. Verschiedene Arten der Mathematisierung: Anspruchsvoll oder weniger anspruchsvoll Probleme: Für Schüler nicht lösbar bei Wahl eines komplizierten Modells Fehler mit Einheiten, Syntaxfehler

13 Interpretieren Mathematisches Resultat wieder auf Realsituation bzw. reales Modell beziehen Einheiten mit berücksichtigen Fehler in den bisherigen Phasen der Modellierung können teilweise selbständig von Schülern während der Interpretation/Validierung aufgedeckt werden. Probleme: Mathematische Lösungen werden überinterpretiert: Schüler rechnen irgendwas und das Ergebnis wird so interpretiert, dass es zur Sachsituation passt. Schüler passen Ergebnisse so an, dass Sie zur Erwartung passen, insbesondere auch Einheiten Schüler missachten den Wertebereich des Ergebnisses Schüler rechnen richtig, beantworten aber die eigentliche Fragestellung nicht mehr

14 Validieren Überprüfen realer Resultate im Hinblick auf Realsituation, Reflexion getroffener Modellannahmen (Ziel führend) Erweiterungen/Verbesserungen (oft vernachlässigt) Vergleich verschiedener Modelle Verschiedene Perspektiven Rundungen/Approximationen überdenken Kontrolle Dimension, Größenordnung, Abhängigkeiten, Randbedingungen, Widerspruchsfreiheit, Stabilität des Modells Probleme: Mathematisches Resultat kann Allgemeingültigkeit suggerieren, die bei der Realsituation nicht angemessen ist Schließt sich veränderter Modellbildungsprozess an, kann es passieren, dass Realmodell und mathematisches Modell verbessert werden und die Realsituation gar nicht mehr adäquat modelliert wird

15 Darlegen / Erklären Ergebnisse dokumentieren und präsentieren Vorgehen erläutern Kommunikative und argumentative Kompetenzen gefördert Probleme: Schüler unterschlagen bestimmte Aspekte oder schreiben sie für andere unverständlich auf oder vernachlässigen veranschaulichende Skizzen Schülern gelingt es nicht, sich in andere Personen hineinzuversetzen Bezüglich methodischer Kompetenzen Schüler im Unterricht evaluieren lassen, ob sie Präsentationen von Mitschülern für angemessen halten

16 Fehler, die den gesamten Modellierungsprozess betreffen Schüler vergessen teilweise einzelne Phasen des Modellierungsprozesses, daher immer wieder als Ganzes in Erinnerung rufen Schüler verlieren den Überblick über ihr Handeln, wenn Sie nicht systematisch vorgehen. Auf strenge Orientierung achten. Schülern fällt Trennung zwischen Situationsmodell, Realmodell und mathematischem Modell schwer Jüngere Schüler, die Ziel aus den Augen verlieren, brechen Rechnungen frustriert ab, wenn sie zu unübersichtlich werden Schüler benötigen genügend Zeit, daher nicht Beschränkung auf eine Schulstunde Schüler versuchen mathematische Modelle universell einzusetzen, auch wenn sie nicht passen: Eierkochbeispiel

17 Ziele Bildungsstandards K3 Mathematisches Modellieren Schule soll auf Leben vorbereiten (Umgang mit Geld), Verbindung zwischen Umwelt und Mathematik schaffen Schüler zu eigenen kompetenten Einschätzungen befähigen (kritische Ergebnisanalyse) Einsicht in die Bedeutung der Mathematik als Wissenschaft aber auch als Alltagsrelevanz Motivierende und Interesse weckende Funktion Mathematisieren und Modellieren lernen Kommunikation fördern Schüler sollen aktiv werden Konstruktiver Austausch über verschiedene Lösungsideen

18 Voraussetzungen und Gestaltung Lehrer muss erfahren und flexibel sein Zielklarheit für Lehrer und Schüler Realitätsnah und Interesse weckend Offene Fragestellungen fehlende und überflüssige Angaben Projektartige Arbeitsform, Freiarbeit, Gruppenarbeit, fächerübergreifend Aufgabenstellung authentisch und differenzierbar, Anforderungsniveau und Verständlichkeit Intentionale Probleme als Lernanlass Betonung einzelner Phasen des Modellierungsprozesses

19 Allg. Probleme und Schwierigkeiten Kein Schema, fehlende Problemlösetechnik Zeitaufwendig (Vorbereitung, Unterricht) Komplexität der Realsituation Problem der Relevanz für Schüler (Themenwahl) Gezieltes und dosiertes Einsetzen Geeignete Fragestellung finden Erfahrung mit Modellierung,

20 Modellierungskreislauf und Lehrbücher modellieren in Anwendungsaufgaben

21 Modellierungskreislauf und Lehrbücher modellieren in Anwendungsaufgaben

22 Modellierungskreislauf und Lehrbücher Behandlung auf der Metaebene

23 Modellierungskreislauf und Lehrbücher

24 Beispiele für Modellierungsaufgaben

25 Beispiele für Modellierungsaufgaben Mathematisieren, indem in die gegebene Situation ein oder mehrere Kreise als geometrische Figuren einbeschrieben werden Messen des Winkels, der zur Strichspur eines Sterns gehört Berechnung der Belichtungszeit, indem der gemessene Winkel zur vollen Umdrehung und die Belichtungszeit zu einem Tag mit 24 Stunden in Beziehung gesetzt wird

26 Beispiele für Modellierungsaufgaben

27 Beispiele für Modellierungsaufgaben Teil a und b: Mathematisierung auf präformaler Ebene Teil c: Häufiger Rückgriff auf vertraute Zufallsgeräte Münze: Kopf Kurs steigt Zahl Kurs fällt Würfel: Kurs steigt/ fällt nach Augenzahl

28 Beispiele für Modellierungsaufgaben Vorgabe der Mathematisierung Schwerpunk auf Validierung

29 Beispiele für Modellierungsaufgaben Schwerpunk auf Interpretation und Validierung Möglicher Ausbau zu einem Optimierungsproblem

30 Beispiele für Modellierungsaufgaben Reizvolle Aufgabe, da Elefanten in der Mathematik selten vorkommen, allerdings mit fraglichem Realitätsbezug

31 Beispiele für Modellierungsaufgaben Aufgabe mit mehreren Herangehensweisen der Wertebeschaffung

32 Modellierung zur Optimierung Die optimale Konservendose Ein Lebensmittelhersteller möchte sein Produkt in 365 ml-dosen abpacken. Für welche Dosenform soll er sich entscheiden? Konzentration auf den Aspekt Materialverbrauch Idealisierte Betrachtung der Konservendose Einführung geeigneter Variablen Verwendung der Volumen- und Oberflächenformel für zylindrische Körper Zielfunktion:

33 Die optimale Konservendose

34 Die optimale Konservendose

35 Die optimale Konservendose Bewertung der Lösung

36 Die optimale Konservendose

37 Beispiele für Modellierungsaufgaben Aufgabe die ein falsches Modellierungsmodell suggeriert

38 Lauter-Kreise Modell der Kabeltrommel

39 Helixmodell der Kabeltrommel

40 Unzulässige Modellierung der Kabeltrommel Kabel kann so gar nicht verlaufen

41 Fermi-Aufgaben Italienischer Physiker und Nobelpreisträger Enrico Fermi ( ) Dafür bekannt, dass er direkte, eher provisorisch anmutende Lösungswege häufig den eleganten und meist aufwändigeren Methoden vorzog (Peter- Koop) War davon überzeugt, dass jeder denkende Mensch jede Frage beantworten kann Berühmteste Frage: Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?

42 Annahmen: Ungefähr 3 Millionen Leute leben in Chicago. Ungefähr zwei Personen leben durchschnittlich in einem Haushalt. Ungefähr in jedem zwanzigsten Haushalt gibt es ein Klavier, das regelmäßig gestimmt wird. Klaviere werden ungefähr einmal pro Jahr gestimmt. Es dauert etwa zwei Stunden, ein Klavier zu stimmen, inklusive Fahrzeit. Ein Klavierstimmer hat einen 8-Stunden-Tag, eine 5-Tage-Woche und arbeitet 40 Wochen pro Jahr. Daraus ergibt sich die Zahl der pro Jahr zu stimmenden Klaviere in Chicago: ( Einwohner) / (2 Personen pro Haushalt) (1 Klavier/20 Haushalte) (1 Mal Stimmen pro Klavier und Jahr) = Mal muss in Chicago pro Jahr ein Klavier gestimmt werden. Ein Klavierstimmer kann folgende Arbeit bewältigen: (40 Wochen pro Jahr) (5 Tage pro Woche) (8 Stunden pro Tag) / (2 Stunden pro Klavier) = 800 Klaviere kann ein Klavierstimmer pro Jahr stimmen. Demnach müsste es etwa 100 Klavierstimmer in Chicago geben.

43 Fermi-Aufgabe keine richtige oder falsche Lösung -> sondern: nachvollziehbares oder nichtnachvollziehbares Ergebnis kein Standardverfahren zum Lösen der Aufgaben Fermi-Aufgaben bilden somit komplexe Probleme, die für die rechnerische Beantwortung einer Frage entweder keine oder nur unzureichend numerische Angaben aufweisen. Der Bearbeiter wird gezwungen, seine eigenen Daten zu erheben, plausible Annahmen zu formulieren oder zu schätzen, um zu einer Lösung zu gelangen. Ziele: Problemlösen, Argumentieren, Kommunizieren, Darstellen Anlass, Vorwissen zu aktualisieren, Sachen zu erforschen, zu erleben und zu erkunden, Denkprozesse zu Ende führen, festzuhalten und zu überprüfen Fermiaufgaben kommen damit der Lernforschung nach vernetztem, problemorientiertem, ganzheitlichen Lernen entgegen

44 Beispiele für Fermiaufgaben

45 Beispiele für Fermiaufgaben

46 Beispiele für Fermiaufgaben Modellbildungsprozess anhand einer Fermiaufgabe:

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51 Anmerkung Ob die obige Lösung im Sinne von Fermi ist, darf allerdings bezweifelt werden. Ihm dürfte Folgendes besser gefallen: Der Durchmesser des Loches der Zahnpastatube macht schätzungsweise ein Viertel des Stirndurchmessers aus, also passt das Loch 16-mal in die Stirnseite (exakt wegen Proportionalität, und zwar ohne Verwendung von ). Die Tube ist ungefähr 20 cm lang. Multipliziert mit 16 macht dies 3,20 m. Da die Tube kein Zylinder, sondern keilförmig ist, nehmen wir grob die Hälfte und kommen auf 1,60 m (bis vielleicht 2m).

52 Literatur und Quellen Hinrichs, Gerd: Modellierung im Mathematikunterricht, Verlag Spektrum 2008 ISTRON-Schriftenreihe Materialien für einen realitätsbezogenen Unterricht, Bände 1-9, Verlag Franzbecker Claus, Heinz Jörg: Einführung in die Didaktik der Mathematik, 2. Auflage 1995, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, S. 160 ff Müller, Gerhard; Wittmann, Erich CH.: Der Mathematikunterricht in der Primarstufe, 3. Auflage, Vieweg 1984 Peter-Koop, A.: Wieviele Autos stehen in einem 3-km-Stau? Modellbildungsprozesse beim Bearbeiten von Fermi-Problemen in Kleingruppen, In: Ruwisch; Peter-Koop, (Hrsg.): Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule, Offenburg: Mildenberger Verlag, (2003) Baireuther, P.(1990): Konkreter Mathematikunterricht, Bad Salzdetfurth: Franzbecker, (1990) Krauthausen,G.; Scherer, P. Einführung in die Mathematikdidaktik, Heidelberg, Berlin, Spektrum (2001) Kratz, Henrik: Wege zu einem kompetenzorientierten Mathematikunterricht, Klett Greefrath, Gilbert: Modellieren lernen, Aulis-Verlag 2006 Leuders, T.; Maaß,K.: Modellieren-Brücken zwischen Welt und Mathematik, Praxis der Mathematik, Heft 3, 2006, S.1-7 Dr. Thies, Silke: Methodik des Mathematikunterrichts; Giessen SS

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