Lösung 10 Punkte Teil a) Auch bei Fortsetzung der Folge der Quadratzahlen liefert die zweite Differenzenfolge

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1 0 Mathematik-Olympiade Stufe (Schulstufe) Klasse 9 0 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden ev wwwmathematik-olympiadende Alle Rechte vorbehalten 00 Lösung 0 Punkte Teil a) Auch bei Fortsetzung der Folge der Quadratzahlen liefert die zweite Differenzenfolge den Wert : Teil b) Bei Kubikzahlen ergibt die dritte Differenzenfolge den konstanten Wert 6: Diese an Beispielen gewonnene Aussage lässt sich unter Verwendung von (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 beweisen Es seien n 3, (n + ) 3, (n + ) 3 und (n + 3) 3 vier beliebige aufeinander folgende Kubikzahlen Es gilt (n + ) 3 = n 3 + 3n + 3n + (n + ) 3 = n 3 + 6n + n + 8 (n + 3) 3 = n 3 + 9n + 7n + 7 Die entsprechende Differenzenbildung lautet: n 3 (n + ) 3 (n + ) 3 (n + 3) 3 3n + 3n + 3n + 9n + 7 3n + n + 9 6n + 6 6n + 6 Teil c) Betrachten wir noch einmal die ersten zwei Differenzenfolgen der Quadratzahlen a, (a + ), und (a + ), wobei wir statt (a + ) auch (a + ) + schreiben können Die ersten Differenzen sind dann a + bzw (a + ) +, die Differenz daraus ist Wir halten fest: Die zweite Differenz aus der Folge der Quadratzahlen ist konstant Für Kubikzahlen gilt (a + ) 3 = a a + 3a + Damit haben die aufeinander folgenden Kubikzahlen a 3, (a+) 3, ((a+)+) 3 und ((a+)+) 3 folgende erste Differenzen: 3a +3a+, 3 (a+) +3 (a+)+ und 3 (a+) +3 (a+)+ In der zweiten Differenzenfolge verschwindet jeweils der letzte Summand, denn ist immer Null Die mittleren Summanden 3a, 3 (a + ) und 3 (a + ) haben jeweils die konstante Differenz 3, die ihrerseits in der dritten

2 Differenzenfolge zu Null wird Damit wird die dritte Differenzenfolge nur durch zweimalige Differenzbildung der Werte 3a, 3 (a+) und 3 (a+) aus der ersten Differenzenfolge gebildet Wenn aber die zweite Differenz aus der Folge a, (a + ), (a + ) konstant war, muss die zweite Differenz aus 3a, 3 (a + ) und 3 (a + ) konstant 3 = 6 sein Wir halten fest: Die dritte Differenz aus der Folge der dritten Potenzen ist konstant 6 = 3 = 3! Für vierte Potenzen gilt (a + ) 4 = a a 3 + 6a + 4a + Die Differenzen zwischen den aufeinander folgenden vierten Potenzen sind damit 4a 3 + 6a + 4a +, 4 (a + ) (a + ) + 4 (a + ) +, 4 (a + ) (a + ) + 4 (a + ) + und 4 (a + 3) (a + 3) + 4 (a + 3) + Bei mehrfacher Differenzenbildung verschwinden die letzten Summanden, maßgebend ist die dritte Differenz der Teilfolge 4a 3, 4 (a + ) 3, 4 (a + ) 3, 4 (a + 3) 3 Da wir hier das Vierfache von Kubikzahlen haben, hat die vierte Differenzenfolge der vierten Potenzen den konstanten Wert 4 = 4 3 = 4! Eine Fortsetzung dieser Betrachtungen mit (a + ) = a + a 4 + 0a 3 + 0a + a +, ergibt, dass die fünfte Differenzenfolge der fünften Potenzen den konstanten Wert 0 = 4 3 =! hat Die bisherigen Ergebnisse lassen auf folgende Vermutung schließen: Bei zehnten Potenzen tritt erstmals bei der zehnten Differenzenfolge ein konstanter Wert auf Dieser Wert ist 0! = Diese Vermutung kann u a mittels händischer Rechnung überprüft werden Potenzen der Form (a + ) 0 können durch fortlaufendes Ausmultiplizieren (a + )(a + )(a + ) (a + ) oder mit dem Binomischen Satz (siehe auch Pascalsches Dreieck) entwickelt werden Hinweis: Die Aufgabenstellung zu Teil c) fordert eine Vorhersage, es ist nicht verlangt, den exakten Nachweis zu führen 00 Lösung 0 Punkte (Der Schnittpunkt I der Innenwinkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt und liegt deshalb im Inneren des Dreiecks ABC) Die Winkelgrößen von <) CBA und <) ACB seien mit β und γ bezeichnet Aus der Innenwinkelsumme in den Dreiecken BCI und ABC ergibt sich δ = <) BIC = 80 (β + γ) = 80 (80 α) = 90 + α Die Größe des Winkels hängt also in der Tat nicht von der Lage der Punkte B und C auf den Schenkeln ab A α I δ B β Abbildung L 00 γ C

3 003 Lösung 0 Punkte Die ausgedachte vierstellige Zahl bestehe aus der Ziffernfolge [abcd], daraus wird die achtstellige Zahl [abcdabcd] Nun gilt [abcdabcd] = 0000 [abcd] + [abcd] = 000 [abcd] Damit ist jede Zahl der vorgegeben Form durch 000 teilbar Teil a) ist Es lässt sich zeigen, dass 000 der größte gemeinsame Teiler aller derartigen Zahlen Der gesuchte größte gemeinsame Teiler muss insbesondere auch ein gemeinsamer Teiler der zwei kleinsten so gebildeten achtstelligen Zahlen sein Diese kleinsten Zahlen sind = und 0000 = Da die Faktoren 000 und 00 teilerfremd sind, ist 000 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen und 0000 Deshalb kann der größte gemeinsame Teiler aller derartigen achtstelligen Zahlen nur die Zahl 000 sein Teil b) Jeder gemeinsame Teiler ist auch ein Teiler des größten gemeinsamen Teilers Zerlegt man den größten gemeinsamen Teiler 000 in Primfaktoren, ergibt sich 000 = Sowohl 73 als auch 37 sind Primzahlen und somit nicht weiter in kleinere (von verschiedene) Faktoren zerlegbar Damit ist 73 der kleinste von verschiedene gemeinsame Teiler aller betrachteten achtstelligen Zahlen 004 Lösung 0 Punkte Zunächst sind alle Primzahlen p zu bestimmen, für die p + ebenfalls prim ist Durch systematisches Probieren mit kleinen Primzahlen stellt man fest, dass für p 3 der Term p + größer als 3 und durch 3 teilbar und damit keine Primzahl ist Zum Nachweis dieser Behauptung betrachte man die Gleichung p + = p + 3 = (p + )(p ) + 3 Da unter den drei aufeinander folgenden Zahlen p, p und p + genau eine durch 3 teilbar sein muss, ist für jede Primzahl p 3 genau einer der Faktoren p + und p durch 3 teilbar Damit ist der Term (p + )(p ) + 3 auch durch 3 teilbar und offenbar echt größer als 3 Damit ist gezeigt, dass p + nur für p = 3 eine Primzahl sein kann In diesem Fall ist p + = 3 + = tatsächlich prim Gesucht sind nun alle natürlichen Zahlen n mit n = 4k+ für natürliche Zahlen k, für die 3 n + eine Primzahl ist Durch erneutes Probieren gelangt man zu der Vermutung, dass dieser Term für alle betrachteten n ein Vielfaches von ist, wobei für n > Zahlen größer als entstehen, die damit keine Primzahlen sind Zum Nachweis dieser Vermutung formen wir folgendermaßen um: 3 4k+ + = (3 4 ) k 3 + = 3 8 k + Mit 8 endet auch die Zahl 8 k auf ; daher endet 3 8 k auf 3, womit 3 8 k + auf endet Damit ist gezeigt, dass 3 4k+ + ein Vielfaches von ist Für n = 4k + > ist 3 n + > 3 + = als Vielfaches von keine Primzahl Nur für n = ergibt sich mit 3 n + = eine Primzahl 3

4 00 Lösung 0 Punkte Wir führen die folgenden Bezeichnungen ein: c = AB, c = AD, c = DB, siehe Abbildung L 00 a Da D ein innerer Punkt der Strecke AB ist, gilt c = c + c Des Weiteren sei h die Länge der Höhe aus C im Dreieck ABC und h der Abstand der Parallelen EF zur Geraden AB Zudem sei h der Abstand des Punktes C zur Geraden EF Da E ein innerer Punkt der Strecke BC ist, folgt h = h + h Die Flächeninhaltsformel für Dreiecke liefert v = c h w = c h x = EF h y = EF h f = c h Aus (4) und () folgt v + w = (c + c ) h = c h Zusammen mit (8) und Eigenschaft () ergibt sich c h = v + w () = f (8) = c h, woraus h = h und h = 3 h folgt Zusammen mit (6) und (7) folgt x y = EF h EF h = h h = Also gilt x = 3 y und daher wissen wir f = v + w + x + y () = f + x + y = f + 3 y + y, also 3 f = y und somit y = 6 f und x = 3 y = 9 f Aus Eigenschaft (3) folgt mit (9) v w (3) = x y (9) = 3, also v = 3 w und damit f () = v + w = 3 w + w = w, also w = 4 f und v = 3 w = 6 f A F C c D c c Abbildung L 00 a 3 h h = 3 (9) E h h B h (4) () (6) (7) (8) 4

5 Lösungsvariante: Mit den oben eingeführten Bezeichnungen gilt: Wie Dreieck ADF hat auch das Dreieck ADE den Flächeninhalt v (gleiche Grundseite, gemeinsame Höhe) Damit hat das Dreieck ABE den Inhalt v + w = f Da die Dreiecke ABC und ABE eine gemeinsame Grundseite besitzen, folgt h = h, damit ergibt sich h = 3 h Die Dreiecke F EC c D c und ABC sind wegen EF AB ähnlich, der A c B Ähnlichkeitsfaktor ist h : h = 3 Damit gilt Abbildung L 00 b x = ( ) 3 f = 9 f Mit v + w = f erhält man y = f 9 f f = 6 f Das Verhältnis x : y ist also 9 : 6 = 3 :, damit gilt auch v : w = 3 : = 6 : 4 Wegen v + w = f = 0 f muss v = 6 f und w = 4 f gelten F C E h h h 006 Lösung 0 Punkte Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge P bezeichnen wir mit P Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist R, wobei S die Menge aller Tripel (a; b; c) mit a, b, c M und a < b < c S ist und R die Teilmenge von S mit a + b + c = 80 Die Zahl S lässt sich folgendermaßen bestimmen: Für die Auswahl der ersten Zahl hat man 79 Möglichkeiten, für die der zweiten 78 und für die der dritten noch 77 Möglichkeiten; insgesamt also Möglichkeiten Allerdings ergeben jeweils 6 dieser Möglichkeiten dasselbe Tripel (a; b; c) mit a < b < c Somit ist S = = Kurz: Es gilt S = ( ) 79 3 = = R bestimmen wir wie folgt: Für jedes mögliche a untersuchen wir, welche Möglichkeiten es für die Belegung von b gibt Für jedes mögliche a ist c durch die Wahl einer zulässigen Zahl b eindeutig bestimmt Es ergibt sich folgende Tabelle: a b c Anzahl Es fällt auf, dass für ungerade a die Anzahl zum nachfolgenden ungeraden a um genau 3

6 abnimmt Ebenso verhält es sich für gerade a Daraus kann man anschaulich entnehmen: R = ( ) + ( ) = (88 + ) + (8 + ) + + (7 + 83) + (4 + 86) + = = 6 Bei der exakten Herleitung betrachten wir im Folgenden stets Tripel (a; b; c) mit a, b, c M Aus a < b < c und a + b + c = 80 folgt sofort: 3 a < 80, also a 9, a + b, b + c = 80 a und damit a + b < 80 a und schließlich c = 80 a b Gilt umgekehrt a 9, a + b < 80 a und c = 80 a b, dann folgt c > 80 a und damit a < b < c und a + b + c = 80 Damit ist bewiesen: Ein Tripel (a; b; c) ist genau dann Element von R, wenn a 9, a + b < 80 a und c = 80 a b gilt Für jedes ungerade a 9 gibt es deshalb für b genau die Möglichkeiten a +,, 90 a + In diesem Fall erhält man also (90 a + ) a = 9 3 (a + ) mögliche Tripel Für ungerade a ergeben sich also insgesamt ( 9 3 ( + ) ) + ( 9 3 (3 + )) + + ( 9 3 (9 + )) Tripel; dies lässt sich zusammenfassen zu ( ) = ( ) = = 33 Für jedes gerade a 8 gibt es für b genau die Möglichkeiten a +,, 89 a, man erhält also (89 a ) a = 89 3 a mögliche Tripel Für gerade a erhält man also insgesamt ( 89 3 ) + ( ) + + ( ) Tripel; dies lässt sich zusammenfassen zu ( ) = ( ) = = 76 Damit ergibt sich R = = 6 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt R S = ,008 6

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