Inhaltsverzeichnis. Arithmetische Untersuchungen. Seite
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- Cathrin Böhm
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1 Inhaltsverzeichnis. Arithmetische Untersuchungen. Erster Abschnitt Von der Congruenz der Zahlen im Allgemeinen. 1 Congruente Zahlen, Modulu, Reste und Nichtreste. Artikel 1 3. Kleinste Reste. Artikel 4. Elementare Sätxe über die Gongruemen. Artikel Gewisse Anwendungen. Artikel 12. Zweiter Abschnitt Von den Cougrucnzcn ersten Grades 6 Vorbereitende Sätze über Primzahlen, Factoren u. s. w. Artikel Auflösung der Congruenxen ersten Grades. Artikel Die Zahl zu finden, welche gegebenen Resten nach gegebenen Moduln congruent ist. Artikel Lineare Congruenzen mit mehreren Unbekannten. Artikel Verschiedene Sätze. Artikel Dritter Abschnitt. Von den Potenzresten 30 Die Reste der Glieder einer mit der Einheit anfangenden geometrischen Reihe bilden eine periodische Reihe. Artikel Es werden zunächst Moduln, welche Primzahlen sind, betrachtet. Artikel Ist der Modul gleich p, so ist die Anzahl der Glieder in der Periode ein Teiler der Kahl p l. Artikel 49. Der Fermat'sche Satz. Artikel 50 u. 51. Ober die Anzahl der Zahlen, denen Perioden entsprechen, in welchen die Anzahl der Glieder ein gegebener Teiler von p 1 ist. Artikel РпшШте Wurzeln, Grundiahlen, Indices. Artikel 57. Algorithmus der Indices. Artikel 58 u. 59. Ober die Wurzeln der Congruenz x n = A. Artikel Zusammenhang zwischen den Indices in verschiedenen Systemen. Artikel Besonderen Zwecken dienende Grundzahlen. Artikel 72. Methode zur Bestimmung der primitiven Wurzeln. Artikel 73 u. 74. Verschiedene Sätze über Perioden und primitive Wurzeln. Artikel ber Moduln, welche Potenzen Ton Primzahlen sind. Artikel Moduln, welche Potenzen von 2 sind. Artikel 90 n. 91. Aus mehreren Primzahlen zusammengesetzte Moduln. Artikel 92 u. 93. Vierter Abschnitt V o n den Congruenzen zweiten Grades Quadratische Reste und Nichtreste. Artikel 94 u. 95. Sooft der Modul eine Primzahl ist, ist die Anzahl der Reste, welche kleiner als derselbe sind, gleich der Anzahl der Nichtreste. Artikel 96 u. 97. Die Antwort auf die Frage, ob eine zusammengesetzte Zahl Rest oder Niehtrest einer Bibliografische Informationen digitalisiert durch
2 X Inhaltsverzeichnis. gegebenen Primzahl sei, hängt von der Natur der Factoren ab. Artikel 98 u. 99. Über Moduln, welche zusammengesetzte Zahlen sind. Artikel Allgemeines Kriterium dafür, dass eine gegebene Zahl Rest oder Nichtrest einer gegebenen Primzahl ist. Artikel 106. Untersuchungen über die Primzahlen, deren Reste oder Nichtreste gegebene Zahlen sind. Artikel Der Rest 1. Artikel Reste + 2 und 2. Artikel Reste + 3 und 3. Artikel Reste +5 und 5. Artikel Ober ± 7. Artikel 124. Vorbereituug auf die allgemeine Untersuchung. Artikel Durch Induclion wird ein allgemeiner (fundamentaler) Satz begründet und daraus werden Schlüsse gezogen. Artikel Strenger Beweis des Fundamentalsatzes. Artikel Analoges Verfahren für den Beweis des Satzes im Artikel 114. Artikel 145. Lösung des allgemeinen Problems. Artikel 146. Ober die linearen Formen, welche sämtliche Primzahlen enthalten, von denen eine beliebige gegebene Zahl Rest oder Nichtrest ist. Artikel Über die Arbeiten anderer bezüglich dieser Untersuchungen. Artikel 151. Ober die nichtreinen Congruenzen zweiten G railes. Artikel 152. Fünfter Abschnitt. Von den Formen und unbestimmten Gleichungen zweiten Grades 111 Gegenstand der Untersuchung; Definition der Formen und Bezeichnung. Artikel 153. Darstellung der Zahlen; die Determinante. Artikel 154. Die Werte des Ausdrucks y** 3 ac (mod. M), zu welchen die Darstellung der Zahl M durch die Form (a, b, c) gehört. Artikel 155 u Form, welche eine andere enthält oder unter einer anderen enthalten ist; Transformation, eigentliche und uneigentliche. Artikel 157. Äquivalenz, eigentliche und uneigentliche. Artikel 158. Entgegengesetzte Formen. Artikel 159. Benachbarte Formen. Artikel 160. Gemeiuschaftliche Teiler der Coëfficiënten der Formen. Artikel 161. Zusammenhang zwischen sämtlichen gleichartigen Transformationen 'einer gegebenen Form in eine gegebene Form. Artikel 162. Ambige Formen. Artikel 163. Satz betreffend den Fall, wo eine Form unter einer andern zugleich eigentlich und uneigentlich enthalten ist. Artikel 164 u Allgemeines über die Darstellungen der Zahlen durch Formen und deren Zusammenhang mit den Transformationen. Artikel Ober die Formen mit negativer Determinante. Artikel Specielle Anwendungen auf die Zerlegung der Zahlen in zwei Quadrate, in ein einfaches und ein doppeltes und in ein einfaches und ein dreifaches Quadrat. Artikel 182. Von den Formen mit positiver nichtquadratischer Determinante. Artikel Von den Formen mit quadratischer Determinante. Artikel Formen, welche unter andern enthalten und trotzdem diesen nicht äquivalent sind. Artikel 213 u Formen mit der Determinante 0. Artikel 215. Allgemeine Auflösung aller unbestimmten Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten durch ganze Zahlen. Artikel Geschichtliche Bemerkungen. Artikel 222. Weitere Untercudrangen über die Formen. Artikel Einteilung der Formen mit gegebener
3 Inhaltsverzeiclims. XI Determinante in Klassen. Artikel Einteilung der Klasseu in Ordnungen. Artikel 226 u Teilung der Ordnungen in Geschlechter. Artikel Von der Composition der Formen. Artikel Composition der Ordnungen. Artikel 245. Composition der Geschlechter. Artikel Composition der Klassen. Artikel Für eine gegebene Determinante sind in den einzelnen Geschlechtern derselben Ordnung gleichviele Klassen enthalten. Artikel 252. Die Anzahlen der in den einzelnen Geschlechtern verschiedener Ordnungen enthaltenen Klassen werden verglichen. Artikel Über die Anzahl der ambigen Klassen. Artikel Sicher der Hälfte aller für eine gegebene Determinante möglichen Charactero können eigentlich primitive (bei negativer Determinante, positive) Geschlechter nicht entsprechen. Artikel 261. Zweiter Beweis des Fundamcntalsatzes und der übrigen auf die Resto 1, +2, 2 sich beziehenden Sätze. Artikel 262. Es wird diejenige Hälfte der Charactere, denen Geschlechter nicht entsprechen können, näher bestimmt. Artikel 263 u Besondere Methode, Primzahlen in zwei Quadrate zu zerlegen. Artikel 265. Digression, enthaltend eine Untersuchung über ternare Formen. Artikel Gewisse Anwendungen auf die Theorie der binaren Formen. Artikel Über die Ermittlung der Form, aus deren Duplikation eine gegebene binäre Form des Hauptgeschlechts entsteht. Artikel 286. Allen Characteren mit Ausnahme derjenigen, welche in den Artikeln 263,264 als unmöglich gefunden worden sind, entsprechen wirklich Geschlechter. Artikel 287. Theorie der Zerlegung sowohl der Zahlen wie der binären Formen in drei Quadrate. Artikel Beweis der Fermat'schen Sätze, dass jede ganze Zahl in drei Trigonalzablen oder in vier Quadrate zerlegt werden kann. Artikel 293. Auflösung der Gleichung «w 2 + btf 4- cz* = 0. Artikel 294 u Über die Methode, nach welcher Legendre das Fundamentaltheorem behandelt hat. Artikel Darstellung der Null durch beliebige ternäre Formen. Artikel 299. Allgemeine Lösung der unbestimmten Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten durch rationale Grossen. Artikel 300. Ober die mittlere Anzahl der Geschlechter. Artikel 301. Über die mittlere Anzahl der Klassen. Artikel Eigentümlicher Algorithmus der eigentlich primitiven Klassen; reguläre und irreguläre Determinanten u. s. w. Artikel Sechster Abschnitt. Verschiedene Anwendungen der vorhergehenden Untersuchungen Zerlegung der Brüche in einfachere. Artikel Verwandlung der gemeinen Brüche in Decimalbrüche. Artikel Auflösung der Congruenz аг*=л durch die Methode der Ausschliessung. Artikel Lösung der unbestimmten Gleichung mx i + ny t = A nach der Ausschliessungsmethode. Artikel Andere Methode, die Congruenz X» = J1 ZU lösen für den Fall, in welchem A negativ ist. Artikel 327 u Zwei Methoden, zusammengesetzte Zahlen von primen zu unterscheiden und ihre Factoren zu ermitteln. Artikel
4 XII Inhaltsverzeichnis. Siebenter Abschnitt, über diejenigen Gleichungen, von denen die Teilung des Kreises abhängt 397 Die Untersuchung wird auf den einfachen Fall zurückgeführt, in welchem die Anzahl der Teile, in welche der Kreis geteilt werden soll, eine Primzahl ist. Artikel 336. Gleichungen für die trigonometrischen Functionen der Bogen, welche ein Teil oder Teile der ganzen Peripherie sind; Reduction der trigonometrischen Functionen auf die Wurzeln der Gleichung x n 1=0. Artikel 337 u Theorie der Wurzeln der Gleichung x n 1=0 (wo vorausgesetzt wird, dass n eine Primzahl sei). Lässt man die Wurzel 1 weg, so sind die übrigen (Q) enthalten in der Gleichung X=x n x n ~ 2 -\ b*+l = O. Artikel 339 u Die Function X lässt sich nicht in niedrigere Factoren zerlegen, in denen sämtliche Coëfficiënten rational sind. Artikel 341. Das Ziel der folgenden Untersuchungen wird angegeben. Artikel 312. Sämtliche Wurzeln ß werden in gewisse Klassen (Perioden) eingeteilt. Artikel 343. Verschiedene Sätze über die Perioden der Wurzeln Q. Artikel Auf die vorstehenden Untersuchungen wird die Lösung der Gleichung X 0 gegründet. Artikel Weitere Untersuchungen über die Perioden der Wurzeln. Die Aggregate, in denen die Anzahl der Glieder gerade ist, sind reelle Grossen. Artikel 355. Über die Gleichung, durch welche die Verteilung der Wurzeln Q in zwei Perioden bestimmt wird. Artikel 356. Beweis eines im vierten Abschnitt erwähnten Satzes. Artikel 357. Über die Gleichung für dio Verteilung der Wurzeln Й in drei Perioden. Artikel 358. Zurückführung der Gleichungen, durch welche die Wurzeln Q gefunden werden, auf reine Gleichungen. Artikel 359 u Anwendung der vorstehenden Untersuchungen auf die trigonometrischen Functionen. Methode, die Winkel, welchen die einzelnen Wurzeln entsprechen, zu unterscheiden. Artikel 361. Die Tangenten, Cotangenten, Sekanten und Cosekanten werden aus den Sinus und Cosinus ohne Division bestimmt. Artikel 362. Methode, die Gleichungen für die trigonometrischen Functionen allmählig zu erniedrigen. Artikel 363 u Die Teilungen des Kreises, welche man mittelst quadratischer Gleichungen oder durch geometrische Constructionen ausführen kann. Artikel 365 u Z n s ä t z e Tafeln.. V '.' ; Abhandlungen. Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes Summierung gewisser Beinen von besonderer Art Heue Beweise und Erweiterungen des Fundamentalsatzes in der lehre von den quadratischen Besten Theorie der biquadratischen Beste. Erste Abhandlung ' Theorie der biquadratischen Beste. Zweite Abhandlung... ". 534
5 Einige Untersuchungen aus dem handschriftlichen Nachlasse von Gauss. xm Die Lehre von den Besten 589 I. Lösung der Congruenz X' n 1 = П. Allgemeine Untersuchungen über die Congruenzen.... G02 Weitere Entwicklung der Untersuchungen über die reinen Gleichungen G3O Beweis einiger Sätze über die Perioden der Klassen der binaren Formen zweiten Grades C53 Über den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Klassen, in welche die binären Formen zweiten Grades zerfallen, und ihrer Determinante G55 Eingehendere Betrachtung gewisser auf die Kreisteilung bezüglicher Untersuchungen 678 Bemerkungen 683
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