Mathematik und Statistik für Raumplaner

Transkript

1 Mathematik und Statistik für Raumplaner Funktionen Wintersemester 2008/2009 Leiter und Autor: A. Prof. Dr. Wolfgang Feilmayr Fachbereich Stadt- und Regionalforschung Technische Universität Wien 1

2 Grundbegriffe und Definitionen Eine Zuordnung f, die jeder Zahl x M eindeutig eine Zahl y ε N zuordnet, heißt Funktion y = f (x) y N; x M f: Funktionsvorschrift, Funktionsgleichung, Wirkungsfläche, Response Surface x: unabhängige, exogene, independent Variable (variable) y: abhängige, endogene, dependent Variable (variable) M: Definitionsbereich IM maximaler Definitionsbereich N: Wertebereich Gf = {P(x,y) y = f(x) x M} heißt Graph der Funktion f 2

3 Beispiele: y = f(x) = 2x + 4 IM1 = {x -2 x 3} R IM2 = { x -2 x 3} Ζ Man sieht, dass die Angabe des Definitionsbereichs von großer Bedeutung ist; unterschiedliche Definitionsbereiche führen im Allgemeinen auch zu unterschiedlichen Funktionen und damit zu unterschiedlichen Funktionsgraphen. 3

4 Zweistellige Funktionen (dreistellige Relationen) sind als Funktionsgebirge im R 3 darstellbar. Beispiel: y = x1^3-4*x

5 Typen von Funktionen Folgende Grundtypen von Funktionen können unterschieden werden: Potenzfunktionen Ihre Funktionsgleichung hat die allgemeine Formel y = x n, n N, mit IM = R y=x^ Reihe1 Reihe ,5 0, Spezialfälle: n = 0: y = x 0 y = 1 n = 1: y = x n = -n: y = x -n y = 1/x n 5

6 Hyperbelfunktionen Ihre Funktionsgleichung hat die allgemeine Form y = x -n, n N, mit IM = R\{0} 2,5 2 y=1/x 1,5 1 0,5 0-0,5-1 -1,5-2 -2, ,5 0, Reihe1 Reihe2 6

7 Wurzelfunktionen Ihre Funktionsgleichung hat die allgemeine Form y = x (1/n), n N, mit IM = R + 0 für gerades n und IM = R für ungerades N 2 1,5 y=x^(1/3) 1 0,5 0-0, ,5 0, Reihe1 Reihe2-1 -1,5-2 7

8 Winkelfunktionen Die beiden grundlegenden Funktionen lauten y = sin (x) und y = cos (x) mit IM = R tan (x) = sin (x) / cos (x) 1,5 1 y=cos(x) 0,5 0-0, Reihe1-1 -1,5 8

9 Arcusfunktionen Sind die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen 2 1,5 y=arc tan x 1 0,5 0-0, ,5 0, Reihe1 Reihe2-1 -1,5-2 9

10 Exponentialfunktionen Ihre Gleichungen sind von der Form y = a x, a > 1, x R Spezialfall: y = e x e = Eulersche Zahl y=2^x Reihe1 Reihe

11 Logarithmusfunktionen Ihre Gleichungen sind von der Form y = log a (x), a > 1, x R a... Basis übliche Werte für a: 10, 2, e e = Eulersche Zahl y = log 10 (1) = 0 weil: 10 0 = 1 y = log e (x) wird üblicherweise als y = ln (x), als der natürliche Logarithmus bezeichnet: y = ln(1) = 0 weil: e 0 = 1 1,8 1,6 y=ln(x) 1,4 1,2 1 0,8 Reihe1 Reihe2 0,6 0,4 0,

12 Durch Verknüpfung von zwei Funktionen mit Hilfe der üblichen arithmetischen Rechenoperationen entstehen neue Funktionen: Seien beispielsweise f und g zwei reellwertige Funktionen, dann ist die Summe (f + g) (x) definiert als f(x) + g(x); x D f D g Eine ganzrationale Funktion entsteht als Summe, Differenz oder Produkt von Potenzfunktionen. Man nennt dies eine Linearkombination von Funktionstermen oder Polynom. Den höchsten Exponenten bezeichnet man als Grad des Polynoms oder der Funktion. Entsprechend ist eine gebrochen rationale Funktion ein Quotient von ganzrationalen Funktionen. 1. Symmetrien Eigenschaften von Funktionen Hier wird unterschieden zwischen Punktsymmetrie zum Ursprung sowie Achsensymmetrie zur y- Achse. Beispielsweise ist die Hyperbelfunktion y = 1/x punktsymmetrisch zum Ursprung, während die Potenzfunktion y =x 2 symmetrisch zur y-achse verläuft. Eine Funktion heißt gerade, wenn sie symmetrisch zur y-achse verläuft. Dann gilt: f(x) = f(-x). Für ganzrationale Funktionen und Hyperbelfunktionen führt das 12

13 zu dem einfachen Kriterium: Sie sind gerade, wenn alle Exponenten gerade sind. Null gilt dabei als gerade Zahl. Eine Funktion heißt ungerade, wenn sie punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft. Dann gilt: f(x) = -f(-x). Für ganz ganzrationale Funktionen und Hyperbelfunktionen ergibt sich daraus: sie sind ungerade, wenn nur ungerade Exponenten vorkommen. 2. Monotonie Eine Funktion f nennt man monoton steigend auf einem Intervall I, wenn für alle x 1, x 2 I gilt: aus x 1 < x 2 folgt immer f (x 1 ) f(x 2 ) Eine Funktion f nennt man streng monoton steigend auf einem Intervall I, wenn für alle x 1, x 2 I gilt: aus x 1 < x 2 folgt immer f (x 1 ) < f(x 2 ) Eine Funktion f nennt man monoton fallend auf einem Intervall I, wenn für alle x 1, x 2 I gilt: aus x 1 < x 2 folgt immer f (x 1 ) f(x 2 ) Eine Funktion f nennt man streng monoton fallend auf einem Intervall I, wenn für alle x 1, x 2 I gilt: aus x 1 < x 2 folgt immer f (x 1 ) > f(x 2 ) 3. Existenz der Umkehrfunktion Die Umkehrrelation R -1 einer Funktion f ist genau dann eine Funktion, wenn die Abbildung f: x y auch in der 13

14 anderen Richtung f -1 : y x eindeutig ist; f nennt man in diesem Fall eine eineindeutige Abbildung. Eine Funktion f hat genau dann eine Umkehrfunktion f -1, wenn für alle x 1, x 2 D gilt: x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) oder f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 Beispiel: y = 2x - 5 Vertauschen von x und y: x = 2y - 5 2y = x + 5 y = 0,5x + 2,5 Weitere wichtige Funktionstypen Die Logistische Funktion y = b / (1 + ce -ax ) + d a..... Steigung der Kurve d..... unterer Grenzwert b+d... oberer Grenzwert c..... Lageparameter (c=1: symmetrischer Verlauf) 14

15 6 4 y=10/(1+exp(-x)) Reihe Lineare Funktionen /Geraden Viele Zusammenhänge in der Raumplanung und in der Regionalwissenschaft werden durch lineare Funktionen beschrieben: y = a + bx Eine einstellige lineare Funktion ist im R 2 als Gerade darstellbar: 15

16 b: Steigung der Geraden a: Ordinatenabstand (Intercept) Steigung = Gegenkathete/Ankathete = (y 2 -y 1 ) / (x 2 -x 1 ) es gilt: y 1 = a + bx 1 y 2 = a + bx 2 y 2 - y 1 = a + bx 2 - a - bx 1 = b(x 2 - x 1 ) also: Steigung = b(x 2 - x 1 ) / (x 2 - x 1 ) = b 16

17 Schnittpunkt von Geraden y 1 = a 1 + b 1 x 1 y 2 = a 2 + b 2 x 2 für den Schnittpunkt (x,y) muss gelten: x = x 1 = x 2 und y = y 1 = y 2 also: a 1 + b 1 x = a 2 + b 2 x a 1 - a 2 = x(b 2 - b 1 ) x = (a 1 - a 2 ) / (b 2 - b 1 ) und y = (a 1 b 2 - b 1 a 2 ) / (b 2 - b 1 ) Beispiel: y 1 = 4 + 2x 1 y 2 = 3 + 4x 2 Lösung: x = 0.5; y = 5 Anmerkung: Die graphische Darstellung von Funktionen mit Hilfe von EXCEL wird in der Lehrveranstaltung "EDV für Raumplaner" vermittelt, ist aber auch Prüfungsgegenstand der Lehrveranstaltung "Mathematik und Statistik für Raumplaner". 17

18 Nullstellen von Funktionen Problemlos lassen sich Nullstellen (Schnittpunkte der Funktion mit der x-achse) nur bei linearen Funktionen betimmen. Bei quadratischen Funktionen y = ax 2 + bx + c = 0 lauten die Lösungen für a 0: b b2 x 1,2 = ± 2a 4a2 Der Ausdruck unter der Wurzel wird auch als Diskriminante bezeichnet. für a = 0 existieren verschiedene Sonderfälle: b 0: lineare Gleichung b = 0, c 0: keine Lösung b = 0, c = 0: jede Zahl ist Lösung Beispiel: y = 3x 2-6x - 9 = 0 Lösungen: x 1 = -1, x 2 = 3; c a 18

19 Funktionen in der Raumplanung, Regionalwissenschaft und Ökonomie 1. Funktionen zur Darstellung der Lagegunst: das Potentialmodell N POT i = A dij j e j= 1 * α POT i... Potential (Lagegunst des Standortes i) N... Zahl der Standorte (in einer Region) A j... Attraktivität des Standortes j d ij... Entfernung zwischen den Standorten i und j α... Parameter der Distanzsensibilität 2. Funktionen zur Darstellung von Interaktionen: Das Gravitationsmodell INT ij = g * A i* A j* d ij -α INT ij... Interaktionen (Austauschbeziehungen zwischen i und j g... Gravitationskonstante A i... Masse (Attraktivität) von i A j... Masse (Attraktivität) von j d ij... Entfernung zwischen den Standorten i und j α... Parameter der Distanzsensibilität 19

20 Preis-Absatz-Funktion aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Wechseln zu: Navigation, Suche Die Preis-Absatz-Funktion (PAF), Nachfragefunktion oder Preis-Absatz-Kurve (PAK) ist ein Modell aus der Betriebswirtschaftslehre und der Mikroökonomie. Die Funktion zeigt, wie sich die Marktnachfrage nach einem Gut in Abhängigkeit vom Preis verändert. Ihr Hauptzweck besteht darin, den gewinnmaximalen Preis zu ermitteln. Je nach Marktform lassen sich unterschiedliche Ausprägungen der Preis-Absatz-Funktion unterscheiden. Zur Vereinfachung wird in der Regel eine lineare Preis-Absatz-Funktion angenommen. Anbietende Unternehmen kennen die Preis-Absatz-Funktion eines Marktes in der Realität oft nicht - sie wissen also nicht genau, wie viele Einheiten sie zu welchem Preis am Markt absetzen können. Ein empirischer Weg eine PAF zu erstellen ist die Conjoint-Analyse. Grafische Darstellung [Bearbeiten] Typischerweise wird bei der grafischen Darstellung der PAF die Menge auf der x-achse und der Preis auf der y-achse abgetragen. Der Schnittpunkt der PAF mit der y-achse stellt den Prohibitivpreis dar, d. h. den Preis, ab dem das Gut nicht mehr nachgefragt wird. Der Schnittpunkt der PAF mit der x-achse kennzeichnet die Sättigungsmenge, d. h. die maximal absetzbare Menge, die bei einem Preis von Null erreicht wird. Errechnet wird dies mit der (Nullstelle). F(x) = 0 = mx + n PAF im homogenen Polypol [Bearbeiten] Im homogenen Polypol geht man von einer mit zunehmendem Preis abnehmenden Nachfrage aus. Da für den einzelnen Anbieter der Preis als vom Markt gegeben und daher als unveränderlich angenommen werden muss, ist er konstant. Die Konstanz wird durch das Vorhandensein des vollkommenen Marktes begründet. Der einzelne Anbieter hat keinen Einfluss auf den Preis des von ihm erstellten Gutes, da die Zahl der Anbieter so groß und sein Verkaufsvolumen so gering ist, dass er den Marktpreis durch seine Aktionen nicht verändern kann. Die PAF verläuft für den Einzelanbieter daher parallel zur Mengenachse - die Nachfrage ist also vollkommen preiselastisch. 20

21 Markt bei Vollkommener Konkurrenz lineare PAF für den Gesamtmarkt vorgegebener Preis für den Einzelanbieter PAF im Monopol [Bearbeiten] lineare PAF für den Monopolisten Im Gegensatz zum Unternehmen im vollkommenen Wettbewerb, das für sein Produkt einen festen Marktpreis akzeptieren muss, kann der Monopolist den Verkaufspreis festsetzen. Der Käufer reagiert dann mit seiner Nachfrage. Die Marktlösung ergibt sich über den Cournotschen Punkt. PAF im Oligopol [Bearbeiten] einfach geknickte PAF Im Oligopol-Fall geht man von einer einfach geknickten Preis-Absatz-Funktion aus. 21

22 PAF im heterogenen Polypol - Gutenberg-Funktion [Bearbeiten] doppelt geknickte PAF Im Falle eines heterogenen Polypols geht man von einer doppelt geknickten Preis-Absatz- Funktion (Gutenberg'sche Preis-Absatz-Funktion oder Gutenberg-Funktion nach Erich Gutenberg) aus. Dies ist zurückzuführen auf den vorliegenden unvollkommenen Markt, durch den die PAF eine besondere Marktverfassung hat. Sie ist u. a. typisch im Falle der monopolistischen Konkurrenz. Sie hat drei Abschnitte: Der obere Bereich ist der Bereich des eigenen akquisitorischen Potenzials (auch monopolistischer Bereich genannt), in dem sich der Anbieter wie ein Monopolist verhalten kann. Im unteren Bereich wirkt das akquisitorische Potenzial der Konkurrenz.: Von Übungsbeispiele Funktionen 1. Gegeben sind folgende zwei Geraden: y1 = 4 + 3x1 und y2 = 3-6x2, sowie zwei Punkte A und B auf der Geraden y1 (die x-koordinate von A sei 1 und die x- Koordinate von B sei 3) und zwei Punkte C und D auf der Geraden y2 (die x-koordinate von C sei 1 und die x-koordinate von D sei 3) Man ermittle: (1) die Steigungen beider Geraden (2) den Schnittpunkt beider Geraden 22

23 (3) den Abstand zwischen A und B sowie zwischen C und D (4) Schaubilder der beiden Geraden 2. Man ermittle die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen: 3x 2 + 4x -1 = 0 und x 2-6x + 4 = 0 3. Eine Region wird von 4 Standorten gebildet, für die ein Vektor AB der Erwerbstätigen, ein Vektor AP der Arbeitsplätze, sowie eine Matrix D der kürzesten Entfernungen (in Minuten) existieren AB = 20 AP = 20 D = Berechnen Sie für jeden Standort: (1) das Arbeitsplatzpotential (α = 0.02) (2) die Pendlerströme zu allen anderen Standorten (α = 0.1; g = 1); (man setze die d ii gleich 1) 23